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Stochastik

Aufgaben
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Aufgabe 4: Stochastik

a)
Ein Großhändler bietet Samenkörner für Salatgurken in zwei Qualitätsstufen an. Ein Samenkorn der höheren Qualitätsstufe A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\,\%,$ eines der Qualitätsstufe B mit einer Wahrscheinlichkeit von $70\,\%.$
Ein Gemüseanbaubetrieb kauft Samenkörner beider Qualitätsstufen, davon $65\,\%$ der Qualitätsstufe A.
a1)
Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
#baumdiagramm
$\,$
a2)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem zufällig ausgewählten keimenden Samenkorn um ein Samenkorn der Qualitätsstufe B handelt.
$\,$
Der Anbaubetrieb sät $200$ Samenkörner der Qualitätsstufe $B$.
a3)
Bestimme für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
$E$: „Von den gesäten Samenkörnern keimen genau $140$.“
$F$: „Von den gesäten Samenkörnern keimen mehr als $130$ und weniger als $150$.“
$\,$
a4)
Beschreibe die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang:
$1- \left( \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{120} \binom{200}{i}\cdot 0,7^{i}\cdot 0,3^{200-i} + \displaystyle\sum\limits_{i=160}^{200}\binom{200}{i}\cdot 0,7^{i}\cdot 0,3^{200-i} \right) $
(14 P)
b)
Keimt ein Samenkorn, so wächst daraus eine Gurkenpflanze heran. Pro Pflanze der Qualitätsstufe $B$ kann im Mittel die gleiche Anzahl von Gurken geerntet werden wie bei Pflanzen der Qualitätsstufe $A$. Es besteht das Risiko, dass ein Samenkorn zwar keimt, durch Wettereinflüsse oder Schädlinge aber keine erntereife Pflanze heranwächst. Dieses Risiko beträgt für alle gekeimten Samenkörner der Qualitätsstufe A $15\,\%$ und für alle gekeimten Samenkörner der Qualitätsstufe B $25\,\%.$
Der Preis pro Samenkorn beträgt für die Qualitätsstufe A $17$ Cent und für die Qualitätsstufe B $12$ Cent. Der Anbaubetrieb verkauft alle geernteten Gurken zum gleichen Preis.
Prüfe, ob es für den Anbaubetrieb finanziell sinnvoll wäre, sich auf Samenkörner der Qualitätsstufe B zu beschränken, indem du die Samenkosten pro erntereifer Gurkenpflanze bestimmst.
(6 P)
c)
Der Großhändler behauptet, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualitätsstufe B durch eine Weiterentwicklung auf mehr als $70\,\%$ erhöht habe. Dazu werden nach der Weiterentwicklung $100$ Samenkörner der Qualitätsstufe B zufällig ausgewählt und gesät.
c1)
Ermittle die Entscheidungsregel für einen Hypothesentest, der das Ziel hat, die Behauptung des Großhändlers auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ zu stützen.
#hypothesentest
$\,$
c2)
Bestimme für den oben konzipierten Test die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art unter der Voraussetzung, dass die Keimwahrscheinlichkeit auf $80\,\%$ gestiegen ist.
(12 P)
d)
Von einer dritten Qualitätsstufe $C$ werden $50$ Samenkörner gesät. Von diesen keimen $27.$ Aus diesem Stichprobenergebnis soll nun die Keimwahrscheinlichkeit eines Samenkorns der Qualitätsstufe $C$ abgeschätzt werden.
d1)
Prüfe, ob eine Keimwahrscheinlichkeit von $60\,\%$ $(p=0,6)$ mit dem Stichprobenergebnis $27$ auf dem Signifikanzniveau von $5\,\%$ verträglich ist. Das ist genau dann der Fall, wenn das Stichprobenergebnis im $95\,\%$-Annahmebereich der Hypothese $H: p=0,6$ liegt.
#hypothesentest
$\,$
d2)
Bestimme zu dem Stichprobenergebnis die obere Grenze des zugehörigen $95\,\%$-Konfidenzintervalls für die Keimwahrscheinlichkeit auf $3$ Dezimalen genau.
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Lösungen
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a1)
$\blacktriangleright$  Sachverhalt im Baumdiagramm darstellen
Wir bezeichnen das Ereignis, dass ein Samenkorn keimt, mit $K$, dass es nicht keimt mit $\overline{K}.$
Stochastik
Abb. 1: Baumdiagramm
Stochastik
Abb. 1: Baumdiagramm
a2)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit dem Satz von Bayes und dem Baumdiagramm ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_K(B)$ wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P_K(B)&=& \dfrac{P_B(K)\cdot P(B)}{P(K)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,7\cdot 0,35}{0,8625 } \\[5pt] &\approx& 0,2841 \end{array}$
$ P_K(B) \approx 28,41\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes keimendes Samenkorn von der Qualität B ist, beträgt ca. $28,41\,\%.$
#satzvonbayes
a3)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X$, die die zufällige Anzahl der keimenden Samenkörner in einer Stichprobe von $200$ Samenkörnern der Qualität B beschreibt.
Die Samenkörner keimen unabhängig voneinander, die Wahrscheinlichkeit, ob es keimt oder nicht, ist also bei jedem Samenkorn gleich. Zudem werden nur die beiden Möglichkeiten „keimt“ oder „keimt nicht“ betrachtet.
$X$ kann also als binomialverteilt angenommen werden, mit den Parametern $n=200$ und $p= P_B(K)= 0,7.$
Bei $E$ ist die Wahrscheinlichkeit $P(X = 140)$ gesucht. Diese lässt sich wie folgt umschreiben:
$P(X=140) = P(X\leq 140)- P(X \leq 139)$
$\begin{array}[t]{rll} & P(X=140)\\[5pt] =&P(X\leq 140)- P(X \leq 139) \end{array}$
Die beiden Wahrscheinlichkeiten ergeben sich nun mit der Tabelle zur summierten Binomialverteilung für $n=200$ und $p=0,7:$
$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=&P(X=140)\\[5pt] &=& P(X\leq 140)- P(X \leq 139) \\[5pt] &\approx & 0,52665 - 0,46519 \\[5pt] &=& 0,06146 \\[5pt] &\approx& 6,15\,\% \end{array}$
$ P(E)\approx 6,15\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $E,$ also dafür, dass genau $140$ Samenkörner keimen, beträgt ca. $6,15\,\%.$
Für $F$ folgt ebenfalls mit der Tabelle zur summierten Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(F)&=& P(130 < X < 150 ) \\[5pt] &=& P(X\leq 149)- P(X\leq 130) \\[5pt] &\approx& 0,93045 - 0,07279 \\[5pt] &=&0,85766 \\[5pt] &\approx& 85,77\,\% \end{array}$
$ P(F)\approx 85,77\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $F,$ also dafür, dass von den $200$ Samenkörnern mehr als $130$ und weniger als $150$ keimen, beträgt ca. $85,77\,\%.$
#binomialverteilung
a4)
$\blacktriangleright$  Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang beschreiben
Mit der binomialverteilten Zufallsgröße $X$ aus Aufgabenteil c) und der Formel für die summierte Binomialverteilung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} &1- \left( \underbrace{\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{120} \binom{200}{i}\cdot 0,7^{i}\cdot 0,3^{200-i}}_{P(X\leq 120)} + \underbrace{\displaystyle\sum\limits_{i=160}^{200}\binom{200}{i}\cdot 0,7^{i}\cdot 0,3^{200-i}}_{P(X\geq 160)} \right) \\[5pt] =& 1-\left(P(X\leq 120) +P(X \geq 160) \right) \\[5pt] =& P(120 < X < 160)\\[5pt] \end{array}$
$ …= P(120 < X < 160) $
Der Term beschreibt daher die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $200$ gesäten Samenkörnern der Qualitätsstufe B mehr als $120$ und weniger als $160$ keimen.
#binomialverteilung
b)
$\blacktriangleright$  Entscheidung durch Rechnung treffen
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\,\%$ keimt ein Samenkorn der Qualitätsstufe A, aus einem solchen gekeimten Samenkorn entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von $85\,\%$ eine fruchttragende Pflanze.
Bezeichne das Ereignis, dass eine fruchttragende Pflanze entsteht mit $F$.
$\begin{array}[t]{rll} P_A(F)&=& P_A(K)\cdot P_{A\cap K}(F) \\[5pt] &=& 0,95\cdot 0,85 \\[5pt] &=& 0,8075\\[5pt] &=& 80,75\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} & P_A(F)\\[5pt] =& P_A(K)\cdot P_{A\cap K}(F) \\[5pt] =& 0,95\cdot 0,85 \\[5pt] =& 0,8075\\[5pt] =& 80,75\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $80,75\,\%$ entsteht aus einem Samenkorn der Qualitätsstufe A eine fruchttragende Pflanze. Pro Samenkorn müssen $17$ Cent gezahlt werden. Somit folgen für die Samenkosten $K(A)$ pro erntereifer Gurkenpflanze für die Qualitätsstufe $A$:
$\begin{array}[t]{rll} K(A)&=& \dfrac{0,17}{0,8075}\\[5pt] &\approx& 0,21 \end{array}$
Für Samenkörner der Qualitätsstufe $B$ folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} P_B(F)&=& P_B(K)\cdot P_{B\cap K}(F) \\[5pt] &=& 0,7\cdot 0,75 \\[5pt] &=& 0,525 \\[5pt] &=& 52,5\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &P_B(F)\\[5pt] =& P_B(K)\cdot P_{B\cap K}(F) \\[5pt] =& 0,7\cdot 0,75 \\[5pt] =& 0,525 \\[5pt] =& 52,5\,\% \end{array}$
Somit folgen für die Samenkosten $K(B)$ pro erntereifer Gurkenpflanze für die Qualitätsstufe $B$:
$\begin{array}[t]{rll} K(B)&=& \dfrac{0,12}{0,525}\\[5pt] &\approx& 0,23 \end{array}$
Somit folgt, dass die Samenkosten pro erntereifer Pflanze bei der Qualitätsstufe $B$ höher sind als bei der Qualitätsstufe $A$. Somit lohnt es sich nicht für den Betrieb sich auf Samenkörner der Qualitätsstufe $B$ zu beschränken.
c1)
$\blacktriangleright$  Entscheidungsregel bestimmen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_p,$ die die Anzahl der keimenden Samenkörner in der Stichprobe von $100$ Körnern der Qualitätsstufe B beschreibt. Dann kann diese aus gleichen Gründen wie $X$ als binomialverteilt mit den Parametern $n= 100$ und $p $ angenommen werden.
Die Nullhypothese lautet:
$H_0: \; p \leq 0,7$
Das Signifikanzniveau $\alpha = 5\,\%$ gibt an, dass die Nullhypothese höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von $5\,\%$ fälschlicherweise abgelehnt werden darf.
Ist $X_p$ also entsprechend der Nullhypothese mit $p=0,7$ verteilt, soll mit dem Signifikanzniveau folgende Ungleichung gelten:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_p > k )&\leq& 0,05 \\[5pt] 1- P(X_p\leq k)&\leq&0,05 \\[5pt] P(X_p\leq k)&\geq&0,95 \\[5pt] \end{array}$
Mit der Tabelle zur summierten Binomialverteilung für $n=100$ und $p =0,7$ ergibt sich:
Das kleinste $k,$ das diese Ungleichung erfüllt, ist $k =77.$
Die Entscheidungsregel ergibt sich also wie folgt:
Werden in der Stichprobe mehr als $77$ keimende Körner gefunden, kann die Nullhypothese abgelehnt werden und man kann davon ausgehen, dass die Weiterentwicklung tatsächlich die Wahrscheinlichkeit zum Keimen erhöht.
#binomialverteilung
c2)
$\blacktriangleright$  Fehler zweiter Art
$X$ ist erneut binomialverteilt mit $p=0,8$ und $n=100$. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art entspricht der Wahrscheinlichkeit $P(X\leq 77)$. Mit der Tabelle zur summierten Binomialverteilung folgt:
$P(X\leq77) \approx 26,1$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art etwa $26,1\,\%.$
d1)
$\blacktriangleright$  Verträglichkeit prüfen
Laut Aufgabenstellung ist die Verträglichkeit gegeben, wenn $27$ im Intervall $[\mu -1,96\sigma; \mu +1,96\sigma]$ liegt. Da $\mu$ der Erwartungswert und $\sigma$ die Standardabweichung einer $B_{50;0,6}$-verteilten Zufallsgröße ist, können sie mit den zur Binomialverteilung gehörenden Formeln wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p \\[5pt] &=& 50\cdot 0,6 \\[5pt] &=& 30\\[10pt] \sigma&=& \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{50 \cdot 0,6\cdot 0,4}\\[5pt] &=& \sqrt{12} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& 30\\[10pt] \sigma&=& \sqrt{12} \end{array}$
Damit ergibt sich für das Intervall:
$\begin{array}[t]{rll} &[\mu -1,96\sigma; \mu +1,96\sigma] \\[5pt] =&\left[30 -1,96\cdot \sqrt{12}; 30 +1,96\cdot \sqrt{12}\right] \\[5pt] \approx& \left[23; 36\right] \end{array}$
$ \left[23; 36\right] $
Die Anzahl der keimenden Samenkörner liegt innerhalb des angegebenen Intervalls und ist somit bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ mit der vermuteten Wahrscheinlichkeit von $60\,\%$ verträglich.
#binomialverteilung#erwartungswert#standardabweichung
d2)
$\blacktriangleright$  Obere Grenze für Keimwahrscheinlichkeit ermitteln
Es ist die größte Wahrscheinlichkeit $p_{max}$ gesucht für die $27$ im Intervall $[\mu -1,96\sigma; \mu +1,96\sigma]$ liegt.
Aufgrund von Rundung ergibt sich somit für die untere Intervallgrenze die Gleichung $\mu -1,96\sigma \approx 26,5$.
Somit folgt für die maximale Keimwahrscheinlichkeit die folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 50 \cdot p -1,96\cdot \sqrt{50 \cdot p\cdot (1-p)} &\approx& 26,5 &\quad \scriptsize \mid\;-50 \cdot p \\[5pt] -1,96\cdot \sqrt{50 \cdot p\cdot (1-p)} &\approx& 26,5 -50 \cdot p&\quad \scriptsize \mid\; (\,)^2 \\[5pt] (-1,96)^2\cdot 50 \cdot p\cdot (1-p) &\approx& (26,5 -50 \cdot p)^2 \\[5pt] \frac{4802}{25} \cdot \left(p-p^2\right) &\approx& 702,25 -2.650 \cdot p + 2.500 \cdot p^2 &\quad \scriptsize \mid\; +2.650 \cdot p \\[5pt] \left(\frac{4802}{25}+2.650\right) \cdot p-\frac{4802}{25} \cdot p^2 &\approx& 702,25 + 2.500 \cdot p^2 &\quad \scriptsize \mid\; -2.500 \cdot p \\[5pt] \left(\frac{4802}{25}+2.650\right) \cdot p+\left(-\frac{4802}{25}-2.500\right) \cdot p^2 &\approx& 702,25 &\quad \scriptsize \mid\; -702,25 \\[5pt] \left(\frac{4802}{25}+2.650\right) \cdot p+\left(-\frac{4802}{25}-2.500\right) \cdot p^2 -702,25&\approx& 0 \\[5pt] \end{array}$
$\left(\frac{4802}{25}+2.650\right) \cdot p +\dotsc $
Mit dem Taschenrechner folgen somit die Lösungen $p_1 \approx 0,3945$ und $p_2 \approx 0,6612$. Da aus der vorherigen Teilaufgabe klar wird, dass $p>0,6$ sein muss, folgt $p_{max} \approx 0,6612$.
Damit liegt die obere Grenze für die Keimwahrscheinlichkeit etwa bei $66,12\,\%$.
Bildnachweise [nach oben]
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