Stochastik 2

Die Abbildung zeigt insgesamt $16$ gleich große Felder.
Von den $12$ gefärbten Feldern haben $4$ einen Stern.

Grünes 4x4-Gitter mit weißer 2x2-Mitte und weißen Sternen in den vier Ecken

Bei einem Zufallsexperiment leuchtet eines der $16$ Felder zufällig auf. Die Wahrscheinlichkeit des Aufleuchtens ist für jedes Feld gleich groß. Es werden die folgenden beiden Ereignisse betrachtet.

$G:$

„Das aufleuchtende Feld ist gefärbt.“

$S:$

„Das aufleuchtende Feld hat einen Stern.“

a1)

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das aufleuchtende Feld gefärbt und ohne Stern ist.

(1 BE)

a2)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P(\overline{G} \cup S).$

(2 BE)

a3)

Gib sowohl die Bedeutung des Terms $P_S(G)$ im Sachkontext als auch dessen Wert an.

(3 BE)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein aufleuchtendes Feld gefärbt ist, beträgt $75 \,\%.$ Das Zufallsexperiment wird $20$ -mal durchgeführt. Die Zufallsgröße $X$ gibt dabei an, wie oft ein aufleuchtendes Feld gefärbt ist.

a4)

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$

mehr als $15$ beträgt,
kleiner als $90 \,\%$ des Erwartungswerts von $X$ ist.

(5 BE)

a5)

Ermittle zwei natürliche Zahlen $a$ und $b,$ so dass gilt:
$P_{0,75}^{20}(a \leq X \leq b)$ $=1-0,25^{20}-0,75^{20}$

(3 BE)

Eine Firma programmiert ein Reaktionsspiel, bei dem die obige Abbildung auf einem Touchscreen angezeigt wird. Ein Zufallsgenerator wählt ein Feld aus, dieses leuchtet kurz auf und soll dann möglichst schnell von der spielenden Person berührt werden.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das aufleuchtende Feld einen Stern hat, ist nun $p^*.$

b1)

Bei $100$ Durchführungen des Spiels leuchtet $26$ -mal ein Feld mit Stern auf.
Weise für diese Situation nach, dass der Wert $0,25$ im $95\, \%$ -Konfidenzintervall für den Wert von $p^*$ liegt.

(3 BE)

b2)

Beurteile, ob die folgende Aussage für jede natürliche Zahl $m$ mit $m \geq 1$ wahr ist:

Wenn bei $100 \cdot m$ Durchführungen des Spiels $(26 \cdot m)$ -mal ein Feld mit Stern aufleuchtet, dann liegt der Wert $0,25$ im $95 \%$ -Konfidenzintervall für den Wert von $p^*.$

(3 BE)

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a1)

$8$ Felder sind gefärbt und ohne Stern. Insgesamt gibt es $16$ Felder. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für das beschriebene Ereignis:

$p=\dfrac{8}{16}$

a2)

$\begin{array}[t]{rlll} P(\overline{G}\cup S) &=& P(\overline{G})+P(S) \\[5pt] &=& \dfrac{4}{16}+\dfrac{4}{16} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$

a3)

Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass das Feld gefärbt ist, unter der Bedingung, dass das Feld einen Stern hat. Da dies immer der Fall ist, beträgt der Wert des Terms $P_S(G)=1.$

a4)

Die Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern $n=20$ und $p=0,75.$

Wahrscheinlichkeit $\boldsymbol{P_{0,75}^{20}(X\gt15)}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rlll} P_{0,75}^{20}(X\gt15) &=& 1-P_{0,75}^{20}(X \leq 15) \\[5pt] &=& 1-0,585 \\[5pt] &=& 0,415 \end{array}$

Erwartungswert $\boldsymbol{E(X)}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rlll} E(X) &=& n\cdot p\\[5pt] &=& 20\cdot0,75 \\[5pt] &=& 15 \end{array}$

$90\,\%$ des Erwartungswerts entsprechen somit:

$0,9\cdot15=13,5$

Da $k$ immer nur ganzzahlig sein kann und da die Wahrscheinlichkeit für kleiner $90\,\%$ gesucht ist, gilt $k=13.$

Wahrscheinlichkeit $\boldsymbol{P_{0,75}^{20}(X \leq 13)}$ berechnen

$P_{0,75}^{20}(X \leq 13)\approx0,214$

a5)

Der Teil $0,25^{20}$ des Terms beschreibt das Ereignis $P_{0,75}^{20}(X=0).$

Der Teil $0,75^{20}$ des Terms beschreibt das Ereignis $P_{0,75}^{20}(X=20).$

Das Gegenereignis dieser beiden Ausdrücke ist somit gegeben durch:

$P_{0,75}^{20}(1 \leq X \leq 19)$

Somit gilt $a=1$ und $b=19.$

b1)

Da die Stichprobe groß genug ist, kann die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden.

Für die Formel des Konfidenzintervalls folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} \left|\dfrac{26}{100}-p\right| &=& 1,96 \cdot \sqrt{\dfrac{p \cdot(1-p)}{100}} &\mid\; ^2\\[5pt] \left(\dfrac{26}{100}-p\right)^2 &=& 3,8416\cdot\dfrac{p \cdot(1-p)}{100} \\[5pt] \dfrac{169}{2500}-\dfrac{13}{25}p+p^2 &=& \dfrac{3,8416p -3,8416p^2}{100} &\mid\; \cdot 100 \\[5pt] \dfrac{169}{25}-52p+100p^2 &=& 3,8416p -3,8416p^2 &\mid\; -(3,8416p-3,8416p^2) \\[5pt] 103,8416p^2-55,8416p+\dfrac{169}{25} &=& 0 \end{array}$

Mit der Mitternachtsformel folgt für $p:$

$\begin{array}[t]{rlll} p &=& \dfrac{55,8416\pm\sqrt{(-55,8416)^2-4\cdot103,8416\cdot\frac{169}{25}}}{2\cdot103,8416} \\[5pt] p_1 &\approx&0,184 \\[5pt] p_2&\approx&0,354 \end{array}$

$p_1$ und $p_2$ bilden die Grenze des $95\,\%$ -Konfidenzintervalls. Der Wert $0,25$ liegt somit im Konfidenzintervall.

b2)

Die Aussage gilt nicht für jede natürliche Zahl $m \geq 1$ .
Ein Gegenbeispiel ist $m=100.$
Die Gleichung

$\begin{array}[t]{rlll} \left|\dfrac{26 \cdot 100}{100 \cdot 100}-p\right| &=& 1,96 \cdot \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{100 \cdot 100}} &\mid\; ^2 \\[5pt] \left(\dfrac{2600}{10000}-p\right)^2&=& 3,8416\cdot\dfrac{p(1-p)}{10000} \\[5pt] \dfrac{169}{2500}-\dfrac{13}{25}p+p^2&=& \dfrac{3,8416p-3,8416p^2}{10000} &\mid\; \cdot10000 \\[5pt] 676-5200p+10000p^2 &=& 3,8416p-3,8416p^2 &\mid\; -(3,8416p-3,8416p^2) \\[5pt] 10003,8416p^2-5203,8416p+676 &=& 0 \end{array}$

Mit der Mitternachtsformel folgt für $p:$

$\begin{array}[t]{rlll} p &=& \dfrac{5203,8416\pm\sqrt{(-5203,8416)^2-4\cdot100003,8416\cdot676}}{2\cdot100003,8416} \\[5pt] p_1 &\approx&0,251\\[5pt] p_2&\approx&0,269 \end{array}$

Damit liegt der Wert $0,25$ nicht innerhalb dieses Konfidenzintervals.

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