Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
HE, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss
Lernstandserhebung 8 E-Ku...
Lernstandserhebung 8 G-Ku...
Abitur GK (CA...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss
Lernstandserhebung 8 E-Kurs
Lernstandserhebung 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur GK (CAS)
A - Hilfsmittelfrei
B2 - Analysis
C1 - Lineare Algebra,...
C2 - Stochastik
Abi 2018
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2017
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2016
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2015
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2014
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2013
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2012
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2011
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2010
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2009
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2008
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2007
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
LV-Abi 1
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik

A1 - Analysis

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord
Eine Käferpopulation besteht zu einem bestimmten Anfangszeitpunkt aus 50.000 Exemplaren. Zwar kommen jedes Jahr durch Fortpflanzung neue Käfer hinzu, gleichzeitig wird die Population aber durch natürliche Feinde dezimiert.
Die Entwicklung der Käferpopulation kann durch die folgende Funktion $k$ beschrieben werden:
$k(t)=(50+25t)\cdot \mathrm e^{-0,1t}\;\;\;\; \text{mit}\; t\geq 0$
Dabei gilt Folgendes: 1 Einheit der Funktionswerte $\widehat{=}$ 1.000 Käfer
1 Einheit der $t$-Werte $\widehat{=}$ 1 Jahr
1. Berechne die erste Ableitung der Funktion $k$ und ermittle damit unter Zuhilfenahme der zweiten Ableitung $k''(t)=(-4,5+0,25t)\cdot\mathrm e^{-0,1t}$ die Extrem- und Wendepunkte des Graphen von $k$ innerhalb des betrachteten Intervalls ohne Verwendung des Graphen.
Begründe das Grenzwertverhalten des Graphen für $t\rightarrow+\infty$ anhand des Funktionsterms von $k$.
(13P)
2. Bestimme, zu welchen Zeiten die Population größer als 100.000 Käfer ist und wie stark die Population in den ersten 6 Jahren durchschnittlich pro Jahr zunimmt.
(7P)
3. Beschreibe unter Verwendung der Begriffe „Populationsgröße“ und „Wachstumsgeschwindigkeit“ die Entwicklung der Käferpopulation. Deute dabei sowohl die Extrem- und Wendepunkte als auch den Grenzwert des Graphen aus Aufgabenteil 1.
(8P)
4. Zeige, dass $K$ mit $K(t)=(-250t-3.000)\cdot\mathrm e^{-0,1t}$ eine Stammfunktion von $k$ ist.
Gib den Wert von $\dfrac{1.000}{30}\cdot \displaystyle\int_{20}^{50}k(t)\;\mathrm dt$ an und deute diesen im Sachzusammenhang.
(6P)
5. Die Funktion $k$ beschreibt die Entwicklung der Käferpopulation nur für die ersten 55 Jahre recht gut. Ab dem Zeitpunkt $t=55$ bleibt bei einer verbesserten Beschreibung die zu diesem Zeitpunkt erreichte Wachstumsgeschwindigkeit konstant, sodass für $t>55$ ein lineares Wachstum vorliegt.
Ermittle die momentane Wachstumsgeschwindigkeit bei $t=55$ und bestimme mithilfe der Funktionsgleichung, die ab diesem Zeitpunkt die Populationsgröße beschreibt, den voraussichtlichen Zeitpunkt des Aussterbens der Käferpopulation.
(6P)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
1. $\blacktriangleright$ Erste Ableitung $\boldsymbol{k'}$ bestimmen
Um die erste Ableitung $k'$ der Funktion $k(t)=(50+25t)\cdot\mathrm e^{-0,1t}$ zu berechnen benötigst du die Produktregel und die Kettenregel.
Alternativ kannst du dir die erste Ableitung $k'$ auch mit dem CAS anzeigen lassen.
$\blacktriangleright$ Extrempunkte bestimmen
Um einen Extrempunkt $\left(x_{\text{E}} \mid k(x_{\text{E}})\right)$ des Graphen einer Funktion $k$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $k'(x_{\text{E}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung:
    • $k''(x_{\text{E}}) < 0$ $\Rightarrow$ Hochpunkt des Graphen von $k$ an der Stelle $x_{\text{E}}$.
      $k''(x_{\text{E}}) > 0$ $\Rightarrow$ Tiefpunkt des Graphen von $k$ an der Stelle $x_{\text{E}}$
$\blacktriangleright$ Wendepunkte bestimmen
Um einen Wendepunkt $\left(x_{\text{W}} \mid k(x_{\text{W}})\right)$ des Graphen von $k$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $k''(x_{\text{W}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $k'''(x_{\text{W}}) \neq 0$
Überprüfe also, ob die zweite Ableitung $k''$ eine Nullstelle besitzt (Notwendiges Bedingung) und ob die dritte Ableitung $k'''$ an der gefundenen Stelle ungleich Null ist (Hinreichende Bedingung).
$\blacktriangleright$ Grenzwertverhalten begründen
Betrachte das Verhalten des Funktionsterms von $k$ für $t \rightarrow \infty$. Der Funktionsterm von $k$ lautet: $(50+25t) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}$.
Untersuche dazu das Grenzwertverhalten einzelner Komponenten des Funktionsterms. Anhand der Stärke des jeweiligen Wachstums kannst du das Grenzwertverhalten des gesamten Funktionsterms begründen.
2. $\blacktriangleright$  Zeiten bestimmen
Bei dieser Aufgabe sollst du bestimmen, zu welchen Zeiten die Population größer als $100.000$ Käfer ist. Um dies zu bestimmen setzt du die Anzahl der Käfer mit dem Funktionsterm von $k$ gleich. Beachte dabei, dass eine Einheit der Funktionswerte einer Anzahl von $1.000$ Käfern entspricht. Du musst demnach folgende Gleichung lösen:
$\begin{array}[t]{rll} (50+25t)\cdot\mathrm e^{-0,1t}&=&\dfrac{100.000}{1.000} \\[5pt] (50+25t)\cdot\mathrm e^{-0,1t}&=&100 \end{array}$
Diese Gleichung kannst du mit dem CAS lösen.
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Zunahme der Population berechnen
Nun sollst du berechnen, wie stark die Population in den ersten $6$ Jahren durchschnittlich pro Jahr zunimmt. Dazu berechnest du die durschnittliche Änderungsrate:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Änderungsrate}&=&\dfrac{k(t_2)-k(t_1}{t_2-t_1} \end{array}$
Da du die durschnittliche Änderungsrate der ersten $6$ Jahre berechnen sollst, benötigst du die Funktionswerte an den Stellen $t_1=0$ und $t_2=6$.
3. $\blacktriangleright$ Entwicklung der Käferpopulation beschreiben
Lasse dir zunächst den Graphen von $k$ mit deinem CAS anzeigen für das bessere Verständnis. Zeichne dabei auch den Graphen der Ableitung $k'$, da dieser der Wachstumsgeschwindigkeit entspricht. Der Graph von $k$ entspricht der Populationsgröße. Beachte dabei, dass eine Einheit der Funktionswerte $1.000$ Käfern entspricht.
4. $\blacktriangleright$ Stammfunktion nachweisen
Ist $K$ eine Stammfunktion von $k$, so entspricht die erste Ableitungsfunktion $K'$ gerade wieder $k$. Leite also die angegebene Funktion $K(t)$ mit der Produkt- und Kettenregel ab und prüfe, ob die Ableitung mit $k(t)$ übereinstimmt.
$\blacktriangleright$ Integral berechnen
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Das Integral kannst du mit deinem CAS berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Da $K(t)$ eine Stammfunktion von $k(t)$ ist, kannst du das gegebene Integral mit dem Hauptsatz der Integralrechnung wie folgt berechnen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{1.000}{30} \cdot \displaystyle\int_{20}^{50} k(t) \mathrm dt &=& \dfrac{1.000}{30} \cdot \left[ K(t) \right]_{20}^{50} \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Integral im Sachzusammenhang deuten
Nutze die Formel für den durchschnittlichen Funktionswert unter einem Graphen einer Funktion $k$.
Durchschnittlicher Funktionswert im Intervall $[a,b]$ einer Funktion $k$
$\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} k(t) \mathrm dt$
5. $\blacktriangleright$ Momentane Wachstumsgeschwindigkeit berechnen
Wie du in Aufgabe 3. festgestellt hast, wird die Wachstumsgeschwindigkeit durch die 1. Ableitung $k'(t)$ beschrieben. Demnach erhältst du die momentane Wachstumsgeschwindigkeit bei $t=55$ durch Einsetzen in $k'$.
$\blacktriangleright$ Neue Funktionsgleichung bestimmen
Da an der Stelle $t=55$ ein lineares Wachstum für die Käferpopulation angenommen wird, beschreibt die Tangente $f$ an den Graphen von $k$ an der Stelle $t = 55$ den weiteren Verlauf. Ermittle also die Funktionsgleichung der Tangente. Zum besseren Verständnis kann dir folgende Skizze helfen:
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Der allgemeine Ansatz für die Funktionsgleichung einer Geraden ist:
$f(t)=a \cdot t + b$
Die Funktionsgleichung der Tangente von $k$ entspricht einer Geraden, da die Tangente linear ist.
$\blacktriangleright$ Voraussichtlichen Zeitpunkt des Aussterbens der Käferpopulation berechnen
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Da $f$ die Population der Käfer ab $t=55$ angibt, entspricht die Nullstelle von $f$ gerade dem Zeitpunkt des Aussterbens. Setze also $f(t)=0$ und löse mit deinem CAS oder von Hand.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF
1. $\blacktriangleright$ Erste Ableitung $\boldsymbol{k'}$ bestimmen
Um die erste Ableitung $k'$ der Funktion $k(t)=(50+25t)\cdot\mathrm e^{-0,1t}$ zu berechnen benötigst du die Produktregel und die Kettenregel.
$\begin{array}[t]{rll} k(t)&=&(50+25t)\cdot\mathrm e^{-0,1t} \\[5pt] k'(t)&=&25\cdot\mathrm e^{-0,1t}+(50+25t)\cdot(-0,1)\cdot\mathrm e^{-0,1t}\\[5pt] k'(t)&=&(25-5-2,5t)\cdot\mathrm e^{-0,1t}\\[5pt] k'(t)&=&(20-2,5t)\cdot\mathrm e^{-0,1t} \end{array}$
Alternativ kannst du dir die erste Ableitung $k'$ auch mit dem CAS anzeigen lassen.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Die erste Ableitung $k'$ lautet: $k'(t)=(20-2,5t)\cdot\mathrm e^{-0,1t}$
$\blacktriangleright$ Extrempunkte bestimmen
Um einen Extrempunkt $\left(x_{\text{E}} \mid k(x_{\text{E}})\right)$ des Graphen einer Funktion $k$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $k'(x_{\text{E}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung:
    • $k''(x_{\text{E}}) < 0$ $\Rightarrow$ Hochpunkt des Graphen von $k$ an der Stelle $x_{\text{E}}$.
      $k''(x_{\text{E}}) > 0$ $\Rightarrow$ Tiefpunkt des Graphen von $k$ an der Stelle $x_{\text{E}}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Definiere in deinem CAS den Funktionsterm von $k$ und die erste Ableitung. Überprüfe dann die notwendige Bedingung mit dem solve-Befehl.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Du erhältst eine potentielle Extremstelle bei $t=8$.
Überprüfe nun mit der hinreichende Bedingung, ob es sich tatsächlich um eine Extremstelle handelt. Definiere dazu die zweite Ableitung $k''$ in deinem CAS und berechne $k''(8)$. Handelt es sich um eine Extremstelle, setzt du den Wert $t=8$ in den Funktionsterm von $k$ ein, um die $y$-Koordinate des Extrempunktes des Graphen zu berechnen.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Die zweite Ableitung $k''$ ist an der Stelle $t=8$ kleiner als Null. Das bedeutet, dass der Graph von $k$ einen Hochpunkt $H$ hat. Dieser hat die Koordinaten $H(8\mid112)$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Die erste Ableitung $k'$ hast du bereits gebildet. Um diese auf Nullstellen zu überprüfen, setzt du den Funktionsterm gleich Null.
$\begin{array}{rll} k'(t)\stackrel{!}{=}&0&\scriptsize \mid \ k'(t) \text{ einsetzen} \\[5pt] (20-2,5t) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}=&0&\scriptsize \ \text{Nutze den Satz vom Nullprodukt. Da } \mathrm e^{-0,1\cdot t} > 0 \text{ ist, betrachte noch }(20-2,5t). \\[5pt] (20-2,5t)=&0&\scriptsize \mid\ +2,5t \\[5pt] 20=&2,5t&\scriptsize \mid\ :2,5 \\[5pt] 8=&t \end{array}$
2. Schritt: Hinreichende Bedingung bei $\boldsymbol{t=8}$ überprüfen
Setze nun $t=8$ in $k''$ ein. Die zweite Ableitung $k''$ hast du in der Aufgabenstellung gegeben.
$\begin{array}{rll} k''(t)&=&(-4,5 + 0,25t) \cdot \mathrm e^{-0,1t}\\[5pt] k''(8)&=&(-4,5 + 0,25 \cdot 8) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 8}\\[5pt] &=& (-4,5 + 2) \cdot \mathrm e^{-0,8}\\[5pt] &=& -2,5 \cdot \mathrm e^{-0,8}<0 \end{array}$
Damit besitzt die Funktion $k$ an der Stelle $t=8$ ein Maximum.
Um die vollständigen Koordinaten des Hochpunkts $H$ des Graphen von $k$ zu bestimmen, setzt du $t=8$ in $k$ ein:
$k(8)=(50+25 \cdot 8) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 8}=250 \cdot \mathrm e^{-0,8}\approx 112$
Der Graph von $k$ besitzt also einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(8 \mid 112)$.
$\blacktriangleright$ Wendepunkte bestimmen
Um einen Wendepunkt $\left(x_{\text{W}} \mid k(x_{\text{W}})\right)$ des Graphen von $k$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $k''(x_{\text{W}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $k'''(x_{\text{W}}) \neq 0$
Überprüfe also, ob die zweite Ableitung $k''$ eine Nullstelle besitzt (Notwendiges Bedingung) und ob die dritte Ableitung $k'''$ an der gefundenen Stelle ungleich Null ist (Hinreichende Bedingung).
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Die zweite Ableitung $k''$ hast du bereits in deinem CAS definiert. Setze diese gleich Null und löse die Gleichung mit dem solve-Befehl.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Die Funktion $k$ hat eine potentielle Wendestelle bei $t=18$. Definiere nun die dritte Ableitung $k'''$ in deinem CAS. Prüfe dann die hinreichende Bedingung. Wird diese erfüllt, kannst du den Wert $t=18$ in den Funktionsterm von $k$ einsetzen, um die vollständigen Koordinaten des Wendepunktes des Graphen zu erhalten.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Die hinreichende Bedingung wird erfüllt. Der Graph von $k$ hat einen Wendepunkt $W$ mit den Koordinaten $W(18\mid82,6)$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Die zweite Ableitung $k''$ hast du in der Aufgabe gegeben. Um diese nun auf Nullstellen zu überprüfen, setzt du die Funktionsgleichung gleich Null.
$\begin{array}{rll} k''(t)\stackrel{!}{=}&0&\scriptsize \mid \ k''(t) \text{ einsetzen} \\[5pt] (-4,5 + 0,25t)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}=&0&\scriptsize \ \text{Nutze den Satz vom Nullprodukt. Da } \mathrm e^{-0,1\cdot t} > 0 \text{ ist, betrachte noch }(-4,5 + 0,25t). \\[5pt] (-4,5 + 0,25t)=&0&\scriptsize \mid\ +4,5 \\[5pt] 0,25t=&4,5&\scriptsize \mid\ :4,5 \\[5pt] 18=&t \end{array}$
2. Schritt: 3. Ableitung von $\boldsymbol{k}$ bestimmen
Bestimme die 3. Ableitung von $k$, indem du die bereits berechnete Funktionsgleichung $k''(t)=(-4,5 + 0,25t)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}$ mit der Produkt- und Kettenregel ableitest:
$\begin{array}{rll} k''(t)&=&(-4,5 + 0,25t)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}\\[5pt] k'''(t)&=&0,25\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} + (-4,5+0,25t) \cdot (-0,1) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} &\scriptsize \ \text{Produkt- und Kettenregel} \\[5pt] &=&0,25\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} + 0,45\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} - 0,025 \cdot t \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} \\[5pt] &=&(0,7 - 0,025t)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} \end{array}$
3. Schritt: Hinreichende Bedingung bei $\boldsymbol{t=18}$ überprüfen
Setze nun $t=18$ in $k'''$ ein:
$\begin{array}{rll} k'''(t)&=&(0,7 - 0,025t)\cdot \mathrm e^{-0,1t}\\[5pt] k'''(18)&=&(0,7 - 0,025 \cdot 18)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 18}\\[5pt] &=& (0,7 -0,45) \cdot \mathrm e^{-1,8}\\[5pt] &=& 0,25 \cdot \mathrm e^{-1,8}\\[5pt] &\approx & 0,04 \neq 0 \end{array}$
Damit besitzt die Funktion $k$ an der Stelle $t=18$ eine Wendestelle.
Um nun die vollständigen Koordinaten des Wendepunkts $W$ des Graphen von $k$ zu bestimmen, setzt du $t=8$ in $k$ ein:
$k(18)=(50+25 \cdot 18) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 18}=500 \cdot \mathrm e^{-1,8}\approx 82,6$
Der Graph von $k$ besitzt also im Punkt $W(18 \mid 82,6)$ einen Wendepunkt.
$\blacktriangleright$ Grenzwertverhalten begründen
Betrachte das Verhalten des Funktionsterms von $k$ für $t \rightarrow \infty$. Der Funktionsterm von $k$ lautet: $(50+25t) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}$.
Untersuche dazu das Grenzwertverhalten einzelner Komponenten des Funktionsterms. Anhand der Stärke des jeweiligen Wachstums kannst du das Grenzwertverhalten des gesamten Funktionsterms begründen.
Somit setzt sich der Funktionsterm von $k$ aus folgenden beiden Komponenten zusammen:
$(50+25t)$ besitzt lineares Wachstum, also gilt:
$\lim \limits_{t\rightarrow \infty} (50+25t) = \infty$
$\mathrm e^{-0,1\cdot t}$ besitzt exponentielles Wachstum, also gilt:
$\lim \limits_{t\rightarrow \infty} e^{-0,1\cdot t} = \dfrac{1}{\lim \limits_{t\rightarrow \infty} e^{0,1\cdot t}} = 0$
Nun weißt du, dass exponentielles Wachstum $(\mathrm e^{-0,1\cdot t})$ stärker als lineares Wachstum $(50+25t)$ ist. Damit kannst du für das Grenzwertverhalten des Funktionsterms von $k$ folgern:
$\lim \limits _{t\rightarrow \infty} \left((50+25t)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} \right)= \lim \limits_{t\rightarrow \infty} (50+25t) \cdot \lim \limits _{t\rightarrow \infty} \mathrm e^{-0,1\cdot t} = 0$.
Der Graph nähert sich also für $t\rightarrow \infty$ der Null an.
2. $\blacktriangleright$  Zeiten bestimmen
Bei dieser Aufgabe sollst du bestimmen, zu welchen Zeiten die Population größer als $100.000$ Käfer ist. Um dies zu bestimmen setzt du die Anzahl der Käfer mit dem Funktionsterm von $k$ gleich. Beachte dabei, dass eine Einheit der Funktionswerte einer Anzahl von $1.000$ Käfern entspricht. Du musst demnach folgende Gleichung lösen:
$\begin{array}[t]{rll} (50+25t)\cdot\mathrm e^{-0,1t}&=&\dfrac{100.000}{1.000} \\[5pt] (50+25t)\cdot\mathrm e^{-0,1t}&=&100 \end{array}$
Diese Gleichung kannst du mit dem CAS lösen.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
In den Zeiten für $3,9<t<13,6$ ist die Population größer als $100.000$ Käfer.
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Zunahme der Population berechnen
Nun sollst du berechnen, wie stark die Population in den ersten $6$ Jahren durchschnittlich pro Jahr zunimmt. Dazu berechnest du die durschnittliche Änderungsrate:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Änderungsrate}&=&\dfrac{k(t_2)-k(t_1}{t_2-t_1} \end{array}$
Da du die durschnittliche Änderungsrate der ersten $6$ Jahre berechnen sollst, benötigst du die Funktionswerte an den Stellen $t_1=0$ und $t_2=6$.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Beachte dabei die Einheit der Funktionswerte.
In den ersten $6$ Jahren ändert sich die Population mit ca. $9.960\,\dfrac{\text{Käfern}}{\text{Jahr}}$.
3. $\blacktriangleright$ Entwicklung der Käferpopulation beschreiben
Lasse dir zunächst den Graphen von $k$ mit deinem CAS anzeigen für das bessere Verständnis. Zeichne dabei auch den Graphen der Ableitung $k'$, da dieser der Wachstumsgeschwindigkeit entspricht. Der Graph von $k$ entspricht der Populationsgröße. Beachte dabei, dass eine Einheit der Funktionswerte $1.000$ Käfern entspricht.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Da $k(0)=50$, ist der Anfangsbestand der Käferpopulation $50.000$ Käfer.
Die Populationsgröße wächst bis zum Hochpunkt $H(8 \mid 112)$, da die Wachstumsgeschwindigkeit bis zum Hochpunkt positiv ist, was du an der positiven Änderungsrate $k'$ im Intervall $[0,8)$ erkennen kannst.
Im Hochpunkt beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit gleich Null, da $k'(t)=0$. Somit ändert sich die Populationgröße hier nicht, die Käferpopulation hat hier den höchsten Wert mit $112.000$ Käfern.
Anhand des Graphen von $k$ erkennst du, dass die Käferpopulation nach dem Hochpunkt abnimmt. Dies kannst du mit der negativen Wachstumsgeschwindigkeit ($k'< 0$) erklären. Dabei wird der Betrag $\left| k'(t) \right|$ bis zum Wendepunkt $W(18 \mid 83)$ immer größer, d.h. die Käferpopulation wird im Intervall $(8,18)$ immer stärker dezimiert.
Im Wendepunkt $W(18 \mid 82,6)$ beträgt die Populationgröße $82.600$ Käfer. Da $k'$ an der Stelle $t=18$ einen Hochpunkt besitzt, wird die Populationsgröße hier am stärksten dezimiert, die Wachstumsgeschwindigkeit ist minimal.
Nach dem Wendepunkt nimmt die Käferpopulation weiterhin ab. Da $k(t) \longrightarrow 0 \text{ für } t \rightarrow \infty$, nähert sich die Populationsgröße im Laufe der Zeit immer näher der $0$ an, d.h. die Käferpopulation stirbt langsam aus. Die Wachstumsgeschwindigkeit bleibt im Intervall $(18, \infty)$ also negativ, wobei ihr Betrag immer kleiner wird.
4. $\blacktriangleright$ Stammfunktion nachweisen
Ist $K$ eine Stammfunktion von $k$, so entspricht die erste Ableitungsfunktion $K'$ gerade wieder $k$. Leite also die angegebene Funktion $K(t)$ mit der Produkt- und Kettenregel ab und prüfe, ob die Ableitung mit $k(t)$ übereinstimmt.
$\begin{array}{rll} K'(t)=& -250 \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot t} + (-250t-3.000) \cdot (-0,1) \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot t} &\scriptsize \ \text{Produkt- und Kettenregel} \\[5pt] =& -250 \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot t} + 300 \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot t} + 25t \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot t} \\[5pt] =& (50+25t) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} \\[5pt] =& k(t) \end{array}$
Also ist $K$ eine Stammfunktion von $k$.
$\blacktriangleright$ Integral berechnen
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Das Integral kannst du mit deinem CAS berechnen. Wechsle dazu mit deinem CAS in das Calc-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $k$. Hast du diesen dort gespeichert, kannst du das Integral mit folgendem Befehl berechnen:
4: Analysis $\to$ 3: Integral
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Damit ist der Wert des Integrals ca. $32.600$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Da $K(t)$ eine Stammfunktion von $k(t)$ ist, kannst du das gegebene Integral mit dem Hauptsatz der Integralrechnung wie folgt berechnen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{1.000}{30} \cdot \displaystyle\int_{20}^{50} k(t) \mathrm dt =& \dfrac{1.000}{30} \cdot \left[ K(t) \right]_{20}^{50} \\[5pt] =& \dfrac{1.000}{30} \cdot \left[ (-250t-3.000) \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot t} \right]_{20}^{50} \\[5pt] =& \dfrac{1.000}{30} \cdot \left((-250 \cdot 50-3.000) \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot 50} - (-250 \cdot 20-3.000) \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot 20} \right) \\[5pt] =& \dfrac{1.000}{30} \cdot \left((-12.500-3.000) \cdot \mathrm e^{-5} - (-5.000-3.000) \cdot \mathrm e^{-2} \right) \\[5pt] =& \dfrac{1.000}{30} \cdot \left(-15.500 \cdot \mathrm e^{-5} + 8.000 \cdot \mathrm e^{-2} \right) \\[5pt] =& -\dfrac{15.500.000}{30} \cdot \mathrm e^{-5} + \dfrac{8.000.000}{30} \cdot \mathrm e^{-2} \\[5pt] \approx& 32.608 \end{array}$
Damit ist der Wert des Integrals ca. $32.600$.
$\blacktriangleright$ Integral im Sachzusammenhang deuten
Nutze die Formel für den durchschnittlichen Funktionswert unter einem Graphen einer Funktion $k$.
Durchschnittlicher Funktionswert im Intervall $[a,b]$ einer Funktion $k$
$\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} k(t) \mathrm dt$
Mit
$\dfrac{1}{30}\displaystyle\int_{20}^{50} k(t) \mathrm dt$
berechnest du also den durchschnittlichen Funktionswert unter dem Graphen von $k$ von $t=20$ bis $t=50$, was der durchschnittlichen Käferpopulation vom Jahr $20$ bis $50$ entspricht.
Laut Aufgabenstellung entspricht eine Einheit der Funktionswerte $1.000$ Käfern, also erhältst du durch
$\dfrac{1.000}{30} \cdot \displaystyle\int_{20}^{50} k(t) \mathrm dt$
die durchschnittliche Anzahl der Käfer im Zeitraum von Jahr $20$ bis $50$ (eine Einheit der t-Werte entspricht laut Aufgabenstellung einem Jahr).
5. $\blacktriangleright$ Momentane Wachstumsgeschwindigkeit berechnen
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Wie du in Aufgabe 3. festgestellt hast, wird die Wachstumsgeschwindigkeit durch die 1. Ableitung $k'$ beschrieben. Da du dir den Funktionsterm von $k$ bereits in deinem CAS gespeichert hast, kannst du dir über
4: Analysis $\to$ 2: Ableitung an einem Punkt…
den gesuchten Wert bei $t=55$ berechnen lassen:
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Somit beträgt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle $t=55$ etwa $-0,48$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit bei $t=55$ erhältst du durch Einsetzen in $k'$:
$k'(55)=(20-2,5 \cdot 55) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 55}= -117,5 \cdot \mathrm e^{-5,5} \approx -0,48$
Also ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle $t=55$ gerade $-0,48$.
$\blacktriangleright$ Neue Funktionsgleichung bestimmen
Da an der Stelle $t=55$ ein lineares Wachstum für die Käferpopulation angenommen wird, beschreibt die Tangente $f$ an den Graphen von $k$ an der Stelle $t = 55$ den weiteren Verlauf. Ermittle also die Funktionsgleichung der Tangente. Zum besseren Verständnis kann dir folgende Skizze helfen:
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Der allgemeine Ansatz für die Funktionsgleichung einer Geraden ist:
$f(t)=a \cdot t + b$
Die Funktionsgleichung der Tangente von $k$ entspricht einer Geraden, da die Tangente linear ist.
Zudem besitzt die Tangente die Steigung $k'(55)$, da dies die momentane Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle $t=55$ ist. Also gilt $a=k(55)=-0,48$.
Den $y$-Achsenabschnitt $b$ der Tangente $f$ erhältst du, indem du ausnutzt, dass die Tangente an der Stelle $t=55$ denselben $y$-Wert wie der Graph von $k$ besitzt, also
$f(55)=k(55)$
gilt:
$\begin{array}{rrll} f(55) =& -0,48 \cdot 55 + b \stackrel{!}= &(50+25 \cdot 55) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 55}=& k(55) \\[5pt] &-26,4+b = &5,82 &\scriptsize \mid \ +26,4 \\[5pt] &b=& 32,22 \end{array}$
Nun hast du die vollständige Funktionsgleichung $f(t)=32,22 - 0,48 \cdot t$ ermittelt.
$\blacktriangleright$ Voraussichtlichen Zeitpunkt des Aussterbens der Käferpopulation berechnen
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Da $f$ die Population der Käfer ab $t=55$ angibt, entspricht die Nullstelle von $f$ gerade dem Zeitpunkt des Aussterbens. Setze also $f(t)=0$ und löse mit deinem CAS. Speichere dort den Funktionsterm von $f$. Hast du diesen dort gespeichert, dann löse die Gleichung mit dem solve-Befehl anzeigen.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Somit ist der voraussichtliche Zeitpunkt des Aussterbens der Käferpopulation $t=67,125$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Da $f$ die Population der Käfer ab $t=55$ angibt, entspricht die Nullstelle von $f$ gerade dem Zeitpunkt des Aussterbens. Setze also $f(t)=0$ und löse wie folgt:
$\begin{array}{rll} f(t) \stackrel{!}=& 0 &\scriptsize \mid \ \text{Einsetzen} \\[5pt] 32,22 - 0,48 \cdot t=&0 &\scriptsize \mid \ -32,22 \\[5pt] - 0,48 \cdot t=&-32,22 &\scriptsize \mid \ : (-0,48) \\[5pt] t=&67,125 \end{array}$
Der voraussichtliche Zeitpunkt des Aussterbens der Käferpopulation ist also $t=67,125$. D.h. nach ca. $67$ Jahren ist die Käferpopulation ausgestorben.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF
1. $\blacktriangleright$ Erste Ableitung $\boldsymbol{k'}$ bestimmen
Um die erste Ableitung $k'$ der Funktion $k(t)=(50+25t)\cdot\mathrm e^{-0,1t}$ zu berechnen benötigst du die Produktregel und die Kettenregel.
$\begin{array}[t]{rll} k(t)&=&(50+25t)\cdot\mathrm e^{-0,1t} \\[5pt] k'(t)&=&25\cdot\mathrm e^{-0,1t}+(50+25t)\cdot(-0,1)\cdot\mathrm e^{-0,1t}\\[5pt] k'(t)&=&(25-5-2,5t)\cdot\mathrm e^{-0,1t}\\[5pt] k'(t)&=&(20-2,5t)\cdot\mathrm e^{-0,1t} \end{array}$
Alternativ kannst du dir die erste Ableitung $k'$ auch mit dem CAS anzeigen lassen.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Die erste Ableitung $k'$ kannst du auch vereinfacht so schreiben: $k'(t)=(20-2,5t)\cdot\mathrm e^{-0,1t}$
$\blacktriangleright$ Extrempunkte bestimmen
Um einen Extrempunkt $\left(x_{\text{E}} \mid k(x_{\text{E}})\right)$ des Graphen einer Funktion $k$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $k'(x_{\text{E}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung:
    • $k''(x_{\text{E}}) < 0$ $\Rightarrow$ Hochpunkt des Graphen von $k$ an der Stelle $x_{\text{E}}$.
      $k''(x_{\text{E}}) > 0$ $\Rightarrow$ Tiefpunkt des Graphen von $k$ an der Stelle $x_{\text{E}}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Definiere in deinem CAS den Funktionsterm von $k$ und die erste Ableitung. Überprüfe dann die notwendige Bedingung mit dem solve-Befehl.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Du erhältst eine potentielle Extremstelle bei $t=8$.
Überprüfe nun mit der hinreichende Bedingung, ob es sich tatsächlich um eine Extremstelle handelt. Definiere dazu die zweite Ableitung $k''$ in deinem CAS und berechne $k''(8)$. Handelt es sich um eine Extremstelle, setzt du den Wert $t=8$ in den Funktionsterm von $k$ ein, um die $y$-Koordinate des Extrempunktes des Graphen zu berechnen.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Die zweite Ableitung $k''$ ist an der Stelle $t=8$ kleiner als Null. Das bedeutet, dass der Graph von $k$ einen Hochpunkt $H$ hat. Dieser hat die Koordinaten $H(8\mid112)$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Die erste Ableitung $k'$ hast du bereits gebildet. Um diese auf Nullstellen zu überprüfen, setzt du den Funktionsterm gleich Null.
$\begin{array}{rll} k'(t)\stackrel{!}{=}&0&\scriptsize \mid \ k'(t) \text{ einsetzen} \\[5pt] (20-2,5t) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}=&0&\scriptsize \ \text{Nutze den Satz vom Nullprodukt. Da } \mathrm e^{-0,1\cdot t} > 0 \text{ ist, betrachte noch }(20-2,5t). \\[5pt] (20-2,5t)=&0&\scriptsize \mid\ +2,5t \\[5pt] 20=&2,5t&\scriptsize \mid\ :2,5 \\[5pt] 8=&t \end{array}$
2. Schritt: Hinreichende Bedingung bei $\boldsymbol{t=8}$ überprüfen
Setze nun $t=8$ in $k''$ ein. Die zweite Ableitung $k''$ hast du in der Aufgabenstellung gegeben.
$\begin{array}{rll} k''(t)&=&(-4,5 + 0,25t) \cdot \mathrm e^{-0,1t}\\[5pt] k''(8)&=&(-4,5 + 0,25 \cdot 8) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 8}\\[5pt] &=& (-4,5 + 2) \cdot \mathrm e^{-0,8}\\[5pt] &=& -2,5 \cdot \mathrm e^{-0,8}<0 \end{array}$
Damit besitzt die Funktion $k$ an der Stelle $t=8$ ein Maximum.
Um die vollständigen Koordinaten des Hochpunkts $H$ des Graphen von $k$ zu bestimmen, setzt du $t=8$ in $k$ ein:
$k(8)=(50+25 \cdot 8) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 8}=250 \cdot \mathrm e^{-0,8}\approx 112$
Der Graph von $k$ besitzt also einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(8 \mid 112)$.
$\blacktriangleright$ Wendepunkte bestimmen
Um einen Wendepunkt $\left(x_{\text{W}} \mid k(x_{\text{W}})\right)$ des Graphen von $k$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $k''(x_{\text{W}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $k'''(x_{\text{W}}) \neq 0$
Überprüfe also, ob die zweite Ableitung $k''$ eine Nullstelle besitzt (Notwendiges Bedingung) und ob die dritte Ableitung $k'''$ an der gefundenen Stelle ungleich Null ist (Hinreichende Bedingung).
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Die zweite Ableitung $k''$ hast du bereits in deinem CAS definiert. Setze diese gleich Null und löse die Gleichung mit dem solve-Befehl.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Die Funktion $k$ hat eine potentielle Wendestelle bei $t=18$. Definiere nun die dritte Ableitung $k'''$ in deinem CAS. Prüfe dann die hinreichende Bedingung. Wird diese erfüllt, kannst du den Wert $t=18$ in den Funktionsterm von $k$ einsetzen, um die vollständigen Koordinaten des Wendepunktes des Graphen zu erhalten.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Die hinreichende Bedingung wird erfüllt. Der Graph von $k$ hat einen Wendepunkt $W$ mit den Koordinaten $W(18\mid82,6)$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Die zweite Ableitung $k''$ hast du in der Aufgabe gegeben. Um diese nun auf Nullstellen zu überprüfen, setzt du die Funktionsgleichung gleich Null.
$\begin{array}{rll} k''(t)\stackrel{!}{=}&0&\scriptsize \mid \ k''(t) \text{ einsetzen} \\[5pt] (-4,5 + 0,25t)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}=&0&\scriptsize \ \text{Nutze den Satz vom Nullprodukt. Da } \mathrm e^{-0,1\cdot t} > 0 \text{ ist, betrachte noch }(-4,5 + 0,25t). \\[5pt] (-4,5 + 0,25t)=&0&\scriptsize \mid\ +4,5 \\[5pt] 0,25t=&4,5&\scriptsize \mid\ :4,5 \\[5pt] 18=&t \end{array}$
2. Schritt: 3. Ableitung von $\boldsymbol{k}$ bestimmen
Bestimme die 3. Ableitung von $k$, indem du die bereits berechnete Funktionsgleichung $k''(t)=(-4,5 + 0,25t)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}$ mit der Produkt- und Kettenregel ableitest:
$\begin{array}{rll} k''(t)&=&(-4,5 + 0,25t)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}\\[5pt] k'''(t)&=&0,25\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} + (-4,5+0,25t) \cdot (-0,1) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} &\scriptsize \ \text{Produkt- und Kettenregel} \\[5pt] &=&0,25\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} + 0,45\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} - 0,025 \cdot t \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} \\[5pt] &=&(0,7 - 0,025t)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} \end{array}$
3. Schritt: Hinreichende Bedingung bei $\boldsymbol{t=18}$ überprüfen
Setze nun $t=18$ in $k'''$ ein:
$\begin{array}{rll} k'''(t)&=&(0,7 - 0,025t)\cdot \mathrm e^{-0,1t}\\[5pt] k'''(18)&=&(0,7 - 0,025 \cdot 18)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 18}\\[5pt] &=& (0,7 -0,45) \cdot \mathrm e^{-1,8}\\[5pt] &=& 0,25 \cdot \mathrm e^{-1,8}\\[5pt] &\approx & 0,04 \neq 0 \end{array}$
Damit besitzt die Funktion $k$ an der Stelle $t=18$ eine Wendestelle.
Um nun die vollständigen Koordinaten des Wendepunkts $W$ des Graphen von $k$ zu bestimmen, setzt du $t=8$ in $k$ ein:
$k(18)=(50+25 \cdot 18) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 18}=500 \cdot \mathrm e^{-1,8}\approx 82,6$
Der Graph von $k$ besitzt also im Punkt $W(18 \mid 82,6)$ einen Wendepunkt.
$\blacktriangleright$ Grenzwertverhalten begründen
Betrachte das Verhalten des Funktionsterms von $k$ für $t \rightarrow \infty$. Der Funktionsterm von $k$ lautet: $(50+25t) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}$.
Untersuche dazu das Grenzwertverhalten einzelner Komponenten des Funktionsterms. Anhand der Stärke des jeweiligen Wachstums kannst du das Grenzwertverhalten des gesamten Funktionsterms begründen.
Somit setzt sich der Funktionsterm von $k$ aus folgenden beiden Komponenten zusammen:
$(50+25t)$ besitzt lineares Wachstum, also gilt:
$\lim \limits_{t\rightarrow \infty} (50+25t) = \infty$
$\mathrm e^{-0,1\cdot t}$ besitzt exponentielles Wachstum, also gilt:
$\lim \limits_{t\rightarrow \infty} e^{-0,1\cdot t} = \dfrac{1}{\lim \limits_{t\rightarrow \infty} e^{0,1\cdot t}} = 0$
Nun weißt du, dass exponentielles Wachstum $(\mathrm e^{-0,1\cdot t})$ stärker als lineares Wachstum $(50+25t)$ ist. Damit kannst du für das Grenzwertverhalten des Funktionsterms von $k$ folgern:
$\lim \limits _{t\rightarrow \infty} \left((50+25t)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} \right)= \lim \limits_{t\rightarrow \infty} (50+25t) \cdot \lim \limits _{t\rightarrow \infty} \mathrm e^{-0,1\cdot t} = 0$.
Der Graph nähert sich also für $t\rightarrow \infty$ der Null an.
2. $\blacktriangleright$  Zeiten bestimmen
Bei dieser Aufgabe sollst du bestimmen, zu welchen Zeiten die Population größer als $100.000$ Käfer ist. Um dies zu bestimmen setzt du die Anzahl der Käfer mit dem Funktionsterm von $k$ gleich. Beachte dabei, dass eine Einheit der Funktionswerte einer Anzahl von $1.000$ Käfern entspricht. Du musst demnach folgende Gleichung lösen:
$\begin{array}[t]{rll} (50+25t)\cdot\mathrm e^{-0,1t}&=&\dfrac{100.000}{1.000} \\[5pt] (50+25t)\cdot\mathrm e^{-0,1t}&=&100 \end{array}$
Diese Gleichung kannst du mit dem CAS lösen.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
In den Zeiten für $3,9<t<13,6$ ist die Population größer als $100.000$ Käfer.
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Zunahme der Population berechnen
Nun sollst du berechnen, wie stark die Population in den ersten $6$ Jahren durchschnittlich pro Jahr zunimmt. Dazu berechnest du die durschnittliche Änderungsrate:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Änderungsrate}&=&\dfrac{k(t_2)-k(t_1}{t_2-t_1} \end{array}$
Da du die durschnittliche Änderungsrate der ersten $6$ Jahre berechnen sollst, benötigst du die Funktionswerte an den Stellen $t_1=0$ und $t_2=6$.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Beachte dabei die Einheit der Funktionswerte.
In den ersten $6$ Jahren ändert sich die Population mit ca. $9.960\,\dfrac{\text{Käfern}}{\text{Jahr}}$.
3. $\blacktriangleright$ Entwicklung der Käferpopulation beschreiben
Lasse dir zunächst den Graphen von $k$ mit deinem CAS anzeigen für das bessere Verständnis. Zeichne dabei auch den Graphen der Ableitung $k'$, da dieser der Wachstumsgeschwindigkeit entspricht. Der Graph von $k$ entspricht der Populationsgröße. Beachte dabei, dass eine Einheit der Funktionswerte $1.000$ Käfern entspricht.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Da $k(0)=50$, ist der Anfangsbestand der Käferpopulation $50.000$ Käfer.
Die Populationsgröße wächst bis zum Hochpunkt $H(8 \mid 112)$, da die Wachstumsgeschwindigkeit bis zum Hochpunkt positiv ist, was du an der positiven Änderungsrate $k'$ im Intervall $[0,8)$ erkennen kannst.
Im Hochpunkt beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit gleich Null, da $k'(t)=0$. Somit ändert sich die Populationgröße hier nicht, die Käferpopulation hat hier den höchsten Wert mit $112.000$ Käfern.
Anhand des Graphen von $k$ erkennst du, dass die Käferpopulation nach dem Hochpunkt abnimmt. Dies kannst du mit der negativen Wachstumsgeschwindigkeit ($k'< 0$) erklären. Dabei wird der Betrag $\left| k'(t) \right|$ bis zum Wendepunkt $W(18 \mid 83)$ immer größer, d.h. die Käferpopulation wird im Intervall $(8,18)$ immer stärker dezimiert.
Im Wendepunkt $W(18 \mid 82,6)$ beträgt die Populationgröße $82.600$ Käfer. Da $k'$ an der Stelle $t=18$ einen Hochpunkt besitzt, wird die Populationsgröße hier am stärksten dezimiert, die Wachstumsgeschwindigkeit ist minimal.
Nach dem Wendepunkt nimmt die Käferpopulation weiterhin ab. Da $k(t) \longrightarrow 0 \text{ für } t \rightarrow \infty$, nähert sich die Populationsgröße im Laufe der Zeit immer näher der $0$ an, d.h. die Käferpopulation stirbt langsam aus. Die Wachstumsgeschwindigkeit bleibt im Intervall $(18, \infty)$ also negativ, wobei ihr Betrag immer kleiner wird.
4. $\blacktriangleright$ Stammfunktion nachweisen
Ist $K$ eine Stammfunktion von $k$, so entspricht die erste Ableitungsfunktion $K'$ gerade wieder $k$. Leite also die angegebene Funktion $K(t)$ mit der Produkt- und Kettenregel ab und prüfe, ob die Ableitung mit $k(t)$ übereinstimmt.
$\begin{array}{rll} K'(t)=& -250 \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot t} + (-250t-3.000) \cdot (-0,1) \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot t} &\scriptsize \ \text{Produkt- und Kettenregel} \\[5pt] =& -250 \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot t} + 300 \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot t} + 25t \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot t} \\[5pt] =& (50+25t) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} \\[5pt] =& k(t) \end{array}$
Also ist $K$ eine Stammfunktion von $k$.
$\blacktriangleright$ Integral berechnen
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Das Integral kannst du mit deinem CAS berechnen. Wechsle dazu mit deinem CAS in das Calc-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $k$. Hast du diesen dort gespeichert, kannst du das Integral mit folgendem Befehl berechnen:
Interactive $\to$ Calculation $\to$ $\displaystyle\int$
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Damit ist der Wert des Integrals ca. $32.600$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Da $K(t)$ eine Stammfunktion von $k(t)$ ist, kannst du das gegebene Integral mit dem Hauptsatz der Integralrechnung wie folgt berechnen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{1.000}{30} \cdot \displaystyle\int_{20}^{50} k(t) \mathrm dt =& \dfrac{1.000}{30} \cdot \left[ K(t) \right]_{20}^{50} \\[5pt] =& \dfrac{1.000}{30} \cdot \left[ (-250t-3.000) \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot t} \right]_{20}^{50} \\[5pt] =& \dfrac{1.000}{30} \cdot \left((-250 \cdot 50-3.000) \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot 50} - (-250 \cdot 20-3.000) \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot 20} \right) \\[5pt] =& \dfrac{1.000}{30} \cdot \left((-12.500-3.000) \cdot \mathrm e^{-5} - (-5.000-3.000) \cdot \mathrm e^{-2} \right) \\[5pt] =& \dfrac{1.000}{30} \cdot \left(-15.500 \cdot \mathrm e^{-5} + 8.000 \cdot \mathrm e^{-2} \right) \\[5pt] =& -\dfrac{15.500.000}{30} \cdot \mathrm e^{-5} + \dfrac{8.000.000}{30} \cdot \mathrm e^{-2} \\[5pt] \approx& 32.608 \end{array}$
Damit ist der Wert des Integrals ca. $32.600$.
$\blacktriangleright$ Integral im Sachzusammenhang deuten
Nutze die Formel für den durchschnittlichen Funktionswert unter einem Graphen einer Funktion $k$.
Durchschnittlicher Funktionswert im Intervall $[a,b]$ einer Funktion $k$
$\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} k(t) \mathrm dt$
Mit
$\dfrac{1}{30}\displaystyle\int_{20}^{50} k(t) \mathrm dt$
berechnest du also den durchschnittlichen Funktionswert unter dem Graphen von $k$ von $t=20$ bis $t=50$, was der durchschnittlichen Käferpopulation vom Jahr $20$ bis $50$ entspricht.
Laut Aufgabenstellung entspricht eine Einheit der Funktionswerte $1.000$ Käfern, also erhältst du durch
$\dfrac{1.000}{30} \cdot \displaystyle\int_{20}^{50} k(t) \mathrm dt$
die durchschnittliche Anzahl der Käfer im Zeitraum von Jahr $20$ bis $50$ (eine Einheit der t-Werte entspricht laut Aufgabenstellung einem Jahr).
5. $\blacktriangleright$ Momentane Wachstumsgeschwindigkeit berechnen
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Wie du in Aufgabe 3. festgestellt hast, wird die Wachstumsgeschwindigkeit durch die 1. Ableitung $k'$ beschrieben. Da du dir den Funktionsterm von $k$ bereits in deinem CAS gespeichert hast, kannst du dir über
Interactive $\to$ Calculation $\to$ diff
den gesuchten Wert bei $t=55$ berechnen lassen:
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Somit beträgt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle $t=55$ etwa $-0,48$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit bei $t=55$ erhältst du durch Einsetzen in $k'$:
$k'(55)=(20-2,5 \cdot 55) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 55}= -117,5 \cdot \mathrm e^{-5,5} \approx -0,48$
Also ist die momentane Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle $t=55$ gerade $-0,48$.
$\blacktriangleright$ Neue Funktionsgleichung bestimmen
Da an der Stelle $t=55$ ein lineares Wachstum für die Käferpopulation angenommen wird, beschreibt die Tangente $f$ an den Graphen von $k$ an der Stelle $t = 55$ den weiteren Verlauf. Ermittle also die Funktionsgleichung der Tangente. Zum besseren Verständnis kann dir folgende Skizze helfen:
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Der allgemeine Ansatz für die Funktionsgleichung einer Geraden ist:
$f(t)=a \cdot t + b$
Die Funktionsgleichung der Tangente von $k$ entspricht einer Geraden, da die Tangente linear ist.
Zudem besitzt die Tangente die Steigung $k'(55)$, da dies die momentane Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle $t=55$ ist. Also gilt $a=k(55)=-0,48$.
Den $y$-Achsenabschnitt $b$ der Tangente $f$ erhältst du, indem du ausnutzt, dass die Tangente an der Stelle $t=55$ denselben $y$-Wert wie der Graph von $k$ besitzt, also
$f(55)=k(55)$
gilt:
$\begin{array}{rrll} f(55) =& -0,48 \cdot 55 + b \stackrel{!}= &(50+25 \cdot 55) \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 55}=& k(55) \\[5pt] &-26,4+b = &5,82 &\scriptsize \mid \ +26,4 \\[5pt] &b=& 32,22 \end{array}$
Nun hast du die vollständige Funktionsgleichung $f(t)=32,22 - 0,48 \cdot t$ ermittelt.
$\blacktriangleright$ Voraussichtlichen Zeitpunkt des Aussterbens der Käferpopulation berechnen
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Da $f$ die Population der Käfer ab $t=55$ angibt, entspricht die Nullstelle von $f$ gerade dem Zeitpunkt des Aussterbens. Setze also $f(t)=0$ und löse mit deinem CAS. Speichere dort den Funktionsterm von $f$. Hast du diesen dort gespeichert, dann löse die Gleichung mit dem solve-Befehl anzeigen.
A1 -  Analysis
A1 -  Analysis
Somit ist der voraussichtliche Zeitpunkt des Aussterbens der Käferpopulation $t=67,125$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Da $f$ die Population der Käfer ab $t=55$ angibt, entspricht die Nullstelle von $f$ gerade dem Zeitpunkt des Aussterbens. Setze also $f(t)=0$ und löse wie folgt:
$\begin{array}{rll} f(t) \stackrel{!}=& 0 &\scriptsize \mid \ \text{Einsetzen} \\[5pt] 32,22 - 0,48 \cdot t=&0 &\scriptsize \mid \ -32,22 \\[5pt] - 0,48 \cdot t=&-32,22 &\scriptsize \mid \ : (-0,48) \\[5pt] t=&67,125 \end{array}$
Der voraussichtliche Zeitpunkt des Aussterbens der Käferpopulation ist also $t=67,125$. D.h. nach ca. $67$ Jahren ist die Käferpopulation ausgestorben.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App