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Wahlaufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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In einer Senke verläuft ein Fluss. Die Abbildung zeigt modellhaft einen Querschnitt der Senke und der beiden horizontalen Uferzonen.
Im Querschnitt kann die Profillinie der Senke modellhaft durch die Funktion $f$ mit $f(x)= -5x^2\mathrm e^x+1$ und $x \in [-6;0],$ beschrieben werden. Die Wasseroberfläche wird im Modell durch einen Abschnitt der $x$-Achse dargestellt, die Uferzonen durch zwei Strecken, die jeweils parallel zur $x$-Achse verlaufen und lückenlos an den Graphen von $f$ anschließen. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
Zur Funktion $f$ ist die Gleichung der ersten Ableitungsfunktion mit $f'(x)=-5x\cdot (2+x)\cdot \mathrm e^x$ gegeben.
#zentraleraufgabenpool
a)
Berechne den Höhenunterschied zwischen den beiden Uferzonen.
b)
Ermittle mithilfe der Abbildung, wie breit die Senke einen Meter unterhalb der Wasseroberfläche ist.
c)
Deute die Gleichung $f(x+3)=f(x)$ im Sachzusammenhang.
d)
Berechne die Tiefe des Wassers an der tiefsten Stelle der Senke.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Höhenunterschied berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(-6) &=& -5\cdot (-6)^2\mathrm e^{-6}+1 \\[5pt] &=& -180\mathrm e^{-6}+1 \\[10pt] f(0)&=& -5\cdot (0)^2\mathrm e^{-6}+1 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(-6) &=& -180\mathrm e^{-6}+1 \\[10pt] f(0)&=& 1 \end{array}$
Die linke Uferzone beginnt im Modell bei $x=-6,$ die rechte bei $x = 0.$ Die Geraden, die die Uferzonen beschreiben, sind parallel zur $x$-Achse und schließen lückenlos an den Graphen von $f$ an, die Funktionswerte von $f$ an den Stellen $-6$ und $0$ geben daher die beiden Höhen der Uferzonen an:
$\begin{array}[t]{rll} d&=& f(-6)-f(0) \\[5pt] &=& -180\mathrm e^{-6}+1 -1\\[5pt] &=&-180\mathrm e^{-6}\\[5pt] &\approx& -0,45 \end{array}$
Die rechte Uferzone liegt ca. $0,45\,\text{m}=45\,\text{cm}$ höher als die linke.
b)
$\blacktriangleright$  Breite der Senke berechnen
Die Ebene einen Meter unterhalb der Senke kann durch die Gerade mit $y=-1$ beschrieben werden. Die Koordinaten der Schnittpunkte der Gerade mit dem Graphen von $f$ lassen sich näherungsweise an der Abbildung ablesen: $S_1(-3,3\mid -1)$ und $S_2(-1,2\mid -1).$
$-1,2-(-3,3) = 2,1 $
Einen Meter unterhalb der Wasseroberfläche ist die Senke ca. $2,1\,\text{m}$ breit.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung im Sachzusammenhang deuten
$f(x)$ beschreibt die Tiefe der Senke an der Stelle, die $\left|x\right|$ Meter vom Beginn der rechten Uferzone entfernt ist. $f(x+3)$ beschreibt demnach die Tiefe der Senke drei Meter weiter rechts. Es gibt also zwei Stellen in der Senke mit gleicher Höhe, die drei Meter voneinander entfernt sind. Es gibt also eine Höhe der Senke, in der sie $3$ Meter breit ist.
d)
$\blacktriangleright$  Tiefe des Wassers berechnen
Die tiefste Stelle der Senke wird im Modell durch den Tiefpunkt des Graphen von $f$ beschrieben. Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen $f'(x)=0$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] -5x\cdot(2+x)\cdot \mathrm e^x &=& 0&\quad \scriptsize \mid\;: \left(-5\mathrm e^x\right)\neq 0 \\[5pt] x\cdot (2+x)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;x_1=0 \\[5pt] 2+x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] x_2&=& -2 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& -2 \\[5pt] \end{array}$
Es gibt zwei mögliche Extremstellen von $f$ bei $x_1=0$ und $x_2=-2.$ Der Abbildung kann man entnehmen, dass es sich bei der Stelle $x=-2$ um eine lokale Minimalstelle handelt, bei $x=0$ nicht. Daher ist das Wasser etwa zwei Meter vom Beginn der rechten Uferzone entfernt am tiefsten.
$\begin{array}[t]{rll} f(-2)&=& -5\cdot (-2)^2\mathrm e^{-2}+1 \\[5pt] &=& -20\mathrm e^{-2}+1 \\[5pt] &\approx& -1,71\\[5pt] \end{array}$
$ f(-2)\approx -1,71 $
An der tiefsten Stelle ist das Wasser ca. $1,71\,\text{m}$ tief.
#extrempunkt
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