Wahlteil B

Aufgabe 1

Ein Auto fährt die ersten $Formula: 60 \mathrm{~km}$ $Formula: 60 \mathrm{~km}$ mit $Formula: 30\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ $Formula: 30\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ und die nächsten $Formula: 60 \mathrm{~km}$ $Formula: 60 \mathrm{~km}$ mit $Formula: 60\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}.$ $Formula: 60\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}.$

Wie viele Stunden benötigt das Auto für die ersten $Formula: 60 \mathrm{~km}?$ $Formula: 60 \mathrm{~km}?$

Maria und Josef berechnen die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Strecke.

Maria und Josef diskutieren über eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 40 oder 45 km/h.

Wer hat Recht? Begründe deine Antwort.

2 P

Tobias hat eine $Formula: 3 \mathrm{~cm}$ $Formula: 3 \mathrm{~cm}$ dicke Holzplatte gekauft. Damit möchte er einen Schreibtisch bauen. Die Schreibtischplatte hat folgende Form:

Technische Zeichnung eines verwinkelten Bauteils mit eingetragenen Maßen auf kariertem Raster.

Wie viel $Formula: \mathrm{kg}$ $Formula: \mathrm{kg}$ wiegt diese Schreibtischplatte, wenn $Formula: 1 \mathrm{~cm}^3$ $Formula: 1 \mathrm{~cm}^3$ des Holzes $Formula: 0{,}9 \mathrm{~g}$ $Formula: 0{,}9 \mathrm{~g}$ wiegt?

3 P

Aufgabe 2

Ben und Madita planen ein Turnier für insgesamt Formula: 5 Spieler. Dabei spielt jeder gegen jeden.

Wie viele Spiele sind notwendig?

Jedes Spiel dauert genau Formula: 10 Minuten. Turnierbeginn ist um Formula: 14{:}00 Uhr. Zwischen jedem Spiel sind Formula: 5 Minuten Pause eingeplant.

Um wie viel Uhr ist das letzte Spiel beendet?

2 P

Die Abbildung zeigt eine zylinderförmige Schokolinsenverpackung.

Skizze einer zylindrischen Packung für Schokolinsen mit den Maßen 17,4 cm Länge und 4,5 cm Durchmesser.

Berechne die Mantelfläche der Verpackung.

Das Volumen der Verpackung wird um $Formula: 20 \,\%$ $Formula: 20 \,\%$ erhöht.

Berechne die Maße für die neue Verpackung. Gib eine Möglichkeit an.

3 P

Aufgabe 3

Das Diagramm zeigt die Verteilung von Wohnungen in einer Großstadt.

Wie hoch ist der Anteil an Formula: 3 -Zimmer-Wohnungen in dieser Großstadt? Gib in Prozent an.

Entnimm das nötige Maß dem Diagramm.

Kreisdiagramm zur Verteilung von Wohnungen nach Zimmerzahl.

2 P

Diagramm zur Pistaziencremeproduktion mit Quadern für 2024 und 2025.

Sprechblasen-Dialog zwischen Clara und Joachim über eine angebliche Verdopplung der Pistazienproduktion im Jahr 2024.

Warum hat Joachim recht? Begründe.
Wie könnte das Schrägbild zu Claras Aussage aussehen? Skizziere.

3 P

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Lösung 1

Fahrzeit für die ersten $Formula: \boldsymbol{60}$ $Formula: \boldsymbol{60}$ Kilometer berechnen

Für die Fahrzeit für die ersten $Formula: 60\mathrm{~km}$ $Formula: 60\mathrm{~km}$ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} t&=& \dfrac{s}{v} \\[5pt] &=&\dfrac{60\mathrm{~km}}{30~\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}} \\[5pt] &=& 2\mathrm{~h} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} t&=& \dfrac{s}{v} \\[5pt] &=&\dfrac{60\mathrm{~km}}{30~\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}} \\[5pt] &=& 2\mathrm{~h} \end{array}$

Somit benötigt das Auto für die ersten $Formula: 60\mathrm{~km}$ $Formula: 60\mathrm{~km}$ Formula: 2 Stunden.

Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen

Für die Fahrzeit der nächsten Streckenhälfte gilt dann:

$Formula: \begin{array}{rlll} t&=&\dfrac{60\mathrm{~km}}{60~\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}} \\[5pt] &=& 1\mathrm{~h} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} t&=&\dfrac{60\mathrm{~km}}{60~\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}} \\[5pt] &=& 1\mathrm{~h} \end{array}$

Insgesamt fährt das Auto $Formula: 60\mathrm{~km} +60\mathrm{~km} =120\mathrm{~km}$ $Formula: 60\mathrm{~km} +60\mathrm{~km} =120\mathrm{~km}$ und braucht dafür $Formula: 2\mathrm{~h}+1\mathrm{~h}=3 \mathrm{~h}.$ $Formula: 2\mathrm{~h}+1\mathrm{~h}=3 \mathrm{~h}.$

Somit gilt für die Durchschnittsgeschwindigkeit:

$Formula: \begin{array}{rlll} v&=&\dfrac{120\mathrm{~km}}{3\mathrm{~h}} \\[5pt] &=& 40\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} v&=&\dfrac{120\mathrm{~km}}{3\mathrm{~h}} \\[5pt] &=& 40\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \end{array}$

Josef hat also recht.

$Formula: 1050\,\text{mm}=105\,\text{cm}$ $Formula: 1050\,\text{mm}=105\,\text{cm}$

$Formula: 1260\,\text{mm}=120\,\text{cm}$ $Formula: 1260\,\text{mm}=120\,\text{cm}$

$Formula: 600\,\text{mm}=60\,\text{cm}$ $Formula: 600\,\text{mm}=60\,\text{cm}$

$Formula: 450\,\text{mm}=45\,\text{cm}$ $Formula: 450\,\text{mm}=45\,\text{cm}$

Die Schreibtischplatte besteht aus zwei Rechtecken und einem Trapez.

Für den Flächeninhalt der beiden Rechtecke gilt jeweils:

$Formula: \begin{array}{rlll} A_1&=&105 \cdot 60 \\[5pt] &=& 6300\mathrm{~cm^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A_1&=&105 \cdot 60 \\[5pt] &=& 6300\mathrm{~cm^2} \end{array}$

Der Flächeninhalt des Trapezes ergibt sich wie folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} A_T&=& \dfrac{126+45}{2}\cdot45 \\[5pt] &=& 85{,}5 \cdot 45 \\[5pt] &=&3847{,}5 \mathrm{~cm^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A_T&=& \dfrac{126+45}{2}\cdot45 \\[5pt] &=& 85{,}5 \cdot 45 \\[5pt] &=&3847{,}5 \mathrm{~cm^2} \end{array}$

Somit folgt für den gesamten Flächeninhalt:

$Formula: \begin{array}{rlll} A&=& 6300 + 6300 + 3847{,}5 \\[5pt] &=& 16\,447{,}5 \mathrm{~cm^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A&=& 6300 + 6300 + 3847{,}5 \\[5pt] &=& 16\,447{,}5 \mathrm{~cm^2} \end{array}$

Da die Holzplatte $Formula: 3 \mathrm{~cm}$ $Formula: 3 \mathrm{~cm}$ dick ist, gilt für das Volumen:

$Formula: \begin{array}{rlll} V&=& A \cdot h \\[5pt] &=& 16\,447{,}5 \mathrm{~cm^2} \cdot 3 \mathrm{~cm}\\[5pt] &=& 49\,342{,}5\;\mathrm{cm^3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V&=& A \cdot h \\[5pt] &=& 16\,447{,}5 \mathrm{~cm^2} \cdot 3 \mathrm{~cm}\\[5pt] &=& 49\,342{,}5\;\mathrm{cm^3} \end{array}$

Da $Formula: 1 \mathrm{~cm^3}$ $Formula: 1 \mathrm{~cm^3}$ Holz $Formula: 0{,}9 \mathrm{~g}$ $Formula: 0{,}9 \mathrm{~g}$ wiegt, ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} m&=& 49\,342{,}5\cdot0{,}9\mathrm{~g}\\[5pt] &=&44\,408{,}25\mathrm{~g} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m&=& 49\,342{,}5\cdot0{,}9\mathrm{~g}\\[5pt] &=&44\,408{,}25\mathrm{~g} \end{array}$

Die Schreibtischplatte wiegt also ungefähr $Formula: \tfrac{44\,408{,}25}{1000}=44{,}4\mathrm{~kg}.$ $Formula: \tfrac{44\,408{,}25}{1000}=44{,}4\mathrm{~kg}.$

Lösung 2

Anzahl der Spiele

Da jeder Spieler gegen Formula: 4 andere spielt und jede Begegnung sonst doppelt gezählt wird, muss bei der Berechnung durch Formula: 2 geteilt werden:

$Formula: \begin{array}{rlll} S&=& \dfrac{5 \cdot 4}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{20}{2} \\[5pt] &=& 10 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} S&=& \dfrac{5 \cdot 4}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{20}{2} \\[5pt] &=& 10 \end{array}$

Insgesamt werden also Formula: 10 Spiele benötigt.

Ende des letzten Spieles

Für die gesamte Spielzeit gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} t&=&10 \cdot 10 \mathrm{~min}\\[5pt] &=& 100 \mathrm{~min} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} t&=&10 \cdot 10 \mathrm{~min}\\[5pt] &=& 100 \mathrm{~min} \end{array}$

Zwischen den Formula: 10 Spielen gibt es insgesamt Formula: 9 Pausen, für die gesamte Pausenzeit folgt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} t_P&=& 9 \cdot 5 \mathrm{~min} \\[5pt] &=& 45 \mathrm{~min} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} t_P&=& 9 \cdot 5 \mathrm{~min} \\[5pt] &=& 45 \mathrm{~min} \end{array}$

Das Addieren der Spielzeit und der Pausenzeit liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} t_\text{Gesamt}&=& 100\mathrm{~min} + 45\mathrm{~min} \\[5pt] &=& 145\mathrm{~min} \\[5pt] &=& 2\mathrm{~h}\; 25\mathrm{~min} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} t_\text{Gesamt}&=& 100\mathrm{~min} + 45\mathrm{~min} \\[5pt] &=& 145\mathrm{~min} \\[5pt] &=& 2\mathrm{~h}\; 25\mathrm{~min} \end{array}$

Das Turnier beginnt um Formula: 14{:}00 Uhr. Somit ended das letzte Spiel um Formula: 16{:}25 Uhr.

Mantelfläche der Verpackung

Für die Mantelfläche des Zylinders gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} M&=&\pi\cdot d \cdot h\\[5pt] &=&\pi\cdot 4{,}5\;\text{cm}\cdot 17{,}4\;\text{cm}\\[5pt] &\approx&246\;\text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} M&=&\pi\cdot d \cdot h\\[5pt] &=&\pi\cdot 4{,}5\;\text{cm}\cdot 17{,}4\;\text{cm}\\[5pt] &\approx&246\;\text{cm}^2 \end{array}$

Die Mantelfläche der Verpackung beträgt also ungefähr $Formula: 246\;\text{cm}^2.$ $Formula: 246\;\text{cm}^2.$

Neue Maße der Verpackung

Mit $Formula: r=\tfrac{d}{2}$ $Formula: r=\tfrac{d}{2}$ folgt für das Volumen der ursprünglichen Verpackung:

$Formula: \begin{array}{rlll} V&=&\pi\cdot r^2\cdot h\\[5pt] &=&\pi\cdot\left(\dfrac{4{,}5\;\text{cm}}{2}\right)^2\cdot17{,}4\;\text{cm}\\[5pt] &\approx&276{,}7\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V&=&\pi\cdot r^2\cdot h\\[5pt] &=&\pi\cdot\left(\dfrac{4{,}5\;\text{cm}}{2}\right)^2\cdot17{,}4\;\text{cm}\\[5pt] &\approx&276{,}7\;\text{cm}^3 \end{array}$

Da das Volumen um $Formula: 20\,\%$ $Formula: 20\,\%$ erhöht werden soll, beträgt das neue Volumen $Formula: 120\,\%$ $Formula: 120\,\%$ des ursprünglichen Volumens. Somit gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_{\text{neu}}&=&276{,}7\;\text{cm}^3\cdot1{,}20\\[5pt] &\approx&332{,}1\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_{\text{neu}}&=&276{,}7\;\text{cm}^3\cdot1{,}20\\[5pt] &\approx&332{,}1\;\text{cm}^3 \end{array}$

Eine Möglichkeit besteht darin, den Durchmesser der Verpackung unverändert zu lassen und nur die Länge um $Formula: 20\,\%$ $Formula: 20\,\%$ zu erhöhen.

Für die neue Länge folgt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} h_{\text{neu}}&=&17{,}4\;\text{cm}\cdot1{,}20\\[5pt] &=& 20{,}88\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} h_{\text{neu}}&=&17{,}4\;\text{cm}\cdot1{,}20\\[5pt] &=& 20{,}88\;\text{cm} \end{array}$

Die neue Verpackung könnte also einen Durchmesser von $Formula: 4{,}5\;\text{cm}$ $Formula: 4{,}5\;\text{cm}$ und eine Länge von ungefähr $Formula: 20{,}9\;\text{cm}$ $Formula: 20{,}9\;\text{cm}$ haben.

Lösung 3

Der Winkel für die Formula: 3 -Zimmer-Wohnungen wird aus dem Kreisdiagramm abgelesen. Dieser beträgt ungefähr $Formula: 104^\circ.$ $Formula: 104^\circ.$

Da ein vollständiger Kreis $Formula: 360^\circ$ $Formula: 360^\circ$ hat und dies $Formula: 100\,\%$ $Formula: 100\,\%$ entspricht, kann der Prozentsatz berechnet werden.

Für den Prozentsatz gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p&=& \dfrac{104^\circ}{360^\circ} \cdot 100\,\%\\[5pt] &\approx& 28{,}9\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p&=& \dfrac{104^\circ}{360^\circ} \cdot 100\,\%\\[5pt] &\approx& 28{,}9\,\% \end{array}$

Der Anteil der Formula: 3 -Zimmer-Wohnungen in der Großstadt beträgt also ungefähr $Formula: 28{,}9\,\%.$ $Formula: 28{,}9\,\%.$

Begründung der Aussage

Im Schrägbild sind bei dem Quader für 2025 alle drei Seitenlängen ungefähr doppelt so groß wie bei dem Quader für 2024.

Für das Volumen eines Quaders gilt:

$Formula: V=a\cdot b\cdot c$ $Formula: V=a\cdot b\cdot c$

Werden Länge, Breite und Höhe jeweils verdoppelt, ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_{\text{neu}}&=&2a\cdot2b\cdot2c\\[5pt] &=&8 \cdot a \cdot b \cdot c\\[5pt] &=&8\cdot V_{\text{alt}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_{\text{neu}}&=&2a\cdot2b\cdot2c\\[5pt] &=&8 \cdot a \cdot b \cdot c\\[5pt] &=&8\cdot V_{\text{alt}} \end{array}$