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Pflichtaufgabe 1 - Analysis

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1.1
$\,$
a)
Zeige, dass $G_f$ im Punkt $W(5\mid 0)$ einen Wendepunkt besitzt.
#wendepunkt
$\,$
b)
$G_f$ geht aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x)= \frac{1}{8}\cdot \left(x^3-25x \right)$ durch eine Verschiebung in positive $x$-Richtung hervor. Gib an, um wie viel der Graph von $g$ dazu verschoben werden muss. Begründe mithilfe der Funktion $g,$ dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.
#symmetrie
$\,$
c)
Betrachtet wird das Dreieck $ABC$ mit $A(0\mid 0),$ $B(4\mid 0)$ und $C(4\mid f(4)).$ Rotiert dieses Dreieck um seine Seite $\overline{AB},$ so entsteht ein Körper.
Berechne den Inhalt der Oberfläche dieses Körpers.
$\,$
d)
Berechne $\displaystyle\int_{0}^{5}f(x)\;\mathrm dx$ mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
#integral
1.2
$\,$
a)
Gib mithilfe der Abbildung die Produktionsmenge an, bei der die Kosten $125\,000$ Euro betragen.
$\,$
b)
Gib das Monotonieverhalten von $K$ an und deute deine Angabe im Sachzusammenhang.
#monotonie
$\,$
c)
Beurteile die folgende Aussage:
Je größer die Produktionsmenge ist, desto höher sind die Kosten, die die Produktion eines zusätzlichen Kubikmeters der Flüssigkeit verursacht.
$\,$
Die Funktion $E$ mit $E(x)=23x$ gibt für $0\leq x\leq 9$ den Erlös (in $1000$ Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt.
Für die sogenannte Gewinnfunktion $G$ gilt $G(x)= E(x)-K(x).$ Positive Werte von $G$ werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.
$\,$
d)
Zeige, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.
$\,$
e)
Zeichne den Graphen von $E$ in Abbildung 1 ein. Bestimme mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.
$\,$
f)
Berechne, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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