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Analysis 2

Die Pegelhöhe eines Kanals wurde während eines Hochwasserereignisses an einem Ort für einen Zeitraum von 14 Tagen beobachtet. Der zeitliche Verlauf der Pegelhöhe kann näherungsweise durch die Funktion \(h\) mit
\(h(t)=\frac{3}{2}\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{18}(t-8)^2}+4\); \(t\in [0;14]\)
beschrieben werden. Diese hat die Ableitungen
\(h‘(t)=\) \(-\dfrac{1}{6}\cdot (t-8)\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{18}(t-8)^2}\) und
\(h‘‘(t)=\) \(\left(\dfrac{1}{54}\left(t-8\right)^2-\dfrac{1}{6}\right) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{18}(t-8)^2}\).
Die Pegelhöhe \(h\) wird vom tiefsten Punkt des Kanalbetts bis zur Wasseroberfläche gemessen, \(t\) steht für die Zeit nach Beobachtungsbeginn in Tagen und \(h(t)\) für die Pegelhöhe in Metern.
a) 
  • Bestimme die mittlere Änderungsrate der Pegelhöhe im Intervall \([0;3]\).
  • Leite aus der ersten Ableitung der Funktion \(h\) deren zweite Ableitung her.
  • Berechne die höchsten und die niedrigsten Pegelhöhen im Beobachtungszeitraum.
  • Berechne die beiden Wendestellen der Funktion \(h\) und erläutere deren Bedeutung im Sachzusammenhang. Eine hinreichende Bedingung für die Existenz von Wendestellen muss nicht betrachtet werden.
  • Skizziere den Graphen der Funktion \(h\).
(19P)
b)  Berechne mit Hilfe des Taschenrechners den Ausdruck
\(\dfrac{1}{14}\displaystyle\int_{0}^{14}h(t)\;\mathrm dt\)
und interpretiere das Ereignis im Sachzusammenhang.
(3P)
Das achsensymmetrische Kanalbett kann über dem Intervall \([-10;10]\) näherungsweise durch eine ganzrationale Funktion \(f\) modelliert werden. In jedem der Punkte \((-10\mid 6)\) und \((10\mid 6)\) schließt sich jeweils ein horizontaler Uferweg knickfrei an. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt dabei in der Mitte des Kanals im tiefsten Punkt des Kanalbettes.
c) 
  • Entscheide, welche Werte für den Grad \(k\) der Funktion \(f\) gewählt werden können. Begründe deine Entscheidung.
Verwende im Folgenden die Funktion \(f\) mit \(f(x)=-0,0006\cdot x^4+0,12\cdot x^2\).
Die normale Pegelhöhe des Kanals beträgt \(4\,\text{m}\).
  • Zeige, dass die Breite der Wasseroberfläche des Kanals bei normaler Pegelhöhe ca. \(13\,\text{m}\) beträgt.
  • Bei normaler Pegelhöhe hat die wassergefüllte (in der Abbildung grau hinterlegte) Querschnittsfläche des Kanals einen Flächeninhalt von ca. \(32,81\,\text{m}^2\). Bei einer Pegelhöhe von \(5,5\,\text{m}\) ist die Wasseroberfläche des Kanals ca. \(16,87\,\text{m}\) breit.
    Ermittle, um wie viel Prozent sich der Flächeninhalt der wassergefüllten Querschnittsfläche des Kanals vergrößert, wenn der Pegel von normaler Pegelhöhe bis auf die Pegelhöhe von \(5,5\,\text{m}\) ansteigt.
(14P)
d)  Es gibt eine Funktion \(b\), die jedem Zeitpunkt \(t\) des Beobachtungszeitraums eine Breite der Wasseroberfläche des Kanals zuordnet. Dabei wird die Breite in Metern betrachtet.
Zeige, dass
\(b(t)=2\cdot \sqrt{100-\sqrt{10.000-\dfrac{h(t)}{0,0006}}}\)
ein Funktionsterm dieser Funktion \(b\) ist.
(4P)