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Aufgabe 3: Stochastik


In einer Großstadt wurde bei einer Erhebung der Anteil der überbelegten Haushalte an allen Haushalten erfasst. Ein Haushalt gilt als überbelegt, wenn er über zu wenige Zimmer in Bezug auf die Anzahl der im Haushalt lebenden Personen verfügt. In \(28,5 \, \%\) aller Haushalte lebt mindestens ein Kind. Von diesen Haushalten sind \(15,9 \,\%\) überbelegt. Bei den Haushalten ohne Kind beträgt der Anteil der überbelegten Haushalte \(6,5 \, \%.\)

a)

Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(3 BE)
b)

Zeige, dass etwa \(9,18 \, \%\) aller Haushalte überbelegt sind.

(2 BE)

Unter allen Haushalten der Großstadt werden \(1000\) Haushalte zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der überbelegten Haushalte in der Stichprobe und wird als binomialverteilt angenommen.

c)

Beurteile ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) nimmt für \(90\) den größtmöglichen Wert an.

(2 BE)
d)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den \(1000\) zufällig ausgewählten Haushalten höchstens \(k\) Haushalte überbelegt sind, soll mehr als \(90 \, \%\) betragen.

Ermittle den kleinstmöglichen Wert für \(k.\)

(4 BE)
e)

Zwei Jahre später kann davon ausgegangen werden, dass sich in der Großstadt sowohl der Anteil der Haushalte mit mindestens einem Kind als auch der Anteil der überbelegten Haushalte an den Haushalten ohne Kind nicht verändert hat.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion \(f\) mit \(f(x)=\frac{0,285 \cdot (0,159 - x)}{0,285 \cdot (0,159 - x) + 0,715 \cdot 0,065}\) und \(0 \leq x \leq 0,159.\)

Bestimme grafisch denjenigen Wert von \(x,\) für den \(f(x)=0,4\) gilt, und interpretiere diesen Wert von \(x\) sowie den Funktionswert von \(x\) im Sachzusammenhang.

Abbildung

(4 BE)

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