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Aufgabe 4.1 - Analysis

Aufgaben
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Aufgabe 4.1
Gegeben ist eine in $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$.
#ganzrationalefunktion
$\,$
a)
Ermittle $\dfrac{f(-1,5)-f(0)}{-1,5-0}$ und deute das Ergebnis geometrisch.
(2 BE)
$\,$
b)
Der Graph der Ableitungsfunktion $f'$ besitzt einen lokalen Hochpunkt.
Gib die $x$-Koordinate dieses Extrempunkts an und begründe mithilfe von Eigenschaften der Funktion $f$ bzw. ihres Graphen, dass dieser Extrempunkt ein Hochpunkt ist.
(3 BE)
#extrempunkt#ableitung
$\,$
c)
Ermittle den Wert des Terms $\displaystyle\int_{0}^{4}f'(x)\;\mathrm dx$.
(2 BE)
#integral
$\,$
d)
Die Funktion $f$ hat die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ mit $x_1< x_2$.
Begründe, dass der Wert des Terms $\displaystyle\int_{0}^{x_1}f(x)\;\mathrm dx \cdot \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(x)\;\mathrm dx$ negativ ist.
(3 BE)
#integral
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a)
$\dfrac{f(-1,5)-f(0)}{-1,5-0} \approx \dfrac{3-1}{-1,5} =-\dfrac{4}{3} $
$\frac{f(-1,5)-f(0)}{-1,5-0} \approx -\frac{4}{3} $
Die Gerade durch die beiden Punkte $(-1,5\mid f(-1,5))$ und $(0\mid f(0))$ besitzt die Steigung $-\frac{4}{3}.$ Dies ist auch die mittlere Änderungsrate der Funktion $f$ im Intervall $[-1,5;0].$
b)
Die Extremstellen von $f'$ entsprechen den Wendestellen von $f.$ Der Abbildung kann man entnehmen, dass der Graph von $f$ beispielsweise bei $x=0$ eine Wendestelle besitzt. An dieser Stelle geht der Graph von $f$ von einer Linkskrümmung in einer Rechtskrümmung über.
Der Graph von $f$ fällt für $x<0$ streng monoton, fällt aber immer langsamer je weiter er sich der $y$-Achse nähert, bis er schließlich die Steigung Null bei $x=0$ erreicht. Anschließend fällt der Graph wieder mit zunehmender Geschwindigkeit. An der Stelle $x=0$ hat die Steigung also ein lokales Maximum angenommen, indem sie kurzzeitig nicht mehr negativ war. Da die Steigung von $f$ durch $f'$ beschrieben wird, besitzt der Graph von $f'$ an dieser Stelle $x=0$ also ein Hochpunkt.
#wendepunkt
c)
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{4}f'(x)\;\mathrm dx&=& f(4)-f(0) \\[5pt] &=& 1-1 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
d)
Mit $\displaystyle\int_{0}^{x_1}f(x)\;\mathrm dx$ wird der Inhalt der Fläche berechnet die der Graph von $f$ mit der $x$-Achse im Bereich $0\leq x \leq x_1$ einschließt. Der Abbildung kann man entnehmen, dass diese Fläche oberhalb der $x$-Achse liegt, weshalb der Wert des Integrals positiv ist.
Das Flächenstück, das zum Integral $\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(x)\;\mathrm dx$ gehört, liegt allerdings unterhalb der $x$-Achse. Der Integralwert ist dementsprechend negativ. Das Produkt aus einem positiven und einem negativen Faktor ist negativ. Der Wert des angegebenen Terms ist daher negativ.
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