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Analysis 1

Aufgaben
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Aufgabe 1: Analysis

Zwischen zwei Orten $A$ und $B$ befindet sich ein Tal mit einem tiefsten Punkt $T$. Der Querschnitt des Tals kann durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades beschrieben werden, wobei $f(x)$ die Höhe über dem Meeresspiegel in Kilometern angibt. Im dargestellten Koordinatensystem entspricht eine Einheit einem Kilometer in der Wirklichkeit. Die Orte $A$ und $B$ sowie der Tiefpunkt $T$ haben die Koordinaten $A(0 \mid 0,2), B(1 \mid 0,3)$ und $T(0,5 \mid 0,13)$.
Der Graph der Funktion $f$ ist zusätzlich in Abb. 2 vergrößert dargestellt.
#extrempunkt#analysis
a)
a1)
Leite eine Gleichung der Funktion $f$ her.
(5 BE)
a2)
Bestimme die Stelle, an der der Querschnitt des Tals eine Höhe von $240\,\text{m}$ über dem Meeresspiegel aufweist, und bestimme die Steigung an dieser Stelle.
(2 BE)
a3)
Eine Person wandert von $A$ nach $T$. Bestimme das durchschnittliche und das maximale Gefälle auf diesem Weg.
(7 BE)
#funktionsgleichung
Als Touristenattraktion soll zwischen den Punkten $A$ und $B$ eine Hängebrücke errichtet werden. Der Verlauf der Hängebrücke kann durch den Graphen einer Funktion $g$ mit $g(x) = 0,2x^2 − 0,1 x + 0,2$ beschrieben werden.
b)
b1)
Ergänze die Wertetabelle und zeichne den Graphen.
(4 BE)
b2)
Berechne den Winkel $\alpha$ zwischen dem Verlauf der Hängebrücke und dem Querschnitt des Tals im Punkt $B$.
(3 BE)
#graph
c)
c1)
Es gibt Punkte auf der Hängebrücke, deren Höhe über dem Boden $50\,\text{m}$ beträgt. Zeichne diese Punkte ein.
(2 BE)
c2)
Ermittle rechnerisch die größte Höhe der Hängebrücke über dem Boden.
Die Länge $L$ des Graphen der Funktion $g$ über dem Intervall $[a;b]$ kann durch
$L = \displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{1 + (g'(x))^2} \mathrm dx$
berechnet werden.
(5 BE)
c3)
Berechne die Länge der Hängebrücke.
(2 BE)
c4)
Begründe, dass
$\displaystyle\int_{0}^{b} \sqrt{1 + (g'(x))^2} \mathrm dx$ $>$ $\sqrt{b^2 + (g(b) - g(0))^2}$ für alle $0 < b \leq 1$
gilt.
(3 BE)
#integral
d)
Auch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion
$h$ mit $h(x) = \dfrac{1}{2} \cdot (e^x + e^{-x})$
kann zur Beschreibung von Hängebrücken verwendet werden. Es gilt $h''(x) = h(x)$.
d1)
Weise rechnerisch nach, dass $(h(x))^2 - (h'(x))^2 = 1$ gilt.
(4 BE)
d2)
Leite her, dass $\displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{1 + (h'(x))^2} \mathrm dx = h'(b) - h'(a)$ ist.
(3 BE)
#integral
Material
$x$$0 $$0,1 $$0,2 $$0,3 $$0,4 $$0,5 $$0,6 $$0,7 $$0,8 $$0,9 $$1 $
$g(x)$$ $$0,192 $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$0,272 $$ $
$x$$g(x)$
$0 $$ $
$0,1 $$ 0,192$
$ 0,2$$ $
$ 0,3$$ $
$0,4 $$ $
$ 0,5$$ $
$0,6 $$ $
$ 0,7$$ $
$0,8 $$ $
$ 0,9$$ 0,272$
$ 1$$ $
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Lösungen
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a)
a1)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung herleiten
Bei $f$ handelt es sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades:
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& ax^3 +bx^2 +cx +d \\[5pt] f'(x) &=& 3ax^2 +2bx + c \end{array}$
Mit den Koordinaten aus dem Aufgabentext folgt:
  • $f(0) = 0,2$
  • $f(1) = 0,3$
  • $f(0,5) = 0,13$
  • $f'(0,5) = 0$
Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 0,2 &=& a\cdot 0^3 + b\cdot 0^2 +c\cdot 0 + d \\[5pt] & 0,2 &=& d \\[10pt] \text{II}\quad& 0,3&=& a\cdot 1^3 + b\cdot 1^2 +c\cdot 1 +d \\[5pt] & 0,3&=& a + b +c +d &\quad \scriptsize\mid \; \text{I}\, d = 0,2 \\[5pt] & 0,3&=& a + b +c +0,2 &\quad \scriptsize\mid \; -0,2 \\[5pt] &0,1&=& a+b+c \\[10pt] \text{III}\quad&0,13&=& a\cdot 0,5^3 + b\cdot 0,5^2 + c\cdot 0,5 + d &\quad \scriptsize\mid \; \text{I}\, d = 0,2 \\[5pt] &0,13&=& a\cdot 0,5^3 + b\cdot 0,5^2 + c\cdot 0,5 + 0,2 \\[5pt] &0,13&=& 0,125a + 0,25b + 0,5c + 0,2 &\quad \scriptsize\mid \; -0,2 \\[5pt] &-0,07&=& 0,125a + 0,25b + 0,5c \\[10pt] \text{IV}\quad& 0 &=& 3a\cdot 0,5^2 +2b\cdot 0,5 + c \\[5pt] & 0 &=& 0,75a+b + c \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 0,2…\\[10pt] \text{II}\quad& 0,3… \\[10pt] \text{III}\quad&0,13… \\[10pt] \text{IV}\quad& 0 … \\[5pt] \end{array}$
Aus dem Gleichungssystem der letzten drei Gleichungen erhältst du dann:
  • $a=0,4$
  • $b= -0,12$
  • $c= -0,18$
  • $d= 0,2$
Eine Gleichung von $f$ lautet also:
$f(x)= 0,4x^3 -0,12x^2 -0,18x +0,2.$
$f(x)= 0,4x^3 -0,12x^2 -0,18x +0,2.$
a2)
$\blacktriangleright$  Stelle mit der Höhe bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0,24 \\[5pt] 0,4x^3 -0,12x^2 -0,18x +0,2 &=& 0,24 \\[5pt] x&\approx& 0,9129 \end{array}$
$ x\approx 0,9129 $
An der Stelle $x\approx 0,9129$ beträgt die Höhe über dem Meeresspiegel ca. $240\,\text{m}.$
$\blacktriangleright$  Steigung bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 1,2x^2 -0,24x -0,18 \\[10pt] f'(0,9129) &=& 1,2\cdot 0,9129^2 -0,24\cdot 0,9129 -0,18 \\[5pt] &\approx& 0,601 \end{array}$
$ f'(0,9129)\approx 0,601 $
An der Stelle, an der die Höhe über dem Meeresspiegel ca. $240\,\text{m}$ beträgt, beträgt die Steigung ca. $60,1\,\%.$
a3)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliches Gefälle bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m} &=& \dfrac{0,13 - 0,2}{0,5-0} \\[5pt] &=& \dfrac{-0,07}{0,5} \\[5pt] &=& -0,14 \end{array}$
Auf dem Weg von $A$ nach $T$ beträgt das durchschnittliche Gefälle $14\,\%.$
$\blacktriangleright$  Maximales Gefälle bestimmen
Gesucht ist der kleinste Funktionswert von $f'$ im Intervall $[0;0,5].$
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &= 1,2x^2 -0,24x -0,18 \\[5pt] f''(x) &= 2,4x -0,24 \\[5pt] f'''(x) &= 2,4 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &= … \\[5pt] f''(x) &= … \\[5pt] f'''(x) &= … \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f''(x) &=& 0 \\[5pt] 2,4x -0,24 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +0,24 \\[5pt] 2,4 x &=& 0,24 &\quad \scriptsize \mid\; :2,4 \\[5pt] x &=& 0,1 \end{array}$
$ x=0,1 $
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$f'''(0,1) = 2,4$
An der Stelle $x=0,1$ besitzt $f'$ also ein lokales Minimum.
4. Schritt: Funktionswerte der Intervallränder vergleichen
$\begin{array}[t]{rll} f'(0,1) &=& 1,2\cdot 0,1^2 -0,24\cdot 0,1 -0,18 \\[5pt] &=& -0,192 \\[10pt] f'(0) &=& 1,2\cdot 0^2 -0,24\cdot 0 -0,18 \\[5pt] &=& -0,18 \\[10pt] f'(0,5) &=& 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(0,1) &=& -0,192 \\[10pt] f'(0) &=& -0,18 \\[10pt] f'(0,5) &=& 0 \\[10pt] \end{array}$
Das globale Minimum von $f'$ liegt also an der Stelle $x=0,1.$ Das maximale Gefälle auf dem Weg von $A$ nach $T$ beträgt $19,2\,\%.$
#ableitung#steigung
b)
b1)
$\blacktriangleright$  Wertetabelle und Graph ergänzen
$x$$0 $$0,1 $$0,2 $$0,3 $$0,4 $$0,5 $$0,6 $$0,7 $$0,8 $$0,9 $$1 $
$g(x)$$0,2 $$0,192 $$0,188 $$0,188 $$0,192 $$ 0,2 $$0,212 $$ 0,228$$0,248 $$0,272 $$0,3 $
$x$$g(x)$
$0 $$ 0,2$
$0,1 $$ 0,192$
$ 0,2$$ 0,188$
$ 0,3$$0,188 $
$0,4 $$0,192 $
$ 0,5$$0,2 $
$0,6 $$0,212 $
$ 0,7$$0,228 $
$0,8 $$0,248 $
$ 0,9$$ 0,272$
$ 1$$ 0,3$
undefined
Abb. 1: Einzeichnen des Graphen von $g$
undefined
Abb. 1: Einzeichnen des Graphen von $g$
b2)
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Ermittle die jeweiligen Steigungswinkel der beiden Graphen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha_1)&=& f'(1) \\[5pt] \tan (\alpha_1)&=& 1,2\cdot 1^2 -0,24\cdot 1 -0,18 \\[5pt] \tan (\alpha_1)&=& 0,78 &\quad \scriptsize\mid \; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha_1&\approx& 37,95^{\circ} \end{array}$
$ \alpha_1\approx 37,95^{\circ} $
Für die Hängebrücke folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g'(x) &=& 0,4x -0,1 \\[5pt] \tan(\alpha_2)&=& g'(1) \\[5pt] \tan (\alpha_2)&=& 0,4\cdot 1 -0,1 \\[5pt] \tan (\alpha_2)&=& 0,3 &\quad \scriptsize\mid \; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha_2&\approx& 16,70^{\circ} \end{array}$
$ \alpha_2\approx 16,70^{\circ} $
Es ist
$\alpha_1-\alpha_2 \approx 37,95^{\circ} -16,70^{\circ} = 21,25^{\circ} .$
$ \alpha_1-\alpha_2 \approx 21,25^{\circ}.$
Der Winkel zwischen dem Verlauf der Hängebrücke und dem Querschnitt des Tals beträgt ca. $21,25^{\circ}.$
#steigungswinkel
c)
c1)
$\blacktriangleright$  Punkte einzeichnen
undefined
Abb. 2: Einzeichnen der Punkte mit einem Abstand von $50\,\text{m}$
undefined
Abb. 2: Einzeichnen der Punkte mit einem Abstand von $50\,\text{m}$
c2)
$\blacktriangleright$  Größte Höhe über dem Boden ermitteln
Die Höhe der Hängebrücke über dem Boden kann durch folgende Differenzenfunktion beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& g(x) - f(x) \\[5pt] &=& 0,2x^2 -0,1x +0,2 - \left(0,4x^3-0,12x^2 -0,18x +0,2 \right) \\[5pt] &=& -0,4x^3 +0,32x^2 +0,08x \\[5pt] \end{array}$
$ h(x)=-0,4x^3 +0,32x^2 +0,08x $
Gesucht ist nun der maximale Funktionswert von $h$ im Intervall $[0;1]:$
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} h'(x) &=& -1,2x^2 +0,64x +0,08 \\[5pt] h''(x) &=&-2,4x +0,64 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h'(x) &= -1,2x^2 +0,64x +0,08 \\[5pt] h''(x) &= -2,4x +0,64 \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} h'(x) &=& 0 \\[5pt] -1,2x^2 +0,64x +0,08 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:(-1,2) \\[5pt] x^2 - \frac{8}{15} x - \frac{1}{15} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel}\\[5pt] x_{1/2} &=& -\frac{-\frac{8}{15}}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-\frac{8}{15}}{2}\right)^2 +\frac{1}{15}} \\[5pt] &=&\frac{4}{15}\pm \sqrt{\frac{16}{225} +\frac{1}{15}} \\[5pt] x_1 &\approx& -0,105\\[5pt] x_2 &\approx& 0,638 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h'(x) &=& 0 \\[5pt] x_1 &\approx& -0,105\\[5pt] x_2 &\approx& 0,638 \end{array}$
$x_1$ liegt außerhalb des betrachteten Bereichs. Also wird im Folgenden nur $x_2$ betrachtet:
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} h''(0,638)&=& -2,4\cdot 0,638 +0,64 \\[5pt] &\approx& -0,8912 < 0 \end{array}$
$ h''(0,638) < 0 $
An der Stelle $x \approx 0,638$ besitzt $h$ also ein lokales Maximum.
4. Schritt: Funktionswerte der Intervallränder vergleichen
$\begin{array}[t]{rll} h(0,638) &=& -0,4\cdot 0,638^3 +0,32\cdot 0,638^2 +0,08\cdot 0,638 \\[5pt] &\approx& 0,077 \\[5pt] h(0) &=& -0,4\cdot 0^3 +0,32\cdot 0^2 +0,08\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] h(1) &=& -0,4\cdot 1^3 +0,32\cdot 1^2 +0,08\cdot 1 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h(0,638) &\approx& 0,077 \\[5pt] h(0) &=& 0 \\[5pt] h(1) &=& 0 \end{array}$
Die größte Höhe der Hängebrücke über dem Boden beträgt also ca. $77\,\text{m}.$
c3)
$\blacktriangleright$  Länge der Hängebrücke berechnen
$\begin{array}[t]{rll} L_H &=& \displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+(g'(x))^2}\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+(0,4x-0,1)^2}\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+0,16x^2-0,04x +0,01}\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1,01+0,16x^2-0,04x}\;\mathrm dx \\[5pt] & \approx& 1,012 \end{array}$
$ L_H\approx 1,012 $
Die Hängebrücke ist ca. $1012\,\text{m}$ lang.
c4)
$\blacktriangleright$  Ungleichung begründen
Mit $\displaystyle\int_{0}^{b}\sqrt{1+(g'(x))^2}\;\mathrm dx $ wird die Länge der Hängebrücke vom Punkt $A$ bis zum Punkt $P(b\mid g(b))$ berechnet.
Mit $\sqrt{b^2+(g(b)-g(0))^2}$ wird nach dem Satz des Pythagoras die Länge der direkten geradlinigen Verbindungsstrecke zwischen $A$ und $P(b\mid g(b))$ berechnet.
Da die Brücke nicht geradelinig verläuft, ist sie Länger als die direkte geradlinige Verbindungsstrecke zwischen den beiden betrachteten Punkten.
#extrempunkt
d)
d1)
$\blacktriangleright$  Gleichung rechnerisch nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& \frac{1}{2} \cdot \left(\mathrm e^{x} +\mathrm e^{-x}\right) \\[10pt] h'(x) &=& \frac{1}{2}\cdot \left( \mathrm e^{x} - \mathrm e^{-x}\right) \\[5pt] \end{array}$
$ h'(x)=… $
Dann folgt:
$\begin{array}[t]{rll} & (h(x))^2 - (h'(x))^2 \\[5pt] =& \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\mathrm e^{x} +\mathrm e^{-x}\right)\right)^2 - \left( \frac{1}{2}\cdot \left( \mathrm e^{x} - \mathrm e^{-x}\right)\right)^2 \\[5pt] =& \frac{1}{4}\cdot\left(\mathrm e^{x} +\mathrm e^{-x}\right)^2 - \frac{1}{4}\cdot \left( \mathrm e^{x} - \mathrm e^{-x}\right)^2 \\[5pt] =& \frac{1}{4}\cdot\left(\left(\mathrm e^{x} +\mathrm e^{-x}\right)^2 - \left( \mathrm e^{x} - \mathrm e^{-x}\right)^2\right)\\[5pt] =& \frac{1}{4}\cdot\left(\left(\left(\mathrm e^{x} +\mathrm e^{-x}\right) + \left( \mathrm e^{x} - \mathrm e^{-x}\right)\right) \cdot \left(\left(\mathrm e^{x} +\mathrm e^{-x}\right) - \left( \mathrm e^{x} - \mathrm e^{-x}\right)\right)\right) \\[5pt] =& \frac{1}{4}\cdot\left(\left(2\mathrm e^{x} \right) \cdot \left(2\mathrm e^{-x}\right)\right) \\[5pt] =& \frac{1}{4}\cdot\left(4\mathrm e^{x} \cdot \mathrm e^{-x}\right) \\[5pt] =& 1 \end{array}$
$ (h(x))^2 - (h'(x))^2 … $
d2)
$\blacktriangleright$  Gleichung herleiten
Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} (h(x))^2 - (h'(x))^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; +(h'(x))^2 \\[5pt] (h(x))^2 &=& 1 +(h'(x))^2 \end{array}$
$ (h(x))^2 = 1 +(h'(x))^2 $
Einsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} & \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(h'(x))^2}\;\mathrm dx \\[5pt] =& \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{(h(x))^2}\;\mathrm dx \\[5pt] =& \displaystyle\int_{a}^{b}\left|h(x)\right|\;\mathrm dx &\quad \scriptsize\mid \; h(x) > 0 \\[5pt] =& \displaystyle\int_{a}^{b}h(x)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize\mid \; h(x) =h''(x)\\[5pt] =& \displaystyle\int_{a}^{b}h''(x)\;\mathrm dx \\[5pt] =& \left[h'(x)\right]_a^b \\[5pt] =& h'(b)-h'(a) \\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(h'(x))^2}\;\mathrm dx = …$
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