Vorschlag B — Magnetfeld und Leiterschaukel

Eine Leiterschaukel besteht aus zwei gleich langen, parallel zueinander verlaufenden, sehr flexiblen Kupferleitungen der Länge $Formula: l = 90\;\mathrm{cm}.$ $Formula: l = 90\;\mathrm{cm}.$ An den unteren Enden der Kupferleitungen sind die Stirnflächen eines Aluminiumzylinders der Masse $Formula: m = 5,43\;\mathrm{g}$ $Formula: m = 5,43\;\mathrm{g}$ und der Länge $Formula: b = 4,0\;\mathrm{cm}$ $Formula: b = 4,0\;\mathrm{cm}$ befestigt (Material 1a).

An den oberen Enden der Leiterschaukel ist eine regelbare Gleichspannungsquelle angeschlossen. Die Masse und der Durchmesser der Kupferleitungen und der Durchmesser des Zylinders sind zu vernachlässigen. Verwende für die Permeabilitätszahl von Luft $Formula: \mu_{\mathrm{r,Luft}} = 1.$ $Formula: \mu_{\mathrm{r,Luft}} = 1.$

In einem Experiment wird der Aluminiumzylinder der Leiterschaukel senkrecht zum homogenen Magnetfeld eines Hufeisenmagneten platziert (Material 1b). Der Zylinder befindet sich vollständig im homogenen Magnetfeld.

Fließt Strom durch den Aluminiumzylinder, wird die Leiterschaukel um den Winkel Formula: α aus ihrer Ruhelage ausgelenkt (Material 2).

1.1

Zeichne in Material 2 die drei auf den ausgelenkten Aluminiumzylinder wirkenden Kräfte als Pfeile ein und benenne die Kräfte.

Zeichne den Auslenkwinkel Formula: α in das so entstehende Kräftediagramm ein.

4 BE

1.2

Für kleine Auslenkwinkel $Formula: \alpha \leq 5^{\circ}$ $Formula: \alpha \leq 5^{\circ}$ gilt die Kleinwinkelnäherung $Formula: \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha).$ $Formula: \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha).$

Zeige, dass für kleine Auslenkwinkel die auslenkende Kraft $Formula: F_{\mathrm{L}}$ $Formula: F_{\mathrm{L}}$ näherungsweise durch die Gleichung

$Formula: F_{\mathrm{L}} = \dfrac{m \cdot g \cdot d}{l}$ $Formula: F_{\mathrm{L}} = \dfrac{m \cdot g \cdot d}{l}$

bestimmt werden kann. Hierbei ist Formula: d die in Material 2 eingezeichnete horizontale Auslenkung aus der Ruhelage.

3 BE

1.3

In einer Messreihe wurde die horizontale Auslenkung Formula: d aus der Ruhelage in Abhängigkeit von der Stromstärke Formula: I durch den Zylinder ermittelt (Material 3).

Zeige, dass die Gleichung aus Aufgabe 1.2 für diese Messreihe zur Bestimmung von $Formula: F_{\mathrm{L}}$ $Formula: F_{\mathrm{L}}$ verwendet werden darf.

Berechne für alle horizontalen Auslenkungen Formula: d der Messreihe die auslenkende Kraft $Formula: F_{\mathrm{L}}.$ $Formula: F_{\mathrm{L}}.$

Stelle die auslenkende Kraft $Formula: F_{\mathrm{L}}$ $Formula: F_{\mathrm{L}}$ in Abhängigkeit von der Stromstärke Formula: I in einem geeigneten Koordinatensystem dar und deute das Ergebnis der grafischen Darstellung hinsichtlich des Zusammenhangs zwischen der Kraft und der elektrischen Stromstärke.

11 BE

In einem weiteren Experiment wird der Hufeisenmagnet entfernt. Es sollen die Kräfte zwischen den Kupferleitungen untersucht werden. Fließt ein elektrischer Strom durch einen geraden langen Leiter, so entsteht ein magnetisches Feld, dessen Flussdichte Formula: B mit der Gleichung

$Formula: B = \dfrac{\mu_{0} \cdot I}{2\pi \cdot r}$ $Formula: B = \dfrac{\mu_{0} \cdot I}{2\pi \cdot r}$

berechnet werden kann. Dabei ist Formula: r der Abstand vom Leiter.

Durch die Leiterschaukel fließt ein Strom der Stärke $Formula: I = 10,8\;\mathrm{A}.$ $Formula: I = 10,8\;\mathrm{A}.$

2.1

In Material 4 sind zwei Feldlinienbilder des Magnetfelds um die linke Kupferleitung skizziert.

Gib allgemein die Bedeutung der Dichte von Magnetfeldlinien an.

Beschreibe den Unterschied zwischen dem linken und dem rechten Feldlinienbild.

Entscheide unter Angabe einer Begründung mithilfe der oben angegebenen Gleichung für die magnetische Flussdichte Formula: B, welches der beiden Feldlinienbilder das Magnetfeld um die Kupferleitung korrekt darstellt.

6 BE

Die folgenden Aufgaben beziehen sich wieder auf die Leiterschaukel in Material 1a.

2.2

Der Stromfluss verursacht jeweils eine Kraft auf die beiden Kupferleitungen der Leiterschaukel.

Erkläre die Entstehung und die jeweiligen Richtungen dieser Kräfte.

3 BE

2.3

Berechne den Betrag der Kräfte auf die Kupferleitungen.

3 BE

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1.1

Kraftdiagramm: Punkt mit drei Kraftpfeilen (FH oben-links, FL rechts, FG unten) und gestrichelter Linie mit Winkel α.

Gewichtskraft, Lorentzkraft und Haltekraft der Leitungen.

1.2

Aus dem rechtwinkligen Kräftedreieck ergibt sich:

$Formula: \tan(\alpha) = \frac{F_{\mathrm{L}}}{F_{\mathrm{G}}}= \frac{F_{\mathrm{L}}}{m \cdot g}$ $Formula: \tan(\alpha) = \frac{F_{\mathrm{L}}}{F_{\mathrm{G}}}= \frac{F_{\mathrm{L}}}{m \cdot g}$

Außerdem gilt:

$Formula: \sin(\alpha) = \frac{d}{l}$ $Formula: \sin(\alpha) = \frac{d}{l}$

Für kleine Auslenkwinkel mit $Formula: \alpha \leq 5^\circ$ $Formula: \alpha \leq 5^\circ$ ist die Kleinwinkelnäherung $Formula: \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha)$ $Formula: \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha)$ anwendbar.

Daraus folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{F_{\mathrm{L}}}{m \cdot g} & = & \dfrac{d}{l} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot m \cdot g \\[5pt] F_{\mathrm{L}} & = & \dfrac{m \cdot g \cdot d}{l} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{F_{\mathrm{L}}}{m \cdot g} & = & \dfrac{d}{l} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot m \cdot g \\[5pt] F_{\mathrm{L}} & = & \dfrac{m \cdot g \cdot d}{l} \end{array}$

1.3

Zeigen der Anwendbarkeit

Die maximale horizontale Auslenkung in der Messreihe beträgt $Formula: d = 37\;\mathrm{mm} = 3,7\;\mathrm{cm}.$ $Formula: d = 37\;\mathrm{mm} = 3,7\;\mathrm{cm}.$

Daraus folgt für den maximalen Auslenkwinkel:

$Formula: \alpha = \arcsin\left(\dfrac{d}{l}\right) = \arcsin\left(\dfrac{3,7\;\mathrm{cm}}{90\;\mathrm{cm}}\right) = 2,36^{\circ}$ $Formula: \alpha = \arcsin\left(\dfrac{d}{l}\right) = \arcsin\left(\dfrac{3,7\;\mathrm{cm}}{90\;\mathrm{cm}}\right) = 2,36^{\circ}$

Das liegt deutlich unter der Grenze von $Formula: 5^\circ,$ $Formula: 5^\circ,$ somit ist die Bedingung für die Kleinwinkelnäherung erfüllt und die Gleichung aus Teilaufgabe 1.2 darf für die gesamte Messreihe angewendet werden.

Berechnen der Kräfte

Für das erste Wertepaar mit der elektrischen Stromstärke $Formula: I = 0,4\;\mathrm{A}$ $Formula: I = 0,4\;\mathrm{A}$ und der Auslenkung $Formula: d = 8\;\mathrm{mm} = 8 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}$ $Formula: d = 8\;\mathrm{mm} = 8 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}$ ergibt sich mit der Gleichung aus Teilaufgabe 1.2:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{L}} & = & \dfrac{m \cdot g \cdot d}{l} \\[5pt] & = & \dfrac{5,43 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{kg} \cdot g \cdot 8 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}}{0,9\;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & 4,7 \cdot 10^{-4}\;\mathrm{N}=0,47\;\mathrm{mN} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{L}} & = & \dfrac{m \cdot g \cdot d}{l} \\[5pt] & = & \dfrac{5,43 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{kg} \cdot g \cdot 8 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}}{0,9\;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & 4,7 \cdot 10^{-4}\;\mathrm{N}=0,47\;\mathrm{mN} \end{array}$

Analog ergibt sich für die verbleibenden Kraftwerte:

$Formula: \boldsymbol{I}$ $Formula: \boldsymbol{I}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{A}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{A}}$
$Formula: \boldsymbol{d}$ $Formula: \boldsymbol{d}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mm}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mm}}$
$Formula: \boldsymbol{F_\mathrm{L}}$ $Formula: \boldsymbol{F_\mathrm{L}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mN}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mN}}$

Darstellen und Deuten

Diagramm: Messpunkte und lineare Ausgleichsgerade für F_L (mN) gegen Strom I (A)

Im Diagramm lässt sich erkennen, dass alle Punkte in sehr guter Näherung auf einer Ursprungsgeraden liegen. Daraus folgt, dass die auf den Aluminiumzylinder wirkende Lorentzkraft direkt proportional zur elektrischen Stromstärke ist.

2.1

Angeben der Bedeutung der Feldliniendichte

Die Dichte der Magnetfeldlinien dient als Maß für die magnetische Flussdichte Formula: B. Umso dichter die Magnetfeldlinien, desto stärker ist die magnetische Flussdichte in diesem Bereich.

Unterschied zwischen den Abbildungen

Im linken Feldlinienbild nimmt die Dichte der Linien mit zunehmendem Abstand vom Leiter ab. Im rechten Feldlinienbild bleibt die Feldliniendichte hingegen konstant.

Begründete Entscheidung

Aus der gegebenen Gleichung $Formula: B = \mu_{\mathrm{0}} \cdot \tfrac{I}{2\pi \cdot r}$ $Formula: B = \mu_{\mathrm{0}} \cdot \tfrac{I}{2\pi \cdot r}$ geht hervor, dass die magnetische Flussdichte mit zunehmendem Abstand Formula: r zum Leiter abnimmt. Aus diesem Grund muss im korrekten Feldlinienbild die Dichte der Feldlinien nach außen hin abnehmen. Folglich stellt das linke Feldlinienbild das Magnetfeld um die Kupferleitung korrekt dar.

2.2

Die elektrische Stromrichtung verläuft in den beiden parallelen Kupferleitungen entgegengesetzt zueinander. Nach der Linke-Hand-Regel orientiert sich das Magnetfeld im Bereich zwischen den beiden Leitungen dadurch in die exakt gleiche Richtung. Da sich jede der beiden Kupferleitungen im Magnetfeld der jeweils anderen Leitung befindet, erfährt jede Leitung eine Lorentzkraft.

Die Anwendung der Drei-Finger-Regel der linken Hand zeigt, dass diese wirkende Kraft bei beiden Leitungen nach außen gerichtet ist. Die Leiter stoßen sich demnach ab.

2.3

Die Lorentzkraft auf einen geraden Leiter im Magnetfeld berechnet sich mit der Formel:

$Formula: F_{\mathrm{L}} = B \cdot I \cdot l$ $Formula: F_{\mathrm{L}} = B \cdot I \cdot l$

Für die magnetische Flussdichte Formula: B kann die gegebene Gleichung $Formula: B = \mu_{\mathrm{0}} \cdot \tfrac{I}{2\pi \cdot r}$ $Formula: B = \mu_{\mathrm{0}} \cdot \tfrac{I}{2\pi \cdot r}$ eingesetzt werden:

$Formula: F_{\mathrm{L}} = \mu_{\mathrm{0}} \cdot \frac{I^2 \cdot l}{2\pi \cdot b}$ $Formula: F_{\mathrm{L}} = \mu_{\mathrm{0}} \cdot \frac{I^2 \cdot l}{2\pi \cdot b}$

Einsetzen der gegebenen Werte liefert:

$Formula: F_{\mathrm{L}} = \mu_{\mathrm{0}} \cdot \frac{(10,8\;\mathrm{A})^2 \cdot 0,9\;\mathrm{m}}{2\pi \cdot 0,04\;\mathrm{m}}\approx 5,25 \cdot 10^{-4}\;\mathrm{N}$ $Formula: F_{\mathrm{L}} = \mu_{\mathrm{0}} \cdot \frac{(10,8\;\mathrm{A})^2 \cdot 0,9\;\mathrm{m}}{2\pi \cdot 0,04\;\mathrm{m}}\approx 5,25 \cdot 10^{-4}\;\mathrm{N}$

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Material 1

a) Leiterschaukel

b) Leiterschaukel im Hufeisenmagneten

Material 2: Seitenansicht der ausgelenkten Leiterschaukel bei Stromfluss

Material 3: Horizontale Auslenkung $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{d}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{d}}$ in Abhängigkeit von der Stromstärke $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{I}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{I}}$

Material 4: Feldlinienbilder des Magnetfelds um die linke Kupferleitung

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Vorschlag B — Magnetfeld und Leiterschaukel

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Material 1

a) Leiterschaukel

b) Leiterschaukel im Hufeisenmagneten

Material 2: Seitenansicht der ausgelenkten Leiterschaukel bei Stromfluss

Material 3: Horizontale Auslenkung in Abhängigkeit von der Stromstärke

Material 4: Feldlinienbilder des Magnetfelds um die linke Kupferleitung

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Material 3: Horizontale Auslenkung $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{d}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{d}}$ in Abhängigkeit von der Stromstärke $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{I}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{I}}$