Wahlaufgabe 2 - Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem der Ebene sind der Punkt $A(-5\mid 4)$ und ein Kreis $k$ mit $x^2-4x+y^2-61 = 0$ gegeben.

Ermittle die Koordinaten des Mittelpunkts $M$ und den Radius $r$ des Kreises $k$ .

Zeige, dass der Punkt $A$ zum Kreis $k$ gehört und gib eine Gleichung der Tangente $t$ an, die den Kreis $k$ im Punkt $A$ berührt.

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $P(x_P\mid y_P\gt 0)$ des Kreises mit der $y$ -Achse.

Der Punkt $S(4\mid 3)$ ist der Mittelpunkt einer Sehne $s$ des Kreises $k.$ Ermittle eine Gleichung der Geraden, die die Sehne $s$ enthält.

$\blacktriangleright$ Mittelpunkt und Radius ermitteln

$k:\, (x-2)^2+y^2=65$

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Aus dieser Form der Kreisgleichung können die Koordinaten des Mittelpunkts von $k$ direkt abgelesen werden mit $M(2\mid 0).$ Der Radius kann ebenso abgelesen werden und beträgt $r =\sqrt{65}.$

$\blacktriangleright$ Lage des Punktes nachweisen

Damit $A$ zum Kreis gehört, müssen die zugehörigen Koordinaten die Kreisgleichung erfüllen.

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&0 \end{array}$

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Die Koordinaten von $A$ erfüllen die Gleichung des Kreises $k$ , der Punkt $A$ gehört also zum Kreis $k.$

$\blacktriangleright$ Tangentengleichung angeben

Die Tangente $t$ mit $t: \, y = m_tx+b$ muss senkrecht zur Strecke $\overline{AM}$ und durch den Punkt $A$ verlaufen. Die Steigung der Strecke $AM$ kann durch den Differenzenquotienten berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} m_{\overline{AM}}&=& \dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A} \\[5pt] &=& \dfrac{0-4}{2-(-5)} \\[5pt] &=& -\dfrac{4}{7} \end{array}$

Damit $t$ senkrecht zu der Strecke verläuft, muss für die Steigung gelten:

$\begin{array}[t]{rll} m_t&=&-\dfrac{1}{m_{\overline{AM}}} \\[5pt] &=& \frac{7}{4} \end{array}$

$t$ soll durch den Punkt $A$ verlaufen:

$b = \frac{51}{4}$

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Eine Gleichung der Tangente $t$ an den Kreis $k$ im Punkt $A$ lautet $t:\; y = \frac{7}{4}x+\frac{51}{4}.$

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunkts berechnen

Der Kreis schneidet die $y$ -Achse für $x=0:$

$y = \pm \sqrt{61}$

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Der gesuchte Schnittpunkt des Kreises $k$ mit der $y$ -Achse mit $y_P \gt 0$ hat die Koordinaten $P(0\mid \sqrt{61}).$

$\blacktriangleright$ Gleichung der Gerade ermitteln, die die Sehne enthält

Da $S$ der Mittelpunkt der Sehne ist, muss die Sehne senkrecht zur Strecke $\overline{MS}$ verlaufen. Die Strecke $\overline{MS}$ ist Teil einer Geraden mit folgender Steigung $m:$

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{y_S-y_M}{x_S-x_M} \\[5pt] &=& \dfrac{3-0}{4-2} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{2} \\[5pt] \end{array}$

Die Sehne liegt daher auf der Geraden $g: \, y = m_gx+b$ durch den Punkt $S$ mit der Steigung $m_g = -\frac{1}{m}= -\frac{2}{3}.$

$\frac{17}{3}= b$

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Die Sehne $s$ liegt auf der Geraden mit der Gleichung $g: \; y= -\frac{2}{3}x +\frac{17}{3}.$