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A2 - Analysis

Aufgaben
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Eine Schokoladenglocke soll mathematisch modelliert werden. Dazu werden an sieben verschiedenen Stellen die Radien der Glocke gemessen. Im Material 1 sind die Messdaten als Punkte eingetragen. Die Punkte liegen auf dem oberen Rand der Querschnittsfläche, die bei einem Querschnitt durch eine Symmetrieebene der Glocke entsteht. Durch Rotation des oberen Randes der Querschnittsfläche um die $x$-Achse erhält man die Glockenform.
Die Wertetabelle gibt die im Koordinatensystem eingetragenen Punkte an. Eine Einheit entspricht dabei einem Zentimeter.

$x$$-1,5$$-1,0$$-0,5$$0,0$$0,5$$1,0$$1,5$
$y$$0,00$$0,55$$0,80$$1,00$$1,20$$1,45$$2,00$
1.
Die Form des oberen Randes der Querschnittsfläche soll in einem ersten Modell anhand der in der Wertetabelle gegebenen Punkte annähernd durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ beschrieben werden.
1.1
Begründe unter Verwendung von Material 1, warum die ganzrationale Funktion $f$ mindestens dritten Grades sein muss.
(4P)


1.2
Bestimme eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades so, dass ihr Graph durch $(0,5\mid 1,20)$ und $(1,5\mid 2,00)$ verläuft und in $(0,0\mid 1,00)$ einen Wendepunkt besitzt.
(8P)


1.3
Begründe, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades geben kann, die durch alle in der Wertetabelle gegebenen Punkte verläuft und in $(0,0\mid 1,00)$ einen Wendepunkt besitzt.
(3P)
#analysis#wendepunkt
2.
Eine weitere Möglichkeit, eine Näherungsfunktion für die Datenpunkte zu erhalten ist die Methode der Regression.
2.1
Gib eine mithilfe der Methode bestimmte ganzrationale Funktion $g$ dritten Grades an, welche die Datenpunkte der Tabelle annähert. Die Koeffizienten sollen auf vier Nachkommastellen gerundet sein.
(3P)


2.2
Bestimme als Näherungswert für das Volumen der Glocke das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Graphen der Funktion $g$ im Intervall $[-1,5;1,5]$ um die $x$-Achse entsteht.
Solltest du den Funktionsterm von $g$ aus Aufgabe 2.1 nicht bestimmt haben, verwende die Ersatzfunktion $g$ mit $g(x)=0,15x^3+0,31x+1$.
(3P)
#analysis#rotation#regression
3.
Die Form des oberen Randes der Querschnittsfläche soll in einem dritten Modell in einer Umgebung von $x=0$ für eine geeignete Wahl des Parameters $t$ näherungsweise durch einen Graphen der Funktionenschar $f_t$ mit $f_t(x)=\dfrac{\mathrm e^{tx}-\mathrm e^{-tx}}{5t}+1$ und $t\neq0$ beschrieben werden.
Berechne die Funktionsgleichungen der ersten drei Ableitungen der Funktionenschar $f_t$. Zeige, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen und entscheide, ob dort ein Wechsel von einer Rechts- in eine Linskrümmung oder ein Wechsel von einer Links- in eine Rechtskrümmung erfolgt.
(7P)
#funktionenschar#wendepunkt#analysis#ableitung
4.
Die Schokoladenglocke soll mit Blattgold verziert werden. Dazu wird eine extrem dünne, essbare Blattgoldfolie benötigt. Das Blattgold soll in einem Streifen von $x_1=0$ bis $x_2=1$ rund um die Glocke aufgetragen werden. Um einen ersten Näherungswert für den Materialbedarf zu erhalten, wird zunächst vereinfachend eine Funktion $k$ betrachtet, deren Graph vom Punkt $(0\mid 1)$ bis zum Punkt $(1\mid 1,5)$ geradlinig verläuft und in diesem Intervall um die $x$-Achse rotiert. Es ergibt sich die Form eines geraden Kegelstumpfs. Als Maß für den Materialbedarf dient der Flächeninhalt der Mantelfläche des Kegelstumpfs.


4.1
Zeige, dass beim Bestimmen des Flächeninhalts der Mantelfläche des Kegelstumpfs, der bei Rotation des Graphen von $k$ für $0\leq x\leq1$ um die $x$-Achse entsteht, beide in Material 2 angegebenen Methoden A und B zum gleichen Ergebnis führen.
(7P)


4.2
Bestimme mithilfe der Methode A den Inhalt der mit Blattgold bedeckten Fläche unter Verwendung der Scharkurve von $f_t$ aus Aufgabe 3 für $t=1,183$ und vergleiche das Ergebnis mit dem Ergebnis aus Aufgabe 4.1.
(5P)
#analysis#rotation#kegel

Material 1


Material 2


Methode A:
Lässt man den Graphen einer Funktion $f$ für $x_1 \leq x \leq x_2$ um die $x$-Achse rotieren, dann lässt sich der Flächeninhalt $M$ der Mantelfläche des Rotationskörpers folgendermaßen mithilfe eines Integrals ermitteln:
$M=2\pi\cdot\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\;\mathrm dx$ für $f(x)\geq0$

Methode B:
Der Flächeninhalt $M$ der Mantelfläche eines geraden Kreiskegelstumpfs lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$M=\pi\cdot(r_1+r_2)\cdot\;s$

Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Grad der Funktion begründen
Du sollst begründen, dass die Funktion, die die Punkte aus der Wertetabelle abbildet, mindestens dritten Grades ist.
Achte auf Extrem- und Wendepunkte und überlege, welche dieser Punkte eine Funktion nten Grades aufweisen kann.
1.2
$\blacktriangleright$  Ganzrationale Funktion dritten Grades bestimmen
Du sollst eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades aus den Punkten $P_1(0,5\mid 1,2)$, $P_2(1,5\mid 2,0)$ und $W(0,0\mid 1,0)$ bestimmen, wobei $W(0,0\mid 1,0)$ ein Wendepunkt ist.
Allgemein gilt für Funktionen dritten Grades
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Das notwendige Kriterium für Wendepunkte ist, dass die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle gleich Null ist.
$p''(x_W)=0$
Mit Hilfe dieser Bedingung, der oben aufgeführten allgemeinen Form der Funktion und den gegebenen Koordinaten der Punkte kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Damit lassen sich dann die Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$ bestimmen.
Die zweite Ableitung der ganzrationalen Funktion dritten Grades sieht folgendermaßen aus:
1.3
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades gibt für gegebene Punkte
Du sollst begründen, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades geben kann, die durch alle Punkte, die in der Wertetabelle gegeben sind, verläuft und im Punkt $W(0,0\mid 1,0)$ einen Wendepunkt besitzt.
Da du aus den drei Punkten $P_1(0,5\mid 1,2)$, $P_2(1,5\mid 2,0)$ und $W(0,0\mid 1,0)$ der Wertetabelle bereits eine ganzrationale Funktion dritten Grades berechnet hast, kannst du nun einen vierten Punkt aus der Tabelle in die Funktionsgleichung einsetzen und überprüfen, ob dieser durch die Funktion beschrieben ist.
2.1
$\blacktriangleright$  Ganzrationale Funktion dritten Grades mit Regressionsmethode bestimmen
Du sollst aus den Punkten der Wertetabelle eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit Hilfe der Methode der Regression ermitteln. Dazu verwendest du deinen CAS. Erstelle zunächst zwei Listen: eine mit den $x$-Werten, die zweite mit den $y$-Werten.
Anschließend führst du die kubische Regression durch.
2.2
$\blacktriangleright$  Volumenintegral berechnen
Du sollst das Volumen einer Glocke berechnen. Die Querschnittsfläche der Glocke wird durch den Graphen der Funktion $g(x)$ begrenzt:
$g(x)=0,1667x^3+0,2869x+0,9929$.
Das Volumen soll durch die Rotation der Querschnittsfläche um die x-Achse beschrieben werden. Die Rotation geschieht in dem Intervall [-1,5; 1,5].
Die allgemeine Form des Volumenintegrals bei Rotation um die $x$-Achse im Intervall [a; b] ist beschrieben durch die Gleichung
$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$
$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$
3
$\blacktriangleright$  Wendepunkt bestimmen und Krümmungsverhalten untersuchen
Der obere Rand der Querschnittsfläche einer Schokoladenglocke soll durch einen Graphen der Funktionenschar
$f_t(x)=\dfrac{e^{tx}-e^{-tx}}{5t}+1; \quad t\neq 0$
beschrieben werden
Du sollst nun
  1. die ersten drei Ableitungen der Funktionsgleichungen bestimmen
  2. zeigen, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen
  3. bestimmen, ob an diesem Wendepunkt der Wechsel von einer Rechts- auf eine Linkskrümmung oder umgekehrt erfolgt
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Funktionsgleichungen dreimal ableiten
Leite die Funktion der Funktionenschar $f_t(x)$ nach der Variablen $x$ ab.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Zeigen, dass es nur einen Wendepunkt gibt
Du sollst zeigen, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen. Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung an diesem Punkt gleich Null ist:
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Krümmungsverhalten bestimmen
Als nächstes sollst du entscheiden, wie sich die Krümmung an dem Wendepunkt ändert. Dazu setzt du die Koordinaten des Punkt in die dritte Ableitung der Schar ein:
Dann überprüfst du, ob die Gleichung größer oder kleiner Null ist.
4.1
$\blacktriangleright$  Mantelfläche bestimmen und Methodenvergleich durchführen
Um eine Schokoladenglocke mit Blattgold zu verzieren, soll der Materialbedarf abgeschätzt werden. Dazu sollst du den Flächeninhalt der Mantelfläche eines Kegelstumpfs bestimmen. Dieser Kegel entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion $k$ um die $\color{#87c800}{x}$-Achse im Intervall [0,1]. Der Graph von $k$ verläuft geradlinig vom Punkt $(0\mid 1)$ zum Punkt $(1\mid 1,5)$.
In Material 3 werden dir die Methoden A und B zur Berechnung des Flächeninhalts vorgestellt. Du sollst nun zeigen, dass beide Methoden dasselbe Ergebnis für den oben beschriebenen Kegel liefern. Gehe dazu nach folgenden Schritten vor:
  1. Funktionsgleichung $k(x)$ aufstellen
  2. Mantelfläche nach Methode A berechnen
  3. Mantelfläche nach Methode B berechnen
  4. Ergebnisse vergleichen
4.2
$\blacktriangleright$  Mantelfläche bestimmen
Du hast wieder die Glockenform, die durch die Rotation des Graphen der Funktion
$f_{t=1,183}(x)=\dfrac{e^{1,183x}-e^{-1,183x}}{5\cdot 1,183}+1$
im Intervall [0, 1] beschrieben wird. Mit Hilfe der Methode A sollst du nun den Flächeninhalt des Mantels dieser Glocke berechnen. Vergleiche anschließend das Ergebnis mit dem Ergebnis aus Aufgabe 4.1.
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Lösungen TI
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1.1
$\blacktriangleright$  Grad der Funktion begründen
Du sollst begründen, dass die Funktion, die die Punkte aus der Wertetabelle abbildet, mindestens dritten Grades ist.
Achte auf Extrem- und Wendepunkte und überlege, welche dieser Punkte eine Funktion nten Grades aufweisen kann.
  • Der Graph einer ganzrationalen Funktion ersten Grades besitzt weder Extrem- noch Wendepunkte
  • Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades ist parabelförmig und besitzt einen Hoch- oder Tiefpunkt.
  • Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten (oder höheren) Grades kann neben Extrem- auch Wendepunkte besitzen, also Punkte, an denen sich die Krümmung ändert aber die Steigung ihr Vorzeichen beibehält.
Betrachtest du nun den beschriebenen Graphen, wird dir auffallen, dass vom Punkt $(-1,5\mid 0,0)$ bis zum Punkt $(0,0\mid 1,0)$ eine positive Steigung auftritt, die langsam abflacht. Vom Punkt $(0,0\mid 1,0)$ bis zum Punkt $(1,5\mid 2,0)$ gibt es ebenfalls eine positive Steigung, die zunimmt. Es handelt sich bei $(0,0\mid 1,0)$ also um einen Wendepunkt. Es muss sich somit um eine ganzrationale Funktion mindestens dritten Grades handeln.
1.2
$\blacktriangleright$  Ganzrationale Funktion dritten Grades bestimmen
Du sollst eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades aus den Punkten $P_1(0,5\mid 1,2)$, $P_2(1,5\mid 2,0)$ und $W(0,0\mid 1,0)$ bestimmen, wobei $W(0,0\mid 1,0)$ ein Wendepunkt ist.
Allgemein gilt für Funktionen dritten Grades
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Das notwendige Kriterium für Wendepunkte ist, dass die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle gleich Null ist.
$p''(x_W)=0$
Mit Hilfe dieser Bedingung, der oben aufgeführten allgemeinen Form der Funktion und den gegebenen Koordinaten der Punkte kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Damit lassen sich dann die Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$ bestimmen.
Die zweite Ableitung der ganzrationalen Funktion dritten Grades sieht folgendermaßen aus:
$f''(x_W)=6ax_W+2b=0$
Somit ergeben sich die folgenden Bedingungen
$\begin{array}[t]{rll} f(0,5)&\stackrel{!}{=}& 1,2 \\[5pt] f(1,5)&\stackrel{!}{=}& 2 \\[5pt] f(0)&\stackrel{!}{=}& 1 \\[5pt] f''(0)&\stackrel{!}{=}& 0 \\[5pt] \end{array}$
Diese Bedingungen führen zu dem nun aufgeführten Gleichungssystem
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& 1,2&=& a\cdot0,5^3+b\cdot0,5^2+c\cdot0,5+d \\[5pt] &\text{II}& 2,0&=& a\cdot1,5^3+b\cdot1,5^2+c\cdot1,5+d \\[5pt] &\text{III}& 1,0&=& a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d \\[5pt] &\text{IV}& 0,0&=& 6a\cdot0+2b \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& 1,2&=& a\cdot0,5^3+b\cdot… \\[5pt] &\text{II}& 2,0&=& a\cdot1,5^3+b\cdot… \\[5pt] &\text{III}& 1,0&=& a\cdot0^3+b\cdot… \\[5pt] &\text{IV}& 0,0&=& 6a\cdot0+2b \\[5pt] \end{array}$
Dieses Gleichungssystem kannst du nun mit dem GTR lösen, indem du folgende Befehle in deinen Taschenrechner eingibst:
2nd $\rightarrow$ $X^{-1}$ $\rightarrow$ EDIT $\rightarrow$ ENTER
2nd $\rightarrow$ $X^{-1}$ $\rightarrow$ EDIT $\rightarrow$ ENTER
Nun erzeugst du eine 4x5-Matrix und gibst das Gleichungssystem in Matrixform ein:
$\begin{pmatrix}0,5^3&0,5^2&0,5&1&1,2\\[2pt]1,5^3&1,5^2&1,5&1&2\\[2pt]0&0&0&1&1\\[2pt]0&2&0&0&0\end{pmatrix}$
Dein GTR sollte jetzt folgendes Bild zeigen:
A2 - Analysis
Abb. 1: Ausgefüllte Matrix zur Lösung des Gleichungssystems
A2 - Analysis
Abb. 1: Ausgefüllte Matrix zur Lösung des Gleichungssystems
Dies kannst du mit dem GTR durch folgende Befehle lösen
2nd $\rightarrow$ MODE$ \rightarrow$ 2nd $\rightarrow$ $X^{-1}$ $\rightarrow$ MATH $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ B: rref $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ 2nd $\rightarrow$ $X^{-1}$ $\rightarrow$ 1: [A] $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ ) $\rightarrow$ ENTER
2nd $\rightarrow$ MODE$ \rightarrow$ 2nd $\rightarrow$ $X^{-1}$ $\rightarrow$ MATH $\rightarrow$ B: rref $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ 2nd $\rightarrow$ $X^{-1}$ $\rightarrow$ 1: [A] $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ ) $\rightarrow$ ENTER
A2 - Analysis
Abb. 2: Lösung des linearen Gleichungssystems
A2 - Analysis
Abb. 2: Lösung des linearen Gleichungssystems
Eine mögliche Funktion dritten Grades lautet somit:
$f(x)=0,133\cdot x^3+0,367\cdot x+1$
1.3
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades gibt für gegebene Punkte
Du sollst begründen, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades geben kann, die durch alle Punkte, die in der Wertetabelle gegeben sind, verläuft und im Punkt $W(0,0\mid 1,0)$ einen Wendepunkt besitzt.
Da du aus den drei Punkten $P_1(0,5\mid 1,2)$, $P_2(1,5\mid 2,0)$ und $W(0,0\mid 1,0)$ der Wertetabelle bereits eine ganzrationale Funktion dritten Grades berechnet hast, kannst du nun einen vierten Punkt aus der Tabelle in die Funktionsgleichung einsetzen und überprüfen, ob dieser durch die Funktion beschrieben ist. Verwende beispielsweise den Punkt $P_3(1,0 \mid 1,45)$:
$f(1)=0,133\cdot 1+0,367\cdot 1+1 =1,5$
Du siehst, dass das Ergebnis für $x=1$ nicht $f(x=1)=1,45$ sondern $(x=1)=1,5$ ist. Dadurch liegt der Punkt $P_3$ nicht auf dem Graphen, der durch die ganzrationale Funktion dritten Grades $f(x)$ beschrieben wird.
#wendepunkt#gleichungssystem#analysis
2.1
$\blacktriangleright$  Ganzrationale Funktion dritten Grades mit Regressionsmethode bestimmen
Du sollst aus den Punkten der Wertetabelle eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit Hilfe der Methode der Regression ermitteln. Dazu verwendest du deinen GTR. Erstelle zunächst zwei Listen: eine mit den $x$-Werten, die zweite mit den $y$-Werten. Gib dazu folgende Befehlsfole in deinen Taschenrechner ein:
stat $\rightarrow$ EDIT $\rightarrow$ ENTER
stat $\rightarrow$ EDIT $\rightarrow$ ENTER
A2 - Analysis
Abb. 3 Wertetabelle für kubische Regression
A2 - Analysis
Abb. 3 Wertetabelle für kubische Regression
Anschließend führst du die kubische Regression durch, indem du folgende Befehle ausführst:
stat $\rightarrow$ CALC $\rightarrow$ 6:CubicReg $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ Calculate $\rightarrow$ ENTER
stat $\rightarrow$ CALC $\rightarrow$ 6:CubicReg $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ Calculate $\rightarrow$ ENTER
Das Ergebnis erscheint dann auf dem Bildschirm des GTRs
A2 - Analysis
Abb. 4: Ergebnis der kubischen Regression
A2 - Analysis
Abb. 4: Ergebnis der kubischen Regression
Die Methode der Regression liefert somit die Funktion
$g(x)=0,1556x^3+0,3135x+1,0000$.
2.2
$\blacktriangleright$  Volumenintegral berechnen
Du sollst das Volumen einer Glocke berechnen. Die Querschnittsfläche der Glocke wird durch den Graphen der Funktion $g(x)$ begrenzt:
$g(x)=0,1556x^3+0,3135x+1,0000$.
Das Volumen soll durch die Rotation der Querschnittsfläche um die x-Achse beschrieben werden. Die Rotation geschieht in dem Intervall [-1,5; 1,5].
Die allgemeine Form des Volumenintegrals bei Rotation um die $x$-Achse im Intervall [a; b] ist beschrieben durch die Gleichung
$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$
$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$
Das Integral löst du mit deinem GTR. Dazu gibst du zunächst den Funktionsterm $(g(x))^2$ ein, den du anschließend von der unteren Grenze (lower limit) $-1,5$ bis zur oberen Grenze (upper limit) integrierst.
y= $\rightarrow$ ENTER
y= $\rightarrow$ ENTER
2nd $\rightarrow$ trace $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ $-1,5$ $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ $1,5$ $\rightarrow$ ENTER
2nd $\rightarrow$ trace $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ $-1,5$ $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ $1,5$ $\rightarrow$ ENTER
A2 - Analysis
Abb. 5: Berechnung des Integrals
A2 - Analysis
Abb. 5: Berechnung des Integrals
Das Ergebnis musst du noch mit $\pi$ multiplizieren, sodass du auf ein Volumen von ungefähr
$ V(x)=11,42 $
kommst.
#analysis#integral#rotation#regression
3
$\blacktriangleright$  Wendepunkt bestimmen und Krümmungsverhalten untersuchen
Der obere Rand der Querschnittsfläche einer Schokoladenglocke soll durch einen Graphen der Funktionenschar
$f_t(x)=\dfrac{e^{tx}-e^{-tx}}{5t}+1; \quad t\neq 0$
beschrieben werden
Du sollst nun
  1. die ersten drei Ableitungen der Funktionsgleichungen bestimmen
  2. zeigen, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen
  3. bestimmen, ob an diesem Wendepunkt der Wechsel von einer Rechts- auf eine Linkskrümmung oder umgekehrt erfolgt
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Funktionsgleichungen dreimal ableiten
Leite die Funktion der Funktionenschar $f_t(x)$ nach der Variablen $x$ ab. Achtung: nicht Ausversehen nach $t$ ableiten, $t$ wird hier wie eine Konstante behandelt
$\begin{array}[t]{rll} f_t'(x)&=&\dfrac{te^{tx}+te^{-tx}}{5t} \\[5pt] f_t''(x)&=&\dfrac{t^2e^{tx}-t^2e^{-tx}}{5t} \\[5pt] f_t'''(x)&=&\dfrac{t^3e^{tx}+t^3e^{-tx}}{5t} \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Zeigen, dass es nur einen Wendepunkt gibt
Du sollst zeigen, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen. Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung an diesem Punkt gleich Null ist:
$f_t''(x_W)\stackrel{!}{=}0$
Du setzt also die zweite Ableitung des Funktionsterms gleich Null und überprüfst und berechnest, für welche $x$ die Gleichung erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} 0&\stackrel{!}{=}&\dfrac{t^2e^{tx}-t^2e^{-tx}}{5t} \\[5pt] &=&\dfrac{t^2(e^{tx}-e^{-tx})}{5t} \\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung ist nach dem Satz vom Nullprodukt erfüllt, wenn die Klammer im Zähler gleich Null ist
$\begin{array}[t]{rll} 0&\stackrel{!}{=}& e^{tx}-e^{-tx} &\quad \scriptsize \mid\ +e^{-tx} \\[5pt] e^{tx}&=&e^{-tx}&\quad \scriptsize \mid\ \ln() \\[5pt] tx&=& -tx \\[5pt] \end{array}$
Die letzte Gleichung ist nur erfüllt, wenn $t$ oder $x$ gleich Null ist. Da aber die Bedingung für die Kurvenschar ist, dass $t\neq 0$, kann nur gelten
$x=0$
Es gibt keinen anderen $x$-Wert, der diese Gleichung erfüllt.
Wenn du $x=0$ nun in die Funktionsgleichung der Kurvenschar einsetzt, kommst du auf den Wendepunkt
$f_t(x_W=0)=1$
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Krümmungsverhalten bestimmen
Als nächstes sollst du entscheiden, wie sich die Krümmung an dem Wendepunkt ändert. Dazu setzt du die Koordinaten des Punkt in die dritte Ableitung der Schar ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_t'''(x_W=0)&=&\dfrac{t^3\cdot 1 +t^3\cdot 1}{5t} \\[5pt] &=&\dfrac{2\cdot t^3}{5t} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{5}\cdot t^2 \\[5pt] &>& 0\\[5pt] \end{array}$
Die letzte Ungleichung gilt, da $t\neq 0$ und $t^2>0$.
Ist die dritte Ableitung am Wendepunkt einer Funktion größer Null, erfolgt an diesem Wendepunkt eine Änderung der Krümmung von rechts nach links.
#funktionenschar#krümmung#analysis#wendepunkt#ableitung
4.1
$\blacktriangleright$  Mantelfläche bestimmen und Methodenvergleich durchführen
Um eine Schokoladenglocke mit Blattgold zu verzieren, soll der Materialbedarf abgeschätzt werden. Dazu sollst du den Flächeninhalt der Mantelfläche eines Kegelstumpfs bestimmen. Dieser Kegel entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion $k$ um die $\color{#87c800}{x}$-Achse im Intervall [0,1]. Der Graph von $k$ verläuft geradlinig vom Punkt $(0\mid 1)$ zum Punkt $(1\mid 1,5)$.
In Material 3 werden dir die Methoden A und B zur Berechnung des Flächeninhalts vorgestellt. Du sollst nun zeigen, dass beide Methoden dasselbe Ergebnis für den oben beschriebenen Kegel liefern. Gehe dazu nach folgenden Schritten vor:
  1. Funktionsgleichung $k(x)$ aufstellen
  2. Mantelfläche nach Methode A berechnen
  3. Mantelfläche nach Methode B berechnen
  4. Ergebnisse vergleichen
1. Schritt: Funktionsgleichung $\boldsymbol{k(x)}$ aufstellen
Stelle den Funktionsterm $k(x)$ auf, indem du die gegeben Koordinaten in die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion ersten Grades einsetzt. Die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion ersten Grades lautet
$f(x)=ax+b$
$f(x)=ax+b$
Die Funktion kannst du mit dem GTR bestimmen.
stat $\rightarrow$ EDIT $\rightarrow$ ENTER
stat $\rightarrow$ EDIT $\rightarrow$ ENTER
A2 - Analysis
Abb. 6: Tabelle der Punkte für $k(x)$
A2 - Analysis
Abb. 6: Tabelle der Punkte für $k(x)$
Anschließend führst du eine lineare Regression durch, indem du folgende Befehle ausführst:
stat $\rightarrow$ CALC $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ Calculate $\rightarrow$ ENTER
stat $\rightarrow$ CALC $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ Calculate $\rightarrow$ ENTER
Das Ergebnis erscheint dann auf dem Bildschirm des GTRs
A2 - Analysis
Abb. 7: Parameter für $k(x)$
A2 - Analysis
Abb. 7: Parameter für $k(x)$
Die Funktion $k(x)$ hat also folgende Funktionsgleichung:
$k(x)=0,5x+1$
2. Schritt: Mantelfläche nach Methode A berechnen
Berechne nun die Größe der Mantelfläche mit Methode A
$M_A=2\pi\cdot\displaystyle\int_0 ^1k(x)\sqrt{1+(k'(x))^2}\;\mathrm dx$
Wie du siehst, benötigst du die erste Ableitung der Funktion $k(x)$:
$k'(x)=0,5$
Nun kannst du die Mantelfläche $M$ mit Methode A berechnen.
$ M_A= 2\pi\cdot\displaystyle\int_0 ^1(0,5x+1)\sqrt{1+0,5^2}\;\mathrm dx $
Das Integral kannst du mit dem GTR berechnen. Dazu gibst du zunächst den Term unterhalb des Integrals ein und lässt ihn dann innerhalb der Grenzen (lower limit$=0$ und upper limit$=1$) integrieren.
y= $\rightarrow$ ENTER
y= $\rightarrow$ ENTER
A2 - Analysis
Abb. 8: Integrand zur Berechnung der Mantelfläche $M_A$
A2 - Analysis
Abb. 8: Integrand zur Berechnung der Mantelfläche $M_A$
2nd $\rightarrow$ trace $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ $0$ $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ $1$ $\rightarrow$ ENTER
2nd $\rightarrow$ trace $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ $0$ $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ $1$ $\rightarrow$ ENTER
A2 - Analysis
Abb. 9: Integral von $0$ bis $1$
A2 - Analysis
Abb. 9: Integral von $0$ bis $1$
Das Ergebnis musst du nun mit $2\pi$ multiplizieren und kommst dann auf das Ergebnis
$M_A=8,781$
3. Schritt: Mantelfläche nach Methode B berechnen
Als nächstes folgt Methode B
A2 - Analysis
Abb. 10: Kegelstumpf
A2 - Analysis
Abb. 10: Kegelstumpf
$r_1$ ist der Radius der kleineren Kreisfläche des Kegelstumpfes, $r_2$ der Radius der größeren Kreisfläche. Für den Kegelstumpf aus dieser Aufgabe sind die Werte für die beiden Radien die $y$-Werte der beiden Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5)$.
$\begin{array}[t]{rll} r_1&=& 1 \\[5pt] r_2&=& 1,5\\[5pt] \end{array}$
Die Länge der Mantellinie $s$ ist gleich der Länge der Verbindungslinie der Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5)$.
$\begin{array}[t]{rll} s&=&\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(1-0)^2+(1,5-1)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(1)^2+(0,5)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] \end{array}$
Wenn du nun $r_1$ , $r_2$ und $s$ in Methode B einsetzt, erhältst du das Ergebnis für die Mantelfläche:
$\begin{array}[t]{rll} M_B&=&\pi\cdot(1+1,5)\cdot \sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] &=&\pi\cdot 2,5\cdot \sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] &=& 8,781 \\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Vergleich der Ergebnisse
Vergleichst du nun beide Ergebnisse aus A und B, siehst du, dass es sich um dasselbe Ergebnis handelt.
$M_A=M_B$
4.2
$\blacktriangleright$  Mantelfläche bestimmen
Du hast wieder die Glockenform, die durch die Rotation des Graphen der Funktion
$f_{t=1,183}(x)=\dfrac{e^{1,183x}-e^{-1,183x}}{5\cdot 1,183}+1$
im Intervall [0, 1] beschrieben wird. Mit Hilfe der Methode A sollst du nun den Flächeninhalt des Mantels dieser Glocke berechnen. Dazu leitest du die Funktion $f_{t=1,183}(x)$ zunächst einmal ab.
$g'(x)=\dfrac{1,183e^{1,183x}+1,183e^{-1,183x}}{5\cdot 1,183}$
Dies muss nun in die Formel aus Methode A eingesetzt werden
$ M= 2\pi\cdot\displaystyle\int_{0} ^{1}f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\;\mathrm dx $
und anschließend mit dem GTR berechnet werden. Gib dazu den Term unterhalb des Integrals als Funktion ein und berechne dann das Integral innerhalb der Grenzen (lower limit$=0$ und upper limit$=1$).
y= $\rightarrow$ ENTER
y= $\rightarrow$ ENTER
A2 - Analysis
Abb. 11: Integrand für $t=1,183$
A2 - Analysis
Abb. 11: Integrand für $t=1,183$
2nd $\rightarrow$ trace $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ $0$ $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ $1$ $\rightarrow$ ENTER
2nd $\rightarrow$ trace $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ $0$ $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ $1$ $\rightarrow$ ENTER
A2 - Analysis
Abb. 12: Integral von $0$ bis $1$
A2 - Analysis
Abb. 12: Integral von $0$ bis $1$
Das Ergebnis musst du nun mit $2\pi$ multiplizieren. Der GTR liefert dir dann das Ergebnis $M=8,662$.
Ein Vergleich mit $M_A=8,781$ aus Aufgabe 4.1 zeigt dir, dass das hier berechnete Ergebnis ein um $0,119$ geringerer Wert ist.
#ableitung#integral#regression#kegel#analysis
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1.1
$\blacktriangleright$  Grad der Funktion begründen
Du sollst begründen, dass die Funktion, die die Punkte aus der Wertetabelle abbildet, mindestens dritten Grades ist.
Achte auf Extrem- und Wendepunkte und überlege, welche dieser Punkte eine Funktion nten Grades aufweisen kann.
  • Der Graph einer ganzrationalen Funktion ersten Grades besitzt weder Extrem- noch Wendepunkte
  • Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades ist parabelförmig und besitzt einen Hoch- oder Tiefpunkt.
  • Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten (oder höheren) Grades kann neben Extrem- auch Wendepunkte besitzen, also Punkte, an denen sich die Krümmung ändert aber die Steigung ihr Vorzeichen beibehält.
Betrachtest du nun den beschriebenen Graphen, wird dir auffallen, dass vom Punkt $(-1,5\mid 0,0)$ bis zum Punkt $(0,0\mid 1,0)$ eine positive Steigung auftritt, die langsam abflacht. Vom Punkt $(0,0\mid 1,0)$ bis zum Punkt $(1,5\mid 2,0)$ gibt es ebenfalls eine positive Steigung, die zunimmt. Es handelt sich bei $(0,0\mid 1,0)$ also um einen Wendepunkt. Es muss sich somit um eine ganzrationale Funktion mindestens dritten Grades handeln.
1.2
$\blacktriangleright$  Ganzrationale Funktion dritten Grades bestimmen
Du sollst eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades aus den Punkten $P_1(0,5\mid 1,2)$, $P_2(1,5\mid 2,0)$ und $W(0,0\mid 1,0)$ bestimmen, wobei $W(0,0\mid 1,0)$ ein Wendepunkt ist.
Allgemein gilt für Funktionen dritten Grades
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Das notwendige Kriterium für Wendepunkte ist, dass die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle gleich Null ist.
$p''(x_W)=0$
Mit Hilfe dieser Bedingung, der oben aufgeführten allgemeinen Form der Funktion und den gegebenen Koordinaten der Punkte kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Damit lassen sich dann die Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$ bestimmen.
Die zweite Ableitung der ganzrationalen Funktion dritten Grades sieht folgendermaßen aus:
$f''(x_W)=6ax_W+2b=0$
Somit ergeben sich die folgenden Bedingungen
$\begin{array}[t]{rll} f(0,5)&\stackrel{!}{=}& 1,2 \\[5pt] f(1,5)&\stackrel{!}{=}& 2 \\[5pt] f(0)&\stackrel{!}{=}& 1 \\[5pt] f''(0)&\stackrel{!}{=}& 0 \\[5pt] \end{array}$
Diese Bedingungen führen zu dem nun aufgeführten Gleichungssystem
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& 1,2&=& a\cdot0,5^3+b\cdot0,5^2+c\cdot0,5+d \\[5pt] &\text{II}& 2,0&=& a\cdot1,5^3+b\cdot1,5^2+c\cdot1,5+d \\[5pt] &\text{III}& 1,0&=& a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d \\[5pt] &\text{IV}& 0,0&=& 6a\cdot0+2b \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& 1,2&=& a\cdot0,5^3+b\cdot… \\[5pt] &\text{II}& 2,0&=& a\cdot1,5^3+b\cdot… \\[5pt] &\text{III}& 1,0&=& a\cdot0^3+b\cdot… \\[5pt] &\text{IV}& 0,0&=& 6a\cdot0+2b \\[5pt] \end{array}$
Dieses Gleichungssystem kannst du nun mit dem GTR lösen, indem du folgende Befehle in deinen Taschenrechner eingibst:
MENU $\rightarrow$ A: Gleichung $\rightarrow$ F1: Lin Gleichungssystem $\rightarrow$ F3: Anzahl der Unbekannten: 4
MENU $\rightarrow$ A: Gleichung $\rightarrow$ F1: Lin Gleichungssystem $\rightarrow$ F3: Anzahl der Unbekannten: 4
Dadurch erzeugst du eine 4x5-Matrix und gibst nun das Gleichungssystem in Matrixform ein:
$\begin{pmatrix}0,5^3&0,5^2&0,5&1&1,2\\[2pt]1,5^3&1,5^2&1,5&1&2\\[2pt]0&0&0&1&1\\[2pt]0&2&0&0&0\end{pmatrix}$
Dein GTR sollte jetzt folgendes Bild zeigen:
A2 - Analysis
Abb. 1: Ausgefüllte Matrix zur Lösung des Gleichungssystems
A2 - Analysis
Abb. 1: Ausgefüllte Matrix zur Lösung des Gleichungssystems
Dies kannst du mit dem GTR durch den folgenden Befehl lösen
F1: SOLVE
F1: SOLVE
A2 - Analysis
Abb. 2: Lösung des linearen Gleichungssystems
A2 - Analysis
Abb. 2: Lösung des linearen Gleichungssystems
Eine mögliche Funktion dritten Grades lautet somit:
$f(x)=0,133\cdot x^3+0,367\cdot x+1$
1.3
$\blacktriangleright$  Begründen, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades gibt für gegebene Punkte
Du sollst begründen, dass es keine ganzrationale Funktion dritten Grades geben kann, die durch alle Punkte, die in der Wertetabelle gegeben sind, verläuft und im Punkt $W(0,0\mid 1,0)$ einen Wendepunkt besitzt.
Da du aus den drei Punkten $P_1(0,5\mid 1,2)$, $P_2(1,5\mid 2,0)$ und $W(0,0\mid 1,0)$ der Wertetabelle bereits eine ganzrationale Funktion dritten Grades berechnet hast, kannst du nun einen vierten Punkt aus der Tabelle in die Funktionsgleichung einsetzen und überprüfen, ob dieser durch die Funktion beschrieben ist. Verwende beispielsweise den Punkt $P_3(1,0 \mid 1,45)$:
$f(1)=0,133\cdot 1+0,367\cdot 1+1 =1,5$
Du siehst, dass das Ergebnis für $x=1$ nicht $f(x=1)=1,45$ sondern $(x=1)=1,5$ ist. Dadurch liegt der Punkt $P_3$ nicht auf dem Graphen, der durch die ganzrationale Funktion dritten Grades $f(x)$ beschrieben wird.
#wendepunkt#analysis#gleichungssystem
2.1
$\blacktriangleright$  Ganzrationale Funktion dritten Grades mit Regressionsmethode bestimmen
Du sollst aus den Punkten der Wertetabelle eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit Hilfe der Methode der Regression ermitteln. Dazu verwendest du deinen GTR. Erstelle zunächst zwei Listen: eine mit den $x$-Werten, die zweite mit den $y$-Werten. Gib dazu folgende Befehlsfole in deinen Taschenrechner ein:
MENU $\rightarrow$ 2:Statistik
MENU $\rightarrow$ 2:Statistik
A2 - Analysis
Abb. 3: Wertetabelle für die kubische Regression
A2 - Analysis
Abb. 3: Wertetabelle für die kubische Regression
Anschließend führst du die kubische Regression durch, indem du folgende Befehle ausführst:
F2: CALC $\rightarrow$ F3: REG $\rightarrow$ F4: $X^3$
F2: CALC $\rightarrow$ F3: REG $\rightarrow$ F4: $X^3$
Das Ergebnis erscheint dann auf dem Bildschirm des GTRs
A2 - Analysis
Abb. 4: Ergebnis der Regression
A2 - Analysis
Abb. 4: Ergebnis der Regression
Die Methode der Regression liefert somit die Funktion
$g(x)=0,1556x^3+0,3135x+1,0000$.
2.2
$\blacktriangleright$  Volumenintegral berechnen
Du sollst das Volumen einer Glocke berechnen. Die Querschnittsfläche der Glocke wird durch den Graphen der Funktion $g(x)$ begrenzt:
$g(x)=0,1556x^3+0,3135x+1,0000$.
Das Volumen soll durch die Rotation der Querschnittsfläche um die x-Achse beschrieben werden. Die Rotation geschieht in dem Intervall [-1,5; 1,5].
Die allgemeine Form des Volumenintegrals bei Rotation um die $x$-Achse im Intervall [a; b] ist beschrieben durch die Gleichung
$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$
$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$
Das Integral löst du mit deinem GTR. Dazu gibst du zunächst den Funktionsterm $(g(x))^2$ ein, den du anschließend von der unteren Grenze $-1,5$ bis zur oberen Grenze integrierst.
MENU $\rightarrow$ 5: Graph
MENU $\rightarrow$ 5: Graph
F6: Draw $\rightarrow$ SHIFT $\rightarrow$ F5: G-SOLVE $\rightarrow$ F6: > $\rightarrow$ F3 $\rightarrow$ F1 $\rightarrow$ -1,5 $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ 1,5 $\rightarrow$ ENTER
F6: Draw $\rightarrow$ SHIFT $\rightarrow$ F5: G-SOLVE $\rightarrow$ F6: > $\rightarrow$ F3 $\rightarrow$ F1 $\rightarrow$ -1,5 $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ 1,5 $\rightarrow$ ENTER
A2 - Analysis
Abb. 5: Berechnung des Integrals
A2 - Analysis
Abb. 5: Berechnung des Integrals
Das Ergebnis musst du noch mit $\pi$ multiplizieren, sodass du auf ein Volumen von ungefähr
$ V(x)=11,42 $
kommst.
#integral#analysis#rotation#regression
3
$\blacktriangleright$  Wendepunkt bestimmen und Krümmungsverhalten untersuchen
Der obere Rand der Querschnittsfläche einer Schokoladenglocke soll durch einen Graphen der Funktionenschar
$f_t(x)=\dfrac{e^{tx}-e^{-tx}}{5t}+1; \quad t\neq 0$
beschrieben werden
Du sollst nun
  1. die ersten drei Ableitungen der Funktionsgleichungen bestimmen
  2. zeigen, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen
  3. bestimmen, ob an diesem Wendepunkt der Wechsel von einer Rechts- auf eine Linkskrümmung oder umgekehrt erfolgt
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Funktionsgleichungen dreimal ableiten
Leite die Funktion der Funktionenschar $f_t(x)$ nach der Variablen $x$ ab. Achtung: nicht Ausversehen nach $t$ ableiten, $t$ wird hier wie eine Konstante behandelt
$\begin{array}[t]{rll} f_t'(x)&=&\dfrac{te^{tx}+te^{-tx}}{5t} \\[5pt] f_t''(x)&=&\dfrac{t^2e^{tx}-t^2e^{-tx}}{5t} \\[5pt] f_t'''(x)&=&\dfrac{t^3e^{tx}+t^3e^{-tx}}{5t} \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Zeigen, dass es nur einen Wendepunkt gibt
Du sollst zeigen, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen. Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung an diesem Punkt gleich Null ist:
$f_t''(x_W)\stackrel{!}{=}0$
Du setzt also die zweite Ableitung des Funktionsterms gleich Null und überprüfst und berechnest, für welche $x$ die Gleichung erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} 0&\stackrel{!}{=}&\dfrac{t^2e^{tx}-t^2e^{-tx}}{5t} \\[5pt] &=&\dfrac{t^2(e^{tx}-e^{-tx})}{5t} \\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung ist nach dem Satz vom Nullprodukt erfüllt, wenn die Klammer im Zähler gleich Null ist
$\begin{array}[t]{rll} 0&\stackrel{!}{=}& e^{tx}-e^{-tx} &\quad \scriptsize \mid\ +e^{-tx} \\[5pt] e^{tx}&=&e^{-tx}&\quad \scriptsize \mid\ \ln() \\[5pt] tx&=& -tx \\[5pt] \end{array}$
Die letzte Gleichung ist nur erfüllt, wenn $t$ oder $x$ gleich Null ist. Da aber die Bedingung für die Kurvenschar ist, dass $t\neq 0$, kann nur gelten
$x=0$
Es gibt keinen anderen $x$-Wert, der diese Gleichung erfüllt.
Wenn du $x=0$ nun in die Funktionsgleichung der Kurvenschar einsetzt, kommst du auf den Wendepunkt
$f_t(x_W=0)=1$
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Krümmungsverhalten bestimmen
Als nächstes sollst du entscheiden, wie sich die Krümmung an dem Wendepunkt ändert. Dazu setzt du die Koordinaten des Punkt in die dritte Ableitung der Schar ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_t'''(x_W=0)&=&\dfrac{t^3\cdot 1+t^3\cdot 1}{5t} \\[5pt] &=&\dfrac{2\cdot t^3}{5t} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{5}\cdot t^2 \\[5pt] &>& 0\\[5pt] \end{array}$
Die letzte Ungleichung gilt, da $t\neq 0$ und $t^2>0$
Ist die dritte Ableitung am Wendepunkt einer Funktion größer Null, erfolgt an diesem Wendepunkt eine Änderung der Krümmung von rechts nach links.
#funktionenschar#wendepunkt#ableitung#analysis#krümmung
4.1
$\blacktriangleright$  Mantelfläche bestimmen und Methodenvergleich durchführen
Um eine Schokoladenglocke mit Blattgold zu verzieren, soll der Materialbedarf abgeschätzt werden. Dazu sollst du den Flächeninhalt der Mantelfläche eines Kegelstumpfs bestimmen. Dieser Kegel entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion $k$ um die $\color{#87c800}{x}$-Achse im Intervall [0,1]. Der Graph von $k$ verläuft geradlinig vom Punkt $(0\mid 1)$ zum Punkt $(1\mid 1,5)$.
In Material 3 werden dir die Methoden A und B zur Berechnung des Flächeninhalts vorgestellt. Du sollst nun zeigen, dass beide Methoden dasselbe Ergebnis für den oben beschriebenen Kegel liefern. Gehe dazu nach folgenden Schritten vor:
  1. Funktionsgleichung $k(x)$ aufstellen
  2. Mantelfläche nach Methode A berechnen
  3. Mantelfläche nach Methode B berechnen
  4. Ergebnisse vergleichen
1. Schritt: Funktionsgleichung $\boldsymbol{k(x)}$ aufstellen
Stelle den Funktionsterm $k(x)$ auf, indem du die gegeben Koordinaten in die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion ersten Grades einsetzt. Die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion ersten Grades lautet
$f(x)=ax+b$
$f(x)=ax+b$
Die Funktion kannst du mit dem GTR bestimmen.
MENU $\rightarrow$ 2:Statistik
MENU $\rightarrow$ 2:Statistik
A2 - Analysis
Abb. 6: Tabelle der Punkte für $k(x)$
A2 - Analysis
Abb. 6: Tabelle der Punkte für $k(x)$
Anschließend führst du eine lineare Regression durch, indem du folgende Befehle ausführst:
F2: CALC $\rightarrow$ F3: REG $\rightarrow$ F1: $X$
F2: CALC $\rightarrow$ F3: REG $\rightarrow$ F1: $X$
Das Ergebnis erscheint dann auf dem Bildschirm des GTRs
A2 - Analysis
Abb. 7: Parameter für $k(x)$
A2 - Analysis
Abb. 7: Parameter für $k(x)$
Die Funktion $k(x)$ hat also folgende Funktionsgleichung:
$k(x)=0,5x+1$
2. Schritt: Mantelfläche nach Methode A berechnen
Berechne nun die Größe der Mantelfläche mit Methode A
$M_A=2\pi\cdot\displaystyle\int_0 ^1k(x)\sqrt{1+(k'(x))^2}\;\mathrm dx$
Wie du siehst, benötigst du die erste Ableitung der Funktion $k(x)$:
$k'(x)=0,5$
Nun kannst du die Mantelfläche $M$ mit Methode A berechnen.
$ M_A= 2\pi\cdot\displaystyle\int_0 ^1(0,5x+1)\sqrt{1+0,5^2}\;\mathrm dx $
Das Integral kannst du mit dem GTR berechnen. Dazu gibst du zunächst den Term unterhalb des Integrals ein und lässt ihn dann innerhalb der Grenzen (untere Grenze $=0$ und obere Grenze $=1$) integrieren.
MENU $\rightarrow$ 5: Graph
MENU $\rightarrow$ 5: Graph
A2 - Analysis
Abb. 8: Integrand zur Berechnung der Mantelfläche $M_A$
A2 - Analysis
Abb. 8: Integrand zur Berechnung der Mantelfläche $M_A$
F6: Draw $\rightarrow$ SHIFT $\rightarrow$ F5: G-SOLVE $\rightarrow$ F6: > $\rightarrow$ F3 $\rightarrow$ F1 $\rightarrow$ 0 $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ ENTER
F6: Draw $\rightarrow$ SHIFT $\rightarrow$ F5: G-SOLVE $\rightarrow$ F6: > $\rightarrow$ F3 $\rightarrow$ F1 $\rightarrow$ 0 $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ ENTER
A2 - Analysis
Abb. 9: Integral von $0$ bis $1$
A2 - Analysis
Abb. 9: Integral von $0$ bis $1$
Das Ergebnis musst du nun mit $2\pi$ multiplizieren und kommst dann auf das Ergebnis
$M_A=8,781$
3. Schritt: Mantelfläche nach Methode B berechnen
Als nächstes folgt Methode B
A2 - Analysis
Abb. 10: Kegelstumpf
A2 - Analysis
Abb. 10: Kegelstumpf
$r_1$ ist der Radius der kleineren Kreisfläche des Kegelstumpfes, $r_2$ der Radius der größeren Kreisfläche. Für den Kegelstumpf aus dieser Aufgabe sind die Werte für die beiden Radien die $y$-Werte der beiden Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5)$.
$\begin{array}[t]{rll} r_1&=& 1 \\[5pt] r_2&=& 1,5\\[5pt] \end{array}$
Die Länge der Mantellinie $s$ ist gleich der Länge der Verbindungslinie der Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5)$.
$\begin{array}[t]{rll} s&=&\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(1-0)^2+(1,5-1)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(1)^2+(0,5)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] \end{array}$
Wenn du nun $r_1$ , $r_2$ und $s$ in Methode B einsetzt, erhältst du das Ergebnis für die Mantelfläche:
$\begin{array}[t]{rll} M_B&=&\pi\cdot(1+1,5)\cdot \sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] &=&\pi\cdot 2,5\cdot \sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] &=& 8,781 \\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Vergleich der Ergebnisse
Vergleichst du nun beide Ergebnisse aus A und B, siehst du, dass es sich um dasselbe Ergebnis handelt.
$M_A=M_B$
4.2
$\blacktriangleright$  Mantelfläche bestimmen
Du hast wieder die Glockenform, die durch die Rotation des Graphen der Funktion
$f_{t=1,183}(x)=\dfrac{e^{1,183x}-e^{-1,183x}}{5\cdot 1,183}+1$
im Intervall [0, 1] beschrieben wird. Mit Hilfe der Methode A sollst du nun den Flächeninhalt des Mantels dieser Glocke berechnen. Dazu leitest du die Funktion $f_{t=1,183}(x)$ zunächst einmal ab.
$g'(x)=\dfrac{1,183e^{1,183x}+1,183e^{-1,183x}}{5\cdot 1,183}$
Dies muss nun in die Formel aus Methode A eingesetzt werden
$ M= 2\pi\cdot\displaystyle\int_{0} ^{1}f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\;\mathrm dx $
und anschließend mit dem GTR berechnet werden. Gib dazu den Term unterhalb des Integrals als Funktion ein und berechne dann das Integral innerhalb der Grenzen (lower limit$=0$ und upper limit$=1$).
MENU $\rightarrow$ 5: Graph
MENU $\rightarrow$ 5: Graph
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Abb. 11: Integrand für $t=1,183$
A2 - Analysis
Abb. 11: Integrand für $t=1,183$
F6: Draw $\rightarrow$ SHIFT $\rightarrow$ F5: G-SOLVE $\rightarrow$ F6: > $\rightarrow$ F3 $\rightarrow$ F1 $\rightarrow$ 0 $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ ENTER
F6: Draw $\rightarrow$ SHIFT $\rightarrow$ F5: G-SOLVE $\rightarrow$ F6: > $\rightarrow$ F3 $\rightarrow$ F1 $\rightarrow$ 0 $\rightarrow$ ENTER $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ ENTER
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Abb. 12: Integral von $0$ bis $1$
A2 - Analysis
Abb. 12: Integral von $0$ bis $1$
Das Ergebnis musst du nun mit $2\pi$ multiplizieren. Der GTR liefert dir dann das Ergebnis $M=8,662$.
Ein Vergleich mit $M_A=8,781$ aus Aufgabe 4.1 zeigt dir, dass das hier berechnete Ergebnis ein um $0,119$ geringerer Wert ist.
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