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Pflichtaufgabe 1 - An...
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Pflichtaufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit $y=f(x)=(1-x^2)\cdot(1+x)^2$, $x\in\mathbb{R}$. Ihr Graph sei $G$.
a)
Ermittle die Nullstellen der Funktion $f$ und untersuche das Verhalten der Funktion $f$ für $x\rightarrow\pm\infty$.
Der Graph $G$ besitzt genau einen lokalen Extrempunkt und genau zwei Wendepunkte. Weise nach, dass der Punkt $P\left(\dfrac{1}{2}\;|\;f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)$ dieser lokale Extrempunkt ist und bestimme die Art des Extremums.
[zur Kontrolle: $f'(x)=-4x^3-6x^2+2$]

Berechne die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen $G$.
Zeichne den Graphen $G$ im Intervall $-2\leq{x}\leq1,5$.
Der Graph $G$ schließt mit der $x$-Achse eine Fläche vollständig ein.
Ermittle mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche.
#integral#wendepunkt#nullstelle#extrempunkt#graph
b)
Pflichtaufgabe 1 - Analysis
Abb. 1 Abbildung (nicht maßstäblich)
Pflichtaufgabe 1 - Analysis
Abb. 1Abbildung (nicht maßstäblich)
Zeige, dass $A(x)=\sqrt{1-x^2}\cdot(1+x)$ Gleichung einer Zielfunktion $A$ dieser Extremwertproblematik ist und gib einen zugehörigen Definitionsbereich für diese Funktion an.
Die Funktion $A$ besitzt genau eine lokale Extremstelle und zwar die Maximumstelle $x_E=\dfrac{1}{2}$.
Ermittle die Höhe $h$ der Rinne mit maximaler Querschnittsfläche.
#definitionsbereich#trapez
c)
Für alle Funktionen $z$ mit $z(x)=[g(x)]^2$, wobei $g$ eine differenzierbare Funktion ist, gilt nach der Kettenregel $z'(x)=2\cdot{g(x)}\cdot{g'(x)}$.
Begründe, dass folgende Aussage falsch ist:
Jede lokale Extremstelle von $z$ ist auch lokale Extremstelle von $g$.
#kettenregel#extrempunkt
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$  Nullstellen der Funktion f berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Nullstellen der Funktion $f(x)=(1-x^2)\cdot (1+x)^2$ berechnen. Gesucht sind also die $x$-Werte, für die gilt: $f(x)=0$. Dazu kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden.
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Löse also die beiden Gleichungen $1-x^2=0$ und $1+x=0$ nach $x$ auf.
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktion $\boldsymbol{f}$ für $\boldsymbol{x\longrightarrow \pm \infty}$
Um das Verhalten der Funktion $f$ für $x\longrightarrow \infty$ zu bestimmen, ist es am einfachsten, wenn du als erstes die Klammern ausmultiplizierst.
Bei dem Term innerhalb der Klammer handelt es sich um den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vierten Grades. Eine ganzrationale Funktion vierten Grades strebt gegen $\infty$ wenn $x \longrightarrow \infty$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten und Art der Extrema berechnen
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Wendepunkte berechnen
Der Graph der Funktion $f$ hat an der Stelle $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
$f''(x_0)=0$ und $f'''(x_0)\neq 0$
$f''(x_0)=0$ und $f'''(x_0)\neq 0$
Berechne dazu als erstes die Nullstellen der zweiten Ableitung der Funktion $f$ und überprüfe anschließend mit der dritten Ableitung, ob es sich um Wendepunkte handelt. In der vorherigen Aufgabe hast du schon berechnet, dass $f''(-1)=0$ ist. An dieser Stelle könnte somit der Graph der Funktion einen Wendepunkt haben.
$\blacktriangleright$  Graph $\boldsymbol{G}$ zeichnen
Zeichne die in den Aufgaben bestimmten Punkte in ein Koordinatensystem und skizziere mit deren Hilfe den Graphen $G$.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
In dieser Aufgabe sollst du den Flächeninhalt der Fläche berechnen, die durch den Graphen $G$ und die $x$-Achse begrenzt wird. Die Grenzen des Intervalls sind somit die Nullstellen des Graphen $G$. Bilde dazu als erstes eine Stammfunktion der Funktion $f$ und berechne anschließend den Flächeninhalt.
Beide Nullstellen hast du bereits berechnet: $x_1 = -1$ und $x_2 =1$.
b)
$\blacktriangleright$  Zielfunktion der Extremwertfunktion bestimmen
In dieser Aufgabe ist die Querschnittsfläche eines Trapezes gegeben und diese soll maximal werden. Stelle also eine Funktion für den Flächeninhalt des Trapezes in Abhängigkeit von $x$ auf. Die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet:
$A_{\text{Trapez}}=\frac{1}{2}(a+c)h $
$A_{\text{Trapez}}=\frac{1}{2}(a+c)h $
In dieser Aufgabe sind:
$a=1+2x$
$c=1$
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich der Zielfunktion bestimmen
Da unter einem Wurzelzeichen keine negativen Zahlen stehen dürfen, muss $1-x^2\geq0$ sein. Da $x$ quadriert wird folgt daraus, dass $|x|\leq|1|$ sein muss.
$\blacktriangleright$  Höhe der Rinne ermitteln
In einer vorherigen Aufgabe hast du berechnet, dass die Höhe der Rinne $h=\sqrt{1-x^2} $ ist. Um nun die maximale Höhe auszurechnen, setzt du für $x_E=\frac{1}{2}$ in die Gleichung ein, denn aus der Aufgabenstellung weißt du, dass der Graph der Funktion $A$ an dieser Stelle ein Maximum hat.
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a)
$\blacktriangleright$  Nullstellen der Funktion f berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Nullstellen der Funktion $f(x)=(1-x^2)\cdot (1+x)^2$ berechnen. Gesucht sind also die $x$-Werte, für die gilt: $f(x)=0$. Dazu kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden.
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Löse also die beiden Gleichungen $1-x^2=0$ und $1+x=0$ nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 1-x^2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +x^2 \\[5pt] 1&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt \; \\[5pt] x_{1,2}&=& \pm 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 1+x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] x_3&=&-1 \end{array}$
Der Graph der Funktion $f$ hat bei $x_1= -1$ und $x_2 =1$ jeweils eine Nullstelle.
$\blacktriangleright$  Verhalten der Funktion $\boldsymbol{f}$ für $\boldsymbol{x\longrightarrow \pm \infty}$
Um das Verhalten der Funktion $f$ für $x\longrightarrow \infty$ zu bestimmen, ist es am einfachsten, wenn du als erstes die Klammern ausmultiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& (1-x^2)\cdot (1+x)^2 \\[5pt] &=&(1-x^2)\cdot (1+2x+x^2) \\[5pt] &=& 1+2x+x^2-x^2-2x^3-x^4 \\[5pt] &=& -x^4-2x^3+2x+1 &\quad \scriptsize (-1)\;\text{ausklammern} \\[5pt] &=& -(x^4+2x^3-2x-1) \end{array}$
f(x) = -(x^4+2x^3-2x-1) $
Bei dem Term innerhalb der Klammer handelt es sich um den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vierten Grades. Eine ganzrationale Funktion vierten Grades strebt gegen $\infty$ wenn $x \longrightarrow \infty$. Da die Klammer aber ein negatives Vorzeichen hat, bedeutet das, dass $\;f\longrightarrow -\infty$ für $x\longrightarrow \infty$. Da es sich um eine ganzrationale Funktion vierten Grades handelt, ist das Verhalten für $x\longrightarrow \infty$ und $x\longrightarrow -\infty$ gleich, also gilt auch $\;f\longrightarrow -\infty$ für $\;f\longrightarrow -\infty$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten und Art der Extrema berechnen
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -x^4-2x^3+2x+1 \\[10pt] f'(x)&=& -4x^3- 3\cdot 2x^2 +2 \\[5pt] &=& -4x^3-6x^2 +2 \\[10pt] f''(x)&=&- 3\cdot 4x^2-2\cdot6x \\[5pt] &=&-12x^2 -12x \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&0 \\[5pt] -4x^3-6x^2 +2 &=&0 \\[5pt] \end{array}$
Um die Nullestellen zu berechnen, musst du als erstes eine Nullstelle durch Probieren bestimmen und dann mit der Polynomdivision auf die anderen Nullstellen schließen. Eine Nullstelle befindet sich an der Stelle $x_1=-1$. Teile somit den Funktionsterm durch $(x+1)$.
$\begin{array}[t]{rll} (-4x^3&-&6x^2&+& 2)& : & (x+1)&=&-4x^2 & -& 2x & + & 2 \\[5pt] -(-4x^3& - & 4x^2) \\[5pt] & - & 2x^2 & + & 2 \\[5pt] & -(-& 2x^2&-&2)x \\[5pt] & & & &2x&+&2 \\[5pt] & & & -&(2x &+& 2) \\[5pt] & & & & &&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &=&-4x^2 & -& 2x & + & 2 \\[5pt] \end{array}$
Du kannst nun mit der $p-q$- Formel die beiden weiteren Nullstellen berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=&-4x^2-2x+2\\[5pt] 0&=&x^2+\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\\[5pt] x_{2,3}&=&- \dfrac{\frac{1}{2}}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{\frac{1}{2}}{2}} \right)^2 + \frac{1}{2}} \\[5pt] &=& -\frac{1}{4} \pm \sqrt {{\frac{1}{16}} + \frac{8}{16}} \\[5pt] &=& -\frac{1}{4} \pm \frac{3}{4} \end{array}$
$ x_{2,3} = -\frac{1}{4} \pm \frac{3}{4} $
Zwei weitere Stellen, an denen Extrempunkte sein könnten sind $x_2=-1$ und $x_3=\frac{1}{2}$.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(-1)&=&-12\cdot (-1)^2 -12\cdot (-1) \\[5pt] &=& -12 +12 = 0 \end{array}$
$ f''(-1) = 0 $
$\begin{array}[t]{rll} f''\left(\frac{1}{2}\right)&=&-12\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 -12\cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& -12\cdot \frac{1}{4}-6 \\[5pt] &=& -3 -6 = -9 \end{array}$
$ f''\left(\frac{1}{2}\right)= -9 $
Der Graph der Funktion $f$ hat an der Stelle $x=\frac{1}{2}$ einen Extrempunkt. Da $f''\left(\frac{1}{2}\right)=-9 > 0$ handelt es sich um einen Hochpunkt.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f\left(\frac{1}{2}\right)&=&\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)\cdot \left(1+\frac{1}{2}\right)^2 \\[5pt] &=&\frac{3}{4}\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 \\[5pt] &=&\frac{3}{4}\cdot \frac{9}{4} = \frac{27}{16} \end{array}$
$ f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{27}{16} $
Der Graph der Funktion $f$ hat einen Hochpunkt im Punkt $H\left(\frac{1}{2}\;\,\bigg \vert \,\;\frac{27}{16}\right)$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Wendepunkte berechnen
Der Graph der Funktion $f$ hat an der Stelle $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
$f''(x_0)=0$ und $f'''(x_0)\neq 0$
$f''(x_0)=0$ und $f'''(x_0)\neq 0$
Berechne dazu als erstes die Nullstellen der zweiten Ableitung der Funktion $f$ und überprüfe anschließend mit der dritten Ableitung, ob es sich um Wendepunkte handelt. In der vorherigen Aufgabe hast du schon berechnet, dass $f''(-1)=0$ ist. An dieser Stelle könnte somit der Graph der Funktion einen Wendepunkt haben.
1. Schritt: Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&-12x^2-12x \\[5pt] 0&=&x\;(-12x - 12) &\quad \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=&-1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&-12x^2-12x \\[5pt] x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=&-1 \end{array}$
An den Stellen $x_! =0$ und $x_2=-1$ könnte der Graph der Funktion einen Wendepunkt haben.
2. Schritt: Überprüfen, ob ein Wendepunkt vorliegt
$f'''(x)= -24x -12 $
$f'''(0)= -24\cdot 0 - 12 = -12$
$f'''(-1)= -24(-1) -12 = 24-12= 12$
$f'''(-1)= 12$
3. Schritt: Funktionswerte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&(1-0^2)\cdot (1+0)^2 \\[5pt] &=&1 \\[10pt] f(-1)&=&(1-(-1)^2)\cdot (1+(-1))^2 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Der Graph der Funktion $f$ hat in den Punkten $W1(0\;|\; 1)$ und $W2(-1\;|\;0)$ jeweils einen Wendepunkt.
$\blacktriangleright$  Graph $\boldsymbol{G}$ zeichnen
Zeichne die in den Aufgaben bestimmten Punkte in ein Koordinatensystem und skizziere mit deren Hilfe den Graphen $G$.
Pflichtaufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Skizze des Graphen $G$
Pflichtaufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Skizze des Graphen $G$
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
In dieser Aufgabe sollst du den Flächeninhalt der Fläche berechnen, die durch den Graphen $G$ und die $x$-Achse begrenzt wird. Die Grenzen des Intervalls sind somit die Nullstellen des Graphen $G$. Bilde dazu als erstes eine Stammfunktion der Funktion $f$ und berechne anschließend den Flächeninhalt.
Beide Nullstellen hast du bereits berechnet: $x_1 = -1$ und $x_2 =1$.
1. Schritt: Stammfunktion bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&(1-x^2)\cdot(1+x)^2 \\[5pt] &=&(1-x^2)\cdot(1+2x+x^2)\\[5pt] &=&1-x^2+2x-2x^3+x^2-x^4 \\[5pt] &=&-x^4-2x^3+2x+1 \end{array}$
$F(x)=-\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{4}x^4+\frac{2}{2}x^2+x = -\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{2}x^4+x^2+x $
$F(x) = -\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{2}x^4+x^2+x $
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \; \mathrm dx&=& \left[-\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{2}x^4+x^2+x \right]_{-1}^{1} \\[5pt] &=&\left(-\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+1+1 \right) -\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+1-1 \right) \\[5pt] &=&-\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+2-\frac{1}{5}+\frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{8}{5}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-1}^{1}\; f(x) \mathrm dx&=& \frac{8}{5}\\[5pt] \end{array}$
Die Fläche, die durch den Graphen der Funktion $f$ und die $x$-Achse eingeschränkt wird, besitzt einen Flächeninhalt von $\frac{8}{5}\,\text{[FE]}$.
#satzvomnullprodukt
b)
$\blacktriangleright$  Zielfunktion der Extremwertfunktion bestimmen
In dieser Aufgabe ist die Querschnittsfläche eines Trapezes gegeben und diese soll maximal werden. Stelle also eine Funktion für den Flächeninhalt des Trapezes in Abhängigkeit von $x$ auf. Die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet:
$A_{\text{Trapez}}=\frac{1}{2}(a+c)h $
$A_{\text{Trapez}}=\frac{1}{2}(a+c)h $
In dieser Aufgabe sind:
$a=1+2x$
$c=1$
Wenn du $a$ und $c$ jetzt in die Gleichung einsetzt erhältst du:
$A_{Trapez}=\frac{1}{2}(1+2x+1)h $$= (1+x)h$
Um $h$ in Abhängigkeit von $x$ darzustellen, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden. Löse die Gleichung nach $h$ auf und setze sie in die Formel für den Flächeninhalt ein.
$\begin{array}[t]{rll} 1^2&=&h^2+x^2 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \mid\;-h^2 \\[5pt] -h^2&=&x^2-1 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \mid\;\sqrt\; \\[5pt] h&=&\sqrt{1-x^2} \end{array}$
$ h = \sqrt{1-x^2} $
$\begin{array}[t]{rll} A(x)&=&(1+x)\sqrt{1-x^2} \end{array}$
Somit hast du gezeigt, dass $A(x)=(1+x)\sqrt{1-x^2}$ die Zielfunktion des Extremwertproblems ist.
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich der Zielfunktion bestimmen
Da unter einem Wurzelzeichen keine negativen Zahlen stehen dürfen, muss $1-x^2\geq0$ sein. Da $x$ quadriert wird folgt daraus, dass $|x|\leq|1|$ sein muss.
Der Definitionsbereich ist somit $D=\{x\in \mathbb{R} \setminus \{|x|\leq|1|\}\}$
$\blacktriangleright$  Höhe der Rinne ermitteln
In einer vorherigen Aufgabe hast du berechnet, dass die Höhe der Rinne $h=\sqrt{1-x^2} $ ist. Um nun die maximale Höhe auszurechnen, setzt du für $x_E=\frac{1}{2}$ in die Gleichung ein, denn aus der Aufgabenstellung weißt du, dass der Graph der Funktion $A$ an dieser Stelle ein Maximum hat.
$\begin{array}[t]{rll} h&=&\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{1-\frac{1}{4}} \\[5pt] &=&\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$
Die Höhe der maximalen Querschnittsfläche ist $h=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
c)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
In dieser Aufgabe sollst du die Aussage beurteilen, dass jede lokale Extremstelle der Funktion $z$ auch lokale Extremstelle der Funktion $g$ ist, wobei gilt $z(x)=[g(x)]^2$.
Diese Aussage kannst du widerlegen, indem du eine Funktion findest, auf die die Aussage nicht zutrifft.
Eine mögliche Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Die Funktionsgleichung $z$ lautet dann: $z(x)=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1$.
Jetzt kannst du die beiden Funktionen ableiten und berechnen, ob die Ableitungen die gleichen Nullstellen haben.
$g'(x)= 2x$
$z'(x)= 4x^3-4x$
Das Schaubild der Ableitung der Funktion $g$ hat nur eine Nullstelle, nämlich bei $x_1=0$. Das Schaubild der Ableitung der Funktion $z$ hat aber mindestens zwei Nullstellen, welche du direkt ablesen kannst. Die erste ist an der Stelle $x_1=0$ und die zweite an der Stelle $x_2=1$.
Somit hat die Funktion $z$ mindestens eine Extremstelle mehr als die Funktion $g$ und du hast gezeigt, dass die Aussage nicht gilt.
Bildnachweise [nach oben]
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