Aufgabe 2: Analytische Geometrie
Die Abbildung zeigt die Pyramide 
Ihre Grundfläche 
ist ein Drachenviereck mit den Eckpunkten 
und 
Die Spitze der Pyramide ist der Punkt 
Berechne die Länge der kürzesten und die Länge der längsten der acht Kanten sowie das Volumen der Pyramide
Die Seitenfläche 
der Pyramide liegt in der Ebene 
Ermittle eine Gleichung von 
in Koordinatenform.
[Ergebnis zur Kontrolle: ![\(2x+y+z=6]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/92c90f4713c8bbca6addae3f52bc0557bb719e64ede5f3190a34a9a99041e47f_light.svg)
Bestimme die Größe des Winkels, den die Ebene mit der 
-Ebene einschließt.
Der Punkt 
wird nun so parallel zur 
-Achse verschoben, dass für den dadurch entstehenden Punkt 
gilt:
Das Viereck 
hat in einen rechten Innenwinkel.
Um die Koordinaten von zu bestimmen, kann folgender Ansatz verwendet werden: 
Erläutere diesen Ansatz.
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monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Längste Kantenlänge: 
Kleinste Kantenlänge: 
Das Koordinatengitter in der Abbildung zeigt, dass die Grundfläche ein Drachenviereck mit Diagonalen der Länge 
und 
ist. Der Flächeninhalt 
der Grundfläche ist somit gegeben durch:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
A&=&\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot6 \\[5pt]
&=&12\;[\text{FE}]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/802b7c1bdee89e6d25285f14bb4c0b368491156e693d11aa8ccb1286df8deb98_light.svg)
Da die Grundfläche der Pyramide in der 
-Ebene liegt, folgt aus den Koordinaten von 
dass die Pyramide eine Höhe von besitzt. Damit ergibt sich für das Volumen 
der Pyramide:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
V&=&\dfrac{1}{3}\cdot12\cdot6 \\[5pt]
&=&24\;[\text{VE}]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2e27578be8b8b6f0df6789ceef0f7c38551d18337fbf509657acda9a6b2f83bf_light.svg)
Zwei mögliche Spannvektoren der Ebene sind gegeben durch:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\overrightarrow{BC}&=&\pmatrix{0\\6\\0}-\pmatrix{2\\2\\0} \\[5pt]
&=&\pmatrix{-2\\4\\0}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0f61906492ca723b2151d939135c20c7aa1d55f9113b97d6ae1c37e21de6c2cd_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\overrightarrow{BS}&=&\pmatrix{0\\0\\6}-\pmatrix{2\\2\\0} \\[5pt]
&=&\pmatrix{-2\\-2\\6}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c56f925bdbdb675b121c6548f6c2ce6267f7b73e2b67f816929e0c2e74c89f28_light.svg)
Ein Normalenvektor der Ebene muss somit die folgenden beiden Bedingungen erfüllen:
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
Da der Normalenvektor beliebig skaliert werden kann, kann einer der drei Einträge frei gewählt werden. Mit 
liefert Gleichung 
somit z.B. direkt 
Einsetzen dieser beiden Werte in Gleichung 
ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
-2\cdot2-2\cdot1+6n_3&=&0 &\mid\;+6 \\[5pt]
6n_3&=&6 &\mid\;:6 \\[5pt]
n_3&=&1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2ffab2b7f2c0f53e0502a9b6589f9bcf0fc8bb4dd20c4dfd5b8f4e19916402b1_light.svg)
Ein möglicher Normalenvektor der Ebene ist somit durch 
gegeben und hat damit eine Gleichung der Form 
Einsetzen der Koordinaten von 
in diese Gleichung liefert direkt 
sodass insgesamt folgt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\cos(\alpha)&=&\dfrac{\pmatrix{2\\1\\1}\circ \pmatrix{0\\0\\1}}{\left| \pmatrix{2\\1\\1}
\right|\cdot \left|
\pmatrix{0\\0\\1} \right|} \\[5pt]
\cos(\alpha)&=&\dfrac{1}{\sqrt{6}} \\[5pt]
\alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right) \\[5pt]
\alpha&\approx&65,9^\circ
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b8515ee9940623ade69cc275baaceb6bc40bd28fae5e6561a41a91457201f629_light.svg)
Da nur entlang der -Achse verschoben wird, können die Koordinaten von in der Form 
geschrieben werden. Damit folgt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\overrightarrow{CB](https://www.schullv.de/resources/formulas/fa53f1a3b804f6a8c3cfcf5aa1e042460cad7eeb7e19065ff3cf702b14f630bb_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\overrightarrow{AB](https://www.schullv.de/resources/formulas/22adfa2b93552df65ac7c65a299bb54192a9e82529894047cc0f57cd072d8009_light.svg)
Der zwischen diesen Vektoren eingeschlossene Winkel entspricht dem im Punkt 
Wenn das Skalarprodukt aus der Aufgabenstellung also gleich Null ist, liegt im Punkt ein rechter Winkel vor.