Analysis 1

Für den Beginn des Jahres 2020 modelliert der Graph der Funktion $f$ mit

$f(x)=5x\cdot\mathrm e^{-x}+1$ und $x\in[0;8]$

einen Teil einer Küstenlinie, die das Land vom Meer trennt. Die $x$ -Achse beschreibt eine Straße in West-Ost-Richtung. Die Fläche zwischen dem Graphen und der $x$ -Achse stellt das Land nördlich der Straße dar. Bei $L(0,5\mid1,5)$ steht ein Leuchtturm.
Eine Längeneinheit entspricht $100\,\text{m}$ in der Wirklichkeit.

Grafik mit einer grünen Kurve, Achsenbeschriftung und einem Kompass, dargestellt in einem Koordinatensystem.

a1)

Zeichne den Punkt $L$ in die Abbildung ein.
Berechne die $y$ -Koordinate des Punkts der Küstenlinie an der Stelle $x=0,5.$

(2 P)

a2)

Zeichne die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=2$ in die Abbildung ein, und bestimme deren Steigung.

(2 P)

a3)

Es gibt auf dem betrachteten Teil der Küstenlinie Punkte, deren Abstand von der Straße $200$ Meter beträgt.
Zeichne die entsprechenden Punkte in die Abbildung ein.
Berechne die Koordinaten dieser Punkte.

(3 P)

b1)

Berechne die Kordinaten des nördlichsten Punkts auf dem betrachteten Teil der Küstenlinie.

[Zur Kontrolle: $\(f$ ]

(5 P)

b2)

Bestimme alle Stellen $x\in[0;8],$ für die $\(f$ gilt.

(3 P)

b3)

Berechne den mittleren Abstand der Punkte des betrachteten Teils der Küstenlinie zur Straße in Metern.

(3 P)

b4)

Bestimme mittels Integration einen Funktionsterm für eine Stammfunktion $F$ von $f$ .

(4 P)

Der betrachtete Teil der Küstenlinie wird sich im Laufe der Jahre verändern. In einem Rechenmodell wird der künftige Verlauf für $a\geq20$ durch die Funktion $f_a$ mit

$f_a(x)=5x\cdot\mathrm e^{-0,05a\cdot x}+1$ und $x\in[0;8]$

modelliert. Der Wert von $a$ gibt an, wie viele Jahre seit Beginn des Jahres 2000 vergangen sind. Also entspricht $a=20$ dem Beginn des Jahres 2020.

c1)

Berechne, in welchem Jahr der Leuchtturm auf der Küstenlinie stehen wird.

(3 P)

Für jedes $a$ hat der Graph der Funktion $f_a$ einen Hochpunkt an der Stelle $x=\frac{20}{a}.$ Dieser Hochpunkt beschreibt den nördlichsten Punkt der jeweiligen Küstenlinie.

c2)

Bestimme eine Gleichung der Ortskurve, auf der die Hochpunkte liegen.

(3 P)

c3)

Vom Leuchtturm aus führt ein Weg genau in Nordrichtung. Zu einem bestimmten Zeitpunkt endet dieser Weg am nördlichsten Punkt der Küstenlinie.
Bestimme die Länge des Weges zu diesem Zeitpunkt.

(3 P)

d1)

Berechne den Inhalt der Landfläche zwischen der Küstenlinie und der Straße im Intervall $[0;8]$ zu Beginn des Jahres 2150.
Begründe, dass der Inhalt der Landfläche auch in allen Jahren nach 2150 größer als $8$ Hektar sein wird.

(4 P)

d2)

Es gibt genau einen Wert $a\geq20,$ der die folgende Gleichung erfüllt:

Vollständige Gleichung anzeigen

$\displaystyle \int_{0}^{8} \mathrm (5x\cdot\mathrm e^{-0,05a\cdot x}+1)\mathrm dx= ...$

Interpretiere die Bedeutung dieses Wertes $a$ im Sachzusammenhang.

(2 P)

d3)

Bestimme alle reellen Zahlen $a,$ für die $f_a(x)\lt f(x)$ für $0\lt x\leq8$ gilt.

(3 P)

a1)

Graph mit einer Kurve, die eine Küstenlinie darstellt, mit Achsen und Beschriftungen.

$\begin{array}[t]{rll} f(0,5)&=& 5\cdot(0,5)\cdot\mathrm e^{-0,5}+1\\[5pt] &\approx& 2,5163 \end{array}$

a2)

Grafik mit einer Küstenlinie, Achsenbezeichnungen und einer Funktion f auf einem Koordinatensystem.

$f(2)=5\cdot2\cdot \mathrm e^{-2}+1\approx2,3534$

$\(f$

Die Steigung der Tangente von $f$ an der Stelle $x=2$ beträgt $-0,6767.$

a3)

Graf einer Küstenlinie mit Achsenbeschriftungen und Punkten P1 und P2.

$2=5x\cdot \mathrm e^{-x}+1$

$x_1\approx0,26\quad x_2\approx2,54$

$P_1(0,26\mid2)\quad P_2=(2,54\mid2)$

b1)

Es werden die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $f$ berechnet.

Wende die notwendige Bedingung für Extremstellen an.

$\(f$

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 5\mathrm e^{-x}(1-x)&\quad \scriptsize \mid\;\mathrm e^{-x}\neq0 \\[5pt] 0&=& 1-x &\quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt] x&=& 1 \end{array}$

Wende die hinreichende Bedingung für Extremstellen an.

$\(f$ und $\(f$

$\(f$

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

An der Stelle $x=1$ besitzt der Graph von $f$ einen Hochpunkt.

$f(1)=5\cdot(1)\cdot\mathrm e^{-(1)}+1\approx2,8394$

Der nördlichste Punkt liegt bei $P_n(1\mid2,8394).$

b2)

$\(f$

$0=5e^{-x}(-2+x)\rightarrow x=2$

b3)

Intervall $[0;8]$

$\dfrac{1}{8-0}\displaystyle\int_{0}^{8}(5x\mathrm e^{-x}+1)\,\ \mathrm dx\approx1,6231$

Der mittlere Abstand der Punkte zur Straße beträgt $162,31\,\text{m}.$

b4)

Mit der partiellen Integration wird eine Stammfunktion bestimmt:

$F(x)=-5e^{-x}(x+1)+x$

Vollständige Lösung anzeigen

c1)

$L(0,5\mid1,5)$ in $f_a(x)$ einsetzen.

$a\approx64,376$

Vollständige Lösung anzeigen

Im Frühsommer $2064$ wird der Leuchtturm auf der Küstenlinie stehen.

c2)

Berechne die $y$ -Koordinate der Hochpunkte.

$f_a(\frac{20}{a})=5\cdot\frac{20}{a}\cdot\mathrm e^{-0,05\cdot a\cdot\frac{20}{a}}+1$

$f_a(\frac{20}{a})=\frac{100}{a}\mathrm e^{-1}+1$

Forme die $x$ -Koordinate nach $a$ um:

$a=\frac{20}{x}$

Setze $a$ in die $y$ -Koordinate ein. Damit ergibt sich die Gleichung der Ortskurve.

$\begin{array}[t]{rll} y&=& \frac{100}{a}\mathrm e^{-1}+1 \\[5pt] &=&5\cdot\frac{20}{a}\mathrm e^{-1}+1&\quad\scriptsize\mid\;\frac{20}{a}=x \\[5pt] &=& 5\mathrm e^{-1}\cdot x+1 \end{array}$

c3)

$\begin{array}[t]{rll} x&=& 0,5&\quad \scriptsize \\[5pt] a&=& \dfrac{20}{0,5} \\[5pt] &=& 40 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_{40}(0,5)&=& \dfrac{100}{40}\mathrm e^{-1}+1 \\[5pt] &\approx& 1,9197 \\[5pt] \end{array}$

$1,9197-1,5= 0,4197$

Der Weg endet 2040 am nördlichsten Punkt und ist zu diesem Zeitpunkt ungefähr $41,97\,\text{m}$ lang.

d1)

$f_{150}(x)=5x\mathrm e^{-7,5x}+1$

$F_{150}(x)=-\mathrm e^{-7,5x}(\frac{2}{3}x+\frac{4}{45})+x$

Vollständige Lösung anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{8}(5x\mathrm e^{-7,5x}+1) \,\ \mathrm dx\approx8,0889$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Flächeninhalt liegt bei ca. $8,0889$ Hektar und wird auch nie gleich oder unter $8$ Hektar sein, da durch den Summanden $+1$ die Kurve auf der $y-$ Achse verschoben ist. Sie nähert sich dem Wert $y=1$ , aber berührt ihn nie. Dadurch bleibt das Rechteck mit den Seitenlängen $1$ und $8$ immer erhalten, welches den Flächeninhalt $8$ Hektar besitzt.

d2)

Zum Zeitpunkt $a$ ist die Landfläche um $\frac{1}{5}$ ihrer Ausgangsgröße geschrumpft, was sich aus dem Faktor $0,8$ herleiten lässt, da dieser $a$ ersetzt.

d3)

Wegen $x\gt0$ gilt:

$\begin{array}[t]{lrll} &f_a(x)&\lt&f(x) \\[5pt] \Leftrightarrow&5x\cdot\mathrm e^{-0,05a\cdot x}(x)&\lt&5x\cdot\mathrm e^{-x} \\[5pt] \Leftrightarrow&\mathrm e^{-0,05a\cdot x}&\lt&e^{-x} \\[5pt] \Leftrightarrow&-0,05a\cdot x&\lt&-x \\[5pt] \Leftrightarrow&0,05a&\gt&1 \\[5pt] \Leftrightarrow&a&\gt&20 \\[5pt] \end{array}$