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Wahlaufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Gegeben sind die Vektoren $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} 3\\0\\-1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 1\\4\\1 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{d}=\begin{pmatrix} 2\\4\\2 \end{pmatrix}$ des dreidimensionalen Raumes.
a)
Weise nach, dass die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ linear unabhängig sind.
#lineareunabhägigkeit#vektoren
b)
Berechne die Koordinaten eines Vektors $\overrightarrow{c}$ mit $\overrightarrow{c}=3\cdot{\overrightarrow{a}}-2\cdot{\overrightarrow{b}}$ und charakterisiere den Verlauf des Vektors $\overrightarrow{c}$ bezüglich jeder von den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ aufgespannten Ebene.

Prüfe, ob sich der Vektor $\overrightarrow{d}$ als Linearkombination der Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ darstellen lässt und schlussfolgere daraus auf lineare Abhängigkeit bzw. lineare Unabhängigkeit der Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{d}$.
#koordinaten#linearkombination#lineareabhängigkeit#vektoren
c)
Wähle aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ und $\overrightarrow{d}$ Vektoren so aus, dass sie eine Basis des dreidimensionalen Raumes bilden.
#basis#vektoren
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Tipps
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a)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Vektoren $\boldsymbol{\overrightarrow{a}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{b}}$ linear unabhängig sind
Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie Vielfaches voneinander sind. Die beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ sind Vielfaches voneinander, wenn es einen Parameter $k$ gibt mit $\overrightarrow{a}= k\cdot \overrightarrow{b} $. Du erhältst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten. Ist das Gleichungssystem lösbar sind die beiden Vektoren linear abhängig.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Vektors $\boldsymbol{\overrightarrow{c}}$ berechnen
In dieser Aufgabe sollst du mit Hilfe der Gleichung $\overrightarrow{c}=3\cdot \overrightarrow{a}-2\cdot \overrightarrow{b}$ die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{c}$ berechnen. Setze dazu die Koordinaten der beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ in die gegebene Gleichung ein.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Vektors $\boldsymbol{\overrightarrow{c}}$ charakterisieren
In der ersten Aufgabe hast du gezeigt, dass die beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ linear unabhängig voneinander sind. Die beiden Vektoren spannen somit eine Ebene auf.
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob sich der Vektor $\boldsymbol{\overrightarrow{d}}$ als Linearkombination aus $\boldsymbol{\overrightarrow{a}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{b}}$ darstellen lässt
Der Vektor $\overrightarrow{d}$ lässt sich als Linearkombination aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ darstellen, wenn die Gleichung $\overrightarrow{d}= r\cdot \overrightarrow{a} + s\cdot \overrightarrow{b}$ erfüllt ist. Wenn du die Vektoren in die Gleichung einsetzt, erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten. Ist das lineare Gleichungssystem lösbar, dann lässt sich der Vektor $\overrightarrow{d}$ als Linearkombination aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ darstellen.
$\blacktriangleright$  Auf lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit schließen
In einer vorherigen Aufgabe hast du bereits gezeigt, dass die beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ linear unabhängig voneinander sind. Der Vektor $\overrightarrow{d}$ lässt sich nicht als Linearkombination aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ darstellen.
c)
$\blacktriangleright$  Vektoren für eine Basis des dreidimensionalen Raumes wählen
Du sollst aus den vier Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ und $\overrightarrow{d}$ drei Vektoren aussuchen, die eine Basis des dreidimensionalen Raumes bilden. Diese drei Vektoren müssen somit linear unabhängig voneinander sein. In der ersten Aufgabe hast du gezeigt, dass die beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ linear unabhängig sind. Gesucht ist somit ein dritter Vektor der linear unabhägig zu den beiden anderen Vektoren ist.
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a)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Vektoren $\boldsymbol{\overrightarrow{a}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{b}}$ linear unabhängig sind
Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie Vielfaches voneinander sind. Die beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ sind Vielfaches voneinander, wenn es einen Parameter $k$ gibt mit $\overrightarrow{a}= k\cdot \overrightarrow{b} $. Du erhältst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten. Ist das Gleichungssystem lösbar sind die beiden Vektoren linear abhängig.
$\pmatrix{3 \\ 0 \\ -1}= k\cdot \pmatrix{1 \\ 4 \\ 1}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad& 3&=&k \\[5pt] \text{II}\quad& 0&=&4k\\[5pt] \text{III}\quad& -1&=& k \end{array}$
Aus der ersten Gleichung folgt, dass $k=3$ ist. Aus der dritten Gleichung folgt jedoch, dass $k=-1$. Somit erkennst du sofort, dass das lineare Gleichungssystem nicht lösbar ist. Das bedeutet, dass die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ linear unabhängig voneinander sind.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Vektors $\boldsymbol{\overrightarrow{c}}$ berechnen
In dieser Aufgabe sollst du mit Hilfe der Gleichung $\overrightarrow{c}=3\cdot \overrightarrow{a}-2\cdot \overrightarrow{b}$ die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{c}$ berechnen. Setze dazu die Koordinaten der beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ in die gegebene Gleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{c}&=&3\cdot \pmatrix{3 \\ 0 \\ -1} - 2\cdot \pmatrix{1 \\ 4 \\ 1} \\[5pt] &=&\pmatrix{9\\ 0 \\ -3} - \pmatrix{2 \\ 8 \\ 2} \\[5pt] &=&\pmatrix{7 \\ -8 \\ -5} \end{array}$
Der Vektor $\overrightarrow{c}$ hat die Koordinaten $\overrightarrow{c}=\pmatrix{7 \\ -8 \\ -5}$.
$\blacktriangleright$  Verlauf des Vektors $\boldsymbol{\overrightarrow{c}}$ charakterisieren
In der ersten Aufgabe hast du gezeigt, dass die beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ linear unabhängig voneinander sind. Die beiden Vektoren spannen somit eine Ebene auf. Da du gerade gezeigt hast, dass sich der Vektor $\overrightarrow{c}$ als Linearkombination aus den beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ darstellen lässt, liegt der Vektor $\overrightarrow{c}$ in dieser Ebene.
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob sich der Vektor $\boldsymbol{\overrightarrow{d}}$ als Linearkombination aus $\boldsymbol{\overrightarrow{a}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{b}}$ darstellen lässt
Der Vektor $\overrightarrow{d}$ lässt sich als Linearkombination aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ darstellen, wenn die Gleichung $\overrightarrow{d}= r\cdot \overrightarrow{a} + s\cdot \overrightarrow{b}$ erfüllt ist. Wenn du die Vektoren in die Gleichung einsetzt, erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten. Ist das lineare Gleichungssystem lösbar, dann lässt sich der Vektor $\overrightarrow{d}$ als Linearkombination aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ darstellen.
$\pmatrix{2 \\ 4 \\ 2} = r\cdot \pmatrix{3 \\ 0 \\ -1} + s\cdot \pmatrix{1 \\ 4 \\ 1}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 2&=&3r+s \\[5pt] \text{II}\quad& 4&=& 4s \\[5pt] \text{III}\quad& 2&=& -r +s \end{array}$
Löse als erstes die zweite Gleichung nach $s$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 4&=& 4s &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] s&=&1 \end{array}$
Setze nun $s=1$ in die dritte Gleichung ein und löse diese nach $r$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 2&=& -r +1 &\quad \scriptsize \mid\;+r \; \mid\;-2 \\[5pt] r&=& -1 \end{array}$
Jetzt kannst du für $r=-1$ und $s=1$ in die erste Gleichung einsetzen.
$3\cdot (-1)+1 = -2 \neq 2$
Da die dritte Gleichung nicht erfüllt ist, lässt sich das lineare Gleichungssystem nicht lösen und somit lässt sich der Vektor $\overrightarrow{d}$ nicht als Linearkombination aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ darstellen.
$\blacktriangleright$  Auf lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit schließen
In einer vorherigen Aufgabe hast du bereits gezeigt, dass die beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ linear unabhängig voneinander sind. Da sich der Vektor $\overrightarrow{d}$ nicht als Linearkombination aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ darstellen lässt, ist auch der Vektor $\overrightarrow{d}$ von den beiden anderen Vektoren linear unabhängig.
c)
$\blacktriangleright$  Vektoren für eine Basis des dreidimensionalen Raumes wählen
Du sollst aus den vier Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ und $\overrightarrow{d}$ drei Vektoren aussuchen, die eine Basis des dreidimensionalen Raumes bilden. Diese drei Vektoren müssen somit linear unabhängig voneinander sein. In der ersten Aufgabe hast du gezeigt, dass die beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ linear unabhängig sind. Da sich der Vektor $\overrightarrow{c}$ als Linearkombination aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ darstellen lässt, ist dieser nicht linear unabhägig von den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$. Der Vektor $\overrightarrow{c}$ kann somit als dritter Basisvektor ausgeschlossen werden. In der vorherigen Aufgabe hast du aber gezeigt, dass der Vektor $\overrightarrow{d}$ nicht als Linearkombination aus den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ dargestellt werden kann. Somit ist der Vektor $\overrightarrow{d}$ von den beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ linear unabhägig und die drei Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{d}$ bilden eine Basis des dreidimensionalen Raumes.
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