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A2 - Analysis

Aufgaben
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Die Energie der Sonnenstrahlung kann mittels Photovoltaik in elektrische Energie umgewandelt werden. Das hessische statistische Landesamt hat im Februar 2017 folgende Werte für die im jeweiligen Jahr insgesamt auf diesem Weg in Hessen erzeugte elektrische Energie veröffentlicht.
Jahr$1995 $$2000 $$ 2003$$2005 $$2009 $$2010 $$2011 $$2012 $$2013 $$2014 $$2015 $
Energie in Mio. $\text{kWh}$ im Jahr$ 0,1$$ 0,7$$19,6 $$ 64,1$$352,9 $$614,3$$973,5$$1.261,6$$1.393,8$$1.520,3$$1.631,3$
JahrEnergie in Mio. $\text{kWh}$ im Jahr
$1995 $$0,1 $
$2000 $$0,7 $
$ 2003$$19,6 $
$ 2005$$ 64,1 $
$2009 $$352,9 $
$2010 $$614,3 $
$2011 $$973,5 $
$2012 $$1.261,6 $
$2013 $$1.393,8 $
$2014 $$ 1.520,3$
$2015 $$ 1.631,3$
Hessisches Statistisches Landesamt (Hrsg.): Energieversorgung in Hessen im November 2016 (2017), URL: https://statistik.hessen.de/sites/
statistik.hessen.de/files/
EIV1_EIV2_EIV3m_16-11.pdf (abgerufen am 03.09.2017).
Die Entwicklung der im Zeitraum von Beginn des Jahres 1995 bis einschließlich 2015 in Hessen durch Photovoltaik erzeugten elektrischen Energie soll mathematisch modelliert werden.
1
Im Material sind die Tabellenwerte in einem Säulendiagramm dargestellt. Das Jahr 2000 wird als Zeitpunkt $t = 0$ betrachtet. Bestimmt man mit einem gängigen Verfahren eine Trendlinie für die Tabellenwerte im Intervall $[–5; 10],$ so erhält man eine Funktion $f_1$ mit
$f_1(t) = 1,7627 \mathrm e^{0,6074 \cdot t} ,$ $− 5 \leq t \leq 10 .$
1.1
Bestimme für diese Funktion den Wert des Terms
$\begin{array}[t]{rll} \Delta=& \frac{1}{6}\cdot [(0,1-f_1(-5))^2 + (0,7-f_1(0))^2 + (19,6-f_1(3))^2\\[5pt] & + (64,1-f_1(5))^2 + (352,9-f_1(9))^2 +(614,3-f_1(10))^2] \end{array}$
$ \Delta = … $
und erläutere dessen Bedeutung.
(5 BE)
1.2
Verwendet man ein anderes Verfahren zur Bestimmung der Trendlinie, so erhält man die Funktion
$f_2$ mit $f_2(t)= 3,615\cdot \mathrm e^{0,513\cdot t},$ $-5\leq t\leq 10,$ sowie für den Ausdruck $\Delta$ aus Aufgabe 1.1 den Wert $\Delta \approx 81.$
Beurteile, welche der beiden Funktionen $f_1$ und $f_2$ besser geeignet ist, um anhand der Tabellenwerte die Entwicklung der im fraglichen Zeitraum in Hessen durch Photovoltaik erzeugten elektrischen Energie zu modellieren.
(3 BE)
1.3
Für $t \in [10;15]$ wurde durch Regression die Funktion $g$ mit
$g(t) = 1.739,698 − 1.128,845 \cdot \mathrm e^{− 0,407 \cdot ( t −10)}$
$ g(t)=… $
ermittelt.
Begründe, dass die Graphen der Funktionen $f_2$ und $g$ an der Stelle $t = 10$ gut aneinander passen, und nimm unter Einbezug geeigneter Winkel Stellung zu der Aussage: „Sie gehen knickfrei ineinander über.“
(8 BE)
2
Mit einem anderen Ansatz zur Modellierung erhält man die Funktion $h$ mit $h(t)= \dfrac{A}{1 + B \cdot \mathrm e^{− k \cdot t}}$ und $A = 1.643,35,$ $B = 4.840,21,$ $k = 0,8.$
2.1
Gib einen Schätzwert für die im Jahr 2020 in Hessen mittels Photovoltaik erzeugte elektrische Energie anhand dieses Modells an.
(2 BE)
2.2
Begründe, dass der Grenzwert der Funktion $h$ für $t \to \infty$ $1.643,35$ beträgt.
(4 BE)
#grenzwert
2.3
Bestimme den Wert des größten Wachstums von $h$ und deute ihn im Sachzusammenhang.
(7 BE)
3.1
Erläutere die untenstehende Rechnung sowie die mathematische Bedeutung des Wertes $\overline{E}.$
$\begin{array}[t]{rll} (1) &\overline{E}&=& \frac{1}{b-a}\cdot \displaystyle\int_{a}^{b}h(t)\;\mathrm dt \\[5pt] (2)&&=& \frac{1}{b-a}\cdot \left[H(t) \right]_a^b = \frac{1}{b-a}\cdot \left[\frac{A}{k}\cdot \ln \left(B+\mathrm e^{k\dot t} \right) \right]_a^b\\[5pt] (3)&&=& \frac{1}{b-a}\cdot \frac{A}{k}\cdot \left[ \ln\left(B+\mathrm e^{k\cdot b} \right)-\ln\left(B+\mathrm e^{k\cdot a} \right)\right] \\[5pt] (4)&&=& \frac{1}{b-a}\cdot \frac{A}{k}\cdot \ln \left(\frac{B+\mathrm e^{k\cdot b}}{B+\mathrm e^{k\cdot a}} \right) \\[5pt] \end{array}$
$ (1)\, \overline{E} = … $
(7 BE)
#integral
3.2
Ermittle mithilfe der Funktion $h$ die von Beginn des Jahres 1995 bis einschließlich 2015 in Hessen durchschnittlich pro Jahr durch Photovoltaik erzeugte elektrische Energie.
(4 BE)
Material
Säulendiagramm: Stromerzeugungaus Photovoltaik in Hessen 1995, 2000, 2003, 2005 und 2009 bis 2015
A2 - Analysis
Abb. 1: Die Höhe der Säule gibt die im jeweiligen Jahr $t$ (wobei $t=0$ dem Jahr 2000 entspricht) insgesamt mittels Photovoltaik in Hessen erzeugte elektrische Energie an. Für die nicht dargestellten Jahre liegen keine Werte vor.
A2 - Analysis
Abb. 1: Die Höhe der Säule gibt die im jeweiligen Jahr $t$ (wobei $t=0$ dem Jahr 2000 entspricht) insgesamt mittels Photovoltaik in Hessen erzeugte elektrische Energie an. Für die nicht dargestellten Jahre liegen keine Werte vor.
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1.1
$\blacktriangleright$  Wert des Terms berechnenA2 - Analysis
Definiere die Funktion $f_1$ in deinem CAS und berechne anschließend den Wert des Terms.
$\begin{array}[t]{rll} \Delta &=& \frac{1}{6}\cdot [(0,1-f_1(-5))^2 + (0,7-f_1(0))^2 + (19,6-f_1(3))^2\\[5pt] && + (64,1-f_1(5))^2 + (352,9-f_1(9))^2 +(614,3-f_1(10))^2]\\[5pt] &\approx& 4.648,08 \\[5pt] \end{array}$
$ \Delta \approx 4.648,08$
Der Term gibt die mittlere quadratische Abweichung zwischen den tatsächlichen Werten des zwischen 1995 und 2010 in Hessen durch Photovoltaik erzeugten Stroms und der Modellierung dieser Werte durch die Funktion $f_1$ an.
Im Schnitt beträgt die quadrierte Abweichung des Modells mit der Funktion $f_1$ zu den tatsächlichen Werten von 1995 bis 2010 also $4.648$ Mio. $\text{kWh}.$
1.2
$\blacktriangleright$  Eignung beurteilen
$\Delta$ beschreibt die durchschnittliche quadratische Abweichung zwischen den Modellwerten und den tatsächlichen Werten. Je kleiner der Wert $\Delta$ also ist, desto näher liegt die Modellfunktion an den tatsächlichen Werten und desto besser ist die Funktion zur Modellierung geeignet.
Die Funktion $f_2$ ist also besser zur Modellierung geeignet als die Funktion $f_1.$
1.3
$\blacktriangleright$  Begründen, dass die Graphen aneinander passen
$\begin{array}[t]{rll} f_2(10)&=& 3,615\cdot \mathrm e^{0,513\cdot 10} \\[5pt] &\approx& 611,0 \\[10pt] g(10)&=& 1.739,698 - 1.128,845\cdot \mathrm e^{-0,407\cdot (t-10)} \\[5pt] &=& 610,9 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_2(10)&\approx& 611,0 \\[10pt] g(10)&=& 610,9 \\[5pt] \end{array}$
An der Übergangsstelle $t=10$ nehmen beide Funktionen mit $611,0$ und $610,9$ in etwa identische Werte an. Die beiden zugehörigen Graphen gehen also nahezu ohne Sprung ineinander über.
Die Graphen gehen dann nahezu knickfrei ineinander über, wenn der Schnittwinkel der beiden Graphen an dieser Stelle eine Größe von nahezu $0^{\circ}$ besitzt. Um den Schnittwinkel zu berechnen, berechne zunächst die entsprechenden Steigungswerte mithilfe deines CAS. Den Befehl für die Ableitung findest du unter
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
Die Steigungswerte der beiden Graphen an der Stelle $t=10$ betragen also:
$\begin{array}[t]{rll} f_2'(10)&\approx& 313,44 \\[10pt] g'(10)&\approx& 459,44 \\[10pt] \end{array}$
Einsetzen in die Formel für den Schnittwinkel liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \phi&=& \dfrac{f_2'(10)- g'(10)}{1+ f_2'(10)\cdot g'(10)} \\[5pt] \tan \phi&\approx& \dfrac{313,44-459,44}{1+313,44\cdot 459,44} \\[5pt] \tan \phi&\approx& -0,001&\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \phi&\approx& -0,06^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \phi \approx -0,06^{\circ} $
Die Graphen schneiden sich in einem Winkel der Größe $0,06^{\circ}.$ Dies ist nahezu $0^{\circ}.$ Die Graphen gehen also nahezu knickfrei ineinander über. Da sie also nahezu sprungfrei und knickfrei ineinander übergehen, passen die beiden Graphen von $f_2$ und $g$ an der Stelle $t=10$ gut aneinander.
#schnittwinkel
2.1
$\blacktriangleright$  Schätzwert angeben
Das Jahr 2020 entspricht $t=20:$
$\begin{array}[t]{rll} h(20)&=& \dfrac{1.643,35}{1+4.840,21\cdot \mathrm e^{-0,8\cdot 20}}\\[5pt] &\approx& 1.642,46 \\[5pt] \end{array}$
$ h(20)\approx 1.642,46 $
Aus der Modellierung mit der Funktion $h$ ergibt sich für die im Jahr 2020 in Hessen mittels Photovoltaik erzeugte elektrische Energie ein Schätzwert von ca. $1.642,46$ Mio. $\text{kWh}.$
2.2
$\blacktriangleright$  Grenzwert begründen
Für den Nenner des Bruchs $h(t)$ gilt für $t\to \infty$:
$1+\underbrace{4.840,21\cdot \mathrm e^{\underbrace{-0,8\cdot t}_{\to -\infty}}}_{\to 0} \to 1 $
$ … \to 1 $
Für $t\to \infty$ gilt also $h(t)\to \dfrac{1.643,35}{1} = 1.643,35$
Der Grenzwert der Funktion $h$ beträgt für $t\to \infty$ also $1.643,35.$
2.3
$\blacktriangleright$  Wert des größten Wachstums bestimmen
Das Wachstum von $h$ wird durch die erste Ableitungsfunktion $h'$ beschrieben. Bestimme also das Maximum von $h'.$ Dazu kannst du dein CAS verwenden.
$\blacktriangleright$ TI nspire CAS
Mit dem fMax-Befehl erhältst du die Stelle $t,$ an der der Funktionswert von $h'$ am größten ist.
$\text{fMax(d1h(t),t)}$
$\text{fMax(d1h(t),t)}$
$t_{\text{max}} \approx 10,61 $
Der zugehörige Funktionswert lässt sich ebenfalls mit dem CAS berechnen:
$h'(10,61)\approx 328,67 $
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Mit dem fMax-Befehl erhältst du den größten Funktionswert von $h'$ im angegebenen Intervall und die zugehörige Stelle $t_{\text{max}}.$
$\text{fMax(d1h(t),t)}$
$\text{fMax(d1h(t),t)}$
$h'(t_{\text{max}})\approx 328,67$
Der größte Wachstumswert von $h$ beträgt also ca. $328,67.$ Zum Zeitpunkt mit dem schnellsten Wachstum steigt die in Hessen durch Photovoltaik gewonnene Energie um ca. $329$ Mio. $\text{kWh}$ pro Jahr.
3.1
$\blacktriangleright$  Rechnung erläutern
Der Wert $\overline{E}$ wird als Mittelwert der Funktion $h$ im Intervall $[a;b]$ berechnet. Im zweiten Schritt wird das Integral mithilfe einer Stammfunktion $H$ von $h$ mit $H(t)= \frac{A}{k}\cdot \ln \left(B+\mathrm e^{k\cdot t} \right)$ umgeformt. Im dritten Schritt werden die Integrationsgrenzen in die Stammfunktion $H$ eingesetzt und der davon unabhängige Faktor $\frac{A}{k}$ ausgeklammert.
Im letzten Schritt wird der Term mithilfe der Logarithmengesetze vereinfacht, indem die beiden Logarithmen zusammengefasst werden.
#mittelwertvonfunktionen
3.2
$\blacktriangleright$  Durchschnitt berechnen
Die von Beginn des Jahres 1995 bis einschließlich 2015 in Hessen durchschnittlich pro Jahr durch Photovoltaik erzeugte elektrische Energie entspricht bei der Modellierung mit der Funktion $h$ dem Mittelwert der Funktion $h$ im Intervall $[-5;15],$ also dem Wert $\overline{E}$ aus der letzten Teilaufgabe.
Es lässt sich zur Berechnung also die Rechnung aus der vorherigen Teilaufgabe für $a=-5,$ $b=15,$ $A=1.643,35,$ $B =4.840,21$ und $k=0,8$ nutzen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{E}&=&\frac{1}{15-(-5)}\cdot \frac{1.643,35}{0,8}\cdot \ln \left( \dfrac{4.840,21 +\mathrm e^{0,8\cdot 15}}{4.840,21 +\mathrm e^{0,8\cdot (-5)}}\right) \\[5pt] &\approx& 364,06 \\[5pt] \end{array}$
$ \overline{E} \approx 364,06 $
Die von Beginn des Jahres 1995 bis einschließlich 2015 in Hessen durchschnittlich pro Jahr durch Photovoltaik erzeugte elektrische Energie beträgt laut der Modellierung mit der Funktion $h$ ca. $364,06\,\text{kWh}.$
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