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Analytische Geometrie

Aufgaben
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Das Modell einer Gartenlaterne kann als Stumpf einer regelmäßigen quadratischen Pyramide mit einem aufgesetzten Zylinder und einer darüber angebrachten, ebenfalls regelmäßigen quadratischen Pyramide aufgefasst werden.
Die Eckpunkte der Grundfläche des Pyramidenstumpfes sind $A(4 \mid 4\mid 0)$, $B(-4\mid 4\mid 0)$, $C(-4\mid -4\mid 0)$ und $D(4\mid -4\mid 0)$.
Die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfes sind $E(1\mid 1\mid 12)$, $F(-1\mid 1\mid 12)$, $G(-1\mid -1\mid 12)$ und $H(1\mid -1\mid 12)$.
Materialstärken sind bei der Modellierung nicht zu berücksichtigen.
Analytische Geometrie
Analytische Geometrie
a) 
  • Berechne den Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ durch die Punkte $A$ und $E$ mit der Geraden $h$ durch die Punkte $B$ und $F$.
  • Erstelle eine Koordinatenform der Ebene $E_1$, in der die Punkte $A$, $B$ und $E$ liegen.
    [Zur Kontrolle: $E_1:4x_2+x_3=16$]
  • Die Ebene $E_2$, in der die Punkte $A$, $D$ und $E$ liegen, ist gegeben durch $E_2:4x_1+x_3=16$. Ermittle die Größe des Schnittwinkels $\varphi$ zwischen der Ebene $E_1$ und der Ebene $E_2$.
(11P)
b) 
  • Der Materialbedarf an Glas soll abgeschätzt werden. Berechne die Mantelfläche des Pyramidenstumpfes.
  • Die aufgesetzte regelmäßige quadratische Pyramide schützt das Innere der Laterne vor Regenwasser. Die Grundfläche $E'F'G'H'$ dieser Pyramide ist gegeben durch die um $1\,\text{LE}$ senkrecht nach oben verschobenen Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfes. Die Spitze dieser Aufsatzpyramide ist der Punkt $S'(0\mid 0\mid 15)$. Berechne den Oberflächeninhalt dieser Aufsatzpyramide.
(12P)
c) 
  • Die Gerade $k$ verläuft durch den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{CD}$ und schneidet die Ebene $E_1$ orthogonal. Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes $K$ von $k$ mit $E_1$.
    [Zur Kontrolle: $K\left(0\mid \frac{60}{17}\mid \frac{32}{17}\right)$]
  • Betrachtet werden nun alle Geraden, die durch den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{CD}$ verlaufen und die Ebene $E_1$ unter einem Winkel von $85°$ schneiden. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Ebene $E_1$ liegen auf einem Kreis. Bestimme den Radius dieses Kreises.
  • (8P)
d)  Eine kugelförmige Kerze soll so im Innenraum der Gartenlaterne positioniert werden, dass sie die Grundfläche des Pyramidenstumpfes berührt.
  • Untersuche, ob eine Kerze mit dem Radius $3\,\text{LE}$ in den Innenraum passt.
  • Bestimme, wie groß der Radius einer Kugelkerze höchstens sein darf, damit diese innerhalb des Pyramidenstumpfes positioniert werden kann.
  • (9P)
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a) $\blacktriangleright$  Berechne den Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ der Geraden $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$
Hier sollst du den Schnittpunkt der Geraden $g$ und $h$ bestimmen. Die Gerade $g$ geht durch die Punkte $A$ und $E$, die Gerade $h$ durch die Punkte $B$ und $F$. Um den Schnittpunkt zu bestimmen, stellst du zunächst die Geradengleichungen auf, um sie dann gleichzusetzen.
1. Geradengleichungen aufstellen
Die allgemeine Form einer Geradengleichung ist:
$g: \vec{x} = \overrightarrow{OA}+ t\cdot \overrightarrow{AB}$
2. Geradengleichungen gleichsetzen
Durch Gleichsetzen der Geradengleichungen erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen. Achte darauf, dass du den Parametern verschiedene Namen gibst. Das Gleichungssystem kannst du mit deinem Taschenrechner lösen.
$\blacktriangleright$  Erstelle die Koordinatenform der Ebene $\boldsymbol{E_1}$
In der Ebene $E_1$ liegen die Punkte $A$, $B$ und $E$. Du sollst die Ebenengleichung in Koordinatenform angeben. Die Koordinatenform sieht im Allgemeinen so aus:
$E: n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 = a$
Dazu brauchst du einen Normalenvektor $\vec{n}=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\\\end{pmatrix}$ der Ebene, den du aus dem Kreuzprodukt der Spannvektor $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AE}$ bilden kannst. Multiplizierst du den Normalenvektor mit einem beliebigen Punkt $A$ der Ebene, erhältst du $a$.
$\blacktriangleright$  Bestimme den Schnittwinkel der Ebenen $\boldsymbol{E_1}$ und $\boldsymbol{E_2}$
Um den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen zu bestimmen, verwendest du die Winkelbeziehung zwischen Ebenen:
$cos(\varphi)=\dfrac{|\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot |\vec{n_2}|}$
Wobei $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ Normalenvektoren der Ebenen sind. Den Vektor $\vec{n_1}$ hast du bereits in der vorherigen Aufgabe gefunden, $\vec{n_2}$ kannst du analog dazu bestimmen.
b) $\blacktriangleright$  Berechne die Mantelfläche des Pyramidenstumpfs
Hier sollst du die Mantelfläche des Pyramidenstumpfs berechnen, das sind alles Flächen, die mit Glas bedeckt sind. Die Mantelfläche ergibt sich aus:
$M = 2\cdot (a_1+a_2)\cdot h$
Wobei $a_1$ und $a_2$ die Längen der Kanten, also $|\overrightarrow{AB}|$ und $|\overrightarrow{EF}|$, sind. $h$ ist die Höhe, also der Abstand zwischen den Kanten. Die Höhe kannst du berechnen, indem du den Abstand der Mittelpunkte der Kanten berechnest.
$\blacktriangleright$  Berechne die Oberfläche der aufgesetzten Pyramide
Hier ist eine regelmäßige Pyramide mit vier gleich großen dreieckigen Seiten und einer quadratischen Grundfläche. Die Seitenfläche entspricht dem Flächeninhalt der Dreiecke:
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$
Wobei $g$ die Länge der Grundseite und $h$ die Höhe des Dreiecks beschreibt. Die quadratische Grundfläche berechnest du mit dem Quadrat einer Seite.
c) $\blacktriangleright$  Bestimme den Schnittpunkt $\boldsymbol{K}$ der Geraden $\boldsymbol{k}$ mit der Ebene $\boldsymbol{E_1}$
Hier sollst du den Schnittpunkt $K$ der Geraden $k$ mit der Ebene $E_1$ bestimmen. Dafür musst du zunächst eine Geradengleichung von $k$ aufstellen, um dann die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleichzusetzen.
$\blacktriangleright$  Bestimme den Radius des Schnittkreis der Geraden, die $\boldsymbol{E_1}$ im 85$^{\circ}$ Winkel schneiden
Die Geraden durch den Mittelpunkt $M_4$ der Punkte $C$ und $D$, die $E_1$ im Winkel $\beta=85^{\circ}$ schneiden, bilden einen Kegel mit $M_4$ als Spitze. Mit dem Abstand $d$ von $M_4$ von der Ebene $E_1$ und dem Öffnungswinkel kannst du den Radius $r$ berechnen:
$r=\dfrac{d}{\tan(\beta)}$
Den Abstand kannst du aus dem Abstand der Punkte $M_4$ und $K$ bestimmen, denn $K$ ist der Schnittpunkt mit der Ebenen $E_1$, wenn eine Gerade durch $M_4$ senkrecht zur Ebene $E_1$ steht.
d) $\blacktriangleright$  Überprüfe, ob eine kugelförmige Kerze mit Radius 3 LE in die Gartenlaterne passt
Um zu überprüfen, ob die Kerze in den Pyramidenstumpf passt, bestimmst du den Kugelmittelpunkt und berechnest den Abstand des Mittelpunkts zur Ebene $E_1$.
$\blacktriangleright$  Bestimme den größtmöglichen Radius $r'$, sodass die Kerze in die Laterne passt
Hier sollst du den maximalen Radius $r'$ bestimmen, sodass die Kerze noch in den Pyramidenstumpf passt. Der Mittelpunkt $M_K'$ der Kerze ist dann $M_K'(0\,|\,0\,|\,r')$. Den Abstand bestimmst du analog zum vorherigen Aufgabenteil. Der Abstand soll gleich dem Radius $r'$ sein.
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Lösungen
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a) $\blacktriangleright$  Berechne den Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ der Geraden $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$
Hier sollst du den Schnittpunkt der Geraden $g$ und $h$ bestimmen. Die Gerade $g$ geht durch die Punkte $A$ und $E$, die Gerade $h$ durch die Punkte $B$ und $F$. Um den Schnittpunkt zu bestimmen, stellst du zunächst die Geradengleichungen auf, um sie dann gleichzusetzen.
1. Geradengleichungen aufstellen
Die allgemeine Form einer Geradengleichung ist:
$g: \vec{x} = \overrightarrow{OA}+ t\cdot \overrightarrow{AB}$
Für die Gerade $g$ verwendest du die Punkte $A$ und $E$, dementsprechend die Vektoren $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{AE}$. Für die Gerade $h$ verwendest du die Punkte $B$ und $F$, dementsprechend die Vektoren $\overrightarrow{OB}$ und $\overrightarrow{BF}$:
$\begin{array}[t]{rll} g: \vec{x} &=& \begin{pmatrix}4\\4\\0\\\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}1-4\\1-4\\12-0\\\end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}4\\4\\0\\\end{pmatrix}+ t\cdot \begin{pmatrix}-3\\-3\\12\\\end{pmatrix}\\[5pt] h: \vec{x} &=& \begin{pmatrix}-4\\4\\0\\\end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix}-1-(-4)\\1-4\\12-0\\\end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}-4\\4\\0\\\end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix}3\\-3\\12\\\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
2. Geradengleichungen gleichsetzen
Durch Gleichsetzen der Geradengleichungen erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen. Achte darauf, dass du den Parametern verschiedene Namen gibst:
$\begin{array}[t]{lrll} Ⅰ &4-3\cdot t &=& -4 +3\cdot s \\[5pt] Ⅱ &4- 3\cdot t &=& 4 - 3\cdot s\\[5pt] Ⅲ &12\cdot t &=& 12 \cdot s \\[5pt] \end{array}$
Dies kannst du wie folgt lösen:
Aus der dritten Gleichung erhältst du $t=s$, indem du durch $12$ teilst. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} 4-3\cdot t &=& -4 +3\cdot t &\scriptsize\mid\; +(3 \cdot t)+4\\[5pt] 8&=& 6\cdot t &\scriptsize\mid\; :6\\[5pt] t&=&\frac{8}{6}\\[5pt] &=&\frac{4}{3} \end{array}$
Einsetzen von $t=s$ in die zweite Gleichung von oben liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 4- 3\cdot t &=& 4 - 3\cdot t &\scriptsize\mid\; +(3 \cdot t)-4\\[5pt] 0&=&0 \end{array}$
Somit erhältst du $t=s=\frac{4}{3}$ als eindeutige Lösung des Gleichungssystems.
Setzt du $t=\frac{4}{3}$ in eine Geradengleichung, erhältst du den Schnittpunkt $S$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=& \begin{pmatrix}4\\4\\0\\\end{pmatrix}+\dfrac{4}{3}\cdot\begin{pmatrix}-3\\-3\\12\\\end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}4\\4\\0\\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4\\-4\\16\\\end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0\\0\\16\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten des Schnittpunkts sind somit $S(0\,|\,0\,|\,16)$.
$\blacktriangleright$  Erstelle die Koordinatenform der Ebene $\boldsymbol{E_1}$
In der Ebene $E_1$ liegen die Punkte $A$, $B$ und $E$. Du sollst die Ebenengleichung in Koordinatenform angeben. Die Koordinatenform sieht im Allgemeinen so aus:
$E: n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 = a$
Dazu brauchst du einen Normalenvektor $\vec{n}=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\\\end{pmatrix}$ der Ebene, den du aus dem Kreuzprodukt der Spannvektor $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AE}$ bilden kannst. Multiplizierst du den Normalenvektor mit einem beliebigen Punkt $A$ der Ebene, erhältst du $a$.
1. Normalenvektor bilden
Den Normalenvektor bildest du mittels des Kreuzprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AE}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& \begin{pmatrix}-4\\4\\0\\\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\\4\\0\\\end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}-8 \\0\\0\\\end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{AE}&=& \begin{pmatrix}1\\1\\12\\\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\\4\\0\\\end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}-3 \\-3\\12\\\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \vec{n_1}&=&\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AE}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-8 \\0\\0\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-3 \\-3\\12\\\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\cdot 12-0\cdot (-3) \\0\cdot (-3)-(-8)\cdot 12 \\(-8)\cdot (-3)-0 \cdot (-3)\\\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0 \\96\\24\\\end{pmatrix} \end{array}$
Um das ganze zu vereinfachen, kannst du einen gekürzten Normalenvektor $n_1$ bilden. Dazu kürzt du Normalenvektor des Taschenrechners mit 24.
$\begin{array}[t]{rll} \vec{n_1} &=& \begin{pmatrix}0\\4\\1\\\end{pmatrix} \end{array}$
2. Normalenvektor mit $A$ multiplizieren
Jetzt kannst du den Normalenvektor $n_1$ mit dem Ortsvektor eines Punktes der Ebene, zum Beispiel $A$, multiplizieren, um $a$ zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} a&=& \vec{n_1} \cdot \overrightarrow{OA}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0\\4\\1\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\4\\0\\\end{pmatrix}\\[5pt] &=& 0 \cdot 4 + 4\cdot 4 + 1 \cdot 0 \\[5pt] &=& 16\\[5pt] \end{array}$
3. Ebenengleichung angeben
Die Ebenengleichung lautet:
$\begin{array}[t]{rll} E_1 : 0\cdot x_1 + 4\cdot x_2 + 1 \cdot x_3 &=&16 \\[5pt] 4\cdot x_2 + x_3 &=&16\\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Bestimme den Schnittwinkel der Ebenen $\boldsymbol{E_1}$ und $\boldsymbol{E_2}$
Um den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen zu bestimmen, verwendest du die Winkelbeziehung zwischen Ebenen:
$cos(\varphi)=\dfrac{|\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot |\vec{n_2}|}$
Wobei $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ Normalenvektoren der Ebenen sind. Den Vektor $\vec{n_1}$ hast du bereits in der vorherigen Aufgabe gefunden, $\vec{n_2}$ kannst du analog dazu bestimmen.
1. Bestimme $\boldsymbol{\vec{n_2}}$
Die Ebene $E_2$ wird durch die drei Punkte $A$, $D$ und $E$ bzw, die Vektoren $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{DE}$ aufgespannt. Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf dieser und damit auch auf allen darin enthaltenen Vektoren. Das heißt, du kannst $\vec{n_2}$ ermitteln, indem du das Kreuzprodukt $\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{DE}$ bildest.
$\begin{array}[t]{rll} \vec{n_2}&=&\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{DE}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0 \\-8\\0\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-3 \\-3\\12\\\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}(-8)\cdot 12-0\cdot (-3) \\0\cdot (-3)-0 \cdot 12 \\0 \cdot (-3)-(-8) \cdot (-3)\\\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-96 \\0\\-24\\\end{pmatrix} \end{array}$
Den Normalenvektor kannst du zur Vereinfachung noch mit -24 kürzen:
$\begin{array}[t]{rll} \vec{n_2}&=& -\dfrac{1}{24}\cdot\begin{pmatrix}-96\\0\\-24\\\end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}4\\0\\1\\\end{pmatrix} \end{array}$
2. Schnittwinkel bestimmen
Durch Einsetzen in die Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen kannst du $\varphi$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\varphi)&=&\dfrac{\left|\begin{pmatrix}0\\4\\1\\\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4\\0\\1\\\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}0\\4\\1\\\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}4\\0\\1\\\end{pmatrix}\right|}\\[5pt] \cos(\varphi)&=&\dfrac{\sqrt{0 \cdot 4 + 4 \cdot 0 + 1\cdot 1}}{\sqrt{0^2 +4^2 +1^2} \cdot \sqrt{4^2 + 0^2 +1^2}}\\[5pt] \cos(\varphi)&=&\dfrac{1}{17}&\scriptsize\mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \varphi&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{17}\right)\\[5pt] \varphi&\approx& 86,6277 \end{array}$
Der Schnittwinkel ist $\varphi \approx 86,63^{\circ}$.
b) $\blacktriangleright$  Berechne die Mantelfläche des Pyramidenstumpfs
Hier sollst du die Mantelfläche des Pyramidenstumpfs berechnen, das sind alles Flächen, die mit Glas bedeckt sind. Die Mantelfläche ergibt sich aus:
$M = 2\cdot (a_1+a_2)\cdot h$
Wobei $a_1$ und $a_2$ die Längen der Kanten, also $|\overrightarrow{AB}|$ und $|\overrightarrow{EF}|$, sind. $h$ ist die Höhe, also der Abstand zwischen den Kanten. Die Höhe kannst du berechnen, indem du den Abstand der Mittelpunkte der Kanten berechnest.
1. Länge der Kanten bestimmen
Um die Länge der Kanten zu bestimmen, musst du den Betrag der entsprechenden Vektoren bilden:
$\begin{array}[t]{rll} a_1=|\overrightarrow{AB}|&=&\left|\begin{pmatrix}8\\0\\0\\\end{pmatrix}\right| \\[5pt] &=& 8 \\[5pt] a_2=|\overrightarrow{EF}| &=& \left|\begin{pmatrix}-1\\1\\12\\\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\12\\\end{pmatrix}\right| \\[5pt] &=& \left|\begin{pmatrix}-2\\0\\0\\\end{pmatrix}\right| \\[5pt] &=& 2\\[5pt] \end{array}$
2. Höhe bestimmen
Um die Höhe zu bestimmen, musst du die Mittelpunkte der Kanten finden und deren Abstand berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_1} &=& \dfrac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}0\\8\\0\\\end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0\\4\\0\\\end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{OM_2} &=& \dfrac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}0\\2\\24\\\end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0\\1\\12\\\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
Der Abstand, also die Höhe, ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} h&=&\left|\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1}\right|\\[5pt] &=& \left|\begin{pmatrix}0\\-3\\12\\\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=& \sqrt{9+144}\\[5pt] &=& 3\sqrt{17}\\[5pt] &\approx& 12,37 \\[5pt] \end{array}$
3. Mantelfläche bestimmen
Jetzt hast du alle Größen, um die Mantelfläche zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} M &=& 2\cdot (a_1+a_2)\cdot h \\[5pt] &=& 2\cdot (8+2)\cdot 3 \sqrt{17}\\[5pt] &=& 60 \cdot \sqrt{17}\\[5pt] &\approx& 247,39 \\[5pt] \end{array}$
Die Mantelfäche ist $M=247,39\,\text{FE}$.
$\blacktriangleright$  Berechne die Oberfläche der aufgesetzten Pyramide
Hier ist eine regelmäßige Pyramide mit vier gleich großen dreieckigen Seiten und einer quadratischen Grundfläche. Die Seitenfläche entspricht dem Flächeninhalt der Dreiecke:
$A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$
Wobei $g$ die Länge der Grundseite und $h$ die Höhe des Dreiecks beschreibt. Die quadratische Grundfläche berechnest du mit dem Quadrat einer Seite.
1. Dreiecksfläche bestimmen
Die Grundseite $g$ ergibt sich aus der Länge des Vektor $\overrightarrow{E'F'}$. Die Punkte $E'$ und $F'$ bildest du, indem du die $z$-Komponente der Ortsvektoren von $E$ und $F$ jeweils um 1 erhöhst:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OE'}&=& \overrightarrow{OE}+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\13\\\end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{OF'}&=& \overrightarrow{OF}+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\1\\13\\\end{pmatrix}\\[5pt] g &=& |\overrightarrow{E'F'}| \\[5pt] &=& \left|\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}\right| \\[5pt] &=& 2\\[5pt] \end{array}$
Die Länge der Grundseite beträgt $2\,\text{LE}$.
Um die Höhe zu bestimmen, musst du den Abstand der Pyramidenspitze $S'$ vom Mittelpunkt $M_3$ der Kante $\overline{E'F'}$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_3} &=& \dfrac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OE'}+\overrightarrow{OF'})\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0\\1\\13\\\end{pmatrix}\\[5pt] h &=& |\overrightarrow{OM_3} - \overrightarrow{OS'}|\\[5pt] &=& \left|\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=& \sqrt{5}\\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt der 4 Dreiecksflächen ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} 4\cdot A_{\triangle} &=& 4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{5}\\[5pt] &=& 4\cdot\sqrt{5}\\[5pt] &\approx& 8,94\\[5pt] \end{array}$
2. Quadratfläche bestimmen
Du bestimmst nun die den Flächeninhalt der Grundseite:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\square} &=& \overrightarrow{E'F'}\cdot \overrightarrow{E'F'}\\[5pt] &=& g^2 \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Grundseite beträgt $4\,\text{FE}$.
3. Oberfläche bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} O &=& 4\cdot A_{\triangle}+A_{\square} \\[5pt] &\approx& 8,94 + 4 \\[5pt] &=& 12,94 \\[5pt] \end{array}$
Die Oberfläche ist somit $O\approx 12,94\,\text{FE}$
c) $\blacktriangleright$  Bestimme den Schnittpunkt $\boldsymbol{K}$ der Geraden $\boldsymbol{k}$ mit der Ebene $\boldsymbol{E_1}$
Hier sollst du den Schnittpunkt $K$ der Geraden $k$ mit der Ebene $E_1$ bestimmen. Dafür musst du zunächst eine Geradengleichung von $k$ aufstellen, um dann die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleichzusetzen.
1. Geradengleichung aufstellen
Die Gerade $k$ geht durch den Mittelpunkt $M_4$ der Strecke $\overline{CD}$ und schneidet die Ebene $E_1$ orthogonal. Für die Geradengleichung verwendest du den Ortsvektor des Mittelpunkts $\overrightarrow{OM_4}$ als Stützvektor und den Normalenvektor $\vec{n_1}$ als Richtungsvektor:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_4} &=& \dfrac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0\\-4\\0\\\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
Geradengleichung:
$\begin{array}[t]{rll} k: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\-4\\0\\\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}0\\4\\1\\\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
2. Schnittpunkt bestimmen
Um den Schnittpunkt zu bestimmen, setzt du die Geradengleichung in die Ebenengleichung in Koordinatenform ein:
$\begin{array}[t]{rll} 4\cdot(-4+4\cdot t) + t &=& 16 \quad\scriptsize\mid +16\\[5pt] 17\cdot t &=& 32\quad\scriptsize\mid :17\\[5pt] t&=& \dfrac{32}{17} \end{array}$
Diesen Wert von $t$ setzt du in die Geradengleichung und du erhältst den Ortsvektor des Schnittpunktes:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OK} &=& \begin{pmatrix}0\\-4\\0\\\end{pmatrix}+\dfrac{32}{17} \begin{pmatrix}0\\4\\1\\\end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0\\\dfrac{-68}{17}+\dfrac{128}{17}\\\dfrac{32}{17}\\\end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0\\\dfrac{60}{17}\\\dfrac{32}{17}\\\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$
Der Schnittpunkt liegt bei $K\left( 0\,\left| \,\dfrac{60}{17}\,\right| \,\dfrac{32}{17}\right)$.
$\blacktriangleright$  Bestimme den Radius des Schnittkreis der Geraden, die $\boldsymbol{E_1}$ im 85$^{\circ}$ Winkel schneiden
Die Geraden durch den Mittelpunkt $M_4$ der Punkte $C$ und $D$, die $E_1$ im Winkel $\beta=85^{\circ}$ schneiden, bilden einen Kegel mit $M_4$ als Spitze. Mit dem Abstand $d$ von $M_4$ von der Ebene $E_1$ und dem Öffnungswinkel kannst du den Radius $r$ berechnen:
$r=\dfrac{d}{\tan(\beta)}$
Den Abstand kannst du aus dem Abstand der Punkte $M_4$ und $K$ bestimmen, denn $K$ ist der Schnittpunkt mit der Ebenen $E_1$, wenn eine Gerade durch $M_4$ senkrecht zur Ebene $E_1$ steht.
$\begin{array}[t]{rll} d &=& |\overrightarrow{OM_4}-\vec{K}| \\[5pt] &=& \left|\begin{pmatrix}0\\-\dfrac{128}{17}\\-\dfrac{32}{17}\\\end{pmatrix}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{\left(\dfrac{128}{17}\right)^2+\left(\dfrac{32}{17}\right)^2}\\[5pt] &\approx& 7,76 \\[5pt] \end{array}$
Jetzt kannst du den Radius $r$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} r &=& \dfrac{d}{\tan(\beta)} \\[5pt] &\approx& \dfrac{7,76}{\tan(85^{\circ})}\\[5pt] &=& \dfrac{7,76}{11,43}\\[5pt] &\approx& 0,68 \\[5pt] \end{array}$
Der Radius ist $r=0,68\,\text{LE}$.
d) $\blacktriangleright$  Überprüfe, ob eine kugelförmige Kerze mit Radius 3 LE in die Gartenlaterne passt
Um zu überprüfen, ob die Kerze in den Pyramidenstumpf passt, bestimmst du den Kugelmittelpunkt und berechnest den Abstand des Mittelpunkts zur Ebene $E_1$.
1. Kugelmittelpunkt bestimmen
Die Kugelkerze steht in der Mitte auf dem Boden des Pyramidenstumpfs. Dazu musst du zunächst den Mittelpunkt $M_5$ der Pyramidengrundfläche bestimmen. Es ist der Mittelpunkt der Geraden $\overline{AC}$, da die Grundfläche ein Quadrat ist:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_5}&=& \dfrac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})\\[5pt] &=& \begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix} \end{array}$
Die Kerze hat einen Radius von 3 LE, deshalb ist der Mittelpunkt der Kerze bei $M_K(0\,|\,0\,|\,3)$.
2. Abstand berechnen
Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist gegeben durch:
$d(P,E) = \left|\dfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\cdot \overrightarrow{AP}\right|$
Wobei $A$ ein beliebiger Punkt der Ebene $E$ ist. $P$ ist der Punkt, von dem der Abstand gesucht wird. $\vec{n}$ ist der Normalenvektor der Ebene. Von welcher der vier Seiten, also welcher Ebene du den Abstand bestimmst, ist beliebig, da alle Seiten den gleichen Abstand zur Mitte der Pyramide haben. Du erhältst als Abstand:
$\begin{array}[t]{rll} d(M_K, E_1) &=& \left|\dfrac{\vec{n_1}}{|\vec{n_1}|}\cdot \overrightarrow{AM_K}\right| \\[5pt] &=& \left|\begin{pmatrix}0\\4\\1\\\end{pmatrix}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{17}} \begin{pmatrix}-4\\-4\\3\\\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=& \left|\dfrac{-16+3}{\sqrt{17}}\right|\\[5pt] &\approx& 3,15\\[5pt] \end{array}$
Der Abstand ist mit $d=3,15\,\text{LE}$ größer als 3 LE und somit passt die Kugel in den Pyramidenstumpf.
$\blacktriangleright$  Bestimme den größtmöglichen Radius $r'$, sodass die Kerze in die Laterne passt
Hier sollst du den maximalen Radius $r'$ bestimmen, sodass die Kerze noch in den Pyramidenstumpf passt. Der Mittelpunkt $M_K'$ der Kerze ist dann $M_K'(0\,|\,0\,|\,r')$. Den Abstand bestimmst du analog zum vorherigen Aufgabenteil. Der Abstand soll gleich dem Radius $r'$ sein:
$\begin{array}[t]{rll} d(M_K', E_1) &=& \left|\dfrac{\vec{n_1}}{|\vec{n_1}|}\cdot \overrightarrow{AM_K'}\right| \\[5pt] r' &=& \left|\dfrac{\vec{n_1}}{|\vec{n_1}|}\cdot \overrightarrow{AM_K'}\right| \\[5pt] r' &=& \left|\begin{pmatrix}0\\4\\1\\\end{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{17}} \cdot \begin{pmatrix}-4\\-4\\r'\\\end{pmatrix}\right|\\[5pt] r' &=& \left|\dfrac{-16 + r'}{\sqrt{17}}\right| &\quad&\scriptsize\mid \cdot \sqrt{17} \\[5pt] \sqrt{17}\cdot r' &=& 16-r' &\quad&\scriptsize\mid +r'\\[5pt] \left(\sqrt{17}+1\right)\cdot r' &=& 16&\quad&\scriptsize\mid :(\sqrt{17}+1)\\[5pt] r' &=& \dfrac{16}{\sqrt{17}+1} \\[5pt] &\approx& 3,12 \\[5pt] \end{array}$
Der maximale Radius beträgt $r'\approx 3,12\,\text{LE}$.
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