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Pflichtaufgabe 3 - Stochastik

Aufgaben
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Von den in einer Glasmanufaktur gergestellten Schalen weisen erfahrungsgemäß $10\,\%$ Lufteinschlüsse auf.
a)
Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Anzahl der Schalen mit Lufteinschlüssen in einer Stichprobe von $100$ Schalen.
Begründe, dass die Zufallsgröße $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann und gib den Erwartungswert an.
Ermittle die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
$A:$ In der Stichprobe befinden sich genau sieben Schalen mit Lufteinschlüssen.
$B:$ Die Anzahl der Schalen mit Lufteinschlüssen in der Stichprobe ist größer als fünf, jedoch nicht größer als neun.
$C:$ Die Anzahl der Schalen mit Lufteinschlüssen weicht in der Stichprobe um höchstens fünf vom Erwartungswert ab.
$D:$ In der Stichprobe befinden sich mindestens $80$ Schalen ohne Lufteinschlüsse.
Jemand behauptet, dass $P(E)=1-0,1^{100}$ die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass von $100$ Schalen alle Schalen keine Lufteinschlüsse haben. Beurteile diese Aussage.
#binomialverteilung#erwartungswert
Die Glasmanufaktur hat das Verfahren zur Herstellung von Schalen verändert und erhofft nun einen geringeren Anteil von Schalen mit Lufteinschlüssen.
Um einen Schätzwert für den unbekannten Anteil von Schalen mit Lufteinschlüssen zu bestimmen, wurde der Produktion eine Stichprobe von $250$ Schalen entnommen. In dieser Stichprobe wurden zehn Schalen mit Lufteinschlüssen festgestellt.
b)
Ermittle zur Vertrauenswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ ein Vertrauensintervall für den unbekannten Anteil von Schalen mit Lufteinschlüssen und formuliere eine Schlussfolgerung, ob die Glasmanufaktur von einem geringeren Anteil Schalen mit Lufteinschlüssen ausgehen kann.
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Binomialverteilung begründen
Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Schalen mit Lufteinschlüssen in einer Stichprobe von $100$ Schalen. Erfahrungsgemäß weisen $10\,\%$ aller hergestellten Schalen Lufteinschlüsse auf. Dies kann als Wahrscheinlichkeit dafür aufgefasst werden, dass eine zufällig ausgewählte Schale Lufteinschlüsse aufweist. Diese Wahrscheinlichkeit ist bei jeder Schale der Stichprobe gleich und unabhängig davon, ob die anderen Schalen Lufteinschlüsse aufweisen oder nicht. Zudem werden bei jeder Schale nur die beiden Möglichkeiten „weist Lufteinschlüsse auf“ oder „weist keine Lufteinschlüsse auf“ betrachtet. Damit handelt es sich bei jeder Schale um einen Bernoulli-Versuch mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p= 10\,\%.$ Damit handelt es sich bei der Untersuchung der Stichprobe um eine Bernoullikette, wodurch $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann.
$\blacktriangleright$  Erwartungswert angeben
$X$ wird als binomialverteil mit den Parametern $n=100$ und $p= 0,1$ angenommen. Der Erwartungswert $\mu$ ergibt sich daher zu:
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&100 \cdot 0,1 \\[5pt] &=& 10 \end{array}$
Der Erwartungswert von $X$ beträgt $\mu=10.$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=&P(X=7) \\[5pt] &=& \binom{100}{7}\cdot 0,1^7\cdot (1-0,1)^{100-7}\\[5pt] &=& \binom{100}{7}\cdot 0,1^7\cdot 0,9^{93} \\[5pt] &\approx& 0,0889 \\[5pt] &=& 8,89\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ P(A)\approx 8,89\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A,$ also dafür, dass in der Stichprobe genau $7$ Schalen mit Lufteinschlüssen gefunden werden, beträgt ca. $8,89\,\%.$
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(5 < X \leq 9) \\[5pt] &=& P(X\leq 9) - P(X\leq 5)\\[5pt] \end{array}$
$ P(B)=… $
Mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung mit $n=100$ und $p=0,1$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X\leq 9) - P(X\leq 5)\\[5pt] &\approx& 0,4513-0,0576 \\[5pt] &=& 0,3937\\[5pt] &=&39,37\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P(B)\approx 39,37\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$, also dafür, dass in der Stichprobe mehr als fünf aber höchstens neun Schalen mit Lufteinschlüssen auftreten, beträgt ca. $39,37\,\%.$
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=&P(\mu-5 \leq X \leq \mu +5) &\quad \scriptsize \mid\;\mu =10 \\[5pt] &=& P(5\leq X \leq 15)\\[5pt] &=& P(X\leq 15)- P(X< 5) \\[5pt] &=& P(X \leq 15) - P(X\leq 4)&\quad \scriptsize \mid\; \text{Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung} \\[5pt] &\approx& 0,9601- 0,0237 \\[5pt] &=& 0,9364 \\[5pt] &=& 93,64\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ P(C)\approx 93,64\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $C$, also dafür, dass die Anzahl der Schalen mit Lufteinschlüssen um höchstens fünf vom Erwartungswert $\mu =10$ abweicht, beträgt ca. $93,64\,\%.$
Damit sich in der Stichprobe mit $100$ Schalen mindestens $80$ Schalen ohne Lufteinschlüsse befinden, dürfen sich höchstens $20$ Schalen mit Lufteinschlüssen darin befinden.
$\begin{array}[t]{rll} P(D)&=&P(X\leq 20) &\quad \scriptsize \mid\; \text{Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung}\\[5pt] &\approx& 0,9992 \\[5pt] &=&99,92\,\% \end{array}$
$ P(D)\approx 99,92\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $D$, also dafür, dass sich in der Stichprobe mindestens $80$ Schalen ohne Lufteinschlüsse befinden, beträgt ca. $99,92\,\%.$
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Das Ereignis $E$ ist das Gegenereignis des Ereignisses $\overline{E},$ mit der Wahrscheinlichkeit $P(\overline{E})= 0,1^{100}.$ Dies ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle $100$ Schalen der Stichprobe Lufteinschlüsse aufweisen. $P(E)$ ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nicht alle $100$ Schalen Lufteinschlüsse aufweisen, also weniger als $100,$ aber nicht notwendigerweise gar keine. Die Aussage ist daher falsch.
b)
$\blacktriangleright$  Vertrauensintervall ermitteln
Das gesuchte Vertrauensintervall besitzt folgende Form:
$I=\left[ h- k\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}}; h + k\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}} \right]$ mit $h= \dfrac{X}{n}$
$ I= … $
In der Stichprobe mit $n=250$ Schalen wurden $X=10$ Schalen mit Lufteinschlüssen gefunden, also ist $h = \dfrac{10}{250} = 0,04.$ Die Vertrauenswahrscheinlichkeit soll $95\,\%$ betragen. Mit den $\sigma$-Regeln ergibt sich daraus $k= 1,96.$
$\begin{array}[t]{rll} I&=&\left[ h- c\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}}; h + c\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}} \right] \\[5pt] &=& \left[ 0,04- 1,96\cdot \sqrt{\dfrac{0,04\cdot (1-0,04)}{250}}; 0,04 + 1,96\cdot \sqrt{\dfrac{0,04\cdot (1-0,04)}{250}}\right] \\[5pt] &\approx& \left[0,0157;0,0643 \right] \\[5pt] \end{array}$
$ I\approx \left[0,0157;0,0643 \right] $
Zur Vertrauenswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ ergibt sich für den Anteil der Schalen mit Lufteinschlüssen bei der untersuchten Stichprobe das Vertrauensintervall $\left[0,0157;0,0643 \right].$
$\blacktriangleright$  Schlussfolgerung formulieren
Der ursprüngliche Anteil $p = 0,1$ der Schalen mit Lufteinschlüssen liegt deutlich oberhalb des Vertrauensintervalls. Es kann also bei einer Vertrauenwahrscheinlichkeit von $95\,\%$ auf Grundlage der vorliegenden Stichprobe davon ausgegangen werden, dass sich der Anteil der Schalen mit Lufteinschlüssen verringert hat.
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