Analytische Geometrie 1

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit den Eckpunkten $A(-3\mid-3\mid 0),$ $B(3\mid-3\mid 0),$ $C(3\mid3\mid 0),$ $D(-3\mid 3\mid 0)$ und $S(0\mid0\mid 4)$ sowie den Punkt $O(0\mid 0\mid 0),$ der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt.

Die Seitenfläche $CDS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E.$

Pyramide kartesisches Koordinatensystem Mathe Abi 2024

Abbildung 1

a1)

Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide.

(4 BE)

a2)

Genau eine der folgenden Gleichungen $(1)$ bis $(3)$ beschreibt eine Symmetrieebene der Pyramide. Gib diese Gleichung an und begründe für eine der anderen Gleichungen, dass die durch sie beschriebene Ebene keine Symmetrieebene der Pyramide ist.

$(1) \quad x_1-x_3=0$

$(2) \quad x_1+x_2+x_3=4$

$(3) \quad x_1+x_2=0$

(3 BE)

a3)

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $4x_2+3x_3=12$ )

(4 BE)

a4)

Es gibt einen Punkt $P(0\mid0\mid p),$ der im Innern der Pyramide liegt und von allen vier Seitenflächen sowie der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Mithilfe des folgenden Gleichungssystems lässt sich der Wert von $p$ bestimmen:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&\overrightarrow{OQ}&=& \pmatrix{0\\0\\p}+t\cdot\pmatrix{0\\4\\3} \\ \text{II}\quad&12&=&4 \cdot 4 t+3 \cdot(p+3 t) \\ \text{III}\quad&\left\vert\overrightarrow{PQ}\right\vert&=&p \end{array}$

Erläutere die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $p$ zugrunde liegen.

(5 BE)

Die Ebene $E$ gehört zur Schar der Ebenen $E_k: 4 k \cdot x+4 \sqrt{1-k^2} \cdot y+3 \cdot z = 12$ mit $k \in[-1 ; 1].$
Die Seitenfläche $ADS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E_{-1}$ der Schar, die Seitenfläche $BCS$ in der Ebene $E_1.$

b1)

Zeige, dass der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten ist.

(1 BE)

b2)

Weise nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $OS$ die Ebene $E_k$ schneidet, unabhängig von $k$ ist.

(4 BE)

Jede Ebene $E_k$ der Schar schneidet die $xy$ -Ebene in einer Gerade $g_k.$ Mit $R_k$ wird jeweils derjenige Punkt auf $g_k$ bezeichnet, der von $O$ den kleinsten Abstand hat.
In Abbildung 2 sind $g_k$ und $R_k$ beispielhaft für eine Ebene $E_k$ der Schar dargestellt.

b3)

Zeichne die Punkte $R_{-1}$ und $R_1$ in Abbildung 2 ein.

(2 BE)

Abbildung 2

b4)

Durchläuft $k$ alle Werte von $-1$ bis $1,$ dann dreht sich die Fläche $O R_k S$ um die Strecke $\overline{OS}.$ Dabei entsteht ein Körper. Beschreibe die Form des entstehenden Körpers und bestimme das Volumen dieses Körpers.

(3 BE)