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Wahlaufgabe 1 - Analysis

Aufgaben
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Betrachtet wird die Funktion $\phi$ mit

$y=\phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{1}{2}{x^2}}$, $x\in\mathbb{R}$.
Ihr Graph wird als Gaußsche Glockenkurve bezeichnet.
a)
Gib einen Näherungswert für $\phi(0)$ auf Tausendstel genau an.

Weise nach, dass die Gaußsche Glockenkurve symmetrisch zur $y$-Achse ist.

Die Gaußsche Glockenkurve besitzt genau zwei Wendepunkte.
Berechne die Abszissen dieser Wendepunkte.
[zur Kontrolle: $W_{1/2}(\pm1\;|\;\phi(\pm1))$]
#gaußscheglockenkurve#achsensymmetrie#ganzrationalefunktion#wendepunkt#abszisse
b)
Im untenstehenden Koordinatensystem sind die Gaußsche Glockenkurve $G$ sowie ein weiterer Funktionsgraph $K$ dargestellt.

Begründe anhand von zwei Eigenschaften der Funktion $\phi$ oder ihres Graphen, dass es sich bei der Kurve $K$ um den Graphen der Ableitungsfunktion $\phi'$ handeln kann.

#ableitung#kartesischeskoordinatensystem#graph
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$  Näherungswert für $\boldsymbol{\phi(0)}$ angeben
In dieser Aufgabe sollst du auf Tausendstel genau eine Näherung für $\phi(0)$ angeben. Du setzt also in den Funktionsterm für $x=0$ ein.
Du weißt, dass $e^0=1$ ist. Um eine Näherung anzugeben, betrachtest du somit $\sqrt{2\pi}$.
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Gaußsche Glockenkurve symmetrisch zur y-Achse ist
Der Graph einer Funktion $f$ ist achsensymmetrisch, wenn gilt:
$f(x)=f(-x)$
$f(x)=f(-x)$
Setze also für $-x$ in den Funktiosterm $\phi(x)$ ein.
$\blacktriangleright$  Abszissen der Wendepunkte berechnen
Du hast die Funktion $\phi$ gegeben und sollst deren Graph auf Wendepunkte untersuchen. Für eine Wendestelle $x_W$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, \phi ''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\, \phi '''(x_W)\neq 0$
  • Du kannst also wie folgt vorgehen:
    1. Bestimme die ersten drei Ableitungsfunktionen $\phi '$,$\phi ''$ und $\phi '''$.
    2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $\phi ''(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
    3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $\phi '''(x)$ einsetzt.
b)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es sich bei der Kurve K um den Graph der Ableitung $\boldsymbol{\phi'(x)}$ handeln kann
Wenn du den Graphen einer Funktion $f$ gegeben hast, dann kannst du verschiedene Aussagen über den Graphen der Ableitung $f'$ treffen.
Graph der Funktion $f$Graph der Funktion $f'$
Hoch- und Tiefpunkte Nullstellen
WendepunkteHoch- und Tiefpunkte
Der Graph der Funktion $\phi(x)$ hat an den Stellen $x=\pm 1$ jeweils einen Wendepunkt. Wenn du dir das Schaubild K anschaust, hat dieses bei $x=-1$ einen Hochpunkt und bei $x=1$ einen Tiefpunkt.
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a)
$\blacktriangleright$  Näherungswert für $\boldsymbol{\phi(0)}$ angeben
In dieser Aufgabe sollst du auf Tausendstel genau eine Näherung für $\phi(0)$ angeben. Du setzt also in den Funktionsterm für $x=0$ ein.
$\phi(0)= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}0^2} $
Du weißt, dass $e^0=1$ ist. Um eine Näherung anzugeben, betrachtest du somit $\sqrt{2\pi}$. Wenn du dies in deinen Taschenrechner eingibst, erhältst du:
$\phi(0)\approx 0,3989422804…$
Auf Tausendstel genau gerundet ergibt dies: $\phi(0)\approx 0,399 $.
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Gaußsche Glockenkurve symmetrisch zur y-Achse ist
Der Graph einer Funktion $f$ ist achsensymmetrisch, wenn gilt:
$f(x)=f(-x)$
$f(x)=f(-x)$
Setze also für $-x$ in den Funktiosterm $\phi(x)$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} \phi(-x)&=&\dfrac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}(-x)^2} \\[5pt] &=&\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}x^2} \\[5pt] & = & \phi(x) \end{array}$
Damit hast du gezeigt, dass die Gaußsche Glockenkurve symmetrisch zur $y$-Achse ist.
$\blacktriangleright$  Abszissen der Wendepunkte berechnen
Du hast die Funktion $\phi$ gegeben und sollst deren Graph auf Wendepunkte untersuchen. Für eine Wendestelle $x_W$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, \phi ''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\, \phi '''(x_W)\neq 0$
  • Du kannst also wie folgt vorgehen:
    1. Bestimme die ersten drei Ableitungsfunktionen $\phi '$,$\phi ''$ und $\phi '''$.
    2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $\phi ''(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
    3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $\phi '''(x)$ einsetzt.
    1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
    $\begin{array}[t]{rll} \phi'(x)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot -\frac{1}{2}\cdot 2x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \\[5pt] &=&-\frac{x}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} \phi''(x)&=&-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} + \frac{x}{2\pi}\cdot (-x) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} &\quad \scriptsize \text{ausklammern} \\[5pt] &=&\left(-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} +\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}} \right)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \end{array}$
    $ \phi''(x) =\left(-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} +\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}} \right)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$
    $\begin{array}[t]{rll} \phi'''(x)&=&\frac{2x}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} + \left(-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} +\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}} \right)\cdot \left(-\frac{1}{2} \right)\cdot 2x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \\[5pt] &=& \left( \frac{3x}{\sqrt{2\pi}} - \frac{x^3}{\sqrt{2\pi}}\right)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} \phi'''(x)&=& \end{array}$
    2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
    Durch Gleichsetzen von $\phi ''(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Wendestellen.
    Da die Exponentialfunkiton nicht null wird, folgt aus dem Satz des Nullprodukts, dass $\phi''(x)=0 $ genau dann wenn $\left(-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} +\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}} \right)=0$
    $\begin{array}[t]{rll} \left(-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} +\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}} \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\left(-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right) \\[5pt] \frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}&=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{2\pi} \\[5pt] x^2&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{}\; \\[5pt] x_{W_{1,2}}&=&\pm 1 \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} x_{W_{1,2}}&=&\pm 1 \end{array}$
    3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
    Du hast genau zwei Stellen ermittelt, an denen der Graph von $\phi$ jeweils einen Wendepunkt haben kann. Das notwendige Kriterium muss in jedem Wendepunkt erfüllt sein, daher kann es keine anderen Wendestellen geben. In der Aufgabenstellung ist dir vorgegeben, dass der Graph von $\phi$ genau zwei Wendepunkte besitzt. Diese Wendepunkte müssen also an den berechneten Stellen $x_{W_{1,2}}=\pm 1$ liegen.
    Die Abszissen der Wendepunkte sind $x_{W_1} = -1$ und $x_{W_2} = 1$.
b)
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es sich bei der Kurve K um den Graph der Ableitung $\boldsymbol{\phi'(x)}$ handeln kann
Wahlaufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graphisch ableiten
Wahlaufgabe 1 - Analysis
Abb. 1: Graphisch ableiten
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