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Wahlaufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Gegeben sind Vektoren des dreidimensionalen Raumes mit
$\overrightarrow{a} = \pmatrix{2\\-2\\1},$ $\overrightarrow{b} = \pmatrix{3\\1\\-4},$ $\overrightarrow{c} = \pmatrix{7\\11\\8},$ $\overrightarrow{d}=\pmatrix{4\\0\\-3}$ und $\overrightarrow{e}=\pmatrix{t\\-1\\2}$ mit $t\in \mathbb{R}.$
#vektoren
a)
Berechne das Gradmaß des Winkels, den die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{d}$ miteinander einschließen.
b)
Bestimme die Werte $t$ so, dass der Winkel $\alpha$ mit $\alpha = \sphericalangle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{e})$ ein stumpfer Winkel ist.
c)
Die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ sowie $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ verlaufen jeweils orthogonal zueinander.
Weise nach, dass auch die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{c}$ orthogonal zueinander verlaufen.
Begründe unter Verwendung einer geeignet beschrifteten Skizze, dass die jeweilige paarweise Orthogonalität von Vektoren $\overrightarrow{x}_1$ und $\overrightarrow{x}_2$ sowie $\overrightarrow{x}_2$ und $\overrightarrow{x}_3$ keine notwendige Bedingung dafür ist, dass die Vektoren $\overrightarrow{x}_1$ und $\overrightarrow{x}_3$ auch orthogonal zueinander verlaufen.
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel berechnenWahlaufgabe 2 - Analytische Geometrie
Verwende die Formel für den Winkel $\alpha$ zwischen zwei Vektoren:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{d}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left| \overrightarrow{d}\right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\pmatrix{2\\-2\\1}\circ \pmatrix{4\\0\\-3}}{\left|\pmatrix{2\\-2\\1}\right|\cdot\left| \pmatrix{4\\0\\-3}\right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{2\cdot 4 + (-2)\cdot 0 +1\cdot (-3)}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}\cdot \sqrt{4^2+0^2+(-3)^2}} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{5}{3\cdot 5} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{1}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 70,53^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha \approx 70,53^{\circ} $
Die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{d}$ schließen also einen Winkel der Größe $\alpha \approx 70,53\,^{\circ}$ ein.
b)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{e}$ soll größer als $90^{\circ}$ und kleiner als $180^{\circ}$ sein. Für zwei Vektoren $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$ und $\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}$ gilt folgende Regel:
$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b} < 0$ genau dann, wenn $90^{\circ} < \sphericalangle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) \leq 180^{\circ}$
Für das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{e}$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{e}&=& \pmatrix{2\\-2\\1}\circ \pmatrix{t\\-1\\2} \\[5pt] &=& 2\cdot t -2\cdot (-1) + 1\cdot 2 \\[5pt] &=& 2t + 4 \\[5pt] \end{array}$
Es ergibt sich folgende Ungleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{e} &<& 0 \\[5pt] 2t + 4 &<& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] 2t &< & -4 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] t&<& -2 \\[5pt] \end{array}$
Damit der Winkel stumpf ist, muss noch $180^{\circ}$ ausgeschlossen werden. Der Winkel zwischen $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{e}$ ist genau dann $180^{\circ}$ groß, wenn die beiden Vektoren genau entgegengesetzte Richtungen aufweisen. Sie müssen dazu also linear abhängig mit einem negativen Faktor $x$ sein.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{a}&=& x \cdot \overrightarrow{e} \\[5pt] \pmatrix{2\\-2\\1}&=&x\cdot \pmatrix{t\\-1\\2} \\[5pt] \end{array}$
Für den zweiten Vektoreintrag wäre die Gleichung nur für $x= 2$ erfüllt. Die dritte Zeile wäre dagegen nur für $x= 0,5$ erfüllt. Es gibt also keinen Faktor $x,$ der die gesamte Vektorgleichung erfüllt. Demnach gibt es keinen Wert $t,$ für den die Vektoren einen Winkel von $180^{\circ}$ bilden.
Für $t< -2$ ist der Winkel $\alpha = \sphericalangle(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{e})$ also ein stumpfer Winkel.
#skalarprodukt
c)
$\blacktriangleright$  Orthogonalität zeigen
Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{c}&=& \pmatrix{2\\-2\\1}\circ\pmatrix{7\\11\\8} \\[5pt] &=& 2\cdot 7 -2\cdot 11 +1\cdot 8 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{c} = 0 $
Die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{c}$ sind also ebenfalls orthogonal zueinander.
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Sind zwei Vektoren $x_1$ und $x_3$ orthogonal und man nimmt einen dritten Vektor $x_2$ hinzu, so muss $x_2$ weder orthogonal zu $x_1,$ noch orthogonal zu $x_3$ und damit insbesondere auch nicht paarweise orthogonal zu beiden sein. In der Skizze ist ein solches Beispiel dargestellt. Es ist also nicht zwangsläufig notwendig, dass ein dritter Vektor paarweise orthogonal zu den beiden Vektoren ist.
Die paarweise Orthogonalität zu einem dritten Vektor ist daher keine notwendige Bedingung für die Orthogonalität zweier Vektoren.
#skalarprodukt
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
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