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A2 - Analysis

Aufgaben
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Der Kühlturm des Kernkraftwerkes Mülheim-Kärlich (Material 1) soll vom Betreiber abgerissen werden. Deshalb ist eine Abschätzung des anfallenden Bauschutts erforderlich. Der Kühlturm hat eine Höhe von $162\,\text{m}$ und ist aus Stahlbeton gebaut. $1\,\text{m}^3$ des verwendeten Stahlbetons hat eine Masse von $2.400\,\text{kg}$.
Für die folgende Untersuchung soll die waagrecht gemessene Wandstärke des Kühlturms mit $0,5\,\text{m}$ als konstant angenommen werden. Zur Modellierung betrachten wir den um $90°$ nach rechts gedrehten Kühlturm. Die äußere Randfunktion kann bei dieser Modellierung näherungsweise durch verschiedene ganzrationale Funktionen dargestellt werden. Durch Rotation des Graphen der äußeren Randfunktion um die $x$-Achse erhält man die Form des Kühlturms. Die folgende Tabelle gibt die Stützpunkte unterschiedlicher Varianten an:
Variante AP1P3P5
Variante BP1P2P5
Variante CP1P2P3P4P5
Stützpunkte der äußeren Randfunktion (Höhe | Radius) $(0\,\text{m}\mid 56\,\text{m})$$(54\,\text{m}\mid 43\,\text{m})$$(81\,\text{m}\mid 36\,\text{m})$$(108\,\text{m}\mid 32\,\text{m})$$(162\,\text{m}\mid 28\,\text{m})$
Variante AVariante BVariante CStützpunkte der äußerenRandfunktion (Höhe | Radius)
P1P1P1$(0\,\text{m}\mid56\,\text{m})$
P2P2$(54\,\text{m}\mid43\,\text{m})$
P3P3$(81\,\text{m}\mid36\,\text{m})$
P4$(108\,\text{m}\mid32\,\text{m})$
P5P5P5$(162\,\text{m}\mid28\,\text{m})$
1.
Zeichne die Stützpunkte der Randfunktion der Variante C in das Koordinatensystem in Material 2.
(2P)
2.
Bestimme geeignete ganzrationale Funktionen $f_A$ und $f_B$ für die in der Tabelle dargestellten Varianten A und B und begründe deinen Ansatz.
Skizziere die Graphen von $f_A$ und $f_B$ in das Koordinatensystem in Material 2 und vergleiche die Qualität der Annäherung beider Funktionen unter Berücksichtigung aller fünf Stützpunkte.
(12P)
#ganzrationalefunktion
3.1
Bestimme unter Verwendung aller angegebenen Stützpunkte näherungsweise eine ganzrationale Randfunktion 3. Grades $f_C$ für die in der Tabelle dargestellte Variante C.
(6P)
#rotationsvolumen#ganzrationalefunktion
3.2
Bestimme unter Verwendung der Funktion $f_C$ aus Aufgabe 3.1 den minimalen Umfang des Kühlturmes.
Hinweis: Falls du $f_c$ nicht bestimmt hast, verwende stattdessen die Funktion $h_C$ mit
$h_C(x)=0,000005x^3-0,00045x^2-0,23x+56$.
$h_C(x)=0,000005x^3-0,00045x^2-0,23x+56$.
(6P)
4.
Um die ermittelte Randfunktion $f_C$ aus Aufgabe 3.1 genauer zu untersuchen, wird der folgende Term berechnet:
$\left(f_C(0)-56\right)^2+\left(f_C(54)-43\right)^2+\left(f_C(81)-36\right)^2+\left(f_C(108)-32\right)^2+\left(f_C(162)-28\right)^2\approx 0,536$
$\left(f_C(0)-56\right)^2+\left(f_C(54)-43\right)^2+\left(f_C(81)-36\right)^2+$
$\left(f_C(108)-32\right)^2+\left(f_C(162)-28\right)^2\approx 0,536$
Erläutere diese Rechnung. Ermittle, welches Ergebnis man erhält, wenn man in der obigen Rechnung die Randfunktion $f_C$ durch die Randfunktion $f_A$ aus Aufgabe 2 ersetzt, und deute die beiden Ergebnisse im Sachzusammenhang.
Hinweis: Falls du $f_A$ nicht bestimmt hast, verwende stattdessen die Funktion $g_A$ mit $g_A(x)=0,0009145x^2-0,321x+56$.
(7P)
5.
Bestimme zu $f_C$ eine innere Randfunktion $f_i$ , wenn die Wandstärke des Kühlturms wie oben beschrieben $0,5\,\text{m}$ beträgt. Ermittle damit Volumen und Masse des Bauschutts, der bei Abriss der Kühlturmwand entsteht.
Hinweis: Falls du $f_C$ nicht bestimmt hast, verwende stattdessen die Funktion $h_C$ aus Aufgabe 3.
(7P)

Material

Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://de.wikipedia.org/wiki/Kernkraftwerk_M%C3%BClheim-K%C3%A4rlich#/media/File:Kernkraftwerk_M%C3%BClheim-K%C3%A4rlich_2012.jpg – Holger Weinandt, CC BY-SA 3.0 de.
[2]
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Tipps
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1.
$\blacktriangleright$ Einzeichnen der Stützpunkte
Zeichne die in der Tabelle der Aufgabenstellung gegebenen Stützpunkte in das Koordinatensystem (Material 2) ein. Beachte dabei, dass der erste Koordinatenwert die Höhe und der zweite der Radius ist.
2.
$\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{f_A}$ bestimmen
Um die gesuchte ganzrationale Funktionen zu bestimmen, musst du zunächst erkennen, dass bei drei Stützpunkten nur quadratische Funktionen passend sind.
Eine Funktion höheren Grades würde mehr als drei Stützpunkte benötigen.
Um die gesuchte quadratische Funktionsgleichung zu ermitteln, kannst du zuächst eine allgemeine quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung betrachten:
$f(x)=a⋅x²+b⋅x+c$
$f(x)=a⋅x²+b⋅x+c$
Anhand in der Aufgabenstellung gegebener Stützpunkte (siehe Tabelle) kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und dann die benötigten Parameter bestimmen.
$\blacktriangleright$ Graphen einzeichnen
Nun zeichnest du den Graph in das Koordinatensystem (Material 2) ein. Hierzu speicherst du die Funktion in deinem GTR ein und entnimmst der Wertetabelle Punkte, durch die du den Graph dann zeichnest.
3.1
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f_C}$ bestimmen
Zur Bestimmung von $f_C(x)$ verwendest du die kubische Regression. Dies kannst du mit deinem Taschenrechner tun.
3.2
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{U_{min}}$ bestimmen
Zur Bestimmung des minimalen Umfangs musst du wissen, dass der Umfang an der Stelle minimal ist, an der der Abstand des Graphen der Funktion $f_C$ zur $x$-Achse minimal ist. Deshalb bestimmst du hier das Minimum (Tiefpunkt) der Funktion $f_C$.
Wichtig ist es hierbei zu sehen, dass der $y$-Wert des Minimums gleich dem Radius des gesuchten Umfang ist. Mit Hilfe der Umfangsformel kannst du nun den Umfang bestimmen.
$U=2 \cdot \pi \cdot r $
$U=2 \cdot \pi \cdot r $
4.
$\blacktriangleright$ Rechnung erläutern
Die Rechnung quadriert die Differenzen der Funktionswerte von $f_C$ und der jeweiligen $y$-Werte der Stützpunkte. Da $f_C$ mit Hilfe der kubischen Regression erstellt wurde, liegen die hierfür verwendeten Stützwerten nicht genau auf dessen Graph.
$\blacktriangleright$ Genauigkeit von $\boldsymbol{f_A}$ bestimmen
Ersetzte in der Rechnung $f_C$ mit dem von dir bestimmten $f_A$.
5.
$\blacktriangleright$ Volumen des Bauschutts ermitteln
Da die Wandstärke konstant $0,5$m beträgt hat die innere Randfunktion $f_i$ den gleichen Verlauf wie $f_C$, nur dass der Graph $f_i$ um $0,5$ m nach innen (entlang der $y$-Achse) verschoben ist. Um dies umzusetzen, musst du $0,5$ von $f_C(x)$ abziehen.
Um das Volumen der Wand des Kühlturms zu berechnen, musst du hier das Volumen des Rotationskörpers zwischen den Graphen von $f_C$ und $f_i$ berechnen. Dies kannst du mit folgender Formel tun:
$V= \pi \displaystyle\int_{a}^{b}((f_C(x))² \; dx-\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f_i(x))²\mathrm \; dx$
$V= \pi \displaystyle\int_{a}^{b}\;((f_C(x))²-\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f_i(x))²\mathrm \; dx$
$\blacktriangleright$ Masse des Bauschutts ermitteln
Eine Masse ist eine Angabe in $kg$. Sie lässt sich mit folgender Formel bestimmen:
$ Masse [kg] = Volumen [\frac{\text{m}³}{\text{kg}}] \cdot Dichte [m³]$
$Masse [kg] = Volumen [\frac{\text{m}³}{\text{kg}}] \cdot Dichte [m³]$
Wie du der Aufgabenstellung entnehmen kannst hat $1 \text{m}^3$ Bauschutt eine Masse von $2.400\text{ kg}$.
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1.
$\blacktriangleright$ Einzeichnen der Stützpunkte
Zeichne die in der Tabelle der Aufgabenstellung gegebenen Stützpunkte in das Koordinatensystem (Material 2) ein. Beachte dabei, dass der erste Koordinatenwert die Höhe und der zweite der Radius ist.
A2 - Analysis
Abb. 1: Stützpunkte der Randfunktion in Material 2
A2 - Analysis
Abb. 1: Stützpunkte der Randfunktion in Material 2
2.
$\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{f_A}$ bestimmen
Um die gesuchte ganzrationale Funktionen zu bestimmen, musst du zunächst erkennen, dass bei drei Stützpunkten nur quadratische Funktionen passend sind.
Eine Funktion höheren Grades würde mehr als drei Stützpunkte benötigen.
Um die gesuchte quadratische Funktionsgleichung zu ermitteln, kannst du zuächst eine allgemeine quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung betrachten:
$f(x)=a⋅x²+b⋅x+c$
$f(x)=a⋅x²+b⋅x+c$
Anhand in der Aufgabenstellung gegebener Stützpunkte (siehe Tabelle) kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und dann die benötigten Parameter bestimmen.
Betrachtest du zunächst Variante A mit der Funktion $f_A$ so entnimmst du der Tabelle die Stützpunkte:
$P_1(0\mid56)$
$P_3(81\mid36)$
$P_5(162\mid28)$
Anhand dieser Punkte (Funktionswerte von $f_A$) lassen sich nun folgende Gleichungen aufstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f_A(0)&=& 56 \\[5pt] f_A(81)&=& 36 \\[5pt] f_A(162)&=& 28 \\[5pt] \end{array}$
1. Schritt: Gesuchte Paramter der Funktionsgleichung bestimmen
$\begin{array}{} \text{I}\quad&f_A(0)&=& 0^2 \cdot a- 0 \cdot b + c &\stackrel{!}=56\quad\\ \text{II}\quad&f_A(81)&=& 81^2 \cdot a + 81 \cdot b + c &\stackrel{!}=36\quad\\ \text{III}\quad&f_A(162)&=& 162^2 \cdot a + 162 \cdot b + c &\stackrel{!}=28\quad\\ \end{array}$
$ \begin{array}{} \text{I}\quad&f_A(0)&=& …\\ \text{II}\quad&f_A(81)&=& …\\ \text{III}\quad&f_A(162)&=& …\\ \end{array}$
Berechne die gesuchten Parameter nun mit einem linearen Gleichungssystem und deinem CAS.
A2 - Analysis
Abb. 2: Lineares Gleichunssystem im CAS
A2 - Analysis
Abb. 2: Lineares Gleichunssystem im CAS
2. Schritt: Funktionsgleichung von $\boldsymbol{f_A(x)}$ aufstellen
Fügst du nun die von dir bestimmten Parameter in die allgemeine quadratische Funktionsgleichung $(f(x)=a⋅x²+b⋅x+c)$ ein so erhältst du als Ergebnis:
$f_A(x)=\dfrac{2}{2.187}x²-\dfrac{26}{81}x+56$
$\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{f_B}$ bestimmen
Ähnlich wie du $f_A(x)$ bestimmt hast, bestimmst du jetzt auch $f_B(x)$. Anhand in der Aufgabenstellung gegebener Stützpunkte (siehe Tabelle) kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und dann die benötigten Parameter bestimmen.
Betrachtest du zunächst Variante A mit der Funktion $f_A$ so entnimmst du der Tabelle die Stützpunkte:
$P_1(0\mid56)$
$P_2(54\mid43)$
$P_5(162\mid28)$
Anhand dieser Punkte (Funktionswerte von $f_A$) lassen sich nun folgende Gleichungen aufstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f_B(0)&=& 56 \\[5pt] f_B(54)&=& 43 \\[5pt] f_B(162)&=& 28 \\[5pt] \end{array}$
1. Schritt: Gesuchte Paramter der Funktionsgleichung bestimmen
$\begin{array}{} \text{I}\quad&f_B(0)&=& 0^2 \cdot a- 0 \cdot b + c &\stackrel{!}=56\quad\\ \text{II}\quad&f_B(54)&=& 54^2 \cdot a + 54 \cdot b + c &\stackrel{!}=43\quad\\ \text{III}\quad&f_B(162)&=& 162^2 \cdot a + 162 \cdot b + c &\stackrel{!}=28\quad\\ \end{array}$
$ \begin{array}{} \text{I}\quad&f_B(0)&=& …\\ \text{II}\quad&f_B(54)&=& …\\ \text{III}\quad&f_B(162)&=& …\\ \end{array}$
Berechne die gesuchten Parameter nun mit einem linearen Gleichungssystem und deinem CAS.
A2 - Analysis
Abb. 3: Lineares Gleichunssystem im CAS
A2 - Analysis
Abb. 3: Lineares Gleichunssystem im CAS
2. Schritt: Funktionsgleichung von $\boldsymbol{f_B(x)}$ aufstellen
Fügst du nun die von dir bestimmten Parameter in die allgemeine quadratische Funktionsgleichung $(f(x)=a⋅x²+b⋅x+c)$ ein so erhältst du als Ergebnis:
$f_B(x)=\dfrac{11}{17.496}x²-\dfrac{89}{324}x+56$
$\blacktriangleright$ Graphen einzeichnen
Nun zeichnest du den Graph in das Koordinatensystem (Material 2) ein. Hierzu speicherst du die Funktion in deinem GTR ein und entnimmst der Wertetabelle Punkte, durch die du den Graph dann zeichnest.
A2 - Analysis
Abb. 4: Skizzierung von $f_A$ und $f_B$
A2 - Analysis
Abb. 4: Skizzierung von $f_A$ und $f_B$
Es ist zu erkennen, dass der Graph von $f_A$ die qualitativ bessere Annäherung an die fünf Stützpunkte ist, da dieser vier der fünf Stützpunkte besitzt, wohingegen der Graph von $f_B$ einen vergleichsweise hohen Abstand zu den Stützpunkten $P_3$ und $P_4$ hat.
#lgs
3.1
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f_C}$ bestimmen
A2 - Analysis
Abb. 5: Tabellenspalten $x$ und $y$
A2 - Analysis
Abb. 5: Tabellenspalten $x$ und $y$
A2 - Analysis
Abb. 6: Kubische Regression
A2 - Analysis
Abb. 6: Kubische Regression
Somit ergibt sich für $f_C(x)$:
$f_C(x)= 0,000005x^3-0,000453x²-0,238316x+56,035714$
$ f_c(x)=… $
#regression
3.2
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{U_{min}}$ bestimmen
Zur Bestimmung des minimalen Umfangs musst du wissen, dass der Umfang an der Stelle minimal ist, an der der Abstand des Graphen der Funktion $f_C$ zur $x$-Achse minimal ist.
Deshalb bestimmst du hier das Minimum (Tiefpunkt) der Funktion $f_C$.
1.Schritt: Tiefpunkt bestimmen
Du hast die Funktion $f_C(x)=0,000005x^3-0,000453x²$ $-0,238316x+56,035714$ gegeben und sollst deren Graph auf Tiefpunkte untersuchen. Dies kannst du mit deinem CAS tun.
A2 - Analysis
Abb. 7: Bestimmung des Minimums
A2 - Analysis
Abb. 7: Bestimmung des Minimums
2.Schritt: Umfang errechnen
Aus dem nun bekannten Koordinaten des Minimums sollst du jetzt den Umfang des Kühlturms an dieser Stelle errechnen.
Wichtig ist es hierbei zu sehen, dass der $y$-Wert des Minimums gleich dem Radius des gesuchten Umfang ist.
Mit Hilfe der Umfangsformel kannst du nun den Umfang bestimmen.
$U=2 \cdot \pi \cdot r $
$U=2 \cdot \pi \cdot r $
$\begin{array}[t]{rll} U_{min} &=& 2 \cdot \pi \cdot 26,79 \\[5pt] U_{min} &=& 168,33 \end{array}$
Der minimale Umfang beträgt $168,33$ Meter.
#extrempunkt
4.
$\blacktriangleright$ Rechnung erläutern
Die Rechnung quadriert die Differenzen der Funktionswerte von $f_C$ und der jeweiligen $y$-Werte der Stützpunkte.
Da $f_C$ mit Hilfe der kubischen Regression erstellt wurde, liegen die hierfür verwendeten Stützwerten nicht genau auf dessen Graph.
Die Rechnung in der Aufgabenstellung gibt somit einen Wert für die Genauigkeit von $f_C$ an.
$\blacktriangleright$ Genauigkeit von $\boldsymbol{f_A}$ bestimmen
Ersetzt du hier $f_C$ mit $f_A$ so erhältst du:
$(f_A(0)-56)²+(f_A(54)-43)²+(f_A(81)-36)²+(f_A(108)-32)²+(f_A(162)-28)²$
$ (f_A(0)-56)²+… $
Die hier einzusetzenden Werte erhältst du aus der zugehörigen Wertetabelle, wenn du die Funktion in deinen Taschenrechner einspeicherst.
$(56-56)²+(41,333-43)²+(36-36)²+(32-32)²+(28-28)² \approx 2,779$
$ (56-56)²+…\approx 2,779 $
Der Wert der Rechnung mit $f_A$ statt $f_C$ liefert mit $2,779$ ein weitaus höheres Ergebnis als die in der Aufgabenstellung gegebenen $0,536$.
Das bedeutet, dass der Graph von $f_A$ einen größeren Abstand zu den Stützpunkten hat und damit als ungenauere Funktion bezeichnet werden kann.
Auch wenn genau genommen keiner der Stützpunkte auf dem Graphen von $f_C$ liegt, sind doch alle 5 Stützpunkte diesem relativ nahe.
Wohingegen 4 von 5 Stützpunkten direkt auf dem Graphen von $f_A$ liegen. Der eine, nicht auf dem Graphen liegende Stützpunkt, ist jedoch soweit vom Graph entfernt, dass die quadrierte Differenz relativ groß ist.
#regression
5.
$\blacktriangleright$ Volumen des Bauschutts ermitteln
Da die Wandstärke konstant $0,5$m beträgt hat die innere Randfunktion $f_i$ den gleichen Verlauf wie $f_C$, nur dass der Graph $f_i$ um $0,5$ m nach innen (entlang der $y$-Achse) verschoben ist. Um dies umzusetzen, musst du $0,5$ von $f_C(x)$ abziehen.
$f_C(x)=0,000005x^3-0,000453x²-0,238316x+56,035714$
$f_i(x)=0,000005x^3-0,000453x²-0,238316x+55,535714$
$\begin{array}[t]{rll} f_C(x) &=& …\\[5pt] f_i(x) &=& … \end{array}$
Um das Volumen der Wand des Kühlturms zu berechnen, musst du hier das Volumen des Rotationskörpers zwischen den Graphen von $f_C$ und $f_i$ berechnen. Dies kannst du mit folgender Formel tun:
$V= \pi \displaystyle\int_{a}^{b}((f_C(x))² \; dx-\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f_i(x))²\mathrm \; dx$
$V= \pi \displaystyle\int_{a}^{b}\;((f_C(x))²-\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f_i(x))²\mathrm \; dx$
Diese Formel kannst du in dein CAS eingeben und so den Flächeninhalt berechnen:
A2 - Analysis
Abb. 8: Berechnung des Integrals
A2 - Analysis
Abb. 8: Berechnung des Integrals
Der Bauschutt hat somit ein Volumen von $19.255,23 \text{m}^3$.
$\blacktriangleright$ Masse des Bauschutts ermitteln
Wie du der Aufgabenstellung entnehmen kannst hat $1 \text{m}^3$ Bauschutt eine Masse von $2.400\text{ kg}$.
$19.255,23\text{ m}^3 \cdot 2.400\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 46.212.551\text{ kg}$
$ …= 46.212.551\text{ kg} $
Der Bauschutt des Kühlturms wiegt $46.212.551 \text{ kg }$ $\approx46.213 \text{ t}$.
#rotationsvolumen
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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[2]
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[3]
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1.
$\blacktriangleright$ Einzeichnen der Stützpunkte
Zeichne die in der Tabelle der Aufgabenstellung gegebenen Stützpunkte in das Koordinatensystem (Material 2) ein. Beachte dabei, dass der erste Koordinatenwert die Höhe und der zweite der Radius ist.
A2 - Analysis
Abb. 1: Stützpunkte der Randfunktion in Material 2
A2 - Analysis
Abb. 1: Stützpunkte der Randfunktion in Material 2
2.
$\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{f_A}$ bestimmen
Um die gesuchte ganzrationale Funktionen zu bestimmen, musst du zunächst erkennen, dass bei drei Stützpunkten nur quadratische Funktionen passend sind.
Eine Funktion höheren Grades würde mehr als drei Stützpunkte benötigen.
Um die gesuchte quadratische Funktionsgleichung zu ermitteln, kannst du zuächst eine allgemeine quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung betrachten:
$f(x)=a⋅x²+b⋅x+c$
$f(x)=a⋅x²+b⋅x+c$
Anhand in der Aufgabenstellung gegebener Stützpunkte (siehe Tabelle) kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und dann die benötigten Parameter bestimmen.
Betrachtest du zunächst Variante A mit der Funktion $f_A$ so entnimmst du der Tabelle die Stützpunkte:
$P_1(0\mid56)$
$P_3(81\mid36)$
$P_5(162\mid28)$
Anhand dieser Punkte (Funktionswerte von $f_A$) lassen sich nun folgende Gleichungen aufstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f_A(0)&=& 56 \\[5pt] f_A(81)&=& 36 \\[5pt] f_A(162)&=& 28 \\[5pt] \end{array}$
1. Schritt: Gesuchte Paramter der Funktionsgleichung bestimmen
$\begin{array}{} \text{I}\quad&f_A(0)&=& 0^2 \cdot a- 0 \cdot b + c &\stackrel{!}=56\quad\\ \text{II}\quad&f_A(81)&=& 81^2 \cdot a + 81 \cdot b + c &\stackrel{!}=36\quad\\ \text{III}\quad&f_A(162)&=& 162^2 \cdot a + 162 \cdot b + c &\stackrel{!}=28\quad\\ \end{array}$
$ \begin{array}{} \text{I}\quad&f_A(0)&=& …\\ \text{II}\quad&f_A(81)&=& …\\ \text{III}\quad&f_A(162)&=& …\\ \end{array}$
Berechne die gesuchten Parameter nun mit einem linearen Gleichungssystem und deinem CAS.
A2 - Analysis
Abb. 2: Lineares Gleichunssystem im CAS
A2 - Analysis
Abb. 2: Lineares Gleichunssystem im CAS
Der Taschenrechner sollte dir nun folgende Parameter anzeigen:
$\begin{array}[t]{rll} a &=& 0,000914495 &=& \dfrac{2}{2187} \\[5pt] b &=& -0,320987654 &=& \dfrac{-26}{81} \\[5pt] c &=& 56 \end{array}$
2. Schritt: Funktionsgleichung von $\boldsymbol{f_A(x)}$ aufstellen
Fügst du nun die von dir bestimmten Parameter in die allgemeine quadratische Funktionsgleichung $(f(x)=a⋅x²+b⋅x+c)$ ein so erhältst du als Ergebnis:
$f_A(x)=\dfrac{2}{2.187}x²-\dfrac{26}{81}x+56$
$\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{f_B}$ bestimmen
Ähnlich wie du $f_A(x)$ bestimmt hast, bestimmst du jetzt auch $f_B(x)$. Anhand in der Aufgabenstellung gegebener Stützpunkte (siehe Tabelle) kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und dann die benötigten Parameter bestimmen.
Betrachtest du zunächst Variante A mit der Funktion $f_A$ so entnimmst du der Tabelle die Stützpunkte:
$P_1(0\mid56)$
$P_2(54\mid43)$
$P_5(162\mid28)$
Anhand dieser Punkte (Funktionswerte von $f_A$) lassen sich nun folgende Gleichungen aufstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f_B(0)&=& 56 \\[5pt] f_B(54)&=& 43 \\[5pt] f_B(162)&=& 28 \\[5pt] \end{array}$
1. Schritt: Gesuchte Paramter der Funktionsgleichung bestimmen
$\begin{array}{} \text{I}\quad&f_B(0)&=& 0^2 \cdot a- 0 \cdot b + c &\stackrel{!}=56\quad\\ \text{II}\quad&f_B(54)&=& 54^2 \cdot a + 54 \cdot b + c &\stackrel{!}=43\quad\\ \text{III}\quad&f_B(162)&=& 162^2 \cdot a + 162 \cdot b + c &\stackrel{!}=28\quad\\ \end{array}$
$ \begin{array}{} \text{I}\quad&f_B(0)&=& …\\ \text{II}\quad&f_B(54)&=& …\\ \text{III}\quad&f_B(162)&=& …\\ \end{array}$
Berechne die gesuchten Parameter nun mit einem linearen Gleichungssystem und deinem CAS.
A2 - Analysis
Abb. 3: Lineares Gleichunssystem im CAS
A2 - Analysis
Abb. 3: Lineares Gleichunssystem im CAS
Der Taschenrechner sollte dir nun folgende Parameter anzeigen:
$\begin{array}[t]{rll} a &=& 0,000628715 &=& \dfrac{11}{17496} \\[5pt] b &=& -0,274691358 &=& \dfrac{-89}{324} \\[5pt] c &=& 56 \end{array}$
2. Schritt: Funktionsgleichung von $\boldsymbol{f_B(x)}$ aufstellen
Fügst du nun die von dir bestimmten Parameter in die allgemeine quadratische Funktionsgleichung $(f(x)=a⋅x²+b⋅x+c)$ ein so erhältst du als Ergebnis:
$f_B(x)=\dfrac{11}{17.496}x²-\dfrac{89}{324}x+56$
$\blacktriangleright$ Graphen einzeichnen
Nun zeichnest du den Graph in das Koordinatensystem (Material 2) ein. Hierzu speicherst du die Funktion in deinem GTR ein und entnimmst der Wertetabelle Punkte, durch die du den Graph dann zeichnest.
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Abb. 4: Skizzierung von $f_A$ und $f_B$
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Abb. 4: Skizzierung von $f_A$ und $f_B$
Es ist zu erkennen, dass der Graph von $f_A$ die qualitativ bessere Annäherung an die fünf Stützpunkte ist, da dieser vier der fünf Stützpunkte besitzt, wohingegen der Graph von $f_B$ einen vergleichsweise hohen Abstand zu den Stützpunkten $P_3$ und $P_4$ hat.
#lgs
3.1
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f_C}$ bestimmen
A2 - Analysis
Abb. 5: Tabellenspalten $x$ und $y$
A2 - Analysis
Abb. 5: Tabellenspalten $x$ und $y$
A2 - Analysis
Abb. 6: Kubische Regression
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Abb. 6: Kubische Regression
Somit ergibt sich für $f_C(x)$:
$f_C(x)= 0,000005x^3-0,000453x²-0,238316x+56,035714$
$ f_c(x)=… $
#regression
3.2
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{U_{min}}$ bestimmen
Zur Bestimmung des minimalen Umfangs musst du wissen, dass der Umfang an der Stelle minimal ist, an der der Abstand des Graphen der Funktion $f_C$ zur $x$-Achse minimal ist.
Deshalb bestimmst du hier das Minimum (Tiefpunkt) der Funktion $f_C$.
1.Schritt: Tiefpunkt bestimmen
Du hast die Funktion $f_C(x)=0,000005x^3-0,000453x²$ $-0,238316x+56,035714$ gegeben und sollst deren Graph auf Tiefpunkte untersuchen. Dies kannst du mit deinem CAS tun.
Wähle den Befehl für das Funktionsminimum aus (Befehl: fMin()). Trage hier die vollständige Funktion ein. Außerdem musst du in dem Befehl noch $x$ als Variable definieren. Da der Befehl fMin() eine Annäherung ist, kannst du ihr auch noch einen Startwert und einen Endwert geben, falls ein unerwarteter Wert für ein Minimum ausgegeben wird.
A2 - Analysis
Abb. 7: Bestimmung des Minimums
A2 - Analysis
Abb. 7: Bestimmung des Minimums
Du erhältst durch Einfügen des $x$-Wertes in $f_C$ folgende Koordinaten:
$T(159,81 \mid 26,79)$
2.Schritt: Umfang errechnen
Aus dem nun bekannten Koordinaten des Minimums sollst du jetzt den Umfang des Kühlturms an dieser Stelle errechnen.
Wichtig ist es hierbei zu sehen, dass der $y$-Wert des Minimums gleich dem Radius des gesuchten Umfang ist.
Mit Hilfe der Umfangsformel kannst du nun den Umfang bestimmen.
$U=2 \cdot \pi \cdot r $
$U=2 \cdot \pi \cdot r $
$\begin{array}[t]{rll} U_{min} &=& 2 \cdot \pi \cdot 26,79 \\[5pt] U_{min} &=& 168,33 \end{array}$
Der minimale Umfang beträgt $168,33$ Meter.
#extrempunkt
4.
$\blacktriangleright$ Rechnung erläutern
Die Rechnung quadriert die Differenzen der Funktionswerte von $f_C$ und der jeweiligen $y$-Werte der Stützpunkte.
Da $f_C$ mit Hilfe der kubischen Regression erstellt wurde, liegen die hierfür verwendeten Stützwerten nicht genau auf dessen Graph.
Die Rechnung in der Aufgabenstellung gibt somit einen Wert für die Genauigkeit von $f_C$ an.
$\blacktriangleright$ Genauigkeit von $\boldsymbol{f_A}$ bestimmen
Ersetzt du hier $f_C$ mit $f_A$ so erhältst du:
$(f_A(0)-56)²+(f_A(54)-43)²+(f_A(81)-36)²+(f_A(108)-32)²+(f_A(162)-28)²$
$ (f_A(0)-56)²+… $
Die hier einzusetzenden Werte erhältst du aus der zugehörigen Wertetabelle, wenn du die Funktion in deinen Taschenrechner einspeicherst.
$(56-56)²+(41,333-43)²+(36-36)²+(32-32)²+(28-28)² \approx 2,779$
$ (56-56)²+…\approx 2,779 $
Der Wert der Rechnung mit $f_A$ statt $f_C$ liefert mit $2,779$ ein weitaus höheres Ergebnis als die in der Aufgabenstellung gegebenen $0,536$.
Das bedeutet, dass der Graph von $f_A$ einen größeren Abstand zu den Stützpunkten hat und damit als ungenauere Funktion bezeichnet werden kann.
Auch wenn genau genommen keiner der Stützpunkte auf dem Graphen von $f_C$ liegt, sind doch alle 5 Stützpunkte diesem relativ nahe.
Wohingegen 4 von 5 Stützpunkten direkt auf dem Graphen von $f_A$ liegen. Der eine, nicht auf dem Graphen liegende Stützpunkt, ist jedoch soweit vom Graph entfernt, dass die quadrierte Differenz relativ groß ist.
#regression
5.
$\blacktriangleright$ Volumen des Bauschutts ermitteln
Da die Wandstärke konstant $0,5$m beträgt hat die innere Randfunktion $f_i$ den gleichen Verlauf wie $f_C$, nur dass der Graph $f_i$ um $0,5$ m nach innen (entlang der $y$-Achse) verschoben ist. Um dies umzusetzen, musst du $0,5$ von $f_C(x)$ abziehen.
$f_C(x)=0,000005x^3-0,000453x²-0,238316x+56,035714$
$f_i(x)=0,000005x^3-0,000453x²-0,238316x+55,535714$
$\begin{array}[t]{rll} f_C(x) &=& …\\[5pt] f_i(x) &=& … \end{array}$
Um das Volumen der Wand des Kühlturms zu berechnen, musst du hier das Volumen des Rotationskörpers zwischen den Graphen von $f_C$ und $f_i$ berechnen. Dies kannst du mit folgender Formel tun:
$V= \pi \displaystyle\int_{a}^{b}((f_C(x))² \; dx-\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f_i(x))²\mathrm \; dx$
$V= \pi \displaystyle\int_{a}^{b}\;((f_C(x))²-\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f_i(x))²\mathrm \; dx$
Diese Formel kannst du in dein CAS eingeben und so den Flächeninhalt berechnen:
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Abb. 8: Berechnung des Integrals
A2 - Analysis
Abb. 8: Berechnung des Integrals
Der Bauschutt hat somit ein Volumen von $19.254,99 \text{m}^3$.
$\blacktriangleright$ Masse des Bauschutts ermitteln
Wie du der Aufgabenstellung entnehmen kannst hat $1 \text{m}^3$ Bauschutt eine Masse von $2.400\text{ kg}$.
$19.254,99\text{ m}^3 \cdot 2.400\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 46.211.976\text{ kg}$
$ …= 46.211.976\text{ kg} $
Der Bauschutt des Kühlturms wiegt $46.212.551 \text{ kg }$ $\approx46.213 \text{ t}$.
#rotationsvolumen
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