Aufgabe 4.1 - Analysis
Gegeben ist eine in 
definierte ganzrationale Funktion 
vierten Grades. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion 
a)
Ermittle 
und deute das Ergebnis geometrisch.
(2 BE)
b)
Der Graph der Ableitungsfunktion 
besitzt einen lokalen Hochpunkt.
Gib die
-Koordinate dieses Extrempunkts an und begründe mithilfe von Eigenschaften der Funktion bzw. ihres Graphen, dass dieser Extrempunkt ein Hochpunkt ist.
Gib die
(3 BE)
c)
Ermittle den Wert des Terms 
(2 BE)
d)
Die Funktion hat die Nullstellen 
und 
mit 
Begründe, dass der Wert des Terms
negativ ist.
Begründe, dass der Wert des Terms
(3 BE)
a)
Die Gerade durch die beiden Punkte 
und 
besitzt die Steigung 
Dies ist auch die mittlere Änderungsrate der Funktion im Intervall ![\([-1,5;0].\)](https://mathjax.schullv.de/313cee1fb5b0a4604b43b12d574ef7008869645ac6f113aa5e95ce806e005867?color=5a5a5a)
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b)
Die Extremstellen von 
entsprechen den Wendestellen von Der Abbildung kann man entnehmen, dass der Graph von beispielsweise bei 
eine Wendestelle besitzt. An dieser Stelle geht der Graph von von einer Linkskrümmung in einer Rechtskrümmung über.
Der Graph von fällt für 
streng monoton, fällt aber immer langsamer je weiter er sich der 
-Achse nähert, bis er schließlich die Steigung Null bei erreicht. Anschließend fällt der Graph wieder mit zunehmender Geschwindigkeit. An der Stelle hat die Steigung also ein lokales Maximum angenommen, indem sie kurzzeitig nicht mehr negativ war. Da die Steigung von durch beschrieben wird, besitzt der Graph von an dieser Stelle also ein Hochpunkt.
Der Graph von
c)
d)
Mit 
wird der Inhalt der Fläche berechnet die der Graph von mit der -Achse im Bereich 
einschließt. Der Abbildung kann man entnehmen, dass diese Fläche oberhalb der -Achse liegt, weshalb der Wert des Integrals positiv ist.
Das Flächenstück, das zum Integral
gehört, liegt allerdings unterhalb der -Achse. Der Integralwert ist dementsprechend negativ. Das Produkt aus einem positiven und einem negativen Faktor ist negativ. Der Wert des angegebenen Terms ist daher negativ.
Das Flächenstück, das zum Integral