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Stochastik

Aufgaben
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Vorbemerkung: Führe stets geeignete Zufallsvariablen und Namen für Ereignisse ein. Mache auch Angaben über die Verteilung der jeweiligen Zufallsvariablen.
a)  Im Rahmen einer Werbekampagne werden $500$ zufällig ausgewählte Besucher eines Fußball-Bundesligaspiels zu ihren Ess- und Trinkgewohnheiten im Stadion befragt.
$12\,\%$ der Befragten wollen sich sowohl Getränke (G) als auch Snacks (S) kaufen. $63\,\%$ der Befragten wollen sich Getränke kaufen, aber keine Snacks. $30\,\%$ der Befragten wollen sich Snacks kaufen.
  • Stelle den Sachverhalt durch eine geeignete Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten dar.
  • Berechne, wie viele Personen unter den Befragten sich weder Getränke noch Snacks kaufen wollen.
  • Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig auszuwählender Befragter, der keine Snacks kaufen will, auch keine Getränke kaufen will.
  • Unter $500$ befragten Besuchern werden $20$ zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter diesen $20$ Personen $3$ und $4$ Personen befinden, die sowohl Getränke als auch Snacks kaufen möchten. Gehe von einer Binomialverteilung aus.
  • Erkläre, warum bei der vorangehenden Teilaufgabe streng genommen von einer hypergeometrischen Verteilung ausgegangen werden sollte.
(15P)
b)  Auch an den Fernsehbildschirmen wird das Fußballspiel verfolgt.
In einer Wohnanlage wird in 6 von insgesamt 50 Wohnungen das Spiel angesehen. Aus den 50 Wohnungen sollen 10 zufällig ausgewählt werden.
  • Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Spiel in genau 6 von den 10 Wohnungen gesehen wird.
  • Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Spiel in höchstens 2 von den 10 Wohnungen gesehen wird.
(7P)
c)  Die Einschaltquote beträgt laut Angaben des Fernsehsenders mindestens $14\,\%$. Ein konkurrierender Medienkonzern glaubt, dass dieser Anteil zu hoch angegeben ist.
Erstelle einen Hypothesentest mit 300 Fernsehhaushalten, der geeignet ist, die Vermutung des Medienkonzerns auf einem Signifikanzniveau von $0,5\,\%$ zu stützen.
(14P)
d)  Gegeben sei eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ mit den Parametern $n$ und $p$. Die Standardabweichung sei $\sigma$. Beweise folgende Aussage:
Aus $n=(2\sigma)^2$ folgt $P(X=2)=\frac{n\cdot (n-1)}{2^{n+1}}$.
(Hinweis: Zeige zuerst: $n=(2\sigma)^2\Rightarrow p=0,5.$)
(4P)
Tabelle zur Normalverteilung, Werte der Gaußschen Integralfunktion $\Phi$
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Tipps
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a) $\blacktriangleright$  Vierfeldertafel aufstellen
Definiere:
  • $G$: Besucher möchte ein Getränk kaufen.
  • $S$: Besucher möchte einen Snack kaufen.
Trage alle bekannten Werte in die Vierfeldertafel ein und vervollständige nach und nach mit dem Prinzip des Gegenereignisses und den Rechenregeln für die Vierfeldertafel. Trage zuerst die gegebenen Werte aus der Aufgabenstellung in die Vierfeldertafel ein.
$\blacktriangleright$  Gesuchte Anzahl der Personen berechnen
Laut Aufgabenstellung werden $500$ zufällig ausgewählte Personen befragt. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person weder Getränke noch Snacks kaufen möchte, kannst du aus der Vierfeldertafel aus dem vorigen Aufgabenteil ablesen.
$\blacktriangleright$  Gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Befragter, der keine Snacks kaufen möchte, auch keine Getränke kaufen will. Diese ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Nutze die Formel für eine bedingte Wahrscheinlichkeit:
$P_{\overline{S}}(\overline{G})= \dfrac{P(\overline{G} \cap \overline{S})}{P(\overline{S})}$
Setze hier die Werte aus der aufgestellten Vierfeldertafel ein.
$\blacktriangleright$  Gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen
Sei $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl unter den $20$ Besuchern modelliert, die sowohl Getränke als auch Snacks kaufen wollen. Es gilt, dass $X$ binomialverteilt ist mit Parametern
  • $n=20$ (Anzahl der betrachteten Personen)
  • und $p=0,12$ (Wahrscheinlichkeit, dass eine Person sowohl Getränke, als auch Snacks kaufen möchte).
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den $20$ Personen drei oder vier Personen befinden, die sowohl Getränke als auch Snacks kaufen möchten, ergibt sich aus der Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten, dass $X$ den Wert $k=3$ oder $k=4$ annimmt. Nutze dazu die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariablen:
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$\blacktriangleright$  Hypergeometrische Verteilung begründen
Interpretiere die vorangegangene Teilaufgabe als Experiment im Urnenmodell und überlege dir, welche Verteilung für dieses angewandt wird.
b) $\blacktriangleright$  Gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen
Definiere eine Zufallsvariable $X$, die die Anzahl der unter den $10$ ausgewählten Wohnungen angibt, in denen das Spiel gesehen wird. Interpretiere die Situation im Urnenmodell, um die Verteilung von $X$ herzuleiten, und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel in genau $6$ von den $10$ Wohnungen gesehen wird.
Fasst du dies als Experiment im Urnenmodell auf, so gibt es $N=50$ Wohnungen, von denen $M=6$ das Spiel sehen. Davon werden $n=10$ ausgewählt, wobei keine Wohnung mehrfach ausgewählt werden kann. Das Experiment ist im Urnenmodell ohne Zurücklegen und es folgt, dass $X$ hypergeometrisch verteilt ist. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ den Wert $k=6$ annimmt.
Nutze die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariable $X$, die mit Parametern $N$ (Gesamtanzahl), $M$ (Anzahl der Elemente mit gewünschter Eigenschaft) und $n$ (Stichprobenumfang) hypergeometrisch verteilt ist, um $P(X=6)$ zu berechnen:
$P(X=k)= \dfrac{\binom{M}{k} \cdot \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich durch Einsetzen.
$\blacktriangleright$  Gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen
Hier ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel in höchstens $2$ von den $10$ Wohnungen gesehen wird, gesucht. Nutze die Modellannahmen aus der ersten Teilaufgabe. Die Wahrscheinlichkeit, dass in höchstens $2$ von $10$ Wohnungen das Spiel gesehen wird, ergibt sich aus der Summe, dass das Spiel in $0$, $1$ oder $2$ von den $10$ Wohnungen gesehen wird.
c) $\blacktriangleright$  Hypothesentest erstellen
Der erstellte Hypothesentest soll die Vermutung des konkurrierenden Medienkonzerns stützen, d.h. nachweisen, dass die Einschaltquote geringer als $14\%$ ist. In der Nullhypothese wird das Gegenteil dessen angenommen, was man zeigen möchte. Wähle deshalb
$H_0: p \geq 0,14$.
Der Test ist linksseitig und der Ablehnbereich des Tests hat die Form:
$\overline{A}=\{0; 1; … k\}$.
Falls relativ wenige der $300$ Fernsehhaushalte das Spiel gesehen haben, so wird die Nullhypothese verworfen.
Führe die Testgröße $X_p$ ein und bestimme deren Verteilung:
  • $X_p$ sei die Zufallsvariable, die die Anzahl der Haushalte, die das Spiel gesehen haben, angibt.
  • $X_p$ ist binomialverteilt mit Parametern $n=300$ und $p \in [0,14; 1]$.
$X_p$ kann als binomialverteilt angenommen werden, da ein Haushalt entweder das Spiel gesehen hat oder nicht und es daher nur zwei mögliche Ausgänge gibt. Ob ein Haushalt das Spiel gesehen hat, wird nicht von den anderen Haushalten beeinflusst. Somit sind die Haushalte unabhängig zueinander. Einem Erfolg entspricht in diesem Modell, dass ein Haushalt das Spiel gesehen hat.
Um den Ablehnbereich $\overline{A}$ zu bestimmen, musst die größte natürliche Zahl $k \in \{0; 1; … 300\}$ ermitteln, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass $X_p$ kleiner oder gleich $k$ (die Nullhypothese abgelehnt wird), kleiner oder gleich dem vorgegebenen Signifikanzniveau von $0,5\%$ für alle $p \geq 0,14$ ist:
$P(X_p \leq k) \leq 0,005$ für alle $p \geq 0,14$.
Je größer $p$ wird, desto mehr Haushalte haben das Spiel gesehen und desto kleiner wird die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Haushalte $X_p$, die das Spiel gesehen haben kleiner oder gleich $k$ ist:
$P(X_p \leq k) \leq P(X_{0,14}\leq k)$ für $p \geq 0,14$.
Somit genügt es, dass größte $k \in \{0; 1; … 300\}$ zu bestimmen, sodass $P(X_{0,14} \leq k) \leq 0,005$ ist. Mit obiger Überlegung folgt daraus, dass die Ungleichung für alle $p \in [0,14; 1]$ gilt:
$P(X_p \leq k) \leq P(X_{0,14}\leq k)\leq 0,005$.
Begründe nun, warum die Wahrscheinlichkeit durch die Normalverteilung approximiert werden kann und berechne damit den Ablehnbereich.
d) $\blacktriangleright$  Aussage beweisen
Die binomialverteilte Zufallsvariable $X$ mit den Parametern $n$, $p$ und Standardabweichung $\sigma$ ist gegeben. Damit gilt nach der Definition der Binomialverteilung für die Varianz:
$(Ⅰ)\qquad\sigma^2=n\cdot p \cdot (1-p)$
Nutze diese Darstellung der Varianz, um den Hinweis $n=\left(2\sigma\right)^2 \Rightarrow p=0,5$ zu beweisen.
Da $X$ binomialverteilt ist mit Parametern $n$ und $p$, erhältst du die Wahrscheinlichkeit, genau $k$ Erfolge zu erzielen, folgendermaßen:
$P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$.
Setze $\left(2\sigma\right)^2$ voraus. Daraus folgt $p=0,5$. Einsetzen von $k=2$ und $p=\dfrac{1}{2}$ in obige Gleichung liefert die Behauptung.
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Lösungen
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a) $\blacktriangleright$  Vierfeldertafel aufstellen
Definiere:
  • $G$: Besucher möchte ein Getränk kaufen.
  • $S$: Besucher möchte einen Snack kaufen.
Trage alle bekannten Werte in die Vierfeldertafel ein und vervollständige nach und nach mit dem Prinzip des Gegenereignisses und den Rechenregeln für die Vierfeldertafel. Der Aufgabenstellung kannst du folgende Werte entnehmen und direkt in die Vierfeldertafel einzeichnen:
  • $12 \%$ der Befragten wollen sich sowohl Snacks als auch Getränke kaufen. Trage dies in die Zelle der Zeile $G$ und der Spalte $S$ ein.
  • $63 \%$ der Befragten wollen sich Getränke kaufen, aber keine Snacks. Dies trägst du in die Zelle der Zeile $G$ und der Spalte $\overline{S}$ ein.
  • $30 \%$ der Befragten wollen sich Snacks kaufen. Trage dies in der Spalte $S$ in die unterste Zelle ein, da die unterste Zeile die addierten Wahrscheinlichkeiten angibt.
  • In die Zelle rechts unten kannst du die $1$ eintragen, da sich die Wahrscheinlichkeiten von $S$ und $\overline{S}$ sowie von $G$ und $\overline{G}$ zu Eins addieren.
Damit erhältst du:
$S$$\overline{S}$
$G$$0,12$$0,63$
$\overline{G}$
$0,3$$1$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher kein Getränk kaufen möchte, aber einen Snack, ergibt sich durch:
$P(\overline{G} \cap S)=P(S)-P(G \cap S)=0,3-0,12=0,18$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher keinen Snack kaufen möchte, ergibt sich durch:
$P(\overline{S})=1-P(S)=1-0,3=0,7$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher weder einen Snack noch ein Getränk kaufen möchte, ergibt sich durch:
$P(\overline{G} \cap \overline{S})=P(\overline{S})-P(G \cap \overline{S})=0,7-0,63=0,07$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher ein Getränk kaufen möchte, ergibt sich durch:
$P(G)=P(G \cap S) + P(G \cap \overline{S})=0,12 + 0,63 = 0,75$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher kein Getränk kaufen möchte, ergibt sich durch:
$P(\overline{G})=P(\overline{G} \cap S) + P(\overline{G} \cap \overline{S})=0,18 + 0,07 = 0,25$.
Eintragen liefert dir die vollständige Vierfeldertafel:
$S$$\overline{S}$
$G$$0,12$$0,63$$0,75$
$\overline{G}$$0,18$$0,07$$0,25$
$0,3$$0,7$$1$
$\blacktriangleright$  Gesuchte Anzahl der Personen berechnen
Laut Aufgabenstellung werden $500$ zufällig ausgewählte Personen befragt. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person weder Getränke noch Snacks kaufen möchte, kannst du aus der Vierfeldertafel aus dem vorigen Aufgabenteil ablesen:
$P(\overline{G} \cap \overline{S})=0,07$.
Durch Multiplikation erhältst du das Ergebnis:
$500 \cdot P(\overline{G} \cap \overline{S})=500 \cdot 0,07 = 35$.
Somit wollen $35$ der $500$ zufällig ausgewählten Personen weder Snacks noch Getränke kaufen.
$\blacktriangleright$  Gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Befragter, der keine Snacks kaufen möchte, auch keine Getränke kaufen will. Diese ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Nutze die Formel für eine bedingte Wahrscheinlichkeit:
$P_{\overline{S}}(\overline{G})= \dfrac{P(\overline{G} \cap \overline{S})}{P(\overline{S})}$
Einsetzen der Werte aus der aufgestellten Vierfeldertafel ergibt:
$P_{\overline{S}}(\overline{G})=\dfrac{0,07}{0,7}=0,1$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgesuchter Befragter, der keine Snacks kaufen will, auch keine Getränke kaufen möchte, beträgt $10 \%$.
$\blacktriangleright$  Gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen
Sei $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl unter den $20$ Besuchern modelliert, die sowohl Getränke als auch Snacks kaufen wollen. Es gilt, dass $X$ binomialverteilt ist mit Parametern
  • $n=20$ (Anzahl der betrachteten Personen)
  • und $p=0,12$ (bereits für die Vierfeldertafel berechnete Wahrscheinlichkeit, dass eine Person sowohl Getränke, als auch Snacks kaufen möchte).
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den $20$ Personen drei oder vier Personen befinden, die sowohl Getränke als auch Snacks kaufen möchten, ergibt sich aus der Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten, dass $X$ den Wert $k=3$ oder $k=4$ annimmt. Nutze dazu die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariablen:
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Damit ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=3) &=& \binom{20}{3}\cdot (0,12)^3 \cdot (1-0,12)^{20-3}\\[5pt] &=&\dfrac{20!}{17! \cdot 3!}\cdot (0,12)^3 \cdot (0,88)^{17}\\[5pt] &\approx&0,2242 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=4) &=& \binom{20}{4}\cdot (0,12)^4 \cdot (1-0,12)^{20-4}\\[5pt] &=&\dfrac{20!}{16! \cdot 4!}\cdot (0,12)^4 \cdot (0,88)^{16}\\[5pt] &\approx&0,1299 \end{array}$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhältst du durch Addieren der beiden Werte:
$P(X=3) + P(X=4) = 0,2242 + 0,1299 = 0,3541$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den $20$ Personen drei oder vier Personen befinden, die sowohl Getränke als auch Snacks kaufen möchten, beträgt $35,41 \%$.
$\blacktriangleright$  Hypergeometrische Verteilung begründen
Interpretiere die vorangegangene Teilaufgabe als Experiment im Urnenmodell und überlege dir, welche Verteilung für dieses angewandt wird.
Es werden $20$ zufällig ausgewählte Personen befragt, von denen kein Besucher mehrfach befragt wird. Dies ist im Urnenmodell charakteristisch für ein Experiment ohne Zurücklegen, da mit Zurücklegen bedeuten würde, dass eine Person mehrfach befragt werden kann. Bei dieser Art des Urnenmodells sollte von einer hypergeometrischen Verteilung ausgegangen werden.
b) $\blacktriangleright$  Gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen
Definiere eine Zufallsvariable $X$, die die Anzahl der unter den $10$ ausgewählten Wohnungen angibt, in denen das Spiel gesehen wird. Interpretiere die Situation im Urnenmodell, um die Verteilung von $X$ herzuleiten, und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel in genau $6$ von den $10$ Wohnungen gesehen wird.
Fasst du dies als Experiment im Urnenmodell auf, so gibt es $N=50$ Wohnungen, von denen $M=6$ das Spiel sehen. Davon werden $n=10$ ausgewählt, wobei keine Wohnung mehrfach ausgewählt werden kann. Das Experiment ist im Urnenmodell ohne Zurücklegen und es folgt, dass $X$ hypergeometrisch verteilt ist. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ den Wert $k=6$ annimmt.
Nutze die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariable $X$, die mit Parametern $N$ (Gesamtanzahl), $M$ (Anzahl der Elemente mit gewünschter Eigenschaft) und $n$ (Stichprobenumfang) hypergeometrisch verteilt ist, um $P(X=6)$ zu berechnen:
$P(X=k)= \dfrac{\binom{M}{k} \cdot \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich durch Einsetzen:
$\begin{array}[t]{rllll} P(X=6)&=&\dfrac{\binom{6}{6} \cdot \binom{50-6}{10-6}}{\binom{50}{6}} &=&\dfrac{\binom{6}{6} \cdot \binom{44}{4}}{\binom{50}{10}}\\[5pt] &=&\dfrac{\frac{6!}{0! \cdot 6!} \cdot \frac{44!}{40! \cdot 4!}}{\frac{50!}{40!\cdot 10!}} &=&\dfrac{44! \cdot 10!}{50! \cdot 4!}\\[5pt] &\approx& 0,000013 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel in $6$ von den $10$ Wohnungen gesehen wird, beträgt $0,0013 \%$.
$\blacktriangleright$  Gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen
Hier ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel in höchstens $2$ von den $10$ Wohnungen gesehen wird, gesucht. Nutze die Modellannahmen aus der ersten Teilaufgabe. Die Wahrscheinlichkeit, dass in höchstens $2$ von $10$ Wohnungen das Spiel gesehen wird, ergibt sich aus der Summe, dass das Spiel in $0$, $1$ oder $2$ von den $10$ Wohnungen gesehen wird.
Berechne die einzelnen Wahrscheinlichkeiten und addiere sie zur gesuchten Wahrscheinlichkeit:
$\begin{array}[t]{rllll} P(X=0)&=&\dfrac{\binom{6}{0} \cdot \binom{50-6}{10-0}}{\binom{50}{10}} &=&\dfrac{\binom{6}{0} \cdot \binom{44}{10}}{\binom{50}{10}}\\[5pt] &=&\dfrac{\frac{6!}{6! \cdot 0!} \cdot \frac{44!}{34! \cdot 10!}}{\frac{50!}{40!\cdot 10!}} &=&\dfrac{44! \cdot 40!}{50! \cdot 34!}\\[5pt] &=& \dfrac{9.139}{37.835} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rllll} P(X=1)&=&\dfrac{\binom{6}{1} \cdot \binom{50-6}{10-1}}{\binom{50}{10}} &=&\dfrac{\binom{6}{1} \cdot \binom{44}{9}}{\binom{50}{10}}\\[5pt] &=&\dfrac{\frac{6!}{5! \cdot 1!} \cdot \frac{44!}{35! \cdot 9!}}{\frac{50!}{40!\cdot 10!}} &=&6 \cdot 10 \cdot \dfrac{44! \cdot 40!}{50! \cdot 35!}\\[5pt] &\approx& 0,4141 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rllll} P(X=2)&=&\dfrac{\binom{6}{2} \cdot \binom{50-6}{10-2}}{\binom{50}{10}} &=&\dfrac{\binom{6}{2} \cdot \binom{44}{8}}{\binom{50}{10}}\\[5pt] &=&\dfrac{\frac{6!}{4! \cdot 2!} \cdot \frac{44!}{36! \cdot 8!}}{\frac{50!}{40!\cdot 10!}} &=&5 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 10 \cdot \dfrac{44! \cdot 40!}{50! \cdot 36!}\\[5pt] &\approx& 0,2588 \end{array}$
Addieren der Wahrscheinlichkeiten ergibt:
$\dfrac{9.139}{37.835}+0,4141+0,2588 \approx 0,9144$
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel in höchstens $2$ von den $10$ zufällig ausgewählten Wohnungen gesehen wird, beträgt $91,44 \%$.
c) $\blacktriangleright$  Hypothesentest erstellen
Der erstellte Hypothesentest soll die Vermutung des konkurrierenden Medienkonzerns stützen, d.h. nachweisen, dass die Einschaltquote geringer als $14\%$ ist. In der Nullhypothese wird das Gegenteil dessen angenommen, was man zeigen möchte. Wähle deshalb
$H_0: p \geq 0,14$.
Der Test ist linksseitig und der Ablehnbereich des Tests hat die Form:
$\overline{A}=\{0; 1; … k\}$.
Falls relativ wenige der $300$ Fernsehhaushalte das Spiel gesehen haben, so wird die Nullhypothese verworfen.
Führe die Testgröße $X_p$ ein und bestimme deren Verteilung:
  • $X_p$ sei die Zufallsvariable, die die Anzahl der Haushalte, die das Spiel gesehen haben, angibt.
  • $X_p$ ist binomialverteilt mit Parametern $n=300$ und $p \in [0,14; 1]$.
$X_p$ kann als binomialverteilt angenommen werden, da ein Haushalt entweder das Spiel gesehen hat oder nicht und es daher nur zwei mögliche Ausgänge gibt. Ob ein Haushalt das Spiel gesehen hat, wird nicht von den anderen Haushalten beeinflusst. Somit sind die Haushalte unabhängig zueinander. Einem Erfolg entspricht in diesem Modell, dass ein Haushalt das Spiel gesehen hat.
Um den Ablehnbereich $\overline{A}$ zu bestimmen, musst die größte natürliche Zahl $k \in \{0; 1; … 300\}$ ermitteln, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass $X_p$ kleiner oder gleich $k$ (die Nullhypothese abgelehnt wird), kleiner oder gleich dem vorgegebenen Signifikanzniveau von $0,5\%$ für alle $p \geq 0,14$ ist:
$P(X_p \leq k) \leq 0,005$ für alle $p \geq 0,14$.
Je größer $p$ wird, desto mehr Haushalte haben das Spiel gesehen und desto kleiner wird die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Haushalte $X_p$, die das Spiel gesehen haben kleiner oder gleich $k$ ist:
$P(X_p \leq k) \leq P(X_{0,14}\leq k)$ für $p \geq 0,14$.
Somit genügt es, dass größte $k \in \{0; 1; … 300\}$ zu bestimmen, sodass $P(X_{0,14} \leq k) \leq 0,005$ ist. Mit obiger Überlegung folgt daraus, dass die Ungleichung für alle $p \in [0,14; 1]$ gilt:
$P(X_p \leq k) \leq P(X_{0,14}\leq k)\leq 0,005$.
Aufgrund der Binomialverteilung von $X_{0,14}$ ergeben sich Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ mit dem Stichprobenumfang $n=300$ und der Erfolgswahrscheinlichkeit $p=0,14$ wie folgt:
$\mu= n \cdot p= 300 \cdot 0,14= 42$,
$\sigma= \sqrt{n \cdot p \cdot (n-p)}=\sqrt{300 \cdot 0,14 \cdot 0,86}=\sqrt{36,12}\approx 6,01 \geq 3$.
Da der Stichprobenumfang $n=300$ hinreichend groß und die Standardabweichung größer als $3$ ist, kann $X_p$ in guter Näherung als normalverteilt angenommen werden. Mit der Tabelle zur Normalverteilung erhält man:
$\begin{array}[t]{rrll} P\left(X_{0,14}\leq k\right)\approx&\Phi\left(\dfrac{k+0,5-\mu}{\sigma}\right) &\leq0,005& \scriptsize \mid\; \mu, \sigma \text{ einsetzen} \\[5pt] &\Phi\left(\dfrac{k-41,5}{\sqrt{36,12}}\right) &\leq0,005& \scriptsize \mid\; \text{Tabelle zur Normalverteilung} \\[5pt] &\dfrac{k-41,5}{\sqrt{36,12}}&\leq -2,58& \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{36,12} \\[5pt] &k-41,5&\leq -15,51& \scriptsize \mid\; +41,5 \\[5pt] &k&\leq 25,99 \end{array}$
Der Ablehnbereich ist $\overline{A}=\{0;1; … 25\}$. Haben höchstens $25$ der $300$ Fernsehhaushalte das Spiel gesehen, so kann die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau von $0,5 \%$ verworfen werden und die Vermutung des Medienkonzerns gestützt werden.
d) $\blacktriangleright$  Aussage beweisen
Die binomialverteilte Zufallsvariable $X$ mit den Parametern $n$, $p$ und Standardabweichung $\sigma$ ist gegeben. Damit gilt nach der Definition der Binomialverteilung für die Varianz:
$(Ⅰ)\qquad\sigma^2=n\cdot p \cdot (1-p)$
Nutze diese Darstellung der Varianz, um den Hinweis $n=\left(2\sigma\right)^2 \Rightarrow p=0,5$ zu beweisen.
$\begin{array}[t]{rll} n=& \left(2\sigma\right)^2& \scriptsize \mid\; \text{Ausmultiplizieren} \\[5pt] n=& 4 \cdot \sigma^2& \scriptsize \mid\; (Ⅰ)\text{ einsetzen} \\[5pt] n=& 4\cdot n\cdot p \cdot (1-p) & \scriptsize \mid\; :(4\cdot n) \\[5pt] \frac{1}{4}=&p \cdot (1-p)& \scriptsize \mid\; \text{Ausmultiplizieren} \\[5pt] \frac{1}{4}=&p - p^2& \scriptsize \mid\; -p +p^2 \\[5pt] p^2 - p +\frac{1}{4}=&0 \\[5pt] \end{array}$
Um die Gleichung nach $p$ aufzulösen, suchst du die Nullstellen des Polynoms $2.$ Grades. Dazu kannst du die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel verwenden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mitternachtsformel
Du kannst die Mitternachtsformel hier direkt anwenden, wobei $a=1$, $b=-1$ und $c=\dfrac{1}{4}$:
$\begin{array}[t]{rll} p_{1,2} =& \dfrac{{ -b \pm \sqrt {b^2 - 4 \cdot a \cdot c} }}{{2\cdot a}}& \scriptsize \mid\; a, b \text{ und } c \text{ einsetzen}\\[5pt] p_{1,2} =& \dfrac{{ -(-1) \pm \sqrt {(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)} }}{{2\cdot 1}}\\[5pt] p_{1,2} =&\dfrac{{ 1 \pm \sqrt {0} }}{{2}}\\[5pt] p_{1,2} =& \dfrac{1}{2} \end{array}$
Damit erhältst du die einzige Nullstelle $p=\dfrac{1}{2}$ und hast den Hinweis bewiesen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: PQ-Formel
Nenne deine Variable $p$ in $t$ um, damit du Verwechslungen in der Bezeichnung vermeidest, also $t^2 - t +\frac{1}{4}=0$. Mit $p=-1$ und $q=\dfrac{1}{4}$ hat dein Polynom die Form $t^2 + p \cdot t + q$. Also folgt für die Nullstellen:
$\begin{array}[t]{rll} t_{1,2} =& - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q} & \scriptsize \mid\; p \text{ und } q \text{ einsetzen} \\[5pt] t_{1,2} =& - \dfrac{-1}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-1}{2}} \right)^2 -\dfrac{1}{4}} \\[5pt] t_{1,2} =& \dfrac{1}{2} \pm \sqrt { {\dfrac{1}{4}} -\dfrac{1}{4}} \\[5pt] t_{1,2} =& \dfrac{1}{2} \end{array}$
Damit erhältst du die einzige Nullstelle $t=\dfrac{1}{2}$. In der ursprünglichen Bezeichnung entspricht dies $p=\dfrac{1}{2}$ und du hast den Hinweis bewiesen.
Da $X$ binomialverteilt ist mit Parametern $n$ und $p$, erhältst du die Wahrscheinlichkeit, genau $k$ Erfolge zu erzielen, folgendermaßen:
$P(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$.
Setze $\left(2\sigma\right)^2$ voraus. Daraus folgt $p=0,5$. Einsetzen von $k=2$ und $p=\dfrac{1}{2}$ in obige Gleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2)=&\displaystyle \binom{n}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(1-\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}& \scriptsize \mid\; \text{Formel für } \binom{n}{2}\\[5pt] =&\dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2!} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2} \\[5pt] =&\dfrac{n \cdot (n-1)}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2} \\[5pt] =&\dfrac{n \cdot (n-1)}{2 \cdot 2^2 \cdot 2^{n-2}}\\[5pt] =&\dfrac{n \cdot (n-1)}{2^{n+1}} \end{array}$
Somit hast du die Behauptung bewiesen.
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