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Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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In einem kartesischen Koordinatensystem des Raumes sind die Punkte $A(-3\;|\;-1\;|\;5)$, $B(3\;|\;4\;|\;6)$ und $C(0\;|\;-6\;|\;4)$ gegeben.
a)
Entwickle eine Koordinatengleichung der Ebene $E$, die durch die Punkte $A$, $B$ und $C$ eindeutig bestimmt ist.
[zur Kontrolle: $E: y-5z+26=0$]

Zeige, dass die $x$-Achse parallel zur Ebene $E$ verläuft und berechne das Gradmaß des Schnittwinkels zwischen der Ebene $E$ und der $xy$-Ebene.
#schnittwinkel#koordinatenform#ebenengleichung
b)
Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Abbildung (nicht maßstäblich)
Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Abbildung (nicht maßstäblich)
#zylinder#schnittgebilde
Der Punkt $M'$ ist der Fußpunkt des Lotes vom Punkt $M$ der Ebene $E$ in die $xy$-Ebene. Ermittle die Koordinaten des Punktes $M$.

Der Punkt $D(2\;|\;4\;|\;6)$ liegt in der Deckfläche des Körpers $F$.
Weise nach, dass der Punkt $D$ von allen Punkten der Deckfläche derjenige Punkt ist, der den größten Abstand zur $xy$-Ebene hat.
#koordinaten#abstand
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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a)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung der Ebene E entwickeln
In dieser Aufgabe sollst du eine Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform bestimmen. Bilde dazu als erstes eine Gleichung in Parameterform. Anschließend kannst du mit dem (Kreuz-)Vektorprodukt den Normalenvektor der Ebene berechnen und damit die Ebenengleichung in Koordinatenform berechnen.
$\blacktriangleright$  Parallelität zeigen
In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass die Ebene $E$ parallel zur $x$-Achse ist. Du hast zuvor bereits einen Normalenvektor von $E$ bestimmt. Damit eine Achse parallel zur Ebene verläuft, muss sie senkrecht auf dem Normalenvektor stehen. Bestimme also zunächst einen Richtungsvektor der $x$-Achse und überprüfe, ob dieser senkrecht auf dem Normalenvektor steht. Zwei Vektoren sind senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
Den Richtungsvektor der $x$-Achse kannst du beispielsweise wie folgt wählen:
$x$-Achse: $\overrightarrow{r}_x = \pmatrix{1\\0\\0}$
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel zwischen der Ebene $\boldsymbol{E}$ und der $\boldsymbol{xy}$-Ebene berechnen
Um den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen zu berechnen, kannst du folgende Formel verwenden:
$\cos(\alpha)= \dfrac{\left| \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} \right|}{\left| \overrightarrow{n_1} \right|\cdot \left| \overrightarrow{n_1} \right|}$
$\cos(\alpha)= \dfrac{\left| \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} \right|}{\left| \overrightarrow{n_1} \right|\cdot \left| \overrightarrow{n_1} \right|}$
Die Ebenengleichung in Koordinatenform der $xy$-Ebene ist $E_{xy}: \; z=0$. Ein Normalenvektor hat somit die Einträge $\overrightarrow{n}=\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{M}$ berechnen
Du weißt, dass der Punkt $M$ auf der Ebene $E$ liegt. Um die Koordinaten des Punktes zu berechnen, kannst du den Schnittpunkt der Geraden $h$, die durch den Punkt $M'$ geht und den Normalenvektor der $xy$-Ebene als Richtungsvektor hat, mit der Ebene $E$ berechnen. Bilde dazu als erstes die Gerade $h$ und den allgemeinen Punkt der Geraden $h$, setze diesen Punkt in die Koordinatengleichung der Ebene $E$ ein und berechne die Variable $r$. Den Wert für $t$ kannst du dann in den allgemeinen Punkt der Geraden $h$ einsetzten und erhältst die Koordinaten des gesuchten Punktes $M$.
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a)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung der Ebene E entwickeln
In dieser Aufgabe sollst du eine Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform bestimmen. Bilde dazu als erstes eine Gleichung in Parameterform. Anschließend kannst du mit dem (Kreuz-)Vektorprodukt den Normalenvektor der Ebene berechnen und damit die Ebenengleichung in Koordinatenform berechnen.
1. Schritt: Ebenengleichung in Parameterform
Wähle einen Ortsvektor von einem der drei Punkte als Stützvektor und bilde aus den drei Punkten zwei Verbindungsvektoren, die als Spannvektoren der Ebene verwendet werden können.
$E:\; \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}+s\cdot \overrightarrow{AC} $
$E:\; \overrightarrow{x}=\pmatrix{-3\\ -1 \\ 5}+r\cdot \pmatrix{6 \\ 5 \\ 1}+s\cdot \pmatrix{3 \\ -5 \\ -1} $
2. Schritt: (Kreuz-) Vektorprodukt berechnen
Die Formel für das (Kreuz-)Vektorprodukt lautet:
$\pmatrix{a_1 \\ a_2 \\ a_3}\times\pmatrix{b_1 \\ b_2 \\ b_3}=\pmatrix{a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1}$
$\pmatrix{a_1 \\ a_2 \\ a_3}\times\pmatrix{b_1 \\ b_2 \\ b_3}=\pmatrix{a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1}$
Setze die beide Richtungsvektoren der Ebene $E$ in die Formel ein.
$\overrightarrow{n}_1=\pmatrix{6\\ 5 \\ 1}\times\pmatrix{3 \\ -5 \\ -1}=\pmatrix{-5-(-5) \\ 3-(-6) \\ -30-15}=\pmatrix{0 \\ 9 \\ -45}$
$\overrightarrow{n}_1=\pmatrix{0 \\ 9 \\ -45}$
Den Normalenvektor kannst du mit 9 kürzen.
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{0 \\ 1 \\ -5}$
3. Schritt: Ebenengleichung in Koordinatenform
$E:\; 0\cdot x + 1\cdot y -5\cdot z = c $
Setze die Koordinaten von $A$ in die Ebenengleichung ein, um den Parameter $c$ zu berechnen.
$1\cdot (-1) -5\cdot 5= -26$
Die Ebene $E$ hat die Koordinatengleichung $E:\;y-5z=-26$.
$\blacktriangleright$  Parallelität zeigen
In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass die Ebene $E$ parallel zur $x$-Achse ist. Du hast zuvor bereits einen Normalenvektor von $E$ bestimmt. Damit eine Achse parallel zur Ebene verläuft, muss sie senkrecht auf dem Normalenvektor stehen. Bestimme also zunächst einen Richtungsvektor der $x$-Achse und überprüfe, ob dieser senkrecht auf dem Normalenvektor steht. Zwei Vektoren sind senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
Den Richtungsvektor der $x$-Achse kannst du beispielsweise wie folgt wählen:
$x$-Achse: $\overrightarrow{r}_x = \pmatrix{1\\0\\0}$
Bilde nun das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$.
$\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{r}_x = \pmatrix{0\\1\\-5} \circ \pmatrix{1\\0\\0} = 0\cdot 1+ 1\cdot 0 +(-5)\cdot 0 = 0 $
Die $x$-Achse verläuft also senkrecht zum Normalenvektor von $E$ und damit parallel zur Ebene $E$.
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel zwischen der Ebene $\boldsymbol{E}$ und der $\boldsymbol{xy}$-Ebene berechnen
Um den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen zu berechnen, kannst du folgende Formel verwenden:
$\cos(\alpha)= \dfrac{\left| \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} \right|}{\left| \overrightarrow{n_1} \right|\cdot \left| \overrightarrow{n_1} \right|}$
$\cos(\alpha)= \dfrac{\left| \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} \right|}{\left| \overrightarrow{n_1} \right|\cdot \left| \overrightarrow{n_1} \right|}$
Die Ebenengleichung in Koordinatenform der $xy$-Ebene ist $E_{xy}: \; z=0$. Ein Normalenvektor hat somit die Einträge $\overrightarrow{n}=\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$
Den Normalenvektor der Ebene $E$ hast du in einer Aufgabe zuvor schon berechnet.
Jetzt kannst du beide Normalenvektoren in die Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&= &\dfrac{\left|\pmatrix{0 \\ 1 \\ -5} \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}\right|}{\left|\pmatrix{0\\ 1 \\ -5}\right|\cdot \left|\pmatrix{0\\ 0 \\ 1} \right|} \\[5pt] &=& \dfrac{\left|0\cdot 0 +1\cdot 0 - 5\cdot 1\right|}{\sqrt{0^2+1^2+(-5)^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} \\[5pt] &=& \dfrac{5}{\sqrt{26}} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=& \cos^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{26}} \right) = 11,31° \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&= & 11,31° \end{array}$
Der Schnittwinkel zwischen der Ebene $E$ und der $xy$-Ebene ist ca. $\alpha=11,31°$.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{M}$ berechnen
Du weißt, dass der Punkt $M$ auf der Ebene $E$ liegt. Um die Koordinaten des Punktes zu berechnen, kannst du den Schnittpunkt der Geraden $h$, die durch den Punkt $M'$ geht und den Normalenvektor der $xy$-Ebene als Richtungsvektor hat, mit der Ebene $E$ berechnen. Bilde dazu als erstes die Gerade $h$ und den allgemeinen Punkt der Geraden $h$, setze diesen Punkt in die Koordinatengleichung der Ebene $E$ ein und berechne die Variable $r$. Den Wert für $t$ kannst du dann in den allgemeinen Punkt der Geraden $h$ einsetzten und erhältst die Koordinaten des gesuchten Punktes $M$.
1. Schritt: Geradengleichung von h bestimmen
Die Gerade $h$ verläuft durch den Punkt $M'$ und hat den Normalenvektor der $xy$-Ebene als Richtungsvektor.
$h:\; \overrightarrow{x}=\pmatrix{2 \\ -1 \\ 0}+t\cdot \pmatrix{0 \\0 \\ 1}$
$H(2\;|\;-1\;|\;t)$
2. Schritt: Variable t berechnen
Setze den allgemeinen Punkt der Geraden $h$ in die Ebenengleichung $E$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} -1-5t&=&-26 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] -5t&=&-25 &\quad \scriptsize \mid\; :(-5) \\[5pt] t&=&5 \end{array}$
3. Schritt: Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{M}$ berechnen
Setze $t=5$ in den allgemeinen Punkt H ein.
$M(2\;|\;-1\;|\;5)$
Der Punkt $M$ hat die Koordinaten $M(2\;|\;-1\;|\;5)$.
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass der Punkt $\boldsymbol{D}$ den größten Abstand zur $\boldsymbol{xy}$-Ebene hat.
Wenn du dir die Skizze anschaust stellst du fest, dass der höchste Punkt auf dem rechten Rand des Körpers sein muss. Um die Koordinaten des Lotpunktes dieses Punktes, der in der Horizontalebene liegt, zu berechnen, musst du zu der $y$-Koordinate des Mittelpunktes den Radius addieren. Der Punkt D' hat somit die Koordinaten $D'(2\;|\;-1+r\;|\; 0) = D'(2\;|\;4\;|\; 0)$.
Jetz kannst du wie oben vorgehen. Bilde eine Gerade mit dem Punkt $D'$ und dem Normalenvektor der Horizontalebene, berechne die Koordinaten des Schnittpunkts der Ebene $E$ mit der Geraden und du erhältst den Punkt, der den größten Abstand zur Horizontalebene hat.
$i: \; \pmatrix{2 \\ 4 \\ 0}+r\cdot \pmatrix{0 \\ 0\\ 1}$
$I(2\;|\;4\;|\;r)$
$\begin{array}[t]{rll} 4-5r&=&-26 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] -5r&=&-30 &\quad \scriptsize \mid\; :(-5) \\[5pt] r&=&6 \end{array}$
$D(2\;|\;4\;|\;6)$
Somit hast du nachgewiesen, dass der Punkt $D(2\;|\;4\;|\;6)$ den größten Abstand von der Horizontalebene hat.
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