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Analysis 1

Abbildung 1 zeigt schematisch drei Bahnen, auf denen sich eine Kugel beim Kugelstoßen bewegen kann. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $1\,\text{m}$ in der Realität; die $x$ -Achse beschreibt den horizontal verlaufenden Boden. Die Kugel soll als punktförmig angenommen werden.

Flugbahnen beim Kugelstoßen

Abb. 1

Die Kugel wird aus der Ruhelage $(R)$ beschleunigt, bis sie im Abstoßpunkt $(A)$ die Hand der Athletin verlässt. Die anschließende Flugkurve der Kugel ist abhängig von ihrer Geschwindigkeit beim Abstoßen. Damit verändert sich insbesondere die Stoßweite, d.h. der Abstand zwischen dem Punkt $(0\mid0)$ und dem Auftreffpunkt auf dem Boden.
Die Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt kann modellhaft durch die Funktion $f$ mit $f(x)= 0,4 +1,6\cdot \mathrm e^{0,5\cdot x}$ und $x\in [-2;0]$ beschrieben werden.

a)

1)

Berechne die Länge der Strecke $\overline{RA}$ mit $R(-2 \mid f(-2)),$ die näherungsweise der Länge der Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt entspricht.

(2 BE)

$\,$

2)

Berechne den Abstand der Kugel von der zur $y$ -Achse parallelen Gerade durch $R,$ wenn sie sich in der Hand der Athletin $1,50\,\text{m}$ über dem Boden befindet.

(4 BE)

$\,$

3)

Während eines Stoßes wurde die Höhe der Kugel über dem Boden an fünf Stellen gemessen. Die fünf Stellen werden im Modell durch die $x$ -Werte $x_1$ bis $x_5$ dargestellt, die gemessenen Höhen werden mit $h_1$ bis $h_5$ bezeichnet.
Beurteile die folgende Aussage:

Wenn der Wert des Terms $\left|\displaystyle\sum\limits_{i=1}^5 (h_i-f(x_i)) \right|$ klein ist, dann werden die gemessenen Höhen durch die Werte, die das Modell liefert, gut beschrieben.

(3 BE)

b)

Nach dem Abstoßen der Kugel lässt sich jede mögliche Flugkurve mithilfe einer der Funktionen $p_a$ mit $p_a(x)=-ax^2 +bx +2$ und $a\gt 0$ beschreiben. Alle möglichen Bahnen der Kugel weisen im Abstoßpunkt $A$ keinen Knick auf.

$\,$

1)

Ermittle den Wert von $b.$

(4 BE)

$\,$

Verwende im Folgenden $p_a$ mit $p_a(x)= -ax^2+0,8x+2.$

2)

Berechne denjenigen Wert von $a,$ für den der Graph von $p_a$ durch den Punkt $(3\mid 3,5)$ verläuft.

(2 BE)

$\,$

3)

Bei der Flugkurve zu $a=0,1$ beträgt die Stoßweite $10\,\text{m}.$ Berechne die Größe des Winkels, unter dem die Kugel auf den Boden trifft.

(3 BE)

$\,$

4)

Zeige, dass $\left(\frac{0,4}{a}\mid 2+\frac{0,16}{a}\right)$ der einzige Hochpunkt des Graphen von $p_a$ ist.

(4 BE)

$\,$

5)

Weise nach, dass die Hochpunkte aller Graphen von $p_a$ auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

(3 BE)

$c)$

Der Zusammenhang zwischen den Werten von $a$ und den Stoßweiten $s$ mit $s\gt 0$ lässt sich durch die Gleichung $a=\frac{0,8}{s}+\frac{2}{s^2}$ darstellen.

$\,$

1)

Leite diese Gleichung her.

(3 BE)

$\,$

2)

Bei einem Stoß beträgt die Stoßweite $20\,\text{m}.$ Berechne die größte Höhe über dem Boden, die die Kugel bei diesem Stoß erreicht.

(4 BE)

d)

Abbildung 2 zeigt den Graphen der Funktion $g$ mit $g(s)= \frac{0,8}{s}+\frac{2}{s^2}$ mit $s\gt 0.$

Graph

Abb. 2

$\,$

1)

Gib eine Stammfunktion von $g$ an.

(2 BE)

$\,$

2)

Zeichne in Abbildung 2 die beiden Parallelen zur $s$ -Achse ein, die durch die Punkte des Graphen mit den $s$ -Koordinaten $2$ bzw. $10$ verlaufen.

(2 BE)

$\,$

3)

Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph mit der $y$ -Achse und den beiden eingezeichneten Parallelen einschließt.

(4 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

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a)

1)

$\blacktriangleright$ Streckenlänge berechnen

Für die $y$ -Koordinate von $R$ gilt:

$f(-2)= 0,4 + 1,6\cdot \mathrm e^{-1}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Für $A$ gilt:

$f(0)=2$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Mit der Formel für den Abstand zweier Punkte ergibt sich dann:

$\overline{RA}\approx 2,24$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Die Strecke $\overline{RA}$ ist ca. $2,24\,\text{m}$ lang.

$\,$

2)

$\blacktriangleright$ Abstand berechnen

Da sich die Kugel in einer Höhe von $1,50\,\text{m}$ in der Hand der Athletin befindet, ist $x\in [-2;0]$ mit $f(x)=1,5$ gesucht.

$x\approx -0,75$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Die zur $y$ -Achse parallele Gerade durch $R$ wird durch $x = -2$ beschrieben. Der Abstand der Kugel ergibt sich dann durch die Differenz der $x$ -Koordinaten:

$d = -0,75-(-2) = 1,25$

Wenn die Kugel sich in der Hand der Athletin in einer Höhe von ca. $1,50\,\text{m}$ befindet, hat sie zu der zur $y$ -Achse parallelen Geraden durch $R$ einen Abstand von ca. $1,25\,\text{m}.$

$\,$

3)

$\blacktriangleright$ Aussage beurteilen

Die gemessenen Höhen werden durch $h_i$ beschrieben, die Werte für das Modell durch $f(x_i).$ In dem angegebenen Term werden die Differenzen $d_i=h_i-f(x_i)$ für alle $i\in \{1;...;5\}$ aufsummiert und anschließend der Betrag der Summe gebildet.
Ist jetzt für ein $i$ beispielsweise die Differenz $d_{i_1}$ sehr groß und positiv, weil $h_{i_1}$ viel größer ist als $f(x_{i_1})$ und die Differenz $d_{i_2}$ für ein anderes Wertepaar vom Betrag her genauso groß, aber negativ, weil $h_{i_2}$ eben deutlich kleiner ist als $f(x_{i_2})$ dann ist $d_{i_1}+d_{i_2} = 0.$ Zwei sehr große Abweichungen können sich also gegenseitig aufheben, sodass bei einer sehr großen Abweichung trotzdem insgesamt ein sehr kleiner Wert für den Term entsteht. Das Modell ist in dem Fall keine gute Näherung für die Messwerte.
Die Aussage trifft also nicht zu. Damit die Aussage zutrifft, müsste man den Betrag bereits vor der Summenbildung anwenden, also die Beträge der Differenzen aufsummieren:

$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^5\left|h_i-f(x_i) \right|$

b)

1)

$\blacktriangleright$ Parameterwert ermitteln

Da die Bahnen der Kugel im Punkt $A$ keinen Knick aufweisen sollen, muss sowohl der Funktionswert von $p_a$ als auch die Steigung des Graphen von $p_a$ mit der vom Graphen von $f$ im Punkt $A$ übereinstimmen:

$p_a(0)=f(0)=2$
$p_a‘(0)=f‘(0)$

Erstens ist bereits durch die Funktionsgleichung $p_a(x)=-ax^2+bx+2$ gegeben. Für die zweite Bedingung ergeben sich folgende Ableitungsfunktionen:

$f‘(0) = 0,8$

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Einsetzen in $p_a‘(x)$ liefert:

$b = 0,8$

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$\,$

2)

$\blacktriangleright$ Parameterwert berechnen

$a = 0,1$

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Für $a=0,1$ liegt der Punkt $(3\mid 3,5)$ auf dem Graphen von $p_a.$

$\,$

3)

$\blacktriangleright$ Winkelgröße berechnen

Die Größe des Winkels, in dem die Kugel auf den Boden auftrifft, entspricht dem Steigungswinkel des Graphen von $p_{0,1}$ an der Auftreffstelle $x=10.$ Für die Steigung des Graphen an dieser Stelle gilt:

$p_{0,1}‘(10) = -1,2$

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Für den Steigungswinkel folgt entsprechend:

$\alpha \approx -50,19^{\circ}$

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Die Kugel trifft in einem Winkel von ca. $50,19^{\circ}$ auf dem Boden auf.

$\,$

4)

$\blacktriangleright$ Einzigen Hochpunkt nachweisen

Eine Anwendung des notwendigen Kriteriums für Extremstellen liefert:

$x=\frac{0,4}{a}$

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Die einzige Stelle, die also das notwendige Kriterium für Extremstellen erfüllt, ist $x_H = \frac{0,4}{a}.$ Der Graph von $p_a$ besitzt also nur einen Extrempunkt und dieser liegt an der Stelle $x_H = \frac{0,4}{a}.$

Anhand der Funktionsgleichung $p_a(x)=-ax^2+0,8x+2$ mit $a\gt 0$ lässt sich aufgrund des negativen Vorzeichens des Leitkoeffizienten eindeutig erkennen, dass es sich bei dem Graphen von $p_a$ um eine nach unten geöffnete Parabel zweiten Grades handelt.
Der Graph einer Parabel kann nur einen Extrempunkt besitzen. Bei einer nach unten geöffneten Parabel handelt es sich dabei um einen Hochpunkt. Also besitzt der Graph von $p_a$ an der Stelle $x_H = \frac{0,4}{a}$ einen Hochpunkt. Für die $y$ -Koordinate gilt:

$p_a\left(\frac{0,4}{a}\right) = 2+ \frac{0,16}{a}$

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Der Graph von $p_a$ besitzt also nur einen Hochpunkt, dieser hat die Koordinaten $\left(\frac{0,4}{a}\mid 2+ \frac{0,16}{a}\right).$

$\,$

5)

$\blacktriangleright$ Gemeinsame Lage auf einer Geraden nachweisen

Bestimme die Ortskurve der Hochpunkte, indem du zunächst die $x$ -Koordinate der Hochpunkte nach $a$ auflöst:

$a =\frac{0,4}{x}$

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Einsetzen in die $y$ -Koordinate liefert eine Gleichung für die Ortskurve:

$y= 2+ 0,4x$

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Alle Hochpunkte der Graphen von $p_a$ liegen also auf dem Graphen mit der Gleichung $y = 2+0,4x,$ bei dem es sich um eine Gerade handelt.

c)

1)

$\blacktriangleright$ Gleichung herleiten

Die Stoßweite $s$ entspricht der positiven Nullstelle von $p_a.$ Es muss daher gelten $p_a(s)=0.$

$a = \frac{0,8}{s}+\frac{2}{s^2}$

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$\,$

2)

$\blacktriangleright$ Größte Höhe über dem Boden berechnen

1. Schritt: Zugehörigen Parameterwert berechnen

Für eine Stoßweite von $s=20$ ergibt sich mit Aufgabenteil c1) folgender Paramterwert:

$a_{20} = 0,045$

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2. Schritt: Maximale Höhe berechnen

Die maximale Höhe erreicht die Kugel an der Stelle, die im Modell der Hochpunkt des Graphen von $p_a$ ist.
Aus Teilaufgabe b4) sind die Koordinaten des Hochpunkts in Abhängigkeit von $a$ bekannt. Für die $y$ -Koordinate, also die maximale Höhe, folgt daher:

$h_{max} \approx 5,56$

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Die Kugel erreicht bei einer Stoßweite von $20\,\text{m}$ eine größte Höhe von ca. $5,56\,\text{m}.$

d)

1)

$\blacktriangleright$ Stammfunktion angeben

Eine Stammfunktion von $\frac{1}{s}$ ist $\ln s.$ Du kannst den Funktionsterm wie folgt umschreiben:

$G(s) =0,8\cdot \ln s - \frac{2}{s}$

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Eine Stammfunktion von $g$ ist $G$ mit $G(s)=0,8\cdot \ln s - \frac{2}{s}.$

$\,$

2)

$\blacktriangleright$ Parallelen in die Abbildung einzeichnen

Parallelen

Abb. 1: Parallelen

$\,$

3)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Die Fläche lässt sich in zwei Teilflächen aufteilen:

Das Rechteck mit den Seitenlängen $a=g(2)-g(10)$ und $b= 2.$
Die Fläche, die von den Graphen von $g$ und der Parallele $y = g(10)$ im Bereich $2\leq s \leq 10$ begrenzt wird.

$A_{\text{Rechteck}}=1,6\,\text{[FE]}$

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Flächeninhalt

Abb. 2: Skizze

Der Inhalt der zweiten Fläche kann mithilfe eines Integrals berechnet werden:

$A_g\approx 1,29\,\text{[FE]}$

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Der Gesamtinhalt ergibt sich dann zu:

$2,89\,\text{FE}$

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Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

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