Pflichtaufgabe 1 - Analysis

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $y=f(x)=(1-x^2)\cdot(1+x)^2$ , $x\in\mathbb{R}$ . Ihr Graph sei $G$ .

Ermittle die Nullstellen der Funktion $f$ und untersuche das Verhalten der Funktion $f$ für $x\rightarrow\pm\infty$ .
Der Graph $G$ besitzt genau einen lokalen Extrempunkt und genau zwei Wendepunkte. Weise nach, dass der Punkt $P\left(\dfrac{1}{2}\;|\;f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)$ dieser lokale Extrempunkt ist und bestimme die Art des Extremums.

[zur Kontrolle: $\(f$ ]

Berechne die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen $G$ .
Zeichne den Graphen $G$ im Intervall $-2\leq{x}\leq1,5$ .
Der Graph $G$ schließt mit der $x$ -Achse eine Fläche vollständig ein.
Ermittle mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche.

Die Abbildung zeigt den Querschnitt einer Rinne, die aus drei Brettern der gleichen Breite $b=1$ gebildet werden soll.
Die Querschnittsfläche dieser Rinne hat die Form eines Trapezes und soll maximal werden.

Grafik eines trapezförmigen Körpers mit den Maßen b, h und x.

Abb. 1Abbildung (nicht maßstäblich)

Zeige, dass $A(x)=\sqrt{1-x^2}\cdot(1+x)$ Gleichung einer Zielfunktion $A$ dieser Extremwertproblematik ist und gib einen zugehörigen Definitionsbereich für diese Funktion an.
Die Funktion $A$ besitzt genau eine lokale Extremstelle und zwar die Maximumstelle $x_E=\dfrac{1}{2}$ .
Ermittle die Höhe $h$ der Rinne mit maximaler Querschnittsfläche.

Für alle Funktionen $z$ mit $z(x)=[g(x)]^2$ , wobei $g$ eine differenzierbare Funktion ist, gilt nach der Kettenregel $\(z$ .
Begründe, dass folgende Aussage falsch ist:
Jede lokale Extremstelle von $z$ ist auch lokale Extremstelle von $g$ .

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$\blacktriangleright$ Nullstellen der Funktion f berechnen

In dieser Aufgabe sollst du die Nullstellen der Funktion $f(x)=(1-x^2)\cdot (1+x)^2$ berechnen. Gesucht sind also die $x$ -Werte, für die gilt: $f(x)=0$ . Dazu kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden.

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Löse also die beiden Gleichungen $1-x^2=0$ und $1+x=0$ nach $x$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} 1-x^2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +x^2 \\[5pt] 1&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt \; \\[5pt] x_{1,2}&=& \pm 1 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} 1+x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] x_3&=&-1 \end{array}$

Der Graph der Funktion $f$ hat bei $x_1= -1$ und $x_2 =1$ jeweils eine Nullstelle.

$\blacktriangleright$ Verhalten der Funktion $\boldsymbol{f}$ für $\boldsymbol{x\longrightarrow \pm \infty}$

Um das Verhalten der Funktion $f$ für $x\longrightarrow \infty$ zu bestimmen, ist es am einfachsten, wenn du als erstes die Klammern ausmultiplizierst.

$f(x) = -(x^4+2x^3-2x-1)$

Vollständige Lösung anzeigen

Bei dem Term innerhalb der Klammer handelt es sich um den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vierten Grades. Eine ganzrationale Funktion vierten Grades strebt gegen $\infty$ wenn $x \longrightarrow \infty$ . Da die Klammer aber ein negatives Vorzeichen hat, bedeutet das, dass $\;f\longrightarrow -\infty$ für $x\longrightarrow \infty$ . Da es sich um eine ganzrationale Funktion vierten Grades handelt, ist das Verhalten für $x\longrightarrow \infty$ und $x\longrightarrow -\infty$ gleich, also gilt auch $\;f\longrightarrow -\infty$ für $\;f\longrightarrow -\infty$ .

$\blacktriangleright$ Koordinaten und Art der Extrema berechnen

Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:

Notwendiges Kriterium: $\, f‘(x_E)=0$
Hinreichendes Kriterium:
- Ist $f‘‘(x_E)\gt 0$ , handelt es sich um eine Minimalstelle.
- Ist $f‘‘(x_E)\lt 0$ , handelt es sich um eine Maximalstelle.

Du kannst also wie folgt vorgehen:

Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f‘$ und $f‘‘$ .
Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f‘(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f‘‘(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -x^4-2x^3+2x+1 \\[10pt] f‘(x)&=& -4x^3- 3\cdot 2x^2 +2 \\[5pt] &=& -4x^3-6x^2 +2 \\[10pt] f‘‘(x)&=&- 3\cdot 4x^2-2\cdot6x \\[5pt] &=&-12x^2 -12x \end{array}$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Durch Gleichsetzen von $f‘(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=&0 \\[5pt] -4x^3-6x^2 +2 &=&0 \\[5pt] \end{array}$

Um die Nullestellen zu berechnen, musst du als erstes eine Nullstelle durch Probieren bestimmen und dann mit der Polynomdivision auf die anderen Nullstellen schließen. Eine Nullstelle befindet sich an der Stelle $x_1=-1$ . Teile somit den Funktionsterm durch $(x+1)$ .

$\begin{array}[t]{rll} &=&-4x^2 & -& 2x & + & 2 \\[5pt] \end{array}$

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Du kannst nun mit der $p-q$ - Formel die beiden weiteren Nullstellen berechnen.

$x_{2,3} = -\frac{1}{4} \pm \frac{3}{4}$

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Zwei weitere Stellen, an denen Extrempunkte sein könnten sind $x_2=-1$ und $x_3=\frac{1}{2}$ .

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$f‘‘(-1) = 0$

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$f‘‘\left(\frac{1}{2}\right)= -9$

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Der Graph der Funktion $f$ hat an der Stelle $x=\frac{1}{2}$ einen Extrempunkt. Da $f‘‘\left(\frac{1}{2}\right)=-9 \gt 0$ handelt es sich um einen Hochpunkt.

4. Schritt: Funktionswerte berechnen

$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{27}{16}$

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Der Graph der Funktion $f$ hat einen Hochpunkt im Punkt $H\left(\frac{1}{2}\;\,\bigg \vert \,\;\frac{27}{16}\right)$ .

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Wendepunkte berechnen

Der Graph der Funktion $f$ hat an der Stelle $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:

$f‘‘(x_0)=0$ und $f‘‘‘(x_0)\neq 0$

Berechne dazu als erstes die Nullstellen der zweiten Ableitung der Funktion $f$ und überprüfe anschließend mit der dritten Ableitung, ob es sich um Wendepunkte handelt. In der vorherigen Aufgabe hast du schon berechnet, dass $f‘‘(-1)=0$ ist. An dieser Stelle könnte somit der Graph der Funktion einen Wendepunkt haben.

1. Schritt: Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&-12x^2-12x \\[5pt] x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=&-1 \end{array}$

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An den Stellen $x_! =0$ und $x_2=-1$ könnte der Graph der Funktion einen Wendepunkt haben.

2. Schritt: Überprüfen, ob ein Wendepunkt vorliegt

$f‘‘‘(x)= -24x -12$

$f‘‘‘(0)= -24\cdot 0 - 12 = -12$

$f‘‘‘(-1)= 12$

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3. Schritt: Funktionswerte berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&(1-0^2)\cdot (1+0)^2 \\[5pt] &=&1 \\[10pt] f(-1)&=&(1-(-1)^2)\cdot (1+(-1))^2 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Der Graph der Funktion $f$ hat in den Punkten $W1(0\;|\; 1)$ und $W2(-1\;|\;0)$ jeweils einen Wendepunkt.

$\blacktriangleright$ Graph $\boldsymbol{G}$ zeichnen

Zeichne die in den Aufgaben bestimmten Punkte in ein Koordinatensystem und skizziere mit deren Hilfe den Graphen $G$ .

Graph mit einer grünen Kurve und blauen Punkten, die verschiedene Punkte markieren. Hintergrund in Schwarz mit Gitternetz.

Abb. 1: Skizze des Graphen $G$

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

In dieser Aufgabe sollst du den Flächeninhalt der Fläche berechnen, die durch den Graphen $G$ und die $x$ -Achse begrenzt wird. Die Grenzen des Intervalls sind somit die Nullstellen des Graphen $G$ . Bilde dazu als erstes eine Stammfunktion der Funktion $f$ und berechne anschließend den Flächeninhalt.

Beide Nullstellen hast du bereits berechnet: $x_1 = -1$ und $x_2 =1$ .

1. Schritt: Stammfunktion bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&(1-x^2)\cdot(1+x)^2 \\[5pt] &=&(1-x^2)\cdot(1+2x+x^2)\\[5pt] &=&1-x^2+2x-2x^3+x^2-x^4 \\[5pt] &=&-x^4-2x^3+2x+1 \end{array}$

$F(x) = -\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{2}x^4+x^2+x$

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2. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-1}^{1}\; f(x) \mathrm dx&=& \frac{8}{5}\\[5pt] \end{array}$

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Die Fläche, die durch den Graphen der Funktion $f$ und die $x$ -Achse eingeschränkt wird, besitzt einen Flächeninhalt von $\frac{8}{5}\,\text{[FE]}$ .

$\blacktriangleright$ Zielfunktion der Extremwertfunktion bestimmen

In dieser Aufgabe ist die Querschnittsfläche eines Trapezes gegeben und diese soll maximal werden. Stelle also eine Funktion für den Flächeninhalt des Trapezes in Abhängigkeit von $x$ auf. Die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet:

$A_{\text{Trapez}}=\frac{1}{2}(a+c)h$

In dieser Aufgabe sind:

$a=1+2x$

$c=1$

Wenn du $a$ und $c$ jetzt in die Gleichung einsetzt erhältst du:

$A_{Trapez}=\frac{1}{2}(1+2x+1)h$ $= (1+x)h$

Um $h$ in Abhängigkeit von $x$ darzustellen, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden. Löse die Gleichung nach $h$ auf und setze sie in die Formel für den Flächeninhalt ein.

$h = \sqrt{1-x^2}$

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$\begin{array}[t]{rll} A(x)&=&(1+x)\sqrt{1-x^2} \end{array}$

Somit hast du gezeigt, dass $A(x)=(1+x)\sqrt{1-x^2}$ die Zielfunktion des Extremwertproblems ist.

$\blacktriangleright$ Definitionsbereich der Zielfunktion bestimmen

Da unter einem Wurzelzeichen keine negativen Zahlen stehen dürfen, muss $1-x^2\geq0$ sein. Da $x$ quadriert wird folgt daraus, dass $|x|\leq|1|$ sein muss.

Der Definitionsbereich ist somit $D=\{x\in \mathbb{R} \setminus \{|x|\leq|1|\}\}$

$\blacktriangleright$ Höhe der Rinne ermitteln

In einer vorherigen Aufgabe hast du berechnet, dass die Höhe der Rinne $h=\sqrt{1-x^2}$ ist. Um nun die maximale Höhe auszurechnen, setzt du für $x_E=\frac{1}{2}$ in die Gleichung ein, denn aus der Aufgabenstellung weißt du, dass der Graph der Funktion $A$ an dieser Stelle ein Maximum hat.

$\begin{array}[t]{rll} h&=&\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{1-\frac{1}{4}} \\[5pt] &=&\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

Die Höhe der maximalen Querschnittsfläche ist $h=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\blacktriangleright$ Aussage beurteilen

In dieser Aufgabe sollst du die Aussage beurteilen, dass jede lokale Extremstelle der Funktion $z$ auch lokale Extremstelle der Funktion $g$ ist, wobei gilt $z(x)=[g(x)]^2$ .

Diese Aussage kannst du widerlegen, indem du eine Funktion findest, auf die die Aussage nicht zutrifft.

Eine mögliche Funktion ist $g(x)=x^2-1$ . Die Funktionsgleichung $z$ lautet dann: $z(x)=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1$ .

Jetzt kannst du die beiden Funktionen ableiten und berechnen, ob die Ableitungen die gleichen Nullstellen haben.

$g‘(x)= 2x$

$z‘(x)= 4x^3-4x$

Das Schaubild der Ableitung der Funktion $g$ hat nur eine Nullstelle, nämlich bei $x_1=0$ . Das Schaubild der Ableitung der Funktion $z$ hat aber mindestens zwei Nullstellen, welche du direkt ablesen kannst. Die erste ist an der Stelle $x_1=0$ und die zweite an der Stelle $x_2=1$ .

Somit hat die Funktion $z$ mindestens eine Extremstelle mehr als die Funktion $g$ und du hast gezeigt, dass die Aussage nicht gilt.

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