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Pflichtaufgabe 3 - Stochastik

Aufgaben
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Die Feststellung des Geschlechts eines Säuglings werde als Zufallsversuch angesehen.
Aufgrund langjähriger Beobachtungen in einer Region wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Knaben $0,5$ beträgt.
a)
Begründe, dass man diesen Zufallsversuch als BERNOULLI-Versuch ansehen kann.
#zufallsexperiment#bernoullikette
b)
Die Zufallsgrößen $X_n$ beschreiben jeweils die Anzahl von Knabengeburten in einer Stichprobe von $n$ Geburten und werden als binomialverteilt angesehen ($X_n\sim{B_{n, 0,5}}$).

Ermittle die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
    $A$: Von $100$ Geborenen sind höchstens $50$ Knaben.
    $B$: Von $80$ Geborenen sind genau $45$ Knaben.
Berechne unter Verwendung der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $1000$ Geburten höchstens $475$ Knabengeburten sind.
#binomialverteilung#standardnormalverteilung
c)
Aus einer aktuellen statistischen Erhebung wird die Vermutung abgeleitet, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Knabengeburt größer als $50\%$ ist. Dieser Vermutung soll unter $100$ Geburten in einem Signifikanztest mit der Nullhypothese $H_0: p=0,5$ und der Gegenhypothese $H_1: p>0,5$ auf dem Signifikanzniveau von $\alpha=1\%$ überprüft werden.
Ermittle den größtmöglichen Ablehnungsbereich $\overline{A}$ der Nullhypothese.

In der Überprüfung wurden unter $100$ Geburten $62$ Knabengeburten registriert.
Beurteile folgende Schlussfolgerung:
Da $62\notin\overline{A}$, trifft man die Entscheidung, weiterhin eine Wahrscheinlichkeit von $50\%$ für eine Knabengeburt anzunehmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Entscheidung irrtümlich getroffen wird, beträgt nicht mehr als $1\%$.
#hypothesentest
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$  Art des Zufallsversuchs begründen
Du sollst begründen, dass der Zufallsversuch über die Geburt eines Knaben als Bernoulli-Versuch behandelt werden kann. Bei einem Bernoulli-Versuch gibt es nur zwei mögliche Ausgänge mit konstant bleibenden Wahrscheinlichkeiten. Überprüfe also, ob diese Eigenschaften auf den Zufallsversuch zutreffen.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit zu zwei Ereignissen berechnen
Du sollst Wahrscheinlichkeiten zu zwei Ereginissen einer binomialverteilten Zufallsvariable $X_n$ berechnen. Dazu benutzt du die Bernoulli-Formel mit $k$ Knaben aus $n$ Geburten, bei einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,5$.
$P(X=k)=B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k)=$
Ereignis $\boldsymbol{A}$: Von $\boldsymbol{100}$ Geborenen sind höchstens $\boldsymbol{50}$ Knaben
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei hundert Geburten höchstens fünfzig Knaben geboren werden. Dazu betrachtest du die Zufallsvariable $X_{100}$ und bestimmst mit der Bernoulli-Formel die Wahrscheinlichkeit.
Ereignis $\boldsymbol{B}$: Von $\boldsymbol{80}$ Geborenen sind genau $\boldsymbol{45}$ Knaben
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei $80$ Geburten genau $45$ Knaben geboren werden. Du betrachtest $X_{80}$ und verwendest erneut die Bernoulli-Formel.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass unter $1.000$ Geburten höchstens $475$ Knabengeburten sind. Hierzu betrachtest du zur Vereinfachung die Standardnormalverteilung. Um zu überprüfen, ob die Näherung der Verteilung sinnvoll ist, gibt es zwei Bedingungen:
$\begin{array}[t]{rll} 6&<& n\cdot (1-p) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &<& 1.000\cdot 0,5 \\[5pt] &<& 500 \end{array}$
Somit sind beide Bedingungen erfüllt und du kannst die Binomialverteilung mit $\mu=n\cdot p$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$ annähern.
c)
$\blacktriangleright$  Hypothesentest durchführen
Du sollst den Ablehnungsbereich $\bar{A}$ bezüglich einer Nullhypothese und einer Alternativhypothese bestimmen. Aus der Aufgabenstellung hast du diese zwei Hypothesen gegeben:
$H_1$: $p>0,5$
Da $p>p_0$ liegt ein rechtsseitiger Test vor. Der Ablehnungsbereich hat also die Form $ \overline{A} = [k,…,n]$. Du musst also die Grenze $k$ bestimmen. Nutze dazu das Signifikanzniveau $\alpha$. Dieses besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis im Ablehnungsbereich, obwohl die Nullhypothese gilt, höchstens $1\,\%$ betragen soll. Mit Hilfe dieser Aussage, kannst du eine Ungleichung aufstellen. Gesucht ist das kleinste $k$, das gerade noch so diese Ungleichung erfüllt.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art berechnen
Du sollst zur Aussage stellungnehmen, dass bei $62$ Knaben aus $100$ Geburten, die Wahrscheinlichkeit an einer falschen Nullhypothese festzuhalten kleiner als $1\%$ ist. Du berechnest hierzu die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art $\beta$, also die Nullhypothese zu bestätigen, obwohl eigentlich eine andere Wahrscheinlichkeit gilt. Für den Fehler 2. Art verwendest du die „tatsächliche“ Wahrscheinlichkeit. Diese erhältst du aus dem Quotienten der Geburten.
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a)
$\blacktriangleright$  Art des Zufallsversuchs begründen
Du sollst begründen, dass der Zufallsversuch über die Geburt eines Knaben als Bernoulli-Versuch behandelt werden kann. Bei einem Bernoulli-Versuch gibt es nur zwei mögliche Ausgänge mit konstant bleibenden Wahrscheinlichkeiten. Überprüfe also, ob diese Eigenschaften auf den Zufallsversuch zutreffen.
Aufgrund der langjährigen Studie kannst du davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit einen Knaben zu gebären konstant bei $0,5=50\%$ liegt. Ebenso gibt es nur zwei Möglichkeiten, wie das Geschlecht des Säuglings ausfallen kann. Es handelt sich entweder um einen Knaben oder um ein Mädchen. Aufgrund der stabilen Wahrscheinlichkeit und genau zwei möglichen Ereignissen handelt es sich um einen Bernoulli-Versuch.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit zu zwei Ereignissen berechnen
Du sollst Wahrscheinlichkeiten zu zwei Ereginissen einer binomialverteilten Zufallsvariable $X_n$ berechnen. Dazu benutzt du die Bernoulli-Formel mit $k$ Knaben aus $n$ Geburten, bei einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,5$:
$P(X=k)=B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k)=$
Ereignis $\boldsymbol{A}$: Von $\boldsymbol{100}$ Geborenen sind höchstens $\boldsymbol{50}$ Knaben
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei hundert Geburten höchstens fünfzig Knaben geboren werden. Dazu betrachtest du die Zufallsvariable $X_{100}$ und bestimmst mit der Bernoulli-Formel und $n=100$, $k\leq 50$ und $p=0,5$ die Wahrscheinlichkeit:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_{100}\leq 50)&=& \sum\limits_{k=0}^{50}\binom{100}{k}\cdot 0,5^k\cdot0,5^{100-k} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \sum\limits_{k=0}^{50}\binom{100}{k}\cdot0,5^{100} \\[5pt] &\approx& 0,5398 =53,98\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X_{100}\leq 50)&=& 53,98\% \end{array}$
Zur Berechnung der Summe, kannst du die Tabellen zur kumulierten Binomialverteilung aus deiner Formelsammlung verwenden.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $53,98\%$ werden höchstens $50$ Knaben bei $100$ Geburten geboren.
Ereignis $\boldsymbol{B}$: Von $\boldsymbol{80}$ Geborenen sind genau $\boldsymbol{45}$ Knaben
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei $80$ Geburten genau $45$ Knaben geboren werden. Du betrachtest $X_{80}$ und verwendest erneut die Bernoulli-Formel mit $n=80$, $k=45$ und $p=0,5$:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_{80}=45)&=& \binom{80}{45}\cdot 0,5^{80} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx & 0,0479 =4,79\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $4,79\%$ sind genau $45$ von $80$ Säuglingen männlich.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass unter $1.000$ Geburten höchstens $475$ Knabengeburten sind. Hierzu betrachtest du zur Vereinfachung die Standardnormalverteilung. Um zu überprüfen, ob die Näherung der Verteilung sinnvoll ist, gibt es zwei Bedingungen:
$\begin{array}[t]{rll} 6&<& n\cdot (1-p) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &<& 1.000\cdot 0,5 \\[5pt] &<& 500 \end{array}$
Somit sind beide Bedingungen erfüllt und du kannst die Binomialverteilung mit $\mu=n\cdot p$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$ annähern mit:
$\begin{array}[t]{rll} P(k_1\leq X\leq k_2)=B_{n,p}(k_1,k_2)&=& \sum\limits_{k=k_1}^{k_2}\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& \Phi\left(\dfrac{k_2+0,5-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\dfrac{k_1-0,5-\mu}{\sigma}\right) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(k_1\leq X\leq k_2)= … \end{array}$
Für $n=1.000$, $k_2=475$ und $p=0,5$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} P(0\leq X_{1.000}\leq 475)&\approx& \Phi\left(\dfrac{475+0,5-500}{15,81}\right)-\Phi\left(\dfrac{0-0,5-500}{15,81}\right) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx & \Phi(-1,55)-\Phi(-31,66) \\[5pt] &=& 1-\Phi(1,55)-1+\Phi(31,66) &\quad \scriptsize \mid\; \Phi(31,66)\approx 1\\[5pt] &\approx & 1-\Phi(1,55) \\[5pt] &\approx & 1-0,9394 \\[5pt] &=& 0,0606 =6,06\% \end{array}$
$P(0\leq X_{1.000}\leq 475)\approx 6,06\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $6,06\%$ werden höchstens 475 Knaben geboren.
c)
$\blacktriangleright$  Hypothesentest durchführen
Du sollst den Ablehnungsbereich $\bar{A}$ bezüglich einer Nullhypothese und einer Alternativhypothese bestimmen. Aus der Aufgabenstellung hast du diese zwei Hypothesen gegeben:
$H_1$: $p>0,5$
Da $p>p_0$ liegt ein rechtsseitiger Test vor. Der Ablehnungsbereich hat also die Form $ \overline{A} = [k,…,n]$. Du musst also die Grenze $k$ bestimmen. Nutze dazu das Signifikanzniveau $\alpha$. Dieses besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis im Ablehnungsbereich, pbwohl die Nullhypothese gilt, höchstens $1\,\%$ betragen soll. Mit Hilfe dieser Aussage, kannst du eine Ungleichung aufstellen. Gesucht ist das kleinste $k$, das gerade noch so diese Ungleichung erfüllt.
$\begin{array}[t]{rll} P(k\leq X) &\leq & 0,01 \\[5pt] \end{array}$
Mit dem Gegenereignis kannst du die Ungleichung wieder umschreiben um mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung arbeiten zu können.
$\begin{array}[t]{rll} P(k\leq X) &\leq & 0,01 \\[5pt] 1-P(X \leq k-1) &\leq & 0,01 \\[5pt] -P(X \leq k-1) &\leq & -0,99 \\[5pt] P(X \leq k-1) &\geq & 0,99 \\[5pt] \end{array}$
Du entnimmst der Tabelle, dass die Wahrscheinlichkeit für $k-1=62$ gerade noch größer oder gleich $99\%$. Für den ursprünglichen Hypothesentest erhältst du $k=63$. Werden mehr als $62$ Knaben geboren, ist davon auszugehen, dass die Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese $H_0=0,5$ nicht zutreffend ist. Für den Ablehnungsbereich gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \bar{A}&=& [ 63,\,64,\,\cdots,\,100\rbrace] \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art berechnen
Du sollst zur Aussage stellungnehmen, dass bei $62$ Knaben aus $100$ Geburten, die Wahrscheinlichkeit an einer falschen Nullhypothese festzuhalten kleiner als $1\%$ ist. Du berechnest hierzu die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art $\beta$, also die Nullhypothese zu bestätigen, obwohl eigentlich eine andere Wahrscheinlichkeit gilt. Für den Fehler 2. Art verwendest du die „tatsächliche“ Wahrscheinlichkeit. Diese erhältst du aus dem Quotienten der Geburten. Es ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} p=&=& \frac{62}{100} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 0,62 \\[5pt] 1-p&=& 0,38 \end{array}$
Für die Berechnung benötigst du als Obergrenze den größten Wert des Annahmebereichs $62$:
$\begin{array}[t]{rll} \beta&=& 1-\sum\limits_{k=0}^{62}\binom{100}{k}\cdot 0,62^k\cdot 0,38^{100-k} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] & \approx & 0,4623 =46,23\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \beta & \approx & 0,4623 =46,23\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $ 0,4623 =46,23\%$ liegt ein Fehler 2. Art vor. Die Aussage der Aufgabenstellung ist dementsprechend falsch.
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