Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie

Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie

Ein Kirchturm mit einem quaderförmigen Baukörper und quadratischer Grundfläche (Seitenlänge $6\,\text{m}$ ) soll restauriert werden. Die auf den Baukörper aufgesetzten Giebelwände haben die Form gleichschenkliger Dreiecke und sind jeweils $2\,\text{m}$ hoch. Jede der viereckigen Dachflächen ist eben.

Die Beschreibung des Kirchturms erfolgt in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem (eine Einheit entspricht einem Meter, die Horizontalebene entspricht der $xy$ -Ebene).
Der Koordinatenursprung markiert die Lage des Mittelpunktes der Grundfläche des Baukörpers und die Seiten der Grundfläche verlaufen parallel zur $x$ - bzw. $y$ -Achse.

Geometrische Darstellung eines Polyeders mit mehreren Ebenen und Punkten.

Die Eckpunkte einer Seite des Kirchturms seien mit $A(3\mid -3\mid 0)$ , $B$ , $C(3\mid 3\mid 15)$ und $D$ sowie $G(3\mid 0 \mid 17)$ als Giebelspitze beschrieben.

a) Gib die Koordinaten der Punkte $B$ und $D$ sowie die Höhe des quaderförmigen Baukörpers an.

Die Spitze des Kirchturmdaches wird durch den Punkt $S(0\mid 0\mid 20)$ beschrieben. Von ihr ausgehend werden Spannseile bis zum Erdboden geführt, die auf den Kanten des Daches liegen. Die Spannseile können als Seitenkanten einer vierseitigen, aus der $xy$ -Ebene stehenden Spannseil-Pyramide aufgefasst werden.

b) Die Gerade $GS$ beschreibt die Lage eines der Spannseile.

Gib eine Gleichung der Geraden $GS$ an und berechne das Gradmaß des Winkels, den die Gerade $GS$ mit der $xy$ -Achse einschließt.

Berechne sowohl die Koordinaten des Ankerpunktes eines solchen Spannseils als auch die Länge eines Spannseils.

c) Die nichtmaßstäblichen Abbildungen zeigen Grundrisse von Pyramiden; die grauen Quadrate veranschaulichen den Grundriss des Baukörpers.
Genau eine der beiden Abbildungen zeigt die Lage der Spannseil-Pyramide bezüglich des Baukörpers. Gib an und begründe, welche dies ist.

Abb.1

Ein einfaches, quadratisches, graues Symbol auf schwarzem Hintergrund.

Abb.2

Grafische Darstellung eines stilisierten Quadrats in einem geometrischen Design.

Aufgabe 2

Kirchturm

Bei dieser Aufgabe geht es um einen Kirchturm, der durch die Angabe verschiedener Informationen beschrieben wird. Die Kirche besteht aus einem quaderförmigen Baukörper, auf dem mit Giebelwänden ein Dach aufgebaut ist. Alle gegebenen Punkte liegen in einem kartesischen Koordinatensystem. Die $xy$ -Ebene ist der Boden. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter. Die Eckpunkte einer Seite sind $A(3\;|\;-3\;|\;0)$ , $B$ , $C(3\;|\;3\;|\;15)$ und $D$ . Die Giebelspitze ist im Punkt $G(3\;|\;0\;|\;17)$ .

a) $\blacktriangleright$ Bestimme die Koordinaten der Punkte $\boldsymbol{B}$ und $\boldsymbol{D}$

Die Punkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ bilden eine senkrechte Wand, der Punkt $B$ liegt somit senkrecht unter dem Punkt $C$ auf gleicher Höhe wie der Punkt $A$ . Die Höhe eines Punktes wird durch die $z$ -Koordinate beschrieben. Du verwendest die $x$ - und $y$ -Koordinate des Punktes $C$ und musst lediglich die $z$ -Koordinate so wählen, dass sie gleich der $z$ -Koordinate des Punktes $A$ ist. Der Punkt $B$ besitzt somit die Koordinaten $B(3\;|\;3\;|\;0)$ .

Der Punkt $D$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$ auf gleicher Höhe wie Punkt $C$ . Du verwendest diesmal die $x$ - und $y$ -Koordinate des Punktes $A$ und wählst die $z$ -Koordinate wie im Punkt $C$ . Der Punkt $D$ besitzt somit die Koordinaten $D(3\;|\;-3\;|\;15)$ .

$\blacktriangleright$ Höhe bestimmen

Die Höhe des quaderförmigen Baukörpers ergibt sich über die $z$ -Koordinate des Punkts $C.$ Der quaderförmige Baukörper ist also $15\,\text{m}$ hoch.

b) $\blacktriangleright$ Gerade $\boldsymbol{GS}$

Der höchste Punkt der Kirche ist die Dachspitze $S(0\;|\;0\;|\;20)$ . Von dort sind Spannseile bis zum Boden gespannt. Das Spannseil einer Seite liegt in der Gerade durch die Punkte $G$ und $S$ .

Zunächst sollst du die Geradengleichung der Geraden $GS$ angeben. Das machst du indem du einen Stützvektor $\vec{OA}$ und einen Richtungsvektor $\vec{AB}$ bildest und in die allgemeine Geradengleichung einsetzt:

$g: \vec{x} = \overrightarrow{OA} + t \cdot \overrightarrow{AB} = \vec{u} + t \cdot \vec{v}$

Als Stützvektor verwendest du $\overrightarrow{OG}$ , als Richtungsvektor $\overrightarrow{GS}$ . Die beiden Vektoren sind:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OG} &=& \begin{pmatrix}3\\0\\17\end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{GS} &=& \overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OG} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0\\0\\20\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\0\\17\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix} \end{array}$

Die Geradengleichung kannst du jetzt so angeben:

$\begin{array}[t]{rll} GS: \vec{x} = \begin{pmatrix}3\\0\\17\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix} \end{array}$

$\blacktriangleright$ Winkel zwischen Gerade $\boldsymbol{GS}$ und $\boldsymbol{xy}$ -Ebene

Hier sollst du den Winkel zwischen einer Ebenen und einer Geraden bestimmen. Der Sinus des Winkels zwischen einer Ebenen und einer Geraden wird nach der folgenden Formel gebildet:

$\sin{\alpha}=\dfrac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\cdot|\vec{n}|}$

Dabei ist $\vec{v}$ der Richtungsvektor der Geraden und $\vec{n}$ der Normalenvektor der Ebene. Der Normalenvektor einer Ebenen verläuft immer senkrecht zu dieser.

In dieser Aufgabe ist die gesuchte Ebene die $xy$ -Ebene. Bei der $xy$ -Ebene sind dies Vektoren, die nur in $z$ -Richtung verlaufen. Ein Normalenvektor der $xy$ -Ebene ist beispielsweise $\vec{n_{xy}}= \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ .

Den Schnittwinkel $\alpha$ kannst du jetzt wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \sin{\alpha} &=& \dfrac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\cdot|\vec{n}|} \\[5pt] &=& \dfrac{\left| \begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix}\right|}\\[5pt] &=& \dfrac{3}{1\cdot\sqrt{(-3)^2+3^2}}\\[5pt] &=&\dfrac{3}{\sqrt{18}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} &\quad& \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] \alpha &=& 45^{\circ}\\[5pt] \end{array}$

Der Schnittwinkel ist somit $\alpha=45^{\circ}$ .

$\blacktriangleright$ Ankerpunkt des Spannseils bestimmen

Das Spannseil ist am Ankerpunkt mit dem Boden verbunden. Der Ankerpunkt ist der Schnittpunkt der $xy$ -Ebene mit der Geraden $GS$ . Die $xy$ -Ebene hat die Eigenschaft, dass $z=0$ . Man muss also nur die $z$ -Koordinate der Geradengleichung lösen. Die Gleichung hat dann nur eine Variable und so kann $t$ bestimmt werden. Das heißt, du musst in der Geradengleichung des Spannseils $t$ so wählen, dass $z=0$ wird:

$\begin{array}[t]{rll} 17+t\cdot 3 &=& z\\[5pt] 0 &=& z\\[5pt] 17 + 3t &=& 0 &\quad& \scriptsize \mid\; -17\\[5pt] 3t &=& -17 &\quad& \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] t &=& -\dfrac{17}{3} \\[5pt] \end{array}$

Wenn du $t=-\dfrac{17}{3}$ in die Geradengleichung einsetzt, erhältst du den Ortsvektor des Ankerpunkts:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x_{\text{Anker}}} &=& \begin{pmatrix}3\\0\\17\end{pmatrix}-\dfrac{17}{3}\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}3\\0\\17\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}17\\0\\-17\end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}20\\0\\0\end{pmatrix} \end{array}$

Der Ankerpunkt ist $x_{\text{Anker}}(20\;|\;0\;|\;0)$ .

$\blacktriangleright$ Länge des Spannseils bestimmen

Die Länge des Spannseils ist durch den Abstand des Ankerpunkts und den Punkt der Dachspitze gegeben. Du berechnest ihn über die Abstandsformel zwischen zwei Punkten:

$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$

Der Abstand der Punkte ist somit:

$\begin{array}[t]{rll} d &=& \sqrt{(20-0)^2+(0+0)^2+(0-20)^2}\\[5pt] &=& \sqrt{800}\\[5pt] &=& 20\sqrt{2} \approx 28,28 \end{array}$

Der Länge des Spannseils beträgt in etwa 28,28 Meter.

c) $\blacktriangleright$ Zeige, welche Abbildung passend ist

Die Abbildungen zeigen eine Ansicht des Kirchturms von oben. Das schwarze Quadrat ist somit die Grundfläche des Baukörpers. Die Spannseile sind von der Dachspitze über die Giebelspitzen zum Boden gespannt. Da sich sie Giebelspitzen jeweils in der Mitte einer Seitenfläche befinden, erkennst du, dass Abb. 2 die Lage der Spannseil-Pyramide richtig darstellt. In Abb. 1 sind die Spannseile über die Ecken des Baukörpers gespannt, was nicht der Beschreibung in der Aufgabe entspricht.