Lerninhalte in Mathe
Abi-Aufgaben gA
Digitales Schulbuch
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Pflichtaufgabe 1 - Analysis

Gegeben ist die Funktion \(f\) durch \(f(x)=x^3-6x^2+9x\) mit \(x\in\mathbb{R}.\)
a)
Gib das Verhalten von \(f\) für \(x\to -\infty\) und \(x\to +\infty\) an.
Berechne die Nullstellen von \(f.\)
Begründe, dass der Graph von \(f\) weder zum Koordinatenursprung noch zur \(y\)-Achse symmetrisch ist.
Ermittle eine Gleichung der Stammfunktion \(F\) von \(f,\) deren Graph durch den Punkt \(P(3\mid 6)\) verläuft und zeige, dass der Graph dieser Stammfunktion im Punkt \(P\) eine waagerechte Tangente besitzt.
b)
Die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(g\) mit \(g(x)=f(x)-2\) besitzt genau drei Nullstellen \(x_1,\) \(x_2\) und \(x_3,\) wobei \(x_1 \lt  x_2 \lt  x_3\) und \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_3}g(x)\;\mathrm dx =0\) gelten.
Schlussfolgere unter Verwendung der Gleichung \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_3}g(x)\;\mathrm dx =0\) auf zwei weitere Eigenschaften der Funktion \(g\) bzw. ihres Graphen.
Für jedes \(k\in \mathbb{R},\) \(k\gt  0,\) ist eine Funktion durch \(f_k(x)= k^2x^3-6kx^2+9x\) mit \(x\in \mathbb{R}\) gegeben. Der Graph von \(f_k\) wird mit \(G_k\) bezeichnet.
c)
Jeder Graph \(G_k\) besitzt genau zwei lokale Extrempunkte.
Weise nach, dass \(x=\frac{1}{k}\) und \(x = \frac{3}{k}\) die lokalen Extremstellen von \(f_k\) sind und ermittle die Art der lokalen Extrema sowie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen \(G_k.\)
Für jeden Wert von \(k\) wird die Gerade durch die lokalen Extrempunkte von \(G_k\) betrachtet. Zeige, dass diese Geraden für unterschiedliche Werte von \(k\) parallel zueinander sind.
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