B2 - Analytische Geometrie

In Rom am Piazzale Ostiense steht nach ägyptischem Vorbild die $40\,\text{m}$ hohe Cestius-Pyramide. Die Seitenlängen der quadratischen Grundfläche $ABCD$ betragen $30\,\text{m}$ . Die Spitze der Pyramide liegt in $S\ (15\mid 15\mid40)$ (alle Angaben in Metern).

Cestius-Pyramide

Gib die Skalierung der Achsen des Koordinatensystems aus der Aufgabenstellung und die Koordinaten der Eckpunkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ an.

(5 BE)

Ermittle eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ , in der die Pyramidenfläche $CDS$ liegt.

$[$ zur Kontrolle: $8y+3z=240$ ist eine mögliche Koordinatengleichung von $E.]$

(5 BE)

Zur Säuberung der teilweise mit Moos und Unkraut bewachsenen Pyramide muss ein Gebäudereiniger an den Seitenflächen hochsteigen. Bei Gebäudeflächen mit einer Neigung von mehr als $60^{\circ}$ darf er diese nur mit Sicherung besteigen.

Entscheide durch eine geeignete Rechnung, ob hier eine solche Sicherung notwendig ist.

(4 BE)

Die Strahlen der Vormittagssonne fallen zu einem bestimmten Zeitpunkt in Richtung des Vektors $\vec{s_v}=\begin{pmatrix}1\\2\\-4 \end{pmatrix}$ auf die Pyramide. Eine Touristin sitzt zu diesem Zeitpunkt gegenüber der Pyramide in einem Café. Eines ihrer Augen befindet sich im Punkt $T\,(24,75\mid 34,5\mid 1)$ .

Bestätige durch eine geeignete Rechnung, dass der Schatten der Pyramidenspitze genau in dieses Auge fällt.

(4 BE)

Um die Mittagszeit fallen die Sonnenstrahlen nun in Richtung des Vektors $\vec{s_M}=\begin{pmatrix}2\\1\\-20 \end{pmatrix}$ auf die Cestius-Pyramide. Zeige rechnerisch, dass zu diesem Zeitpunkt die Pyramide keinen Schatten spenden kann.

(6 BE)

Zur Überprüfung der Stabilität des Gesteins der Pyramide wird eine Probebohrung angeordnet. Dazu wird senkrecht zur Seitenfläche $CDS$ eine Bohrung bis zum Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche durchgeführt. Berechne die Koordinaten des Punktes $P$ auf der Seitenfläche $CDS$ , in dem die Bohrung beginnen muss.

Bestimme die Länge des entstehenden Bohrkanals.

$[$ zur Kontrolle: Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich $P\ (\ 15\ |\ 28,15\ |\ 4,93).]$

(6 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:2012-07-04_Piazzale_Ostiense.jpg - Piazzale Ostiense in Rome; on the left the Pyramid of Caius Cestius, on the right Porta San Paolo, Blackcat, CC BY-SA 3.0.

Aus der Aufgabenstellung kann entnommen werden, dass die Seitenlänge der Pyramide 30 Meter beträgt. Da die Pyramide im Koordinatensystem mit sechs Kästchen vermessen wird, entsprechen folglich jeweils zwei Kästchen 10 Metern.

Auf der $x$ -Achse umfasst die 30 Meter lange Seite drei Kästchen, somit gibt ein Kästchen 10 Meter an.

Damit lassen sich die Koordinaten der Eckpunkte ablesen. Da sich die Eckpunkte alle in der $xy$ -Ebene befinden, ist die $z$ -Koordinate hierbei jeweils Null:

$A (0 \mid 0 \mid 0)$ , $B (30 \mid 0 \mid 0)$ , $C (30 \mid 30 \mid 0)$ und $D (0 \mid 30 \mid 0)$

Cestius Pyramide Koordinatensystem Beschriftung Loesung

Parametergleichung ermitteln

Für die Gleichung in Parameterform der Ebene wird der Ortsvektor eines Punktes $P$ auf der Ebene und zwei linear unabhängige Vektoren innerhalb dieser Ebene benötigt.

Hierfür bieten sich beispielsweise der Punkt $D$ und die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{DS}$ an:

$\overrightarrow{OD} =$ $\begin{pmatrix} 0\\ 30\\ 0 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{DC} =$ $\begin{pmatrix} 30 - 0\\ 30 - 30\\ 0 - 0 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 30\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{DS} =$ $\begin{pmatrix} 15 - 0\\ 15 - 30\\ 40 - 0 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 15\\ -15\\ 40 \end{pmatrix}$

Somit folgt:

$E: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{OP} + s \cdot \overrightarrow{DC}+t \cdot \overrightarrow{DS}$

Parametergleichung anzeigen

Koordinatengleichung bestimmen

Einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Spannvektoren $\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{DS}$ der Ebene.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DS}& \\[5pt] &=& \pmatrix{30\\0\\0}\times \pmatrix{15\\-15\\40}& \\[5pt] \end{array}$

Das Kreuzprodukt kann mit dem CAS berechnet werden:

Mathematische Berechnung mit Matrizen in einer Software-Anwendung.

Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} E: \; n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z&=& c& \\[5pt] 8\cdot y+3\cdot z&=& c \end{array}$

Durch Einsetzen der Koordinaten eines beliebigen Punkts aus der Ebene ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} E: \; 8\cdot y+3\cdot z&=& c &\quad \scriptsize \mid\; D(0\mid 30\mid 0) \\[5pt] 8\cdot 30+3\cdot 0&=& c &\\[5pt] 240&=& c \end{array}$

Eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ folgt also mit:

$E: 8y+3z= 240$

Der Neigungswinkel der Seitenflächen entspricht dem Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebene der Seitenflächen und dem Normalenvektor der Grundfläche.

Ein Normalenvektor der Seitenfläche $CSD$ wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet und ist somit beispielsweise durch $\overrightarrow{n_E}=\pmatrix{0\\8\\3}$ gegeben. Aufgrund der Symmetrie der Pyramide genügt es, den Winkel einer seitenfläche zu berechnen.

Die Grundfläche entspricht der $xy$ -Ebene und besitzt somit beispielsweise den Normalenvektor $\overrightarrow{n_{xy}}=\pmatrix{0\\0\\1}.$

$\begin{array}[t]{rll} \cos (\alpha)&=& \dfrac{\,\bigg \vert \, \overrightarrow{n_E}\circ\overrightarrow{n_{xy}}\,\bigg \vert \, }{\,\bigg \vert \,\overrightarrow{n_E}\,\bigg \vert \, \cdot \,\bigg \vert \, \overrightarrow{n_{xy}}\,\bigg \vert \, }& \\[5pt] \cos (\alpha)&=& \dfrac{\,\left \vert \, \pmatrix{0\\8\\3}\circ\pmatrix{0\\0\\1}\,\right \vert \,}{\,\left \vert \,\pmatrix{0\\8\\3}\,\right \vert \,\cdot \,\left \vert \,\pmatrix{0\\0\\1}\,\right \vert \, }& \\[5pt] \cos (\alpha)&=&\dfrac{\mid 0\cdot 0+8\cdot 0+3\cdot 1\mid}{\sqrt{70}\cdot \sqrt{1}} & \\[5pt] \cos (\alpha)&=& \dfrac{3}{\sqrt{70}}&\quad \scriptsize \mid\; \arccos \\[5pt] \alpha&\approx& 69^{\circ} & \\[5pt] \end{array}$

Der Neigungswinkel der Seitenflächen beträgt folglich etwa $69^{\circ}.$ Da der Neigungswinkel somit größer als $60^{\circ}$ ist, muss der Gebäudereiniger bei seiner Arbeit gesichert werden.

1. Schritt: Geradengleichung von $g$ aufstellen

Die Geradengleichung $g$ gibt die Schattengerade an, welche von der Pyramidenspitze ausgeht. Trifft der Sonnenstrahl auf der Gerade die Pyramidenspitze, so liegen die nachfolgenden Punkte der Geraden im Schatten der Spitze.

$\begin{array}[t]{rll} g: \; \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OS} + t \cdot \overrightarrow{s_v}& \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}15\\15\\40\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix} \end{array}$

2. Schritt: Punktprobe mit Punkt $T$

Gleichsetzen der Geradengleichung mit den Koordinaten von $T$ ergibt:

$\begin{pmatrix}24,75\\34,5\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}15\\15\\40\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix}$

Aus der ersten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{lrll} \text{I}: & 24,75&=& 15 + 1 \cdot t & \quad \scriptsize \mid\; -15 \\[5pt] & 9,75 &=& t \end{array}$

Kontrolle durch Einsetzen von $t$ in die zweite und dritte Zeile:

$\begin{array}[t]{lrll} \text{II}: & 34,5 &=& 15 + 2\cdot 9,75 & \quad \scriptsize \mid\; -15 \\[5pt] & 34,5 &=& 34,5 & \end{array}$

$\begin{array}[t]{lrll} \text{III} & 1 &=& 40 - 4 \cdot t & \quad \scriptsize \mid\; -40 \\[5pt] & - 39 &=& - 4 \cdot t & \quad \scriptsize \mid\; :(-4) \\[5pt] & 9,75 &=& t \end{array}$

Das Gleichungssystem lässt sich mit $t=9,75$ lösen, somit liegt der Punkt $T$ auf der Geraden $g$ .

Damit fällt der Schatten der Pyramidenspitze in das Auge der Touristin.

Die Pyramide wirft genau dann keinen Schatten, wenn der Schattenpunkt der Pyramidenspitze innerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.

1. Schritt: Geradengleichung $g_S$ aufstellen

Die Schattengerade der Spitze soll durch den Punkt $S$ und in Richtung der Sonnenstrahlen verlaufen. Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} g_S: \overrightarrow{x}&=& \, \overrightarrow{OS} + t \cdot \overrightarrow{s_M}& \\[5pt] &=& \begin{pmatrix}15\\15\\40\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-20\end{pmatrix} \end{array}$

2. Schritt: Gleichung der $xy$ -Ebene bestimmen

Eine Parametergleichung der $xy$ -Ebene lässt sich durch einen Punkt aus der Ebene sowie durch zwei Spannvektoren aufstellen. dabei muss die $z$ -Koordinate gleich null sein.

Eine mögliche Gleichung ergibt sich also beispielsweise mit:

$E_{xy}: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\0\\0}+s\cdot \pmatrix{1\\0\\0}+r\cdot \pmatrix{0\\1\\0}$

3. Schritt: Schattenpunkt bestimmen

Gleichsetzen der Geraden- und Ebenengleichung ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} g_S&=& E_{xy}& \\[5pt] \pmatrix{15\\15\\40}+t\cdot \pmatrix{2\\1\\-20}&=& \pmatrix{0\\0\\0}+s\cdot \pmatrix{1\\0\\0}+r\cdot \pmatrix{0\\1\\0} \end{array}$

Aus der dritten Zeile folgt $40-20t=0$ und somit $t=2.$

Durch Einsetzen von $t=2$ in die erste und zweite Zeile ergeben sich $s=19$ und $r=17$ als Lösungen des Gleichungssystems.

Der Schattenpunkt folgt also mit:

$\overrightarrow{OS}=\pmatrix{15\\15\\40}+2\cdot \pmatrix{2\\1\\-20}=\pmatrix{19\\17\\0}$

Da der Schattenpunkt $S(19\mid17\mid0)$ somit innerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt, wirft die Pyramide zum betrachteten Zeitpunkt keinen Schatten.

1.Schritt: Geradengleichung des Bohrkanals bestimmen

Da der Borhkanal auf den Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche treffen soll, muss dieser auf der Geraden liegen. Der Mittelpunkt $P_D (15 \mid 15 \mid 0)$ dient somit als Stützvektor der Geraden.

Als Richtungsvektor bietet sich ein Normalenvektor der Ebene $CDS$ an. In Aufgabe 2 wurde hierfür bereits beispielsweise der Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{0\\8\\3}$ ermittelt.

Es folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} g_B&=& \overrightarrow{OM} +s \cdot \overrightarrow{n} & \\[5pt] &=&\pmatrix{15\\15\\0}+s\cdot \pmatrix{0\\8\\3} & \\[5pt] &=&\pmatrix{15\\15+8s\\3s} & \\[5pt] \end{array}$

2.Schritt: Lotfußpunkt bestimmen

Die Koordinatengleichung der Ebene $CDS$ wurde bereits in Aufgabe 2 bestimmt:

$E: 8 y + 3 z = 240$

Geradengleichung $g_B$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 8 \cdot (15 +8 s) + 3 \cdot 3s &=& 240 & \\[5pt] 120+64s+9s &=& 240 \quad \scriptsize \mid\; -120 \\[5pt] 73s &=& 120 \quad \scriptsize \mid\; :73 \\[5pt] s &=& \dfrac{120}{73} \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen von $s$ in die Geradengleichung liefert die Koordinaten des gesuchten Punkts:

$\begin{array}[t]{rll} g_B&=& \pmatrix{15\\15\\0}+\dfrac{120}{73} \cdot \pmatrix{0\\8\\3}& \\[5pt] &\approx& \pmatrix{15\\28,15\\4,93} \end{array}$

Somit muss die Bohrung im Punkt $P(15\mid 28,15 \mid 4,93)$ beginnen.

Länge des Bohrkanls bestimmen

Mit den Koordinaten des Mittelpunkts $M(15 \mid 15 \mid 0)$ und des Bohrpunkts $P(15\mid 28,15 \mid 4,93)$ kann der Abstand wie folgt ermittelt werden:

$\begin{array}[t]{rll} l&=&\sqrt{(x_m-x_p)^2+(y_m-y_p)^2+(z_m-z_p)^2} &\\[5pt] &=& \sqrt{(15-15)^2+(15-28,15)^2+(0-4,93)^2} &\\[5pt] &=& \sqrt{0+(-13,15)^2+(-4,93)^2}&\\[5pt] &=& \sqrt{197,2274} &\\[5pt] &\approx & 14,04 \; [\,\text{m}] \end{array}$

Alternativ kann die Länge des Bohrkanals auch mit dem CAS bestimmt werden.

Bildschirmansicht eines Rechners mit normierten Werten und Berechnungsergebnissen.

Die Länge des Bohrkanals beträgt folglich etwa 14,04 Meter.