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Analysis 2

Aufgaben
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Aufgabe 2: Analysis

Für die „Deichtherme“ wird eine neue Wasserrutsche geplant. Der Graph in der Abbildung modelliert die Rutschbahn. Der Graph beginnt im Punkt $A(0 \mid 24)$ mit einer Steigung von $-100\,\%$ und endet im Punkt $B(40 \mid 0)$. Ferner verläuft er durch den Punkt $C(20 \mid 12).$
Die $x$-Achse stellt den ebenen Boden der Schwimmhalle bzw. die auf gleicher Höhe liegende Wasseroberfläche dar.
Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.
Analysis 2
Abb. 1: Graph
Analysis 2
Abb. 1: Graph
a)
a1)
Berechne die durchschnittliche Steigung zwischen Start- und Endpunkt der Rutschbahn und ermittle mit Hilfe der Grafik näherungsweise die Steigung im Punkt $C$.
#steigung
$\,$
a2)
Der abgebildete Graph gehört zu einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades.
Bestimme eine Funktionsgleichung von $f$.
(8 P)
#funktionsgleichung
b)
Verwende im Folgenden die Funktion $f$ mit
$f(x)=-0,0005 \cdot x^3 + 0,03 \cdot x^2 - x +24$ mit $0\leq x \leq 40$.
$f(x)= \dotsc$
b1)
Die Rutsche soll durch zwei vertikale Pfeiler abgestützt werden. Der Architekt plant einen $10$ Meter und einen $15$ Meter hohen Peiler.
Berechne, wie weit die Pfeiler voneinander entfernt stehen.
$\,$
b2)
Zeige rechnerisch, dass $f'(x)< 0$ für alle $x\in [0;40]$ gilt, und interpretiere dies im Sachzusammenhang.
#ableitung
$\,$
b3)
Zeige, dass der Punkt $C$ ein Wendepunkt des Graphen von $f$ ist.
(11 P)
#wendepunkt
c)
Die Rutschen eines anderen Planungsbüros werden für $0\leq x \leq 40$ durch die Graphen der Funktionenschar $g_a$ mit
$g_a(x)=24 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot a \cdot x} \quad , a > 0$
beschrieben.
c1)
Skizziere den Graphen von $g_{1,5}$ und bestimme die Höhe, aus der ein Badegast am Ende dieser Rutsche ins Wasser fällt.
$\,$
c2)
Zwei neue Sicherheitsbestimmungen lauten:
  1. Die Höhe, aus der ein Badegast am Ende der Rutsche ins Wasser fällt, darf höchstens $1,5$ Meter betragen.
  2. Der Neigungswinkel darf im Startpunkt nicht größer als $55^°$ sein.
Untersuche, ob es Parameter $a$ gibt, für die beide Bedingungen erfüllt sind.
$\,$
c3)
Gegeben ist der folgende Term
$\displaystyle\sum\limits_{i=0}^3 \sqrt{10^2+(g_{1,5}(10(i+1))-g_{1,5}(10i))^2}$
$ \displaystyle\sum\limits_{i=0}^3 \dotsc$
Veranschauliche den zweiten Summanden dieses Terms in deiner Skizze aus Teilaufgabe c1).
Interpretiere den gesamten Term im Sachzusammenhang.
(15 P)
d)
Die Funktion $G$ ist gegeben durch
$G(a)=\displaystyle\int_{0}^{40}g_a(x)\;\mathrm dx$ mit $a>0$
d1)
Berechne $G(5)$.
$\,$
d2)
Zeige, dass für jedes $a>0$ gilt:
$G(a)< \dfrac{480}{a}$
(6 P)
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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a1)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Steigung bestimmen
Für die durchschnittliche Steigung $m_d$ zwischen Startpunkt $A(0 \mid 24)$ und Endpunkt $B(40 \mid 0)$ folgt mit dem Differenzenquotienten:
$\begin{array}[t]{rll} m_d&=&\dfrac{0-24}{40-0} \\[5pt] &=&\dfrac{-24}{40} \\[5pt] &=&-\dfrac{3}{5} \\[5pt] \end{array}$
Somit beträgt die durchschnittliche Steigung zwischen Start- und Endpunkt $m_d=-\dfrac{3}{5}$.
$\blacktriangleright$  Steigung berechnen
Die Steigung am Punkt $C$ kann mit Hilfe einer Tangente bestimmt werden. Für die Tangente am Punkt $C(20 \mid 12)$ folgt folgende Abbildung:
Analysis 2
Abb. 1: Tangente
Analysis 2
Abb. 1: Tangente
Mit dem Steigungsdreieck folgt für die Steigung der Tangente und somit für die Steigung $m_C$ am Punkt $C$:
$\begin{array}[t]{rll} m_C&=&\dfrac{20-12}{20-0} \\[5pt] &=&\dfrac{-8}{20} \\[5pt] &=&-\dfrac{2}{5} \\[5pt] \end{array}$
Somit beträgt die Steigung am Punkt $C$ etwa $-\dfrac{2}{5}$.
#tangente
a2)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Es gilt, dass der Graph an dem Startpunkt $A(0 \mid 24)$ die Steigung $-100\,\%$ besitzt. Somit folgt $f'(0)=-1$. Für die Ableitungsfunktion der allgemeinen Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& ax^3+bx^2+cx+d \\[5pt] f'(x)&=& 3ax^2+2bx +c \end{array}$
$f'(x)= 3ax^2+2bx +c $
Damit folgt mit den Bedingungen aus den gegebenen Koordinaten der Punkte $f(0)=24$, $f(40)=0$ und $f(20)=12$ das folgende Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& a\cdot 0^3+ b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 24 &\quad \\ \text{II}\quad& a \cdot 40^3 + b \cdot 40^2 + c \cdot 40 +d &=& 0 &\quad \\ \text{III}\quad& a \cdot 20^3 + b \cdot 20^2 + c \cdot 20 +d &=& 12 &\quad \\ \text{IV}\quad& 3a \cdot 0^2 + 2b \cdot 0 + c &=& -1 &\quad \\ \hline \text{I}\quad& d &=& 24 &\quad \\ \text{II}\quad& a \cdot 40^3 + b \cdot 40^2 + c \cdot 40 +d &=& 0 &\quad \\ \text{III}\quad& a \cdot 20^3 + b \cdot 20^2 + c \cdot 20 +d &=& 12 &\quad \\ \text{IV}\quad& c &=& -1 &\quad \\ \end{array}$
$\text{I}: \dotsc$
Durch Einsetzen von $d=24$ und $c=-1$ in die Gleichungen $\text{II}$ und $\text{III}$ folgt:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& d &=& 24 &\quad \\ \text{II}\quad& a \cdot 40^3 + b \cdot 40^2 + c \cdot 40 +d &=& 0 &\quad \\ \text{III}\quad& a \cdot 20^3 + b \cdot 20^2 + c \cdot 20 +d &=& 12 &\quad \\ \text{IV}\quad& c &=& -1 &\quad \\ \hline \text{I}\quad& d &=& 24 &\quad \\ \text{II}'\quad& a \cdot 40^3 + b \cdot 40^2 + (-1) \cdot 40 +24 &=& 0 &\quad \\ \text{III}'\quad& a \cdot 20^3 + b \cdot 20^2 + (-1) \cdot 20 +24 &=& 12 &\quad \\ \text{IV}\quad& c &=& -1 &\quad \\ \hline \text{I}\quad& d &=& 24 &\quad \\ \text{II}'\quad& 64.000 \cdot a + 1.600 \cdot b - 16 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid \, +16 \\ \text{III}'\quad& 8.000 \cdot a + 400 \cdot b &=& 8 &\quad \scriptsize \mid \, \cdot (-4)\\ \text{IV}\quad& c &=& -1 &\quad \\ \hline \text{I}\quad& d &=& 24 &\quad \\ \text{II}'\quad& 64.000 \cdot a + 1.600 \cdot b &=& 16 &\quad \scriptsize \mid \,\text{ Rechne: II'+III'}\\ \text{III}'\quad& -32.000 \cdot a - 1.600 \cdot b &=& -32 \\ \text{IV}\quad& c &=& -1 &\quad \\ \hline \text{I}\quad& d &=& 24 &\quad \\ \text{II}''\quad& 32.000 \cdot a &=& -16 \\ \text{III}'\quad& -32.000 \cdot a - 1.600 \cdot b &=& -32 \\ \text{IV}\quad& c &=& -1 &\quad \\ \end{array}$
$\text{I}: \dotsc$
Somit folgt aus der Gleichung $\text{II}'$:
$\begin{array}[t]{rll} 32.000 \cdot a&=&-16 &\quad \scriptsize \mid\;:32.000 \\[5pt] a &=& -0,0005 \end{array}$
$a = -0,0005$
Somit folgt mit der Gleichung $\text{III}'$:
$\begin{array}[t]{rll} 8.000 \cdot (-0,0005) + 400 \cdot b&=& 8 \\[5pt] -4+ 400 \cdot b&=& 8 &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] 400 \cdot b&=& 12 &\quad \scriptsize \mid\;:400 \\[5pt] b &=& 0,03 \end{array}$
$b = 0,03$
Somit gilt die Funktionsgleichung
$f(x)=-0,0005x^3+0,03x^2-x+24.$
$ f(x)=\dotsc $
#gleichungssystem
b1)
$\blacktriangleright$  Entfernung der Pfeiler bestimmen
Die Höhe der Pfeiler an der Stelle $x$ wird durch den Funktionswert der Funktion $f$ an der Stelle $x$ dargestellt. Somit folgt für die Stelle $x_1$ an welcher der erste Pfeiler stehen soll:
$\begin{array}[t]{rll} f(x_1)&=& 10 \\[5pt] -0,0005 \cdot x_1^3 +0,03 \cdot x_1^2 -x_1 +24&=& 10 & \quad \scriptsize \mid \, -10 \\[5pt] -0,0005 \cdot x_1^3 +0,03 \cdot x_1^2 -x_1 +14&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$-0,0005 \cdot x_1^3 + \dotsc$
Mit dem Taschenrechner folgt $x_1 \approx 24,86.$
Für die Stelle $x_2$ des zweiten Pfeilers mit einer Höhe von $15$ Metern folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} f(x_2)&=& 15 \\[5pt] -0,0005 \cdot x_2^3 +0,03 \cdot x_2^2 -x_2 +24&=& 15 & \quad \scriptsize \mid \, -15 \\[5pt] -0,0005 \cdot x_2^3 +0,03 \cdot x_2^2 -x_2 +9&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$-0,0005 \cdot x_2^3 + \dotsc $
Mit dem Taschenrechner folgt $x_2 \approx 12,94.$ Somit folgt für den Abstand $d$ der beiden Pfeiler:
$\begin{array}[t]{rll} d&\approx& \vert 24,86-12,94 \vert\\[5pt] &\approx& 11,92 \\[5pt] \end{array}$
Damit beträgt der Abstand zwischen beiden Pfeilern etwa $11,92$ Meter.
b2)
$\blacktriangleright$  Ungleichung zeigen
Für die Ableitungsfunktion folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&-0,0005 \cdot 3 \cdot x^2 +0,03 \cdot 2 \cdot x -1 \\[5pt] &=& -0,0015 \cdot x^2 +0,06 \cdot x -1 \end{array}$
$f'(x)= \dotsc$
Hierbei handelt es sich um die Funktionsgleichung einer nach unten geöffnete Parabel. Der Hochpunkt des Graphen der Ableitungsfunktion gibt somit den maximalen Funktionswert an. Das notwendige Kriterium für einen Hochpunkt lautet hierbei $f''(x)=0$. Für die zweite Ableitungsfunktion folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& -0,0015 \cdot 2\cdot x+0,06 \\[5pt] &=& -0,003 \cdot x+0,06 \\[5pt] \end{array}$
$ f''(x)=-0,003 \cdot x+0,06 $
Somit folgt mit dem notwendigen Kriterium:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 0 \\[5pt] -0,003 \cdot x+0,06 &=& 0 & \scriptsize \mid \, -0,06\\[5pt] -0,003 \cdot x &=& -0,06 & \scriptsize \mid \, :(-0,003)\\[5pt] x_1 &=& 20 \\[5pt] \end{array}$
$ x_1 =20$
Das hinreichende Kriterium für einen Hochpunkt an der Stelle $x_1$ lautet $f'''(x_1)<0$. Es folgt für die dritte Ableitungsfunktion:
$\begin{array}[t]{rll} f'''(x)&=& -0,003 \quad < 0\\[5pt] \end{array}$
Somit ist das notwendige und hinreichende Kriterium erfüllt und der Graph der Ableitungsfunktion besitzt seinen Hochpunkt an der Stelle $x_1=20$. Für den Funktionswert an der Stelle $x_1=20$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(20)&=& -0,0015 \cdot 20^2 +0,06 \cdot 20 -1 \\[5pt] &=& -0,0015 \cdot 400 +0,06 \cdot 20 -1 \\[5pt] &=& -0,4 \\[5pt] \end{array}$
$f'(20)=-0,4 $
Somit besitzt der Graph der Ableitungsfunktion den Hochpunkt $H(20 \mid -0,4)$. Dies entspricht dem globalen Maximum, da es sich bei dem Graphen der Ableitungsfunktion um eine nach unten geöffnete Parabel handelt. Somit ist gezeigt, dass $f'(x)<0$ für alle $x\in[0,40]$ gilt.
$\blacktriangleright$  Wert der Ableitung im Sachzusammenhang interpretieren
Das bedeutet im Sachzusammenhang, dass die Steigung der Wasserrutsche immer negativ ist. Somit fällt die Wasserrutsche in der kompletten Länge von $40$ Meter.
#hinreichendeskriteriumfürextrema#notwendigeskriteriumfürextrema
b3)
$\blacktriangleright$  Wendepunkt nachweisen
In der Teilaufgabe wurde bereits gezeigt, dass der Graph der Ableitungsfunktion an der Stelle $x_1=20$ einen Hochpunkt besitzt. Somit gilt $f''(20)=0$ und $f'''(20)<0$. Damit ist das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt an der Stelle $x_1$ mit $f''(x_1)=0$ und das hinreichende Kriterium mit $f'''(x_1)\neq 0$ erfüllt.
Somit wurde gezeigt, dass der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $x_1=20$ einen Wendepunkt besitzt.
#notwendigeskriteriumfürwendestellen#hinreichendeskriteriumfürwendestellen
c1)
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Analysis 2
Abb. 2: Graph von $g_{1,5}$
Analysis 2
Abb. 2: Graph von $g_{1,5}$
$\blacktriangleright$  Höhe bestimmen
Die Höhe, aus der der Badegast ins Wasser fällt ist durch den Funktionswert der Funktion $g_{1,5}$ an der Stelle $x=40$ gegeben. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g_{1,5}(40)&=& 24 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot 1,5 \cdot 40} \\[5pt] &=& 24 \cdot \mathrm{e}^{-3} \\[5pt] &\approx& 1,195 \\[5pt] \end{array}$
Der Badegast fällt somit ungefähr aus einer Höhe von $1,195$ Meter ins Wasser.
#funktionswert
c2)
$\blacktriangleright$  Parameter untersuchen
Es folgt, dass $g_a(40)\leq1,5$ gelten muss. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 24 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot a \cdot 40}&\leq& 1,5 & \quad \scriptsize \mid \, :24\\[5pt] \mathrm{e}^{-2 \cdot a}&\leq& 0,0625 & \quad \scriptsize \mid \, \ln(\,) \\[5pt] -2 \cdot a&\leq& \ln(0,0625) & \quad \scriptsize \mid \, :(-2) \quad \text{Vorzeichen beachten}\\[5pt] a&\geq& -\dfrac{\ln(0,0625)}{2} \\[5pt] a&\geq& 1,39 \\[5pt] \end{array}$
$ a \geq 1,39 $
Damit folgt, dass für $a \geq 1,39$ die Höhe, aus der ein Badegast ins Wasser fällt, höchstens $1,5$ Meter beträgt.
Der Zusammenhang zwischen Neigungswinkel und Steigung an der Stelle $x$ lautet $\tan \alpha=\vert g_a'(x) \vert$. Da der Neigungswinkel im Startpunkt nicht größer als $55^°$ sein darf muss entsprechend $\vert g_a'(0)\vert < \tan(55^°) $ gelten.
Entsprechend folgt für die Ableitungsfunktion mit der Kettenregel:
$\begin{array}[t]{rll} g'_a(x)&=& 24 \cdot (-0,05 \cdot a) \cdot \mathrm{e}^{-0,05\cdot a \cdot x} \\[5pt] &=& -1,2 \cdot a \cdot \mathrm{e}^{-0,05\cdot a \cdot x} \\[5pt] \end{array}$
$g'_a(x)=\dotsc$
Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \left| g'_a(0) \right|&<& \tan(55^°) \\[5pt] \left| -1,2 \cdot a \cdot \mathrm{e}^{-0,05\cdot a \cdot 0} \right|&<& \tan(55^°) \\[5pt] \left|-1,2 \cdot a \right| &<& \tan(55^°) & \quad \scriptsize \mid \, a>0\\[5pt] 1,2 \cdot a &<& \tan(55^°)& \quad \scriptsize \mid \,:1,2\\[5pt] a&<& \dfrac{5}{6} \cdot \tan(55^°) \\[5pt] a&<& 1,19 \\[5pt] \end{array}$
$a < 1,19 $
Daraus folgt, dass für $0<a<1,19$ der Neigungswinkel im Startpunkt nicht größer als $55^°$ ist.
Somit gibt es keinen Parameter $a$ für den beide Bedingungen erfüllt sind.
#steigungswinkel
c3)
$\blacktriangleright$  Summand in Skizze veranschaulichen
Der zweite Summand des Terms lautet $\sqrt{10^2+(g_{1,5}(20))-g_{1,5}(10))}$.
Es ergibt sich folgende Darstellung, wobei
$s=\sqrt{10^2+(g_{1,5}(20))-g_{1,5}(10))}$
$s=\dotsc$
gilt:
Analysis 2
Abb. 3: Skizze
Analysis 2
Abb. : Skizze
Es wird hierbei die Länge der Strecke mit dem Satz des Pythagoras ausgerechnet.
$\blacktriangleright$  Term Im Sachzusammenhang interpretieren
Die Länge der Kurve wird näherungsweise berechnet. Indem die Funktion $g_{1,5}$ im Intervall $[0;40]$ stückweise durch Streckenzüge angenähert wird.
#satzdespythagoras
d1)
$\blacktriangleright$  Wert berechnen
Für $G(5)$ folgt mit den gegebenen Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} G(5)&=&\displaystyle\int_{0}^{40}g_5(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\displaystyle\int_{0}^{40}\left(24 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot 5 \cdot x}\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\displaystyle\int_{0}^{40}\left(24 \cdot \mathrm{e}^{-0,25 \cdot x}\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\left[24 \cdot \left(-\dfrac{1}{0,25}\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,25 \cdot x} \right]_0^{40}\\[5pt] &=&\left[24 \cdot (-4) \mathrm{e}^{-0,25 \cdot x} \right]_0^{40}\\[5pt] &=&\left[-96 \cdot \mathrm{e}^{-0,25 \cdot x} \right]_0^{40}\\[5pt] &=& -96 \cdot \mathrm{e}^{-0,25 \cdot 40} +96 \cdot \mathrm{e}^{-0,25 \cdot 0}\\[5pt] &=& -96 \cdot \mathrm{e}^{-10} +96 \cdot \mathrm{e}^{0}\\[5pt] &=& -96 \cdot \mathrm{e}^{-10} +96\\[5pt] &=& 96 \cdot \left(1-\mathrm{e}^{-10}\right)\\[5pt] &\approx& 95,996\\[5pt] \end{array}$
$G(5) \approx 95,996$
Somit gilt $G(5) \approx 95,996$.
d2)
$\blacktriangleright$  Ungleichung zeigen
Für $a>0$ folgt für $G(a)$:
$\begin{array}[t]{rll} G(a)&=&\displaystyle\int_{0}^{40}g_a(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\displaystyle\int_{0}^{40}\left(24 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot a \cdot x}\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\left[24 \cdot \left(-\dfrac{1}{0,05 \cdot a}\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot a \cdot x} \right]_0^{40}\\[5pt] &=&\left[24 \cdot \left(-20 \cdot \dfrac{1}{a}\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot a \cdot x} \right]_0^{40}\\[5pt] &=&\left[24 \cdot \left(-20 \cdot \dfrac{1}{a}\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot a \cdot x} \right]_0^{40}\\[5pt] &=&\left[\dfrac{-480}{a} \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot a \cdot x} \right]_0^{40}\\[5pt] &=&\dfrac{480}{a} \cdot \left[ -\mathrm{e}^{-0,05 \cdot a \cdot x} \right]_0^{40}\\[5pt] &=&\dfrac{480}{a} \cdot \left( -\mathrm{e}^{-0,05 \cdot a \cdot 40} + \mathrm{e}^{-0,05 \cdot a \cdot 0} \right)\\[5pt] &=&\dfrac{480}{a} \cdot \left( -\mathrm{e}^{-2 \cdot a} + \mathrm{e}^{0} \right)\\[5pt] &=&\dfrac{480}{a} \cdot \left( 1- \mathrm{e}^{-2 \cdot a} \right)\\[5pt] \end{array}$
$G(a)= \dotsc$
Hierbei gilt $-2 \cdot a <0$ und somit folgt $0<\mathrm{e}^{-2 \cdot a} <1$, da die $\mathrm{e}$-Funktion nur positive Funktionswerte annehmen kann. Somit folgt, dass $ 1- \mathrm{e}^{-2 \cdot a}<1$ gilt und damit folgt die Ungleichung $G(a)<\dfrac{480}{a}$.
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