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Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0\mid 0\mid 1),$ $B(2\mid 6\mid 1)$ und $C(-4\mid 8\mid 5)$ gegeben.
#zentraleraufgabenpool
a)
Begründe, dass die Gerade $AB$ parallel zur $xy$-Ebene verläuft.
Weise nach, dass der Punkt $M(-2\mid 4\mid 3)$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AC}$ ist und das Dreieck $ABC$ bei $B$ einen rechten Winkel hat.
Bestimme die Koordinaten des Punkts $D$, für den das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist.
#rechteck
b)
Das Rechteck $ABCD$ liegt in einer Ebene $E$. Ermittle eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.
[zur Kontrolle: $3x-y+5z-5=0$]
#koordinatenform
c)
Im Sinne eines möglichst großen Energieertrags sollte der Neigungswinkel $\phi$ der Modulfläche gegenüber der Horizontalen zwischen $30^{\circ}$ und $36^{\circ}$ liegen. Prüfe, ob diese Bedingung erfüllt ist.
#neigungswinkel
d)
Das Metallrohr lässt sich im Modell durch eine Strecke darstellen. Gib eine Gleichung dieser Strecke an.
e)
Zum betrachteten Zeitpunkt fällt das Sonnenlicht, das im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird, senkrecht auf die Fläche der Solarmodule. Diese Fläche erzeugt auf dem horizontalen Untergrund einen rechteckigen Schatten.
Begründe die folgende Aussage unter Verwendung einer geeignet beschrifteten Skizze:
„Der Flächeninhalt des Rechtecks, das den Schatten im Modell darstellt, ist größer als der Flächeninhalt des Rechtecks $ABCD$“
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Parallelität begründen
$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{2\\6\\0}$
Die $z$-Koordinate des Richtungsvektors $\overrightarrow{AB}$ der Gerade $AB$ ist null. Alle Punkte auf der Gerade besitzen also die gleiche $z$-Koordinate. Damit verläuft die Gerade parallel zur $xy$-Ebene.
$\blacktriangleright$  Mittelpunkt nachweisen
Der Ortsvektor des Mittelpunkts $M$ der Strecke zwischen den beiden Punkten $A$ und $C$ lässt sich wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OC}\right) \\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot \left( \pmatrix{0\\0\\1}+ \pmatrix{-4\\8\\5}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \pmatrix{-4\\8\\6}\\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\4\\3} \end{array}$
$ \overrightarrow{OM} = \pmatrix{-2\\4\\3} $
Damit sind die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $\overline{AC}:$ $M(-2\mid 4\mid 3)$
$\blacktriangleright$  Rechten Winkel nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{BC}&=& \pmatrix{2-0\\6-0\\1-1}\circ\pmatrix{-4-2\\8-6\\5-1} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\6\\0}\circ\pmatrix{-6\\2\\4} \\[5pt] &=& 2\cdot (-6) +6\cdot 2+0\cdot 4 \\[5pt] &=& -12+12+0 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{BC} = 0 $
Das Skalarprodukt der beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ ist Null, was bedeutet, dass die beiden Vektoren senkrecht zueinander liegen. Daher sind auch die zugehörigen Seiten des Dreiecks $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ senkrecht zueinander und bilden damit einen rechten Winkel bei $B$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Damit das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist, muss der Verbindungsvektor $\overrightarrow{AD}$ dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{BC}$ entsprechen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=& \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{AD} &\quad \scriptsize \mid\; \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} \\[5pt] &=& \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{BC} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\1}+\pmatrix{-4-2\\8-6\\5-1} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\1}+\pmatrix{-6\\2\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{-6\\2\\5} \end{array}$
$ \overrightarrow{OD} = \pmatrix{-6\\2\\5} $
Für $D(-6\mid 2\mid 5 )$ ist das Viereck $ABCD$ ein Rechteck.
#skalarprodukt
b)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_1&=& \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\6\\0} \times \pmatrix{-6\\2\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{6\cdot 4 -2\cdot 0 \\0\cdot (-6)- 2\cdot 4 \\ 2\cdot 2 - 6\cdot (-6)} \\[5pt] &=& \pmatrix{24\\-8\\40}\\[5pt] &=& 8\cdot \pmatrix{3\\-1\\5} \end{array}$
$ \overrightarrow{n}_1 = 8\cdot \pmatrix{3\\-1\\5} $
$\begin{array}[t]{rll} n_1x+n_2y+n_3z -d &=& 0 \\[5pt] 3\cdot (-6)-1\cdot 2 + 5\cdot 5-d&=& 0\\[5pt] 5-d&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +d\\[5pt] 5&=&d \end{array}$
$ 5 = d $
Eine mögliche Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform lautet $E: \;3x-y+5z -5 = 0.$
[Hinweis: Es gibt unendlich viele Möglichkeiten. Deine Lösung ist richtig, wenn die Ebenengleichung durch Multiplikation mit einem Faktor in die Musterlösung umgeformt werden kann.]
#kreuzprodukt#normalenvektor
c)
$\blacktriangleright$  Bedingung prüfen
Das Solarmodul wird im Modell durch das Viereck $ABCD$ dargestellt, das in der Ebene $E$ liegt. Die Horizontale wird durch die $xy$-Ebene beschrieben. Der betrachtete Winkel $\phi$ kann also über den Schnittwinkel von $E$ mit der $xy$-Ebene berechnet werden.
Ein Normalenvektor von $E$ ist beispielsweise $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{3\\-1\\5}$. Ein möglicher Normalenvektor der $xy$-Ebene ist $\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{0\\0\\1}.$
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\phi)&=&\dfrac{\left| \pmatrix{3\\-1\\5}\circ \pmatrix{0\\0\\1} \right|}{\left|\pmatrix{3\\-1\\5} \right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|} \\[5pt] \cos(\phi)&=&\dfrac{5}{\sqrt{3^2+(-1)^2+ 5^2}\cdot 1} \\[5pt] \cos(\phi)&=& \dfrac{5}{\sqrt{35}}&\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \phi&\approx& 32,31^{\circ} \end{array}$
$ \phi\approx 32,31^{\circ} $
Das Solarmodul ist gegenüber der Horizontalen um ca. $32,31^{\circ}$ geneigt. Die Bedingung ist daher erfüllt.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Strecke angeben
Im Modell wird einer der Endpunkte des Metallrohrs durch den Punkt $M$ dargestellt. Der Untergrund, auf dem das Metallrohr vertikal steht, wird durch die $xy$-Ebene beschrieben. Die gesuchte Strecke, die das Metallrohr beschreiben soll, liegt daher auf der Geraden $g$, die senkrecht zur $xy$-Ebene und durch den Punkt $M$ verläuft.
Der zweite Endpunkt der Strecke ist daher der Schnittpunkt $M'$ der Gerade $g$ mit der $xy$-Ebene. Da $g$ senkrecht zur $xy$-Ebene und durch den Punkt $M$ verläuft, besitzt $M'$ dieselben $x$- und $y$-Koordinaten wie $M.$ Da $M'$ in der $xy$-Ebene liegen muss, ist die $z$-Koordinaten Null:
$M'(-2\mid 4\mid 0)$
Die Strecke $\overline{MM'}$ ist dann die gesuchte Strecke. Diese liegt auf der Geraden:
$\begin{array}[t]{rll} g:\; \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OM}+s\cdot \overrightarrow{MM'}\\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\4\\3} +s\cdot \pmatrix{0\\0\\-3} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g:\; &\overrightarrow{x}\\[5pt] =& \overrightarrow{OM}+s\cdot \overrightarrow{MM'}\\[5pt] =& \pmatrix{-2\\4\\3} +s\cdot \pmatrix{0\\0\\-3} \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke, die im Modell das Metallrohr beschreibt hat folgende Gleichung:
$\overrightarrow{x} = \pmatrix{-2\\4\\3} +s\cdot \pmatrix{0\\0\\-3}$ mit $0\leq s\leq 1$
e)
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Abb. 1: Skizze
Abb. 1: Skizze
Durch die Geraden, die im Modell die Sonnenstrahlen darstellen, wird das Rechteck $ABCD$ auf die $xy$-Ebene projiziert. Die Schattenpunkte $A'$, $B'$, $C'$ und $D'$ bilden das entsprechende Rechteck in der $xy$-Ebene.
Da die Gerade $AB$ nach Aufgabenteil a) parallel zur $xy$-Ebene ist und die Geraden der Sonnenstrahlen senkrecht zum Viereck $ABCD$ verlaufen, bleibt diese Seitenlänge erhalten. Es gilt $\left|\overline{A'B'}\right|= \left| \overline{AB}\right|.$
Für die Strecke $\overline{A'D'}$ kann die obige Skizze betrachtet werden. Diese ist genauso lang wie die Strecke $\overline{AS},$ die die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks $ADS$ ist.
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, also insbesondere auch länger als die Ankathete $\overline{AD}.$
Da also eine der Seitenlängen des neuen Rechtecks $A'B'C'D'$ gleich lang ist wie im Rechteck $ABCD,$ die andere aber länger ist als die entsprechende Seite im Rechteck $ABCD$, ist auch der Flächeninhalt des Rechtecks $A'B'C'D'$ größer als der des Rechtecks $ABCD.$
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