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Analytische Geometrie

Aufgaben
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Aufgabe 3: Analytische Geometrie

In einer Stadt befindet sich ein quaderförmiges, $65 \,\text{ m}$ hohes Haus. In der Modellierung entspricht die $x_1x_2$-Ebene dem Erdboden. Die Grundfläche des Hauses ist das Rechteck $RSTU.$ Die jeweils entsprechenden Eckpunkte der Dachfläche heißen $R'$, $S'$, $T'$ und $U'.$
Die Eckpunkte $R$, $S$ und $T$ haben die Koordinaten
$R(80 \mid 200 \mid 0)$
$S(120 \mid 180 \mid 0)$ und
$T(135 \mid 210 \mid 0).$
Die Einheit entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.
Die Flugbahn einer Drohne wird beschrieben durch eine Gerade $g$ mit $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\0\\5}+t \cdot \pmatrix{3\\6\\2}.$
Dabei beschreibt $\overrightarrow{x}$ die Position der Drohne zur Zeit $t$, wobei $t$ in Sekunden gemessen wird.
Zur Zeit $t=0$ durchfliegt die Drohne also den Punkt $P(0 \mid 0 \mid 5).$
a)
a1)
Bestimme die Koordinaten des vierten Eckpunktes $U$ der Grundfläche.
$\,$
a2)
Ermittle die Entfernung der Drohne zum Punkt $P$ nach $15$ Sekunden.
$\,$
a3)
Berechne den Steigungswinkel $\alpha$ der Flugbahn.
(7 P)
#steigungswinkel
b)
b1)
Berechne den Flächeninhalt der Seitenfläche $RSS'R'$ des Hauses.
#flächeninhalt
$\,$
b2)
Untersuche, ob die Drohne diese Fläche treffen wird.
$\,$
b3)
Berechne den Abstand, den die Flugbahn der Drohne zur Geraden $h$ durch die Punkte $R'$ und $S'$ hat.
(15 P)
c)
Auf einem anderen Flug fliegt die Drohne entlang der Geraden $k$ mit
$k: \overrightarrow{x}=\pmatrix{40\\-220\\80}+ s \cdot \pmatrix{0\\10\\0}.$
Dabei gibt $s$ die Zeit in Sekunden nach dem Durchfliegen des Punktes $Q(40 \mid -220 \mid 80)$ an.
Die Drohne kann Signale von einer Sendeanlage $S_1$ mit den Koordinaten $S_1(40 \mid -260 \mid 10)$ und der Reichweite $250\,\text{m}$ oder von einer Sendeanlage $S_2$ mit den Koordinaten $S_2(40 \mid 300 \mid 10)$ und der Reichweite $390\,\text{m}$ empfangen.
c1)
Bestimme den Punkt $D$, an dem die Drohne den Sendebereich $S_1$ verlässt und prüfe, ob sie dort bereits im Sendebereich von $S_2$ ist.
$\,$
c2)
Die Drohne fliegt auf einen gesperrten Teil des Luftraums zu. Die Grenze zu diesem Bereich wird durch die Ebene $F$ mit
$F: 3x_1-4x_2=-400$
modelliert.
Berechne, zu welcher Zeit die Drohne nur noch einen Abstand von $200 \,\text{m}$ zu der Luftraumgrenze hat.
(12 P)
d)
Gegeben ist die Gleichung
$\pmatrix{3\\6\\2}\times \left[\overrightarrow{x}-\pmatrix{0\\0\\5}\right]=\overrightarrow{0}$
$\pmatrix{3\\6\\2}\times \dotsc $
d1)
Untersuche, ob der Vektor $\pmatrix{45\\90\\35}$ eine Lösung dieser Gleichung ist.
$\,$
d2)
Interpretiere die Lösungsmenge geometrisch.
(6 P)
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Lösungen
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a1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Die Grundfläche besitzt die Form eines Rechteckes. Daraus folgt, dass die Verschiebungsvektoren $\overrightarrow{SR}$ und $\overrightarrow{TU}$ parallel zueinander sind und die gleiche Länge besitzen müssen. Somit folgt mit den jeweiligen Ortsvektoren und den Verschiebungsvektoren folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OU}&=&\overrightarrow{OT} + \overrightarrow{SR} \\[5pt] &=&\overrightarrow{OT} + \overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OS} \\[5pt] &=&\pmatrix{135\\210\\0} + \pmatrix{80\\200\\0}- \pmatrix{120\\180\\0} \\[5pt] &=&\pmatrix{135\\210\\0} + \pmatrix{-40\\20\\0} \\[5pt] &=&\pmatrix{95\\230\\0} \\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{OU}=\pmatrix{95\\230\\0} $
Damit besitzt der vierte Eckpunkt die Koordinaten $U(95 \mid 230 \mid 0)$.
#verbindungsvektor
a2)
$\blacktriangleright$  Entfernung ermitteln
Für die Position der Drohne nach $15$ Sekunden folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{0\\0\\5}+ 15 \cdot \pmatrix{3\\6\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\5}+ \pmatrix{45\\90\\30} \\[5pt] &=& \pmatrix{45\\90\\35} \\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{x}=\pmatrix{45\\90\\35} $
Die Drohne befindet sich somit nach $15$ Sekunden an dem Punkt $(45\mid 90 \mid 35)$. Damit folgt für die Entfernung $d$ der Drohe zum Punkt $P$ nach $15$ Sekunden mit dem Satz des Pythagoras:
$\begin{array}[t]{rll} d&=&\sqrt{(45-0)^2 +(90-0)^2+ (35-5)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{45^2 +90^2+ 30^2} \\[5pt] &=& 105 \\[5pt] \end{array}$
$d=105$
Somit beträgt die Entfernung der Drohne zum Punkt $P$ $105 \,\text{m}$.
#satzdespythagoras
a3)
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel berechnen
Der Steigungswinkel $\alpha$ der Flugbahn ist der Winkel zwischen der Geraden $g$ und der $x_1x_2$-Ebene. Für den Normalenvektor der $x_1x_2$-Ebene gilt $\overrightarrow{n}=\pmatrix{0\\0\\1}$.
Mit der Formel für den Winkel zwischen einer Ebene und einer Geraden folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha&=&\dfrac{\pmatrix{3\\6\\2}\circ \pmatrix{0\\0\\1}}{\left|\pmatrix{3\\6\\2}\right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1}\right|} \\[5pt] \sin \alpha&=&\dfrac{2}{\sqrt{3^2+6^2+2^2} \cdot 1} \\[5pt] \sin \alpha&=& \dfrac{2}{7}& \quad \scriptsize \mid \, \sin^{-1}(\,) \\[5pt] \alpha&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{2}{7}\right) \\[5pt] \alpha&\approx& 16,6^°\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha \approx 16,6^° $
Somit beträgt der Steigungswinkel etwa $16,6^°$.
#normalenvektor
b1)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Das Haus ist quaderförmig und besitzt eine Höhe von $65 \,\text{m}$. Außerdem liegt die Grundfläche des Hauses in der $x_1x_2$-Ebene. Somit folgt, dass die Eckpunkte der Dachfläche den Eckpunkten der Grundfläche entsprechen, welche genau $65\,\text{m}$ in $x_3$-Richtung verschoben wurden. Somit folgen die Punkte $R'(80 \mid 200 \mid 65)$ und $S'(120 \mid 180 \mid 65)$.
Da die Seitenfläche $RSS'R'$ die Form eines Rechtecks besitzt, folgt für den Flächeninhalt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\left|\overrightarrow{RS}\right| \cdot \left|\overrightarrow{SS'}\right| \\[5pt] &=& \left|\overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OR}\right| \cdot \left|\overrightarrow{OS'}-\overrightarrow{OS}\right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{120\\180\\0} - \pmatrix{80\\200\\0}\right| \cdot \left|\pmatrix{120\\180\\65}-\pmatrix{120\\180\\0}\right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{40\\-20\\0} \right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\65}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{40^2+(-20)^2+0^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+65^2}\\[5pt] &=& \sqrt{2.000} \cdot 65\\[5pt] &\approx& 2.906,89\\[5pt] \end{array}$
$A \approx 2.906,89$
Somit beträgt der Flächeninhalt der Seitenfläche etwa $2.906,89\,\text{m}^2$.
b2)
$\blacktriangleright$  Auftreffpunkt der Drohne untersuchen
Die Fläche $RSS'R'$ liegt in einer Ebene, welche als Spannvektoren die Verbindungsvektoren zwischen den Punkten und als Stützvektor den Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt besitzt.
Eine mögliche Ebenengleichung in Parameterform lautet wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OR} + k \cdot \overrightarrow{RR'} + l \cdot \overrightarrow{RS} \\[5pt] &=& \overrightarrow{OR} + k \cdot\left(\overrightarrow{OR'}-\overrightarrow{OR} \right) + l \cdot \left(\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OR} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{80\\200\\0} + k \cdot \left(\pmatrix{120\\180\\65} - \pmatrix{120\\180\\0} \right) + l \cdot \left(\pmatrix{120\\180\\0} - \pmatrix{80\\200\\0} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{80\\200\\0} + k \cdot \pmatrix{0\\0\\65}+ l \cdot \pmatrix{40\\-20\\0} \\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{x}=\dotsc $
Somit folgt, dass die Fläche $RSS'R'$ in der Ebene
$E: \overrightarrow{x}=\pmatrix{80\\200\\0} + k \cdot \pmatrix{0\\0\\65}+ l \cdot \pmatrix{40\\-20\\0}$
$E: \dotsc$
liegt.
Für den Schnittpunkt der Ebene $E$ und der Flugbahn der Drohne $g$ folgt durch Gleichsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\0\\5} + t \cdot \pmatrix{3\\6\\2}&=&\pmatrix{80\\200\\0} + k \cdot \pmatrix{0\\0\\65}+ l \cdot \pmatrix{40\\-20\\0} & \quad \scriptsize \mid \, -\pmatrix{0\\0\\5} \\[5pt] t \cdot \pmatrix{3\\6\\2}&=&\pmatrix{80\\200\\-5} + k \cdot \pmatrix{0\\0\\65}+ l \cdot \pmatrix{40\\-20\\0} & \quad \scriptsize \mid \, -k \cdot \pmatrix{0\\0\\65} \\[5pt] t \cdot \pmatrix{3\\6\\2}+k \cdot \pmatrix{0\\0\\-65}&=&\pmatrix{80\\200\\-5} + l \cdot \pmatrix{40\\-20\\0} & \quad \scriptsize \mid \, -l \cdot \pmatrix{40\\-20\\0} \\[5pt] t \cdot \pmatrix{3\\6\\2}+k \cdot \pmatrix{0\\0\\-65}+ l \cdot \pmatrix{-40\\20\\0}&=&\pmatrix{80\\200\\-5} \\[5pt] \end{array}$
$ t \cdot \pmatrix{3\\6\\2}+ \dotsc $
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 3\cdot t-40 \cdot l&=& 80 \\ \text{II}\quad& 6 \cdot t +20 \cdot l&=& 200 &\quad \scriptsize \mid\, \cdot 2 \\ \text{III}\quad& 2 \cdot t -65 \cdot k&=& -5 \\ \hline \text{I}\quad& 3\cdot t-40 \cdot l&=& 80 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad& 12 \cdot t +40 \cdot l&=& 400 \\ \text{III}\quad& 2 \cdot t -65 \cdot k&=& -5 \\ \hline \text{I}'\quad& 15\cdot t&=& 480 \\ \text{II}\quad& 12 \cdot t +40 \cdot l&=& 400 \\ \text{III}\quad& 2 \cdot t -65 \cdot k&=& -5 \\ \end{array}$
$\text{I}: \dotsc $
Aus der Gleichung $\text{I}'$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 15 \cdot t&=& 480 &\quad \scriptsize \mid\;:15 \\[5pt] t&=& 32 \end{array}$
$ t=32 $
Für die Koordinaten des Schnittpunktes folgt mit der Geradengleichung, welche die Flugbahn der Drohne beschreibt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{0\\0\\5} + 32 \cdot \pmatrix{3\\6\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\5} + \pmatrix{96\\192\\64} \\[5pt] &=& \pmatrix{96\\192\\69}\\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{x}=\pmatrix{96\\192\\69}$
Der Schnittpunkt der Flugbahn der Drohne und der Ebene $E$ besitzt somit die Koordinaten $S(96 \mid 192 \mid 69)$. Somit kann der Schnittpunkt $S$ nicht in der Fläche $RSS'R'$ liegen, da die $x_3$-Koordinate des Schnittpunktes $69$ beträgt und alle Punkte in der Fläche maximal $65$ als $x_3$-Koordinate besitzen können. Deshalb wird die Drohne die Fläche nicht treffen.
#ebenengleichung#schnittpunkt
b3)
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Die Geradengleichung der Geraden $h$, welche durch die Punkte $R'$ und $S'$ verläuft, lautet in Parameterform beispielsweise:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OR'} + m \cdot \overrightarrow{R'S'} \\[5pt] &=& \overrightarrow{OR'} + m \cdot \left( \overrightarrow{OS'}- \overrightarrow{OR'}\right) \\[5pt] &=& \pmatrix{80\\200\\65} + m \cdot \left( \pmatrix{120\\180\\65}-\pmatrix{80\\200\\65}\right) \\[5pt] &=& \pmatrix{80\\200\\65} + m \cdot \pmatrix{40\\-20\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{x}= \dotsc $
Somit gilt $h: \overrightarrow{x}=\pmatrix{80\\200\\65} + h \cdot \pmatrix{40\\-20\\0}$.
Der Abstand zweier Geraden kann mit einer Hilfsebene bestimmt werden. Für die Hilfsebene $E_1$ welche den Stützvektor der Geraden $h$ enthält und als Richtungsvektoren die Richtungsvektoren der Geraden folgt:
$E_1: \overrightarrow{x}=\pmatrix{80\\200\\65}+ r \cdot \pmatrix{3\\6\\2} + v \cdot \pmatrix{40\\-20\\0}$
$ E_1: \dotsc $
Die Ebene $E_1$ ist parallel zu der Geraden $g$ und enthält die Gerade $h$. Für den Normalenvektor der Ebene $E_1$ folgt mit den Richtungsvektoren:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{3\\6\\2}\times \pmatrix{40\\-20\\0}\\[5pt] &=& \pmatrix{40\\80\\-60-240}\\[5pt] &=& \pmatrix{40\\80\\-300}\\[5pt] \end{array}$
Für die Ebenengleichung in Koordinatenform folgt mit dem Normalenvektor und dem Stützvektor der Ebene:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{40\\80\\-300} \circ \left[\pmatrix{x_1\\x_2\\x_3}-\pmatrix{80\\200\\65}\right]&=& 0\\[5pt] \pmatrix{40\\80\\-300} \circ \pmatrix{x_1-80\\x_2-200\\x_3-65}&=& 0\\[5pt] 40\cdot x_1-3.200 +80 \cdot x_2 -16.000 -300 \cdot x_3 +19.500&=& 0\\[5pt] 40\cdot x_1 +80 \cdot x_2 -300 \cdot x_3 +300 &=& 0\\[5pt] \end{array}$
$40\cdot x_1 + \dotsc$
Da die Gerade $g$ parallel zu der Ebene $E_1$ ist, genügt es den Abstand der Ebene $E_1$ zu einem beliebigen Punkt auf der Geraden zu bestimmen. Mit dem Stützvektor der Geraden $g$ und der Hesseschen Normalform folgt für den Abstand der Geraden $h$ zur Geraden $g$:
$\begin{array}[t]{rll} d&=&\dfrac{\left|40 \cdot 0 + 80 \cdot 0 -300 \cdot 5 +300\right|}{\left|\pmatrix{40\\80\\-300}\right| } \\[5pt] &=&\dfrac{\left| -1.500 +300\right|}{\sqrt{40^2+80^2+(-300)^2} } \\[5pt] &=&\dfrac{1.200}{\sqrt{98.000} } \\[5pt] &\approx& 3,83\\[5pt] \end{array}$
$d \approx 3,83$
Somit beträgt der Abstand den die Flugbahn der Drohne zur Gerade $h$ besitzt etwa $3,83 \,\text{m}$.
#hesseschenormalform#richtungsvektor
c1)
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Punktes bestimmen
Die Drohne verlässt den Sendebereich der Sendeanlange $S_1$, falls der Abstand der Drohne zu der Sendeanlange größer als $250\,\text{m}$ ist. Somit gilt für den Zeitpunkt, zudem die Drohne den Sendebereich der Sendeanlange $S_1$ verlässt, dass der Abstand genau $d=250\,\text{m}$ beträgt. Damit folgt mit der Geradengleichung und den Koordinaten der Sendeanlage $S_1$ folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} d&=& 250 \\[5pt] \left| \pmatrix{40\\-220\\80} + s \cdot \pmatrix{0\\10\\0} - \pmatrix{40\\-260\\10} \right|&=& 250 \\[5pt] \left| \pmatrix{0\\40\\70} + s \cdot \pmatrix{0\\10\\0} \right|&=& 250 \\[5pt] \left| \pmatrix{0\\40+10 \cdot s\\70} \right|&=& 250 \\[5pt] \sqrt{0^2 +(40+10 \cdot s)^2 +70^2}&=& 250 \\[5pt] \sqrt{1.600+800 \cdot s+100 \cdot s^2 +4.900}&=& 250 \\[5pt] \sqrt{6.500+800 \cdot s+100 \cdot s^2 }&=& 250 &\quad \scriptsize \mid\; (\,)^2\\[5pt] 6.500+800 \cdot s+100 \cdot s^2 &=& 62.500 &\quad \scriptsize \mid\; -62.500\\[5pt] 100 \cdot s^2 +800 \cdot s -56.000&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :100\\[5pt] s^2 +8\cdot s -560&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{pq-Formel}\\[5pt] s_{1,2}&=& -4 \pm \sqrt{16+560}\\[5pt] &=& -4 \pm 24\\[5pt] s_1&=& 20\\[5pt] s_2&=& -28\\[5pt] \end{array}$
$s_{1,2}=\dotsc$
Hierbei gibt $s$ die Zeit in Sekunden nach dem Durchfliegen des Punktes $Q$ an. Somit ist $s=20$ gesucht. Damit folgt für die Koordinaten des Punktes $D$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=&\pmatrix{40\\-220\\80} + 20 \cdot \pmatrix{0\\10\\0}\\[5pt] &=&\pmatrix{40\\-20\\80}\\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{x}=\pmatrix{40\\-20\\80}$
Somit folgt für den Punkt $D(40 \mid -20 \mid 80)$.
$\blacktriangleright$  Sendebereich überprüfen
Die Drohne ist an dem Punkt $D$ bereits im Sendebereich der Sendeanlage $S_2$, falls der Abstand des Punktes $D$ zur Sendeanlage kleiner gleich der Reichweite von $390\,\text{m}$ ist. Für den Abstand folgt:
$\begin{array}[t]{rll} d&=&\left| \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OS_2} \right| \\[5pt] &=&\left| \pmatrix{40\\-20\\80}-\pmatrix{40\\300\\10} \right| \\[5pt] &=&\left| \pmatrix{0\\-320\\70} \right| \\[5pt] &=&\sqrt{0^2+(-320)^2+70^2}\\[5pt] &=&\sqrt{107.300}\\[5pt] &\approx& 327,57 \end{array}$
$ d \approx 327,57 $
Somit beträgt der Abstand etwa $327,57\,\text{m}$ und ist damit kleiner als die Reichweite von $390\,\text{m}$. Das bedeutet, dass sich die Drohne bereits im Sendebereich von $S_2$ befindet.
c2)
$\blacktriangleright$  Zeit bestimmen
Der Abstand einer Ebenen und einer Geraden kann durch die Hessesche Normalform bestimmt werden. Ein Normalenvektor der Ebene $F$ lautet $\overrightarrow{n}=\pmatrix{3\\-4\\0}$ und der Parameter der Ebenengleichung $c=-400$.
Ein allgemeiner Punkt auf der Geraden $k$ besitzt die Koordinaten $\pmatrix{40\\-220 +10 \cdot s \\80}$. Somit folgt mit der Hesseschen Normalform und $d=200$ folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} d&=& \dfrac{\left| 3 \cdot 40 -4 \cdot (-220 +10 \cdot s) + 0 \cdot 80 +400 \right| }{\left| \pmatrix{3\\-4\\0} \right|}\\[5pt] 200&=& \dfrac{ \left| 120 +880 -40 \cdot s +400\right|}{ \sqrt{3^2+(-4)^2+0^2}}\\[5pt] 200&=& \dfrac{ \left| 1.400 -40 \cdot s \right| }{ \sqrt{25} }\\[5pt] 200&=& \dfrac{\left| 1.400 -40 \cdot s \right|}{5} & \quad \scriptsize \mid \, \cdot 5\\[5pt] 1.000&=& \left| 1.400 -40 \cdot s \right| \\[5pt] \end{array}$
$ 1.000= \left| 1.400 -40 \cdot s \right| $
Hierbei ist gegeben, dass die Drohne auf den Luftraum zufliegt. Somit ist die geringste Zeit gesucht, für welche die Gleichung gilt. Damit ist die Lösung gesucht, für welche der Ausdruck $1.400 -40 \cdot s$ positiv ist. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 1.000&=& 1.400 -40 \cdot s & \quad \scriptsize \mid \, -1.400\\[5pt] -400&=& -40 \cdot s & \quad \scriptsize \mid \, :(-40)\\[5pt] 10&=& s \\[5pt] \end{array}$
$s=10$
Damit gilt, dass $10$ Sekunden nach dem Durchfliegen des Punktes $Q(40 \mid -220 \mid 80)$ die Drohne nur noch einen Abstand von $200\,\text{m}$ besitzt.
#normalenvektor#hesseschenormalform
d1)
$\blacktriangleright$  Lösung untersuchen
Durch Einsetzen des Vektors folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{3\\6\\2}\times \left[\pmatrix{45\\90\\35}-\pmatrix{0\\0\\5} \right]&=& \overrightarrow{0} \\[5pt] \pmatrix{3\\6\\2}\times \pmatrix{45\\90\\30}&=& \overrightarrow{0} \\[5pt] \pmatrix{6 \cdot 30 - 2\cdot 90\\2 \cdot 45 -3 \cdot 30\\3 \cdot 90 - 6 \cdot 45}&=& \overrightarrow{0} \\[5pt] \pmatrix{180 - 180\\90 -90\\270 - 270}&=& \overrightarrow{0} \\[5pt] \pmatrix{0\\0\\0}&=& \overrightarrow{0} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{0\\0\\0}= \overrightarrow{0}$
Somit ist der Vektor $\pmatrix{45\\90\\35}$ eine Lösung der Gleichung.
d2)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge geometrisch interpretieren
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist genau dann gleich dem Nullvektor, falls die Vektoren linear abhängig sind. Somit folgt daraus, dass es für jede Lösung ein $k \in \mathbb{R}$ gibt, so dass folgende Gleichung erfüllt ist:
$\overrightarrow{x}-\pmatrix{0\\0\\5}=k \cdot \pmatrix{3\\6\\2}$
Daraus folgt, dass jede Lösung auf der folgenden Gerade liegt:
$\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\0\\5} + k \cdot \pmatrix{3\\6\\2}$
Somit lässt sich die Lösungsmenge geometrisch als Gerade interpretieren.
#geradengleichung
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