Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
ST, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur eA
Abitur gA
Realschulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur gA
Prüfung
wechseln
Abitur eA
Abitur gA
Realschulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur gA
Abi 2018
Pflichtaufgabe 1 - An...
Pflichtaufgabe 2 - An...
Pflichtaufgabe 3 - St...
Wahlaufgabe 1 - Analy...
Wahlaufgabe 2 - Analy...
Abi 2017
Pflichtaufgabe 1 - An...
Pflichtaufgabe 2 - An...
Pflichtaufgabe 3 - St...
Wahlaufgabe 1 - Analy...
Wahlaufgabe 2 - Analy...
Abi 2016
Pflichtaufgabe 1 - An...
Pflichtaufgabe 2 - An...
Pflichtaufgabe 3 - St...
Wahlaufgabe 1 - Analy...
Wahlaufgabe 2 - Analy...
Abi 2015
Pflichtaufgabe 1 - An...
Pflichtaufgabe 2 - An...
Pflichtaufgabe 3 - St...
Wahlaufgabe 1 - Analy...
Wahlaufgabe 2 - Analy...
Abi 2014
Pflichtaufgabe 1 - An...
Pflichtaufgabe 2 - An...
Pflichtaufgabe 3 - St...
Wahlpflichtaufgabe 1 ...
Wahlpflichtaufgabe 2 ...
Abi 2013
Pflichtaufgabe 1 - An...
Pflichtaufgabe 2 - An...
Pflichtaufgabe 3 - St...
Wahlpflichtaufgabe 1 ...
Wahlpflichtaufgabe 2 ...
Abi 2012
Pflichtaufgabe 1 - An...
Pflichtaufgabe 2 - An...
Pflichtaufgabe 3 - St...
Wahlpflichtaufgabe 1 ...
Wahlpflichtaufgabe 2 ...
Abi 2011
Pflichtaufgabe 1 - An...
Pflichtaufgabe 2 - An...
Pflichtaufgabe 3 - St...
Wahlpflichtaufgabe 1 ...
Wahlpflichtaufgabe 2 ...
Abi 2010
Pflichtaufgabe 1 - An...
Pflichtaufgabe 2 - An...
Pflichtaufgabe 3 - St...
Wahlpflichtaufgabe 1 ...
Wahlpflichtaufgabe 2 ...
Abi 2009
Pflichtaufgabe 1 - An...
Pflichtaufgabe 2 - An...
Pflichtaufgabe 3 - St...
Wahlpflichtaufgabe 1 ...
Wahlpflichtaufgabe 2 ...
Abi 2008
Pflichtaufgabe 1 - An...
Pflichtaufgabe 2 - An...
Pflichtaufgabe 3 - St...
Wahlpflichtaufgabe 1 ...
Wahlpflichtaufgabe 2 ...
Abi 2007
Pflichtaufgabe 1 - An...
Pflichtaufgabe 2 - An...
Pflichtaufgabe 3 - St...
Wahlpflichtaufgabe 1 ...
Wahlpflichtaufgabe 2 ...
Abi 2006
Pflichtaufgabe 1 - An...
Pflichtaufgabe 2 - An...
Pflichtaufgabe 3 - St...
Wahlpflichtaufgabe 1 ...
Wahlpflichtaufgabe 2 ...
Abi 2005
Pflichtaufgabe 1 - An...
Pflichtaufgabe 2 - An...
Pflichtaufgabe 3 - St...
Wahlpflichtaufgabe 1 ...
Wahlpflichtaufgabe 2 ...

Wahlaufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord
Wahlpflichtaufgabe 4.2 - Analytische Geometrie
In einem kartesischen Koordinatensystem sind gegeben ein Kreis $k_1$ mit der Gleichung $x^2+4x+y^2-2y-20=0$ sowie ein Kreis $k_2$ mit dem Radius $r_2=\sqrt{80}$ und dem Mittelpunkt $M_2(-7\mid 1)$.
a)  Ermittle die Koordinaten des Mittelpunktes $M_1$ des Kreises $k_1$ und dessen Radius $r_1$.
Gib eine Gleichung des Kreises $k_2$ an.
Die beiden Kreise $k_1$ und $k_2$ schneiden einander in den zwei Punkten $S_1(x_1\mid y_1> 0)$ und $S_2(x_2\mid y_2< 0)$.
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte.
b)  Die Punkte $S_1$, $S_2$, $M_2$ und ein Punkt $T$ bilden ein Viereck mit folgenden Eigenschaften:
(1)$\overrightarrow{M_2S_1}=\overrightarrow{S_2T}$
(2)$\left|\overrightarrow{M_2S_1}\right|=\left|\overrightarrow{M_2S_2}\right|$
Schlussfolgere unter Verwendung dieser beiden Eigenschaften auf die Vierecksart.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 4.2

a)
In dieser Aufgabe sind zwei Kreise in einem kartesischen Koordinatensystem gegeben. Der erste Kreis $k_1$ ist durch eine Gleichung gegeben:
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 4x + y^2 -2y -20=0 \\[5pt] \end{array}$
Der zweite Kreis hat einen Radius von $r_2=\sqrt{80}$ und der Kreismittelpunkt ist gegeben durch $M_2(-7\;|\;1)$.
$\blacktriangleright$ Ermittel den Mittelpunkt $\boldsymbol{M_1}$ und den Radius $\boldsymbol{r_1}$
In diesem Aufgabenteil sollst du den Mittelpunkt $M_1$ und den Radius $r_1$ des ersten Kreises bestimmen. Dazu stellst du die Gleichung, die den Kreis beschreibt, so um, dass sie in der Form der allgemeinen Kreisgleichung ist.
$(x-m_1)^2+(y-m_2)^2-r^2=0$
Wenn sie in dieser Form ist, geben die Parameter $m_1$ und $m_2$ den Kreismittelpunkt $M(m_1\;|\;m_2)$ an. Der Parameter $r$ ist der Kreisradius $r$.
$\blacktriangleright$ Bestimme die Gleichung für Kreis $\boldsymbol{k_2}$
Um eine Gleichung des Kreises $k_2$ anzugeben, setzt du den Kreismittelpunkt $M_2$ und den Radius $r_2$ in die allgemeine Kreisgleichung ein.
$\blacktriangleright$ Bestimme die Schnittpunkte $\boldsymbol{S_1}$ und $\boldsymbol{S_2}$ der Kreise
Um die Schnittpunkte der Kreise zu bestimmen, setzt du die beiden linken Seiten der Kreisgleichungen gleich und löst nach einer Variablen auf. Die Lösung für eine Koordinate kannst du dann in eine Kreisgleichung einsetzen und du erhälst die Schnittpunkte.
b) $\blacktriangleright$ Bestimme die Vierecksart
Hier ist ein Viereck mit den Eckpunkten $S_1$, $S_2$, $M_2$ und $T$ gegeben. Du weißt, dass
  1. $\overrightarrow{M_2S_1}=\overrightarrow{S_2T}$
  2. $|\overrightarrow{M_2S_1}|=|\overrightarrow{M_2S_2}|$
Aus den Angaben kannst du Informationen über die Länge der Seiten und ihre Lage zueinander herauslesen.
Wahlaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Wahlaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 4.2

a)
In dieser Aufgabe sind zwei Kreise in einem kartesischen Koordinatensystem gegeben. Der erste Kreis $k_1$ ist durch eine Gleichung gegeben:
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 4x + y^2 -2y -20=0 \\[5pt] \end{array}$
Der zweite Kreis hat einen Radius von $r_2=\sqrt{80}$ und der Kreismittelpunkt ist gegeben durch $M_2(-7\;|\;1)$.
$\blacktriangleright$ Ermittel den Mittelpunkt $\boldsymbol{M_1}$ und den Radius $\boldsymbol{r_1}$
In diesem Aufgabenteil sollst du den Mittelpunkt $M_1$ und den Radius $r_1$ des ersten Kreises bestimmen. Dazu stellst du die Gleichung, die den Kreis beschreibt, so um, dass sie in der Form der allgemeinen Kreisgleichung ist.
$(x-m_1)^2+(y-m_2)^2-r^2=0$
Wenn sie in dieser Form ist, geben die Parameter $m_1$ und $m_2$ den Kreismittelpunkt $M(m_1\;|\;m_2)$ an. Der Parameter $r$ ist der Kreisradius $r$.
Mulltipliziert man die obere Gleichung aus ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} x^2 -2xm_1 +m_1^2 + y^2 -2ym_2 + m_2^2 -r^2 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Vergleichst du die Gleichung mit der gegebenen Kreisgleichung, siehst du, dass die $x^2$ und $y^2$ Terme bereits übereinstimmen. Daher wählst du zunächst nach $m_1$ und $m_2$ so, dass die $x$- und $y$-Terme übereinstimmen.
$\begin{array}[t]{rll} -2m_1x&=&4x &\quad& \scriptsize \mid\; :(-2x) \\[5pt] m_1&=& -2 \\[5pt] \end{array}$
Analog gehst du vor wenn du $m_2$ finden willst.
$\begin{array}[t]{rll} -2m_2y&=&-2y \quad \scriptsize \mid\; :(-2y)\\[5pt] m_2&=&1\\[5pt] \end{array}$
Du kannst jetzt beide Terme in die allgemeine Kreisgleichung einsetzen und mit der Gleichung für Kreis $k_1$ gleichsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} (x+2)^2+(y-1)^2-r^2&=& x^2+4x+y^2-2y-20 \\[5pt] x^2+4x+4+y^2-2y+1-r^2&=& x^2+4x+y^2-2y-20 &\quad& \scriptsize \mid\; -(x^2+4x+y^2-2y) \\[5pt] 5-r^2&=& -20 &\quad& \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] -r^2 &=& -25 &\quad& \scriptsize \mid\; \cdot(-1) \\[5pt] r^2 &=& 25 &\quad& \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] r &=& 5 \\[5pt] \end{array}$
Der Kreismittelpunkt ist somit $M_1(-2\;|\;1)$ und der Radius ist $r_1=5$.
$\blacktriangleright$ Bestimme die Gleichung für Kreis $\boldsymbol{k_2}$
Um eine Gleichung des Kreises $k_2$ anzugeben, setzt du den Kreismittelpunkt $M_2$ und den Radius $r_2$ in die allgemeine Kreisgleichung ein.
Aus dem Kreismittelpunkt $M_2(-7\;|\;1)$ kannst du die Parameter $m_1=-7$ und $m_2=1$ herauslesen. Das Quadrat des Radius $r_2=\sqrt{80}$ ergibt den Parameter $r^2=80$. Als Kreisgleichung kannst du folgendes angeben:
$\begin{array}[t]{rll} (x+7)^2 + (y-1)^2 - 80 =0 \\[5pt] \end{array}$
Oder du löst die Klammern mit der binomischen Formel auf:
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 14x + y^2 - 2y - 30 =0 \\[5pt] \end{array}$
Die Kreisgleichung von $k_2$ lautet $(x+7)^2 + (y-1)^2 - 80 =0$ oder $x^2 + 14x + y^2 - 2y - 30 =0$.
$\blacktriangleright$ Bestimme die Schnittpunkte $\boldsymbol{S_1}$ und $\boldsymbol{S_2}$ der Kreise
Um die Schnittpunkte der Kreise zu bestimmen, setzt du die beiden linken Seiten der Kreisgleichungen gleich und löst nach einer Variablen auf. Die Lösung für eine Koordinate kannst du dann in eine Kreisgleichung einsetzen und du erhälst die Schnittpunkte.
1. Schritt: Differenz der Kreisgleichungen
Um die Differenz zu bilden, verwendest du am besten die ausmultiplizierten Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 14x + y^2 - 2y - 30 &=& x^2 +4x + y^2 -2y -20 &\quad& \scriptsize \mid\; -x^2 -4x -y^2 +2y +20\\[5pt] 10x - 10 &=& 0&\quad& \scriptsize \mid\; +10 \\[5pt] 10x &=& 10 &\quad& \scriptsize \mid\; :10 \\[5pt] x &=& 1 \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Geradengleichung in Kreisgleichung einsetzen
Die Geradengleichung $x=1$ setzt du in eine der Kreisgleichungen ein, um die passenden $y$-Werte zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} (1)^2+4\cdot 1 +y^2-2y-20&=&0 \\[5pt] y^2-2y-15 &=& 0\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel lösen:
Mitternachtsformel:
$\begin{array}[t]{rll} ay^2+by+c&=&0 \\[5pt] y_{1/2} &=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[5pt] &=& \dfrac{2\pm\sqrt{4+60}}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{2\pm 8}{2}\\[5pt] y_1 &=& 5\\[5pt] y_2 &=& -3 \\[5pt] \end{array}$
pq-Formel:
$\begin{array}[t]{rll} y^2+py+q&=&0 \\[5pt] y_{1/2} &=& -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{(\dfrac{p}{2})^2-q}\\[5pt] &=& 1\pm\sqrt{1+15}\\[5pt] &=& 1\pm 4\\[5pt] y_1 &=& 5\\[5pt] y_2 &=& -3 \\[5pt] \end{array}$
Wenn du dir nicht sicher bist, kannst du die Geradengleichung auch in die andere Kreisgleichung einsetzen und überprüfen, ob beide Rechnungen dasselbe Ergebnis liefern.
3. Schritt: Schnittpunkte angeben
Die Schnittpunkte kannst du jetzt als $S_1(1\;|\;5)$ und $S_2(1\;|\;-3)$ angeben. Die $x$-Stellen ergeben sich aus der Geradengleichung $x=1$, die $y$-Werte hast du in Schritt 2 berechnet.
b) $\blacktriangleright$ Bestimme die Vierecksart
Hier ist ein Viereck mit den Eckpunkten $S_1$, $S_2$, $M_2$ und $T$ gegeben. Du weißt, dass
  1. $\overrightarrow{M_2S_1}=\overrightarrow{S_2T}$
  2. $|\overrightarrow{M_2S_1}|=|\overrightarrow{M_2S_2}|$
Die erste Angabe (1) zeigt dir, dass die Strecken $\overline{M_2S_1}$ und $\overline{S_2T}$ gleich lang sind, da die Vektoren, die die Strecken repräsentieren identisch sind und somit gleichlang sind. Du weißt also, dass zwei Seiten des Vierecks gleich lang sind. Die Strecken liegen zudem parallel zueinander, weil die Vektoren identisch sind und somit in die selbe Richtung zeigen.
Wenn zwei gegenüberliegende Seiten des Vierecks gleichlang und parallel sind, muss es sich bei dem Viereck um ein Parallelogramm handeln. Bei einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten immer gleichlang. Daher weißt du, dass die Strecken $\overline{M_2S_2}$ und $\overline{S_1T}$ gleichlang sind.
Die zweite Angabe (2) zum Viereck gibt an, dass die Strecken $\overline{M_2S_1}$ und $\overline{M_2S_2}$ gleich lang sind, da der Betrag und somit die Länge der repräsentierenden Vektoren gleich ist.
Mit dieser Angabe weißt du jetzt, dass alle Seiten des Vierecks gleichlang sind. Ein Parallelogramm mit gleichlangen Seiten ist eine Raute.
Wahlaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Wahlaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App