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Wahlaufgabe 2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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In einem kartesischen Koordinatensystem der Ebene sind der Punkt $A(-5\mid 4)$ und ein Kreis $k$ mit $x^2-4x+y^2-61 = 0$ gegeben.
a)
Ermittle die Koordinaten des Mittelpunkts $M$ und den Radius $r$ des Kreises $k$.
Zeige, dass der Punkt $A$ zum Kreis $k$ gehört und gib eine Gleichung der Tangente $t$ an, die den Kreis $k$ im Punkt $A$ berührt.
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $P(x_P\mid y_P>0)$ des Kreises mit der $y$-Achse.
#tangente
b)
Der Punkt $S(4\mid 3)$ ist der Mittelpunkt einer Sehne $s$ des Kreises $k.$ Ermittle eine Gleichung der Geraden, die die Sehne $s$ enthält.
#kreis
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Mittelpunkt und Radius ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} x^2-4x+y^2-61&=& 0 \\[5pt] x^2-2\cdot 2x+4-4+y^2-61&=& 0 \\[5pt] (x-2)^2+y^2-65&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+65 \\[5pt] (x-2)^2+y^2&=& 65 \end{array}$
$ k:\, (x-2)^2+y^2=65 $
Aus dieser Form der Kreisgleichung können die Koordinaten des Mittelpunkts von $k$ direkt abgelesen werden mit $M(2\mid 0).$ Der Radius kann ebenso abgelesen werden und beträgt $r =\sqrt{65}.$
$\blacktriangleright$  Lage des Punktes nachweisen
Damit $A$ zum Kreis gehört, müssen die zugehörigen Koordinaten die Kreisgleichung erfüllen.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-4x+y^2-61&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; A(-5\mid 4) \\[5pt] (-5)^2-4\cdot (-5) + 4^2-61&=& 0\\[5pt] 25+20+16-61&=&0 \\[5pt] 0&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&0 \end{array}$
Die Koordinaten von $A$ erfüllen die Gleichung des Kreises $k$, der Punkt $A$ gehört also zum Kreis $k.$
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung angeben
Die Tangente $t$ mit $t: \, y = m_tx+b$ muss senkrecht zur Strecke $\overline{AM}$ und durch den Punkt $A$ verlaufen. Die Steigung der Strecke $AM$ kann durch den Differenzenquotienten berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} m_{\overline{AM}}&=& \dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A} \\[5pt] &=& \dfrac{0-4}{2-(-5)} \\[5pt] &=& -\dfrac{4}{7} \end{array}$
Damit $t$ senkrecht zu der Strecke verläuft, muss für die Steigung gelten:
$\begin{array}[t]{rll} m_t&=&-\dfrac{1}{m_{\overline{AM}}} \\[5pt] &=& \frac{7}{4} \end{array}$
$t$ soll durch den Punkt $A$ verlaufen:
$\begin{array}[t]{rll} t:\, y &=& \frac{7}{4}x+b &\quad \scriptsize \mid\; A(-5\mid 4)\\[5pt] 4&=&\frac{7}{4}\cdot (-5)+b &\quad \scriptsize \mid\; +\frac{35}{4}\\[5pt] \frac{51}{4}&=& b \end{array}$
$ b = \frac{51}{4}$
Eine Gleichung der Tangente $t$ an den Kreis $k$ im Punkt $A$ lautet $t:\; y = \frac{7}{4}x+\frac{51}{4}.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Der Kreis schneidet die $y$-Achse für $x=0:$
$\begin{array}[t]{rll} x^2-4x+y^2-61&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;x=0 \\[5pt] 0^2-4\cdot 0+y^2-61&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+61 \\[5pt] y^2&=&61 \\[5pt] y&=&\pm\sqrt{61} \end{array}$
$ y = \pm \sqrt{61} $
Der gesuchte Schnittpunkt des Kreises $k$ mit der $y$-Achse mit $y_P >0$ hat die Koordinaten $P(0\mid \sqrt{61}).$
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Gerade ermitteln, die die Sehne enthält
Da $S$ der Mittelpunkt der Sehne ist, muss die Sehne senkrecht zur Strecke $\overline{MS}$ verlaufen. Die Strecke $\overline{MS}$ ist Teil einer Geraden mit folgender Steigung $m:$
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{y_S-y_M}{x_S-x_M} \\[5pt] &=& \dfrac{3-0}{4-2} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{2} \\[5pt] \end{array}$
Die Sehne liegt daher auf der Geraden $g: \, y = m_gx+b$ durch den Punkt $S$ mit der Steigung $m_g = -\frac{1}{m}= -\frac{2}{3}.$
$\begin{array}[t]{rll} g:\; y&=&m_g x +b \\[5pt] y&=& -\frac{2}{3}x +b &\quad \scriptsize \mid\;S(4\mid 3) \\[5pt] 3&=&-\frac{2}{3}\cdot 4+b &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{8}{3} \\[5pt] \frac{17}{3}&=& b \end{array}$
$ \frac{17}{3}= b $
Die Sehne $s$ liegt auf der Geraden mit der Gleichung $g: \; y= -\frac{2}{3}x +\frac{17}{3}.$
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