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Analysis 2

Aufgaben
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a)
1)
Bestimme mit Hilfe der Grafik auf dem Beiblatt sowohl die Temperatur als auch die momentane Temperaturänderungsrate sechs Minuten nach Beginn der Messung.
(4 BE)
#änderungsrate
$\,$
2)
Berechne die maximale Temperatur.
(6 BE)
$\,$
3)
Berechne die durchschnittliche Temperatur über dem Zeitintervall $[0;9].$
(3 BE)
$\,$
4)
Der Hersteller behauptet, dass die momentane Temperaturänderungsrate zu Beginn des Grillvorgangs $5^{\circ}C$ pro Sekunde erreicht.
Zeige rechnerisch, dass diese Behauptung bei dem untersuchten Grillvorgang nicht zutrifft.
(3 BE)
b)
Nach $9$ Minuten kühlt der ausgeschaltete Grill bei geöffnetem Deckel weiter ab. Die bei der Abkühlung gewonnenen Messpunkte liegen auf dem Graphen einer Funktion $g_{a;b}$ mit
$g_{a;b}(t) = a \cdot \mathrm e^{−b\cdot(t−9)} + 7;$ $9 \leq t \leq 20;$ $a > 0;$ $b > 0.$
Es gilt $g'_{a;b}(t) = −a \cdot b \cdot \mathrm e^{−b\cdot(t−9)}.$
$\,$
1)
Beweise, dass die Graphen der Funktionen $g_{a;b}$ für alle $a > 0$ und $b > 0$ an jeder Stelle $t$ fallen.
(2 BE)
$\,$
2)
Die Graphen der Funktionen $g''_{a;b}$ verlaufen für alle $a>0$ und $b>0$ vollständig oberhalb der $t$-Achse. Erläutere die Bedeutung dieser Eigenschaft für die Graphen der Funktionen $g_{a:b}.$
(2 BE)
$\,$
3)
Auf dem Beiblatt ist der Graph einer Funktion $g_{a;b}$ abgebildet, der knickfrei an den Graphen von $f$ anschließt. Bestimme die zugehörigen Parameter $a$ und $b.$
(5 BE)
c)
Im Folgenden wird die Funktion $g$ mit
$g(t) = g_{280; 0,5}(t) =$ $280 \cdot \mathrm e^{−0,5\cdot(t−9)} + 7;$ $9 \leq t \leq 20$
und die durch die Funktion $g$ beschriebene Abkühlungsphase betrachtet.
$\,$
1)
Ermittle den Zeitpunkt $t,$ an dem die momentane Temperaturänderungsrate gleich der mittleren Temperaturänderungsrate der Abkühlungsphase ist.
(4 BE)
#änderungsrate
$\,$
2)
Berechne das zweiminütige Zeitintervall, in dem die Temperatur um genau $100^{\circ}C$ sinkt.
(3 BE)
d)
Der Graph von $f,$ der Graph von $g$ und die $t$-Achse begrenzen über dem Intervall $[0; 20]$ eine Fläche $F.$
$\,$
1)
Berechne den Inhalt $A$ dieser Fläche $F.$
[Zur Kontrolle: $A\approx 2.666,91]$
(3 BE)
$\,$
2)
Durch den Punkt $M(m \mid 0)$ verläuft eine zur $y$-Achse parallele Gerade, die die Fläche $F$ in zwei flächeninhaltsgleiche Teile zerlegt.
Ermittle den Wert $m.$
(5 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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a)
1)
$\blacktriangleright$  Temperatur bestimmen
Mit der Abbildung ergibt sich $f(6)\approx 250.$
Sechs Minuten nach Beginn der Messung beträgt die Temperatur ca. $250^{\circ}C.$
$\blacktriangleright$  Momentane Änderungsrate bestimmen
Die momentane Änderungsrate der Temperatur sechs Minuten nach Messbeginn entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(6\mid 250).$
Zeichnest du die Tangente in die Abbildung ein, kannst du diese Steigung mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.
Tangente
Abb. 1: Einzeichnen der Tangente
Tangente
Abb. 1: Einzeichnen der Tangente
$\begin{array}[t]{rll} m&\approx& \dfrac{100}{1,5} \\[5pt] &\approx& 67 \end{array}$
Sechs Minuten nach Messbeginn beträgt die momentane Temperaturänderungsrate ca. $67^{\circ}C$ pro Minute.
#tangente
$\,$
2)
$\blacktriangleright$  Maximale Temperatur berechnen
Bestimme zunächst die Koordinaten der Hochpunkte des Graphen von $f$ und überprüfe dann die Intervallränder auf mögliche Randextrema.
1. Schritt: Ableitungsfunktion bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=& -t^4+\frac{56}{3}t^3-112t^2+256t+8 \\[5pt] f'(t)&=& -4t^3+56t^2-224t+256\\[5pt] \end{array}$
$ f'(t)=-4t^3+ … $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] -4t^3+56t^2-224t+256&=& 0 &\quad \scriptsize\mid \; :(-4) \\[5pt] t^3-14t^2+56t-64&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ t^3-… =0 $
Anhand der Abbildung kannst du vermuten, dass $x_1=8$ eine Extremstelle von $f$ und damit eine Nullstelle von $f'$ ist. Eine Überprüfung ergibt:
$f'(8)= -4\cdot 8^3+56\cdot 8^2-224\cdot 8+256 = 0$
$ f'(8)=0 $
Mithilfe einer Polynomdivision erhältst du:
$t^3$$-$$14t^2$$+$$56t$$-$$64$ $:$$(t-8)$$=$$t^2-6t+8 $
$-$ $(t^3$$-$$8t^2)$
$-$$6t^2$$+$$56t$
$-$$(-6t^2$$+$$48t)$
$8t$$-$$64$
$-$$(8t$$-$$64)$
$0$
$…= t^2-6t+8 $
Nun kannst du die übrigen Nullstellen von $f'$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} t^2-6t+8&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;pq\text{-Formel} \\[5pt] t_{2/3}&=& -\frac{-6}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2 - 8} \\[5pt] &=& 3\pm 1 \\[10pt] t_2&=& 3-1 \\[5pt] &=& 2 \\[10pt] t_3&=& 3+1 \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_2&=& 2 \\[10pt] t_3&=& 4 \end{array}$
Mögliche Extremstellen von $f$ sind also $t_1=8,$ $t_2=2$ und $t_3=4.$
3. Schritt: Funktionswerte vergleichen
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& -0^4+\frac{56}{3}\cdot 0^3-112\cdot 0^2+256\cdot0+8 \\[5pt] &=& 8 \\[10pt] f(2)&=& -2^4+\frac{56}{3}\cdot 2^3-112\cdot 2^2+256\cdot 2+8 \\[5pt] &=& \frac{616}{3} \\[5pt] &\approx& 205,3\\[10pt] f(4)&=& -4^4+\frac{56}{3}\cdot 4^3-112\cdot 4^2+256\cdot 4 +8 \\[5pt] &=& \frac{536}{3} \\[5pt] &\approx& 178,7\\[10pt] f(8)&=& -8^4+\frac{56}{3}\cdot 8^3-112\cdot 8^2+256\cdot 8+8 \\[5pt] &=& \frac{1.048}{3} \\[5pt] &\approx& 349,3\\[10pt] f(9)&=& -9^4+\frac{56}{3}\cdot 9^3-112\cdot 9^2+256\cdot9+8 \\[5pt] &=& 287 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 8 \\[10pt] f(2)&\approx& 205,3\\[10pt] f(4)&\approx& 178,7\\[10pt] f(8)&\approx& 349,3\\[10pt] f(9)&=& 287 \\[10pt] \end{array}$
Die maximale Temperatur beträgt also ca. $349,3^{\circ}C.$
#extrempunkt
$\,$
3)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Temperatur berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \overline{f([0;9])}&=& \dfrac{1}{9-0}\cdot \displaystyle\int_{0}^{9}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \frac{1}{9}\cdot \displaystyle\int_{0}^{9}\left( -t^4+\frac{56}{3}t^3-112t^2+256t+8\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \frac{1}{9}\cdot \left[ -\frac{1}{5}t^5+\frac{14}{3}t^4-\frac{112}{3}t^3+128t^2+8t\right]_0^9 \\[5pt] &=& \frac{1}{9}\cdot [ -\frac{1}{5}\cdot 9^5+\frac{14}{3}\cdot 9^4-\frac{112}{3}\cdot 9^3+128\cdot 9^2+8\cdot 9\\[5pt] & & - (-\frac{1}{5}\cdot 0^5+\frac{14}{3}\cdot 0^4-\frac{112}{3}\cdot 0^3+128\cdot 0^2+8\cdot 0 )] \\[5pt] &=& \frac{1}{9}\cdot \left[ -\frac{1}{5}\cdot 9^5+\frac{14}{3}\cdot 9^4-\frac{112}{3}\cdot 9^3+128\cdot 9^2+8\cdot 9\right] \\[5pt] &=& -\frac{1}{5}\cdot 9^4+\frac{14}{3}\cdot 9^3-\frac{112}{3}\cdot 9^2+128\cdot 9+8 \\[5pt] &=& \frac{1.129}{5} \\[5pt] &=& 225,8 \end{array}$
$ …= 225,8 $
Über dem Zeitintervall $[0;9]$ beträgt die durchschnittliche Temperatur $225,8^{\circ}C.$
#mittelwertvonfunktionen
$\,$
4)
$\blacktriangleright$  Momentane Änderungsrate zu Beginn des Vorgangs untersuchen
$\begin{array}[t]{rll} f'(0)&=& -4\cdot 0^3 +56\cdot 0^2 -224\cdot 0 +256 \\[5pt] &=& 256 \\[5pt] \end{array}$
$ f'(0)=256 $
Zu Beginn des Grillvorgangs beträgt die momentane Änderungsrate der Temperatur $256^{\circ}C$ pro Minute.
$256\,\dfrac{^{\circ}C}{\text{min}} \approx 4,27 \,\dfrac{^{\circ}C}{\text{s}} $
Zu Beginn des Grillvorgangs beträgt die momentane Änderungsrate der Temperatur also ca. $4,27^{\circ}C$ pro Sekunde und erreicht damit nicht den vom Hersteller angegebenen Wert.
b)
1)
$\blacktriangleright$  Beweisen, dass der Graph fällt
Die Steigung des Graphen von $g_{a;b}$ wird durch die erste Ableitungsfunktion $g'_{a;b}$ beschrieben.
$g'_{a;b}(t)= -a\cdot b\cdot \mathrm e^{-b\cdot (t-9)} $
Für alle $a>0$ und $b>0$ gilt für alle $t\in \mathbb{R}:$
  • $a>0$
  • $b>0$
  • $\mathrm e^{-b\cdot (t-9)} > 0$
Insgesamt gilt daher:
$g'_{a;b}(t)= -\underbrace{a}_{>0}\cdot \underbrace{b}_{>0}\cdot \underbrace{\mathrm e^{-b\cdot (t-9)}}_{>0} < 0.$
$ g'_{a;b}(t) <0 $

Da $g'_{a;b}(t)<0$ für alle Stellen $t$ gilt, ist die Steigung der Graphen von $g_{a;b}$ an jeder Stelle negativ. Die Graphen fallen also für alle $a>0$ und $b>0$ an jeder Stelle $t.$
#monotonie
$\,$
2)
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Eigenschaft erläutern
Durch die zweite Ableitungsfunktion wird die Krümmung des Graphen der Ausgangsfunktion beschrieben. Da die Graphen von $g''_{a;b}$ vollständig oberhalb der $t$-Achse verlaufen, ist $g''_{a;b}> 0$ an jeder Stelle $t.$
Die Graphen von $g_{a;b}$ sind also an allen Stellen $t$ linksgekrümmt.
Zudem besitzt $g''_{a;b}$ keine Nullstelle, wodurch an keiner Stelle $t$ das notwendige Kriterium für eine Wendestelle für $g_{a;b}$ erfüllt ist. Die Graphen von $g_{a;b}$ besitzen also keine Wendepunkte.
$\,$
3)
$\blacktriangleright$  Parameter bestimmen
Für einen knickfreien Übergang gelten folgende Bedingungen
  1. $g_{a;b}(9)= f(9)$
  2. $g'_{a;b}(9)= f'(9)$
Es ist $f(9)= 287.$
$f'(9)= -4\cdot 9^3 +56\cdot 9^2 -224\cdot 9+256 = -140 $
$ f'(9) = -140 $
Mit 1. ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} g_{a;b}(9)&=& f(9)&\quad \scriptsize \mid\;f(9)=287 \\[5pt] g_{a;b}(9)&=& 287 \\[5pt] a\cdot \mathrm e^{-b\cdot(9-9)}+7&=& 287 &\quad \scriptsize\mid \; -7 \\[5pt] a\cdot 1&=& 280 \\[5pt] a&=& 280 \end{array}$
$ a=280 $
Mit 2. folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} g'_{a;b}(9)&=& f'(9) &\quad \scriptsize \mid\;f'(9)=-140 \\[5pt] g'_{a;b}(9)&=& -140 \\[5pt] -a\cdot b\cdot \mathrm e^{-b\cdot (9-9)}&=& -140 \\[5pt] -a\cdot b &=& -140 &\quad \scriptsize \mid\;a=280 \\[5pt] -280b&=& -140 &\quad \scriptsize \mid\; :(-280)\\[5pt] b&=& 0,5 \\[5pt] \end{array}$
$ b=0,5 $
Damit der Graph von $g_{a;b}$ knickfrei an den von $f$ anschließt müssen $a=280$ und $b=0,5$ sein.
c)
1)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt ermitteln
1. Schritt: Mittlere Änderungsrate berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \overline{g'([9;20])}&=& \frac{1}{20-9}\cdot \left(g(20)-g(9) \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{11}\cdot \left(280\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (20-9)}+7 -\left(280\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (9-9)}+7\right) \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{11}\cdot \left(280\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 11}+7 -280-7 \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{11}\cdot \left(280\cdot \mathrm e^{-5,5}-280 \right) \\[5pt] &=& \frac{280}{11}\cdot \mathrm e^{-5,5}-\frac{280}{11} \\[5pt] \end{array}$
$ \overline{g'([9;20])}=… $
2. Schritt: Stellen mit der mittleren Änderungsrate bestimmen
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} g'(t)&=& \frac{280}{11}\cdot \mathrm e^{-5,5}-\frac{280}{11} \\[5pt] -140\cdot \mathrm e^{-0,5(t-9)}&=& \frac{280}{11}\cdot \mathrm e^{-5,5}-\frac{280}{11} &\quad \scriptsize \mid\;:(-140) \\[5pt] \mathrm e^{-0,5(t-9)}&=& -\frac{2}{11}\cdot \mathrm e^{-5,5}+\frac{2}{11} &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] -0,5(t-9) &=& \ln \left( -\frac{2}{11}\cdot \mathrm e^{-5,5}+\frac{2}{11}\right) &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,5) \\[5pt] t-9&=& -2\cdot \ln \left( -\frac{2}{11}\cdot \mathrm e^{-5,5}+\frac{2}{11}\right) &\quad \scriptsize \mid\; +9 \\[5pt] t&=& -2\cdot \ln \left( -\frac{2}{11}\cdot \mathrm e^{-5,5}+\frac{2}{11}\right) +9 \\[5pt] &\approx& 12,4 \end{array}$
$ t\approx 12,4 $
Ca. $12$ Minuten nach Beginn der Messung ist die momentane Temperaturänderungsrate gleich der mittleren Temperaturänderungsrate der Abkühlungsphase.
$\,$
2)
$\blacktriangleright$  Intervall berechnen
Gesucht ist der Anfangszeitpunkt $t$ mit $g(t)-100 = g(t+2):$
$\begin{array}[t]{rll} 280\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (t-9)} +7 -100&=& 280\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (t+2-9)} +7 &\quad \scriptsize \mid\;-7 \\[5pt] 280\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (t-9)} -100&=& 280\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (t-7)} &\quad \scriptsize \mid\;:280 \\[5pt] \mathrm e^{-0,5\cdot (t-9)} -\frac{5}{14}&=& \mathrm e^{-0,5\cdot (t-7)} \\[5pt] \mathrm e^{-0,5t+4,5} -\frac{5}{14}&=& \mathrm e^{-0,5t+3,5} \\[5pt] \mathrm e^{-0,5t}\cdot \mathrm e^{4,5} -\frac{5}{14}&=& \mathrm e^{-0,5t}\cdot \mathrm e^{3,5} &\quad \scriptsize \mid\; -\mathrm e^{-0,5t}\cdot \mathrm e^{4,5} \\[5pt] -\frac{5}{14}&=& \mathrm e^{-0,5t}\cdot \mathrm e^{3,5}- \mathrm e^{-0,5t}\cdot \mathrm e^{4,5} \\[5pt] -\frac{5}{14}&=& \mathrm e^{-0,5t}\cdot \left( \mathrm e^{3,5}-\mathrm e^{4,5}\right) &\quad \scriptsize \mid\;:\left( \mathrm e^{3,5}-\mathrm e^{4,5}\right) \\[5pt] \dfrac{-\frac{5}{14}}{\mathrm e^{3,5}-\mathrm e^{4,5} } &=& \mathrm e^{-0,5t}&\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] \ln\dfrac{-\frac{5}{14}}{\mathrm e^{3,5}-\mathrm e^{4,5} }&=& -0,5t &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,5) \\[5pt] -2\cdot \ln\dfrac{-\frac{5}{14}}{\mathrm e^{3,5}-\mathrm e^{4,5} } &=& t \\[5pt] 10,14 &\approx& t \end{array}$
$ t\approx 10,14 $
Im Intervall $[10,14\,;\,12,14]$ nimmt die Temperatur um $100^{\circ}C$ ab.
d)
1)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Die Fläche $F$ lässt sich in zwei Teilflächen aufteilen:
  • $F_1:$ Die Fläche, die der Graph von $f$ mit der $t$-Achse im Intervall $[0;9]$ begrenzt
  • $F_2:$ Die Fläche, die der Graph von $g$ mit der $t$-Achse im Intervall $[9;20]$ begrenzt
Beide Flächeninhalte können mithilfe von Integralen berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \displaystyle\int_{0}^{9}f(t)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{9}f(t)\;\mathrm dt &\quad \scriptsize\mid\; \text{Aufgabe a3)}\\[5pt] &=& 9\cdot \frac{1.129}{5} \\[5pt] &=& 2.032,2 \\[5pt] \end{array}$
$ A_1 = 2.032,2 $
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=& \displaystyle\int_{9}^{20}g(t)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{9}^{20}\left(280\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (t-9)}+7\right)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \left[ -560\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (t-9)}+7t\right]_9^{20} \\[5pt] &=& -560\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (20-9)}+7\cdot 20 - \left(-560\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (9-9)}+7\cdot 9\right) \\[5pt] &=& -560\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 11}+140 +560-63\\[5pt] &=& -560\cdot \mathrm e^{-5,5}+637 \\[5pt] &\approx& 634,71 \end{array}$
$ A_2\approx 634,71 $
Der Gesamtflächeninhalt beträgt daher:
$A\approx 2.032,2\,\text{FE} + 634,71\,\text{FE} = 2.666,91\,\text{FE}.$
$ A\approx 2.666,91\,\text{FE}$
#integral
$\,$
2)
$\blacktriangleright$  Wert ermitteln
Da $F_1$ aus dem letzten Aufgabenteil deutlich größer ist als $F_2,$ muss $m$ im Intervall $[0;9]$ liegen. Es muss also folgende Gleichung gelten:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{m}f(t)\;\mathrm dt&=& \frac{1}{2}\cdot A \\[5pt] [ -\frac{1}{5}t^5+\frac{14}{3}t^4-\frac{112}{3}t^3+128t^2+8t]_0^m&\approx& \frac{1}{2}\cdot 2.666,91 \\[5pt] -\frac{1}{5}\cdot m^5+\frac{14}{3}\cdot m^4-\frac{112}{3}\cdot m^3+128\cdot m^2+8\cdot m -0&\approx& 1.333,455 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-5) \\[5pt] \underbrace{m^5-\frac{70}{3}\cdot m^4+\frac{560}{3}\cdot m^3-640\cdot m^2-40\cdot m}_{=:h(m)} &\approx& -6.667,275 \\[5pt] \end{array}$
$ h(m):= m^5-\frac{70}{3}\cdot … $
Bestimme anhand der Abbildung einen ersten Schätzwert für $m,$ beispielsweise $m=7$ und löse die obige Gleichung dann durch systematisches Probieren.
  • $m=7:\quad$ $h(m)\approx -6.829,67$
  • $m=6,9:\quad$ $h(m)\approx -6.674,36$
  • $m=6,89:\quad$ $h(m)\approx -6.658,99$
  • $m= 6,895:\quad$ $h(m) \approx -6.666,67$
Die zur $y$-Achse parallele Gerade durch den Punkt $M(m\mid 0)$ mit $m\approx 6,90$ teilt die Fläche $F$ in zwei flächeninhaltsgleiche Teile.
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