Vorschlag D — Atommodelle

Atommodelle wurden stets durch experimentelle Befunde und theoretische Überlegungen weiterentwickelt, das Thomson’sche Modell 1911 durch das Rutherford’sche und dieses 1913 durch das Bohr’sche Atommodell. Inzwischen werden wellenmechanische Atommodelle verwendet.

Ende des 19. Jahrhunderts setzte sich die Erkenntnis durch, dass in allen Atomen kleinste, negativ geladene Teilchen, die Elektronen, enthalten sind. Sir Joseph Thomson entwickelte ein Atommodell, in dem Elektronen ähnlich wie Rosinen im Kuchen gleichmäßig in der ansonsten positiv geladenen Atommasse eingebettet sind. Einige Jahre später konnte Ernest Rutherford mittels seines berühmten Streuversuchs die Struktur von Atomen näher untersuchen und entwickelte ein Atommodell aus Kern und Hülle.

1.1

Beschrifte den Aufbau des Rutherford’schen Streuversuchs in Material 1.

3 BE

1.2

In Material 2 ist die Verteilung der Ablenkwinkel des Rutherford’schen Streuversuchs angegeben.

Beschreibe das Ergebnis, das Rutherford erhielt.

Erläutere die daraus resultierenden Folgerungen.

3 BE

1.3

Mithilfe des Energieerhaltungssatzes $Formula: E_{\mathrm{kin}} = E_{\mathrm{pot}}$ $Formula: E_{\mathrm{kin}} = E_{\mathrm{pot}}$ konnte Rutherford den Atomkernradius Formula: r mit der Formel

$Formula: \dfrac{1}{2} \cdot m_{\alpha} \cdot v^{2} = \dfrac{Z \cdot e \cdot 2 \cdot e}{4\pi \cdot \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot r}$ $Formula: \dfrac{1}{2} \cdot m_{\alpha} \cdot v^{2} = \dfrac{Z \cdot e \cdot 2 \cdot e}{4\pi \cdot \varepsilon_{\mathrm{0}} \cdot r}$

abschätzen.

Berechne Formula: r , wenn die Geschwindigkeit der Alphateilchen $Formula: v = 2,09 \cdot 10^{7}\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = 2,09 \cdot 10^{7}\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ beträgt, sie eine Masse $Formula: m_{\alpha} = 6,64 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg}$ $Formula: m_{\alpha} = 6,64 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg}$ besitzen und eine Goldfolie mit Formula: Z = 79 verwendet wird.

4 BE

Anknüpfend an Rutherfords Atommodell formulierte Niels Bohr seine Postulate und konnte damit die Abgabe und Aufnahme von Licht durch Atome erklären.

2.1

Nenne die Bohr’schen Postulate.

3 BE

2.2

Erläutere den Unterschied zwischen einem Emissions- und einem Absorptionsspektrum.

4 BE

2.3

In Material 3 ist das Emissionsspektrum einer Quecksilberdampflampe und in Material 4 ist ein vereinfachter Auszug aus dem Energieniveauschema von Quecksilber dargestellt.

2.3.1

Berechne mithilfe des Spektrums die Energie der Photonen für die beiden Linien im Bereich $Formula: 400\;\mathrm{nm} < \lambda < 450\;\mathrm{nm}$ $Formula: 400\;\mathrm{nm} < \lambda < 450\;\mathrm{nm}$ in der Einheit $Formula: \mathrm{eV}.$ $Formula: \mathrm{eV}.$

Diese beiden Linien entstehen durch den Übergang vom Energieniveau $Formula: E_{\mathrm{4}}$ $Formula: E_{\mathrm{4}}$ in jeweils ein niedrigeres Energieniveau.

Ermittle die Energien der niedrigeren Energieniveaus und zeichne diese in Material 4 ein.

6 BE

2.3.2

Berechne mithilfe von Material 4 die Wellenlänge der Photonen, die bei dem gezeigten Übergang (von $Formula: E_{\mathrm{4}}$ $Formula: E_{\mathrm{4}}$ nach $Formula: E_{\mathrm{3}}$ $Formula: E_{\mathrm{3}}$ ) entstehen.

3 BE

2.4

In Material 5 ist der Aufbau des Experiments zur Resonanzabsorption von Natrium zu sehen. In den Teilen a) und b) ist eine durch Natriumsalz gefärbte Brennerflamme zu sehen, die einmal mit einer Natriumdampflampe und einmal mit einer Quecksilberdampflampe beleuchtet wird. Der Schattenwurf kann wie in Material 5 abgebildet beobachtet werden.

Ein Schüler erklärt die Beobachtung wie folgt: „Man sieht nur im Licht der Natriumlampe einen Schatten. Das hat was mit der Frequenz der Photonen der Natriumdampflampe zu tun.“

Beurteile seine Aussage im Hinblick auf die fachliche Richtigkeit und entwickle bei Bedarf eine genauere Erklärung.

4 BE

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Material 1: Rutherford’scher Streuversuch

Schematische Zeichnung eines abgerundeten Rechtecks mit großem Kreis, Radialen, Winkel θ, Pfeilen und leeren Beschriftungsfeldern.

Material 2: Verteilung der Ablenkwinkel

Ablenkwinkel $Formula: \boldsymbol{\vartheta}$ $Formula: \boldsymbol{\vartheta}$	$Formula: 0^{\circ} \leq \vartheta \leq 15^{\circ}$ $Formula: 0^{\circ} \leq \vartheta \leq 15^{\circ}$	$Formula: 15^{\circ} < \vartheta \leq 150^{\circ}$ $Formula: 15^{\circ} < \vartheta \leq 150^{\circ}$
Anteil der Alphateilchen	$Formula: 99,62 \%$ $Formula: 99,62 \%$	$Formula: 0,38 \%$ $Formula: 0,38 \%$

Material 3: Quecksilberspektrum (Emissionsspektrum)

Emissionsspektrum (300–750 nm) mit mehreren Peaks, starke Intensitätsmaxima bei etwa 550 nm und 590 nm.

Material 4: Auszug aus dem Energieniveauschema von Quecksilber

Energieleveldiagramm mit E4 = -2,70 eV, E3 = -4,97 eV, E0 = -10,43 eV und Pfeil für Lichtübergang.

Material 5: Experiment zur Resonanzabsorption von Natrium

a) Experiment mit Natriumdampflampe

Drei schematische Symbole: Natriumdampflampe, Bunsenbrenner mit Löffel und Flamme, Flamme hinter einem Schirm

b) Experiment mit Quecksilberdampflampe

Drei Symbole: Quecksilberdampflampe, Bunsenbrenner mit Löffel und Flamme, Schirm

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1.1

Schematische Darstellung des Rutherfordschen Streuexperiments mit Alphastrahl, Goldfolie und Leuchtschirm

1.2

Beschreiben der Ergebnisse

Die Messdaten in Material 2 verdeutlichen, dass der weitaus größte Teil der Alphateilchen ( $Formula: 99,62\%$ $Formula: 99,62\%$ ) die Folie fast vollkommen ohne Ablenkung passiert. Lediglich ein sehr geringer Anteil von $Formula: 0,38\%$ $Formula: 0,38\%$ der Teilchen erfährt eine starke Ablenkung in einem Winkelbereich von über $Formula: 15^{\circ}$ $Formula: 15^{\circ}$ bis zu $Formula: 150^{\circ}.$ $Formula: 150^{\circ}.$

Folgerungen für das Atommodell

Aus der Tatsache, dass einige wenige Teilchen so stark abgelenkt werden, lässt sich schließen, dass nahezu die gesamte Masse des Atoms in einem winzigen, positiv geladenen Atomkern vereint ist. Da die allermeisten Alphateilchen den Bereich der Goldfolie ungestört durchqueren, muss die Atomhülle, in der sich die Elektronen befinden, im Vergleich zum Kern riesig sein und besitzt nahezu keine eigene Masse.

1.3

In der Aufgabenstellung ist folgende Gleichung gegeben:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2} \cdot m_{\alpha} \cdot v^2 &=& \dfrac{Z \cdot e \cdot 2 \cdot e}{4\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{r}{\frac{1}{2} \cdot m_{\alpha} \cdot v^2} \\[5pt] r &=& \dfrac{4 \cdot Z \cdot e \cdot e}{4\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot m_{\alpha} \cdot v^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2} \cdot m_{\alpha} \cdot v^2 &=& \dfrac{Z \cdot e \cdot 2 \cdot e}{4\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{r}{\frac{1}{2} \cdot m_{\alpha} \cdot v^2} \\[5pt] r &=& \dfrac{4 \cdot Z \cdot e \cdot e}{4\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot m_{\alpha} \cdot v^2} \end{array}$

Hier können nun die gegebenen Werte eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} r &=& \dfrac{79 \cdot e \cdot e}{\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot 6,64 \cdot 10^{-27}\;\text{kg} \cdot (2,09 \cdot 10^7\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}})^2} \\[5pt] &\approx& 2,5 \cdot 10^{-14}\;\text{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} r &=& \dfrac{79 \cdot e \cdot e}{\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot 6,64 \cdot 10^{-27}\;\text{kg} \cdot (2,09 \cdot 10^7\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}})^2} \\[5pt] &\approx& 2,5 \cdot 10^{-14}\;\text{m} \end{array}$

2.1

1. Postulat (Diskrete Energiestufen, Quantenbedingung): Die Energie des Atoms kann nur diskrete Werte annehmen. Der Umlauf der Elektronen erfolgt nur auf bestimmten diskreten Bahnen. Auf diesen Bahnen strahlen die Elektronen keine Energie ab.
2. Postulat (Lichtemission und -absorption): Beim Übergang der Elektronen zwischen zwei Energiestufen wird Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung emittiert oder absorbiert. Die Frequenz dieser ausgesandten Strahlung ergibt sich aus der Energiedifferenz zwischen dem Ausgangs- und dem Endzustand.

$Formula: h \cdot f = E_m - E_n$ $Formula: h \cdot f = E_m - E_n$ mit $Formula: m, n \in \mathbb{N}$ $Formula: m, n \in \mathbb{N}$ und )

2.2

Emissionsspektrum: Ein solches Spektrum entsteht, wenn ein Stoff selbst Licht aussendet. Befinden sich Atome oder Moleküle in einem angeregten Zustand, können sie in ein niedrigeres Energieniveau übergehen und dabei die überschüssige Energie als Lichtquanten (Photonen) abgeben. Das Spektrum zeigt folglich die Wellenlängen beziehungsweise Frequenzen des emittierten Lichts als helle Linien.
Absorptionsspektrum: Durchquert ein kontinuierliches Lichtspektrum einen Stoff, absorbieren die Atome oder Moleküle des Stoffs ganz bestimmte Wellenlängen dieses kontinuierlichen Spektrums. Diese absorbierten Wellenlängen fehlen danach im ansonsten kontinuierlichen Spektrum. Dadurch weist das Absorptionsspektrum an diesen spezifischen Stellen dunkle Linien (Intensitätsminima) auf.

2.3

2.3.1

Berechnen der Photonenenergie

Aus dem gegebenen Diagramm (Material 3) lassen sich im Bereich zwischen $Formula: 400\;\mathrm{nm}$ $Formula: 400\;\mathrm{nm}$ und $Formula: 450\;\mathrm{nm}$ $Formula: 450\;\mathrm{nm}$ zwei deutliche Linien ablesen: $Formula: \lambda_{\mathrm{1}} \approx 405\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{1}} \approx 405\;\mathrm{nm}$ und $Formula: \lambda_{\mathrm{2}} \approx 435\;\mathrm{nm}.$ $Formula: \lambda_{\mathrm{2}} \approx 435\;\mathrm{nm}.$

Die Energie der zugehörigen Photonen berechnet sich mit der Gleichung $Formula: E_{\mathrm{Photon}} = \tfrac{h \cdot c}{\lambda}.$ $Formula: E_{\mathrm{Photon}} = \tfrac{h \cdot c}{\lambda}.$ Für die erste Linie ( $Formula: 405\;\mathrm{nm}$ $Formula: 405\;\mathrm{nm}$ ) ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\text{Photon,1}} &=& \dfrac{h \cdot c}{405 \cdot 10^{-9}\;\text{m}} \\[5pt] &\approx& 4,90 \cdot 10^{-19}\;\text{J} \\[5pt] &\approx& 3,06\;\text{eV} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\text{Photon,1}} &=& \dfrac{h \cdot c}{405 \cdot 10^{-9}\;\text{m}} \\[5pt] &\approx& 4,90 \cdot 10^{-19}\;\text{J} \\[5pt] &\approx& 3,06\;\text{eV} \end{array}$

Für die zweite Linie ( $Formula: 435\;\mathrm{nm}$ $Formula: 435\;\mathrm{nm}$ ) ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\text{Photon,2}} &=& \dfrac{h \cdot c}{435 \cdot 10^{-9}\;\text{m}} \\[5pt] &\approx& 4,57 \cdot 10^{-19}\;\text{J} \\[5pt] &\approx& 2,85\;\text{eV} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\text{Photon,2}} &=& \dfrac{h \cdot c}{435 \cdot 10^{-9}\;\text{m}} \\[5pt] &\approx& 4,57 \cdot 10^{-19}\;\text{J} \\[5pt] &\approx& 2,85\;\text{eV} \end{array}$

Ermittlung der niedrigeren Energieniveaus

Diese beiden Spektrallinien entstehen durch den Übergang vom oberen Energieniveau $Formula: E_{\mathrm{4}} = -2,70\;\mathrm{eV}$ $Formula: E_{\mathrm{4}} = -2,70\;\mathrm{eV}$ auf ein unteres Energieniveau. Daraus lassen sich die gesuchten Energieniveaus wie folgt berechnen:

$Formula: E_{\mathrm{1}} = -2,70\;\mathrm{eV} - 3,06\;\mathrm{eV} = -5,76\;\mathrm{eV}$ $Formula: E_{\mathrm{1}} = -2,70\;\mathrm{eV} - 3,06\;\mathrm{eV} = -5,76\;\mathrm{eV}$

$Formula: E_{\mathrm{2}} = -2,70\;\mathrm{eV} - 2,85\;\mathrm{eV} = -5,55\;\mathrm{eV}$ $Formula: E_{\mathrm{2}} = -2,70\;\mathrm{eV} - 2,85\;\mathrm{eV} = -5,55\;\mathrm{eV}$

Daraus ergibt sich folgendes Energieniveauschema:

Energielevel-Diagramm mit E0 bis E4 (eV), Pfeil „Licht“ rechts und Übergangspfeil von E4 nach E3.

2.3.2

Zunächst wird die Energiedifferenz $Formula: \Delta E_{\mathrm{Photon}}$ $Formula: \Delta E_{\mathrm{Photon}}$ für den gezeigten Übergang ermittelt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta E_{\text{Photon}} &=& E_4 - E_3 \\[5pt] &=& -2,70\;\text{eV} - (-4,97\;\text{eV}) \\[5pt] &=& 2,27\;\text{eV} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta E_{\text{Photon}} &=& E_4 - E_3 \\[5pt] &=& -2,70\;\text{eV} - (-4,97\;\text{eV}) \\[5pt] &=& 2,27\;\text{eV} \end{array}$

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\text{Photon}} &=& \dfrac{h \cdot c}{\lambda} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{\lambda}{E_{\text{Photon}}} \\[5pt] \lambda &=& \dfrac{h \cdot c}{E_{\text{Photon}}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\text{Photon}} &=& \dfrac{h \cdot c}{\lambda} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{\lambda}{E_{\text{Photon}}} \\[5pt] \lambda &=& \dfrac{h \cdot c}{E_{\text{Photon}}} \end{array}$

Einsetzen ergibt:

$Formula: \lambda = \frac{h \cdot c}{2,27\;\mathrm{eV}}\approx 546\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda = \frac{h \cdot c}{2,27\;\mathrm{eV}}\approx 546\;\mathrm{nm}$

2.4

Die Erklärung des Schülers greift zu kurz und ist ungenau formuliert. Es ist zwar in der Tendenz richtig, dass die Beobachtung mit der Frequenz beziehungsweise Wellenlänge der Photonen zusammenhängt, allerdings erklärt dies noch nicht, weshalb der Schatten ausschließlich bei der Natriumdampflampe auftritt.

Grundsätzlich ist jedes chemische Element ausschließlich in der Lage, exakt diejenigen Lichtwellenlängen zu absorbieren, die es auch selbst emittieren kann.

Die Quecksilberdampflampe sendet keine Photonen aus, die den passenden Energiebetrag für eine Anregung der Natriumatome in der Flamme besitzen. Deshalb findet hier keine Absorption statt.

Die Natriumdampflampe liefert hingegen Photonen mit dem exakt passenden Energiebetrag (insbesondere bei $Formula: 589\;\mathrm{nm}$ $Formula: 589\;\mathrm{nm}$ ). Die Natriumatome in der Flamme absorbieren diese Photonen. Beim anschließenden Rücksprung auf das Grundniveau emittieren die Natriumatome die Strahlung wieder, streuen sie dabei jedoch in alle beliebigen Raumrichtungen. Dadurch fehlt dieses Licht in der Vorwärtsrichtung zum Schirm, was als dunkler Schatten sichtbar wird.

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