Aufgabe 1 - Analysis

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{10}x\cdot(3-x) \cdot \mathrm e^x$ und $x\in \mathbb{R}$ .

Grafik eines Funktionendiagramms mit Achsenbeschriftungen und einem Verlauf, der eine Kurve zeigt.

Abbildung 1

1.1

Für die erste Ableitungsfunktion $\(f$ von $f$ gilt $\(f$

Gib die Nullstellen von $f$ an und berechne die $x$ -Koordinate des Hochpunkts des Graphen von $f$ .

3 BE

Eine der Tangenten an den Graphen von $f$ verläuft durch den Punkt $\left(0\mid\frac{1}{2}\right).$

Zeichne diese Tangente in die Abbildung ein und gib eine Gleichung der eingezeichneten Gerade an.

3 BE

Berechne die Größe des Steigungswinkels des Graphen von $f$ im Koordinatenursprung.

2 BE

Zeige, dass die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F$ mit $F(x)=-\dfrac{1}{10}\cdot(x^2-5x+5) \cdot e^x$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

4 BE

Deute das Integral $\displaystyle\int_{0}^{3}f(x)\;\mathrm dx$ geometrisch und berechne seinen Wert.

3 BE

Begründe, ohne zu rechnen, dass es eine positive Zahl $a$ gibt, für die $\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\;\mathrm dx= 0$ gilt.

3 BE

Begründe ohne Verwendung des Funktionsterms von $F$ , dass der Graph jeder Stammfunktion von $f$ einen Tiefpunkt hat, der auf der $y$ -Achse liegt.

3 BE

1.2

Für jeden Wert von $b\in \mathbb{R},$ $b\geq0,$ ist eine Funktion $g_b$ mit $g_b(x) =\frac{1}{10}x \cdot (x-b) \cdot e^x$ und $x \in \mathbb{R}$ gegeben.
Für die erste Ableitungsfunktion von $g_b$ gilt $\(g_b$
Die folgende Abbildung zeigt die Graphen von $g_2$ und $g_3.$

Diagramm einer mathematischen Funktion mit einer grünen und einer gestrichelten schwarzen Linie. Achsen sind beschriftet.

Bestimme denjenigen Wert von $b,$ für den der Graph von $g_b$ und der Graph von $f$ eine Figur begrenzen, die bezüglich der $x$ -Achse symmetrisch ist.

2 BE

Für jeden Wert von $b$ haben die Graphen von $g_b$ und $\(g_b$ einen gemeinsamen Punkt. Berechne die x-Koordinate dieses Punkts.

3 BE

Für jeden Wert von $b$ schließen die Graphen von $g_b$ und $g_{b+1}$ im vierten Quadranten mit der $x$ -Achse ein Flächenstück ein.

Markiere dieses Flächenstück für $b=2$ in der obigen Abbildung.

Für einen Wert von $b$ beträgt der Inhalt des Flächenstücks $5;$ gib eine Gleichung an, mit der dieser Wert von $b$ bestimmt werden könnte.

4 BE

1.1

Nullstellen von f:

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0 \\[5pt] \frac{1}{10}\cdot x \cdot (3-x) \cdot \mathrm e^x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^x \neq 0 \\[5pt] \frac{1}{10}\cdot x \cdot (3-x) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{1}{10}\\[5pt] x \cdot (3-x) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;x_1 = 0 \\[5pt] 3-x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +x \\[5pt] 3 &=& x_2 \end{array}$

Die Nullstellen von $f$ sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 3.$

x-Koordinate des Hochpunktes:

Wende das notwendige Kriterium für Extremstellen von f an:

$x_{1/2}= \dfrac{1\pm \sqrt{13}}{2}$

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Mithilfe der Abbildung auf dem Aufgabenblatt ergibt sich die x-Koordinate des Hochpunktes des Graphen von $f$ zu $\frac{1+ \sqrt{13}}{2}.$

Grafik mit einer grünen Kurve und einer grauen Linie in einem Koordinatensystem.

Eine Gleichung der eingezeichneten Geraden lautet:

$t: \, y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

Der Steigungswinkel im Koordinatenursprung lässt sich über die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ berechnen:

$\(\begin{array}[t]{rll} m &=& f$

Für den Steigungswinkel $\alpha$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \alpha &=& \tan^{-1}(m) \\[5pt] &=& \tan^{-1}(0,3) \\[5pt] &\approx& 16,70^{\circ} \end{array}$

Der Steigungswinkel des Graphen von $f$ im Koordinatenursprung beträgt ca. $16,7^{\circ}.$

Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, muss $\(F$ sein:

$\( F$

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Das Integral beschreibt den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse im Bereich $0\leq x\leq 3$ einschließt.

$... \approx 2,51$

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Betrachtet wird ein Wert $a\gt 3,$ dann gilt:

$\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\;\mathrm dx = \underbrace{\displaystyle\int_{0}^{3}f(x)\;\mathrm dx}_{\gt 0} +\displaystyle\int_{3}^{a}f(x)\;\mathrm dx$

Das Integral $\displaystyle\int_{3}^{a}f(x)\;\mathrm dx$ beschreibt den Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von $f$ im Bereich $3\leq x\leq a$ mit der $x$ -Achse begrenzt.
Diese Fläche liegt allerdings unterhalb der $x$ -Achse, wodurch der Wert des Integrals negativ ist. Je größer der Wert von $a$ gewählt wird, desto größer wird die Fläche und desto größer wird der Betrag des Integralwerts.
Es gibt also definitiv einen Wert von $a,$ für den der Betrag dieses Integrals genauso groß ist, wie der Betrag des ersten Intregrals, sodass der Gesamtwert $\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\;\mathrm dx =0$ beträgt.

$f$ ist die erste Ableitungsfunktion von $F$ und besitzt an der Stelle $x=0$ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv.
An der Stelle $x=0$ ist also für jede Stammfunktion $F$ von $f$ sowohl das notwendige Kriterium für Extremstellen, als auch das hinreichende Vorzeichenwechselkriterium für Minimalstellen erfüllt.
Damit besitzt der Graph jeder Stammfunktion $F$ von $f$ einen Tiefpunkt, der auf der $y$ -Achse liegt.

1.2

Der Graph von $g_b$ muss der Spiegelung des Graphen von $f$ an der $x$ -Achse entsprechen.
Für den Funktionsterm bedeutet das:

$g_b(x) = -f(x)$

Dies ist für $b=3$ erfüllt. Für $b=3$ begrenzen der Graph von $g_b$ und der Graph von $f$ also eine Figur, die bezüglich der $x$ -Achse symmetrisch ist.

Setze $\(g_b(x) =g_{b}$

$x=\dfrac{b}{2}$

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Grafik eines mathematischen Funktionsgraphen mit grünem Flächeninhalt und Koordinatensystem.

$\left|\displaystyle\int_{0}^{b+1}g_{b+1}(x) \mathrm dx - \displaystyle\int_{0}^{b}g_b(x) \mathrm dx \right|= 5$