Vorschlag A — Der Elektrobus: Induktives Laden in der E-Mobilität

Die Elektromobilität schreitet voran. Im Jahre 2024 fuhren bereits über 2000 Elektrobusse auf deutschen Straßen. In einigen Städten werden die an Haltestellen stehenden Elektrobusse induktiv geladen.

Die Technik des induktiven Ladens von stehenden Elektrobussen an Ladestationen ist in Material 1 beschrieben.

1.1

Erkläre das Zustandekommen der Induktionsspannung in der Sekundärspule.

4 BE

1.2

Der Bereich innerhalb der Primärspule soll mit Eisenplatten ausgefüllt werden.

Erkläre, dass damit eine höhere Induktionsspannung in der Sekundärspule am Bus erreicht werden kann.

3 BE

1.3

Begründe anhand physikalischer Zusammenhänge mit Material 2, dass der dort geschilderte Verbesserungsvorschlag korrekt ist.

4 BE

2.1

Berechne mit den Daten aus Material 3 den maximalen Wert der magnetischen Flussdichte (*) $Formula: B_{\mathrm{Mitte}}$ $Formula: B_{\mathrm{Mitte}}$ der Primärspule mittig im Abstand von $Formula: 14\;\mathrm{cm}$ $Formula: 14\;\mathrm{cm}$ über der Primärspule.

[zur Kontrolle: $Formula: B_{\mathrm{Mitte}} = 0,57\;\mathrm{mT}$ $Formula: B_{\mathrm{Mitte}} = 0,57\;\mathrm{mT}$ ]

(*) Die magnetische Flussdichte wird in manchen Lehrbüchern auch als magnetische Feldstärke bezeichnet

3 BE

2.2

Ermittle unter Berücksichtigung der Abbildung in Material 3 den maximalen Wert der induzierten Spannung an der Sekundärspule. Nimm an, dass die maximale magnetische Flussdichte in der Sekundärspule $Formula: B_{\mathrm{max}}$ $Formula: B_{\mathrm{max}}$ der magnetischen Flussdichte $Formula: B_{\mathrm{Mitte}}$ $Formula: B_{\mathrm{Mitte}}$ aus Teilaufgabe 2.1 entspricht.

5 BE

2.3

Stelle passend zur Abbildung in Material 3 den zeitlichen Verlauf der induzierten Spannung, welche an der Sekundärspule gemessen werden würde, im Zeitintervall $Formula: 0 \leq t \leq T$ $Formula: 0 \leq t \leq T$ quantitativ in einem Diagramm dar.

Hinweis: Wenn du kein Ergebnis bei Teilaufgabe 2.2 erhalten hast, nutze ersatzweise $Formula: U_{\mathrm{ind}} = 500\;\mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{ind}} = 500\;\mathrm{V}$ als maximalen Wert der induzierten Spannung.

3 BE

3.1

Begründe mithilfe einer Rechnung anhand der Daten aus der Tabelle in Material 4, dass der Ladepunkt an der Endhaltestelle ausreicht, um den Bus den gesamten Tag fahren zu lassen.

3 BE

3.2

Diskutiere unter Berücksichtigung von Material 4, ob die Maßnahme, eine weitere Ladestelle an einer Zwischenhaltestelle zu bauen, sinnvoll ist. Berücksichtige dabei zwei Argumente für und zwei Argumente gegen dieses Vorhaben.

5 BE

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Material 1: Induktives Laden eines Elektrobusses

Fährt ein Bus an eine Ladestelle, dann positioniert er sich über der im Asphalt eingelassenen flachen, runden Primärspule, die mit einer Wechselspannung betrieben wird.

Zum Laden senkt sich die runde Sekundärspule bis auf eine Distanz von $Formula: 14 \;\text{cm}$ $Formula: 14 \;\text{cm}$ zur Mitte der Primärspule in der Straßenoberfläche herab. Der Vorgang ist hier vereinfacht dargestellt, da üblicherweise mehrere Primär- und Sekundärspulen genutzt werden.

Seitenansicht eines Busses mit Sekundärspule am Unterboden und Primärspule im Boden, Wechselstromsymbol darunter.

Material 2: Verbesserungsvorschlag der Ingenieure zum Elektrobus 2.0

Beim Bau der nächsten Generation der Elektrobusse könnten deutliche Verbesserungen vorgenommen werden. Wenn die Sekundärspule auch nur Formula: 1 oder Formula: 2 Zentimeter mehr abgesenkt wird, dann erhöht sich die Energieübertragung pro Zeit, das heißt, die elektrische Leistung. Die auf die Sekundärspule übertragene elektrische Leistung Formula: P kann mit $Formula: P = I \cdot U_{\mathrm{ind}}$ $Formula: P = I \cdot U_{\mathrm{ind}}$ berechnet werden. Noch effektiver wäre eine direkte Absenkung der Sekundärspule auf den Erdboden. Diese zweite Möglichkeit würde aber zu einer Abnutzung der Sekundärspule führen und Unebenheiten, wie z.B. Steine, könnten zu Problemen, wie dem Kippen der Sekundärspule, führen.

Hinweis: Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass der Widerstand im Stromkreis der Sekundärspule konstant ist.

Material 3: Idealisierte Annahmen zum Laden von Elektrobussen

Die magnetische Flussdichte Formula: B mittig über einer flachen Kreisspule mit dem Radius Formula: R sowie der Windungszahl Formula: N kann mithilfe der folgenden Formel berechnet werden:

$Formula: B = \dfrac{\mu_{0} \cdot N \cdot I \cdot R^{2}}{2 \cdot (R^{2} + x^{2})^{\tfrac{3}{2}}}$ $Formula: B = \dfrac{\mu_{0} \cdot N \cdot I \cdot R^{2}}{2 \cdot (R^{2} + x^{2})^{\tfrac{3}{2}}}$

Die Größe Formula: I beschreibt dabei die elektrische Stromstärke des durch die Spule fließenden Stroms und Formula: x ist der Abstand von der Spulenebene mittig über der Spule (siehe Darstellung in der rechts gezeigten Skizze einer flachen Kreisspule).

Ellipsenförmiger Ring mit vertikaler Achse x und gestricheltem Radius R

Maximale Stromstärke in der Primärspule	$Formula: I_{\mathrm{max}} = 170\;\mathrm{A}$ $Formula: I_{\mathrm{max}} = 170\;\mathrm{A}$
Maximale Spannung an der Primärspule	$Formula: U_{\mathrm{max}} = 400\;\mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{max}} = 400\;\mathrm{V}$
Frequenz der Wechselspannung	$Formula: f = 85\;\mathrm{kHz}$ $Formula: f = 85\;\mathrm{kHz}$
Windungsanzahl der Primär-/Sekundärspule
Radius der Primär-/Sekundärspule	$Formula: R = 0,50\;\mathrm{m}$ $Formula: R = 0,50\;\mathrm{m}$
Abstand der Spulenmittelpunkte (beim Laden)	$Formula: 14\;\mathrm{cm}$ $Formula: 14\;\mathrm{cm}$

Technische Daten zum Laden

Dreiecksignal B(t) über Zeit t, Amplitude ±Bmax, lineares Ansteigen/Abfallen, Halbperiode T/2 und Periode T

Abbildung des vereinfachten zeitlichen Verlaufs der magnetischen Flussdichte im Inneren der Sekundärspule

Material 4: Daten zur Planung der Ladestellen eines Elektrobusses

Der Elektrobus soll nachts einmal maximal geladen werden und dann tagsüber im Dauerbetrieb fahren, wobei der Bus nach jeder Runde kurz zum Zwischenladen an der Endhaltestelle hält.

Daten eines konkreten Elektrobusses, der bisher nur an der Endhaltestelle induktiv geladen werden soll:

Fahrtstrecke einer Runde	$Formula: 13\;\mathrm{km}$ $Formula: 13\;\mathrm{km}$
Fahrtdauer einer Runde	Minuten
Ladezeit am Ende einer Runde an der Endhaltestelle	ca. Minuten
Ladeleistung an der Endhaltestelle	$Formula: 180\;\mathrm{kW}$ $Formula: 180\;\mathrm{kW}$
Maximale Energie in der Lithium-Ionen-Batterie	$Formula: 90\;\mathrm{kWh}$ $Formula: 90\;\mathrm{kWh}$
Benötigte Energie pro Kilometer (Jahresmittelwert)	$Formula: 1,6\;\mathrm{kWh}$ $Formula: 1,6\;\mathrm{kWh}$

$Formula: 1\;\mathrm{kWh}$ $Formula: 1\;\mathrm{kWh}$ entspricht $Formula: 3,6\;\mathrm{MJ}.$ $Formula: 3,6\;\mathrm{MJ}.$

Die Reichweite eines Elektrofahrzeugs wird unter anderem durch das Heizen bzw. Kühlen des Fahrzeuginnenraums und der Batterie beeinflusst.

Lithium-Ionen-Batterien werden bei niedrigen Temperaturen beheizt, um sie im optimalen Temperaturbereich zu halten.

Es kann angenommen werden, dass sich die Reichweite von Elektrobussen wie in der Abbildung dargestellt verhält.

Liniendiagramm: Temperatur (°C) vs. reale Reichweite (%) — steigt bis ~20°C, danach wieder sinkend.

Reale Reichweite im Verhältnis zur angegebenen Reichweite in Abhängigkeit von der Temperatur

In der Abbildung ist ein Temperatur-Verhältnis-Diagramm gezeigt, in dem die durchschnittlichen Werte aus Fahrten von 4200 Elektroautos verschiedener Marken, Modelle und Baujahre berücksichtigt sind. Die angegebene Reichweite wurde vom Hersteller beziffert, die reale Reichweite von Nutzenden.

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1.1

Die Primärspule wird mit einer Wechselspannung betrieben. Dadurch verändert sich die Stromstärke in der Primärspule periodisch.

Sobald eine Veränderung der Stromstärke in der Primärspule auftritt, resultiert dies unmittelbar in einer sich periodisch verändernden magnetischen Flussdichte Formula: B im Bereich der Primärspule.

Da dieses Magnetfeld, welches durch die Primärspule erzeugt wird, auch die Sekundärspule durchsetzt, ändert sich auch dort der magnetische Fluss periodisch. Dieser magnetische Fluss ist proportional zur magnetischen Flussdichte, somit wird in der Sekundärspule gemäß dem Induktionsgesetz eine Spannung induziert.

1.2

Werden Eisenplatten innerhalb der Primärspule platziert, folgt daraus, dass das erzeugte Magnetfeld bei gleichbleibender anliegender Wechselspannung deutlich stärker wird. Durch das stärkere Magnetfeld fallen folglich auch der magnetische Fluss und damit die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses in der Sekundärspule größer aus. Laut Induktionsgesetz resultiert eine stärkere Magnetfeldänderung direkt in einer höheren Induktionsspannung an der Sekundärspule des Busses.

1.3

Die magnetische Flussdichte der Primärspule nimmt ab, je größer der Abstand zu ihr wird. Durch ein tieferes Absenken der Sekundärspule verringert sich die Distanz der Sekundärspule zur Primärspule, wodurch eine deutlich höhere magnetische Flussdichte die Spule im Bus durchsetzt.

Das führt zu einer größeren Änderung der magnetischen Flussdichte über die Zeit und somit zu einer höheren induzierten Spannung in der Sekundärspule. Ein Anstieg der Spannung bewirkt wiederum einen Anstieg der resultierenden elektrischen Stromstärke im Stromkreis.

Die auf die Sekundärspule übertragene elektrische Leistung wird mit der Gleichung $Formula: P = U_{\mathrm{ind}} \cdot I$ $Formula: P = U_{\mathrm{ind}} \cdot I$ berechnet (siehe Material 2). Durch das Absenken der Sekundärspule steigen sowohl die Spannung als auch die Stromstärke an, somit erhöht sich die Energieübertragung pro Zeit (Leistung).

2.1

In die Gleichung aus Material 3 können die gegebenen Werte eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} B_{\mathrm{Mitte}} & = & \dfrac{\mu_{0} \cdot N \cdot I_{\mathrm{max}} \cdot R^{2}}{2 \cdot (R^{2} + x^{2})^{\tfrac{3}{2}}} \\[5pt] & = & \dfrac{\mu_{0} \cdot 3 \cdot 170\;\mathrm{A} \cdot (0,50\;\mathrm{m})^{2}}{2 \cdot ((0,50\;\mathrm{m})^{2} + (0,14\;\mathrm{m})^{2})^{\tfrac{3}{2}}} \\[5pt] & = & 0,57\;\mathrm{mT} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} B_{\mathrm{Mitte}} & = & \dfrac{\mu_{0} \cdot N \cdot I_{\mathrm{max}} \cdot R^{2}}{2 \cdot (R^{2} + x^{2})^{\tfrac{3}{2}}} \\[5pt] & = & \dfrac{\mu_{0} \cdot 3 \cdot 170\;\mathrm{A} \cdot (0,50\;\mathrm{m})^{2}}{2 \cdot ((0,50\;\mathrm{m})^{2} + (0,14\;\mathrm{m})^{2})^{\tfrac{3}{2}}} \\[5pt] & = & 0,57\;\mathrm{mT} \end{array}$

2.2

Es gilt:

$Formula: U_{\mathrm{ind,max}} = -N \cdot A_{\perp} \cdot \frac{\Delta B_{\mathrm{max}}}{\Delta t}$ $Formula: U_{\mathrm{ind,max}} = -N \cdot A_{\perp} \cdot \frac{\Delta B_{\mathrm{max}}}{\Delta t}$

Aus dem Diagramm in Material 3 ergibt sich, dass sich die magnetische Flussdichte während einer halben Periodendauer ( $Formula: \Delta t = \tfrac{1}{2} T$ $Formula: \Delta t = \tfrac{1}{2} T$ ) um $Formula: - 2 B_{\mathrm{max}}$ $Formula: - 2 B_{\mathrm{max}}$ ändert.

Mit $Formula: T = \tfrac{1}{f}$ $Formula: T = \tfrac{1}{f}$ folgt $Formula: \Delta t = \tfrac{1}{2} T=\tfrac{1}{2 \cdot f},$ $Formula: \Delta t = \tfrac{1}{2} T=\tfrac{1}{2 \cdot f},$ außerdem gilt $Formula: A_{\perp} = \pi \cdot R^{2}$ $Formula: A_{\perp} = \pi \cdot R^{2}$ für eine kreisförmige Spule. Daraus folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} U_{\mathrm{ind,max}} & = & N \cdot A_{\perp} \cdot \dfrac{2 \cdot B_{\mathrm{max}}}{\frac{1}{2 \cdot f}} \\[5pt] & = & 3 \cdot \pi \cdot (0,50\;\mathrm{m})^{2} \cdot \dfrac{2 \cdot 0,57 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{T}}{\frac{1}{2 \cdot 85000\;\mathrm{Hz}}} \\[5pt] & = & 460\;\mathrm{V} = 0,46\;\mathrm{kV} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} U_{\mathrm{ind,max}} & = & N \cdot A_{\perp} \cdot \dfrac{2 \cdot B_{\mathrm{max}}}{\frac{1}{2 \cdot f}} \\[5pt] & = & 3 \cdot \pi \cdot (0,50\;\mathrm{m})^{2} \cdot \dfrac{2 \cdot 0,57 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{T}}{\frac{1}{2 \cdot 85000\;\mathrm{Hz}}} \\[5pt] & = & 460\;\mathrm{V} = 0,46\;\mathrm{kV} \end{array}$

Der maximale Wert der induzierten Spannung beträgt somit etwa $Formula: 0,46\;\mathrm{kV}.$ $Formula: 0,46\;\mathrm{kV}.$

2.3

Die Periodendauer beträgt $Formula: T = \tfrac{1}{85000\;\mathrm{Hz}} \approx 1,18 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{s}.$ $Formula: T = \tfrac{1}{85000\;\mathrm{Hz}} \approx 1,18 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{s}.$

Diagramm mit U (V) gegen t (10^-5 s), zwei horizontale Linien bei etwa +450 V und -450 V

3.1

Um zu bewerten, ob die Nachladung an der Endhaltestelle ausreicht, wird die Reichweite berechnet, die durch die in $Formula: 11\;\mathrm{min}$ $Formula: 11\;\mathrm{min}$ gewonnene Energie ermöglicht wird. Dafür wird die geladene Energie durch den Energieverbrauch pro Kilometer geteilt.

Die Ladeleistung beträgt $Formula: P = 180\;\mathrm{kW} = 180\;\mathrm{\tfrac{kJ}{s}}.$ $Formula: P = 180\;\mathrm{kW} = 180\;\mathrm{\tfrac{kJ}{s}}.$
Die Ladezeit beträgt $Formula: t = 11\;\mathrm{min} = 11 \cdot 60\;\mathrm{s}.$ $Formula: t = 11\;\mathrm{min} = 11 \cdot 60\;\mathrm{s}.$
Der durchschnittliche Energiebedarf des Busses liegt bei $Formula: 1,6\;\mathrm{\tfrac{kWh}{km}},$ $Formula: 1,6\;\mathrm{\tfrac{kWh}{km}},$ was umgerechnet $Formula: 1,6 \cdot 3600\;\mathrm{\tfrac{kJ}{km}}$ $Formula: 1,6 \cdot 3600\;\mathrm{\tfrac{kJ}{km}}$ entspricht.

Daraus folgt:

$Formula: s = \frac{180\;\mathrm{\frac{kJ}{s}} \cdot 11 \cdot 60\;\mathrm{s}}{1,6 \cdot 3600\;\mathrm{\frac{kJ}{km}}} = 21\;\mathrm{km}$ $Formula: s = \frac{180\;\mathrm{\frac{kJ}{s}} \cdot 11 \cdot 60\;\mathrm{s}}{1,6 \cdot 3600\;\mathrm{\frac{kJ}{km}}} = 21\;\mathrm{km}$

Die durch den kurzen Ladevorgang nachgeladene Energie liefert ausreichend Strom für eine Fahrstrecke von etwa $Formula: 21\;\mathrm{km}.$ $Formula: 21\;\mathrm{km}.$ Da eine komplette Runde lediglich $Formula: 13\;\mathrm{km}$ $Formula: 13\;\mathrm{km}$ lang ist, genügt die Ladung an der Endhaltestelle problemlos, um den Bus im Dauerbetrieb fahren zu lassen. Ein weiterer Ladepunkt ist folglich nicht zwingend notwendig.

3.2

Mögliche Argumente für den Bau (Pro):

Geringere Reichweite bei Kälte: Bei niedrigen Außentemperaturen sinkt die reale Reichweite des Elektrobusses erheblich. Liegt die Temperatur beispielsweise bei $Formula: -10\;^\circ\mathrm{C},$ $Formula: -10\;^\circ\mathrm{C},$ fällt die Reichweite auf etwa $Formula: 60\,\%$ $Formula: 60\,\%$ ab. Die Zwischenladung an der Endhaltestelle liefert dann statt $Formula: 21\;\mathrm{km}$ $Formula: 21\;\mathrm{km}$ nur noch Energie für etwa $Formula: 12,6\;\mathrm{km}.$ $Formula: 12,6\;\mathrm{km}.$ Da die Rundenlänge jedoch $Formula: 13\;\mathrm{km}$ $Formula: 13\;\mathrm{km}$ beträgt, würde die Batterieladung über den Tag hinweg kontinuierlich sinken.
Absicherung bei unvorhersehbaren Ereignissen: Unplanbare Vorkommnisse wie Staus, Umleitungen oder ein stark erhöhter Energiebedarf durch den Einsatz von Heizung oder Klimaanlagen können die Reichweite reduzieren. Eine zweite Ladestation bietet hierbei eine wichtige Ausfallsicherheit.
Ausfall der Ladezeit: Um bei Verspätungen den Fahrplan wieder einzuhalten, ist es möglich, dass die Ladezeit an der Endhaltestelle verkürzt werden oder ganz entfallen muss. Auch hier würde eine Zwischenladestation das Defizit ausgleichen.

Mögliche Argumente gegen den Bau (Contra):

Hohe Infrastrukturkosten: Der Bau und die Installation einer zusätzlichen induktiven Ladestation an einer Zwischenhaltestelle sind sehr kostenintensiv.
Ausreichende Batteriekapazität als Puffer: Die Batterie ist nach der nächtlichen Vollladung mit maximal $Formula: 90\;\mathrm{kWh}$ $Formula: 90\;\mathrm{kWh}$ gefüllt. Damit lässt sich eine Strecke von etwa $Formula: 56\;\mathrm{km}$ $Formula: 56\;\mathrm{km}$ zurücklegen:

$Formula: s = \frac{90\;\mathrm{kWh}}{1,6\;\mathrm{\frac{kWh}{km}}} = 56\;\mathrm{km}$ $Formula: s = \frac{90\;\mathrm{kWh}}{1,6\;\mathrm{\frac{kWh}{km}}} = 56\;\mathrm{km}$

Dieser große Energiepuffer fängt unplanbare Ereignisse im Tagesverlauf in der Regel verlässlich auf.
Fahrplanverzögerung: Ein zusätzlicher Ladevorgang könnte die Haltezeiten an der Zwischenstation verlängern und somit den geplanten Takt des Busses beeinträchtigen.

Mögliche Abwägung (Fazit): Da die Temperaturen in weiten Teilen Deutschlands nur an wenigen Tagen im Jahr extrem weit unter den Gefrierpunkt fallen, ist eine teure Zwischenladestation ökonomisch kaum gerechtfertigt. Für diese speziellen Ausnahmetage könnte stattdessen eine längere Ladezeit an der Endhaltestelle in den Betriebsablauf integriert werden, zumal der Batterie-Puffer durch eine nächtliche Vollladung die meisten unvorhergesehenen Schwankungen ohnehin ausgleicht. Die Zusatzkosten für eine neue Station lassen sich somit einsparen.

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