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B1 – Analysis

Eine Skisprungschanze besteht aus den Abschnitten Anlauf (inkl. Schanzentisch), Aufsprungbahn und Auslauf (Abbildung 1). Für den Neubau einer Skisprungschanze dient das Profil des Sprungturms in Abbildung 2 als Vorbild.
Die Profillinien des Anlaufs und der Aufsprungbahn sollen jeweils mit Hilfe des Graphen einer ganzrationalen Funktion modelliert werden. In der Modellierung liegt der höchste Punkt der Profillinie des Anlaufs auf der \(y\)-Achse. Im Folgenden entspricht eine Längeneinheit einem Meter.
In der Modellierung beginnt die Profillinie des Anlaufs bei \(x=0\) auf einer Höhe von \(150 \,\text{m}.\) Der Endpunkt der Profillinie des Schanzentischs befindet sich im Punkt \((100 \mid 100),\) an dem die Steigung \(-0,176\) beträgt (Abbildung 2).
Funktionenschar
Abbildung 1: Abschnitte und charakteristische Punkte einer Skisprungschanze, schematisch
Funktionenschar
Abbildung 2: Profil des Sprungturms
1.1
Die Profillinie des Anlaufs soll mit Hilfe des Graphen einer ganzrationalen Funktion \(f\) zweiten Grades modelliert werden.
Leite aus den Angaben zur Modellierung das lineare Gleichungssystem, mit dem die Funktionsgleichung der Funktion \(f\) ermittelt werden kann, her.
(4 BE)
Im Folgenden soll die Profillinie des Anlaufs durch den Graphen der Funktion \(f\) mit \(f(x)=0,00324 \cdot x^2-0,824 \cdot x+150\) modelliert werden.
1.2
Die Startposition der Skispringer befindet sich unterhalb des höchsten Punkts der Profillinie des Anlaufs bei \(x=20\).
Berechne die Steigung des Anlaufs an dieser Position.
(3 BE)
2
Im Modell befindet sich die Profillinie der Aufsprungbahn im Bereich \(100 \leq x \leq 200.\)
Ihr Verlauf wird durch den Graphen der Funktion \(g\) mit
Funktionsgleichung anzeigen
\( g(x)=\,... \)
modelliert.
2.1
Im sogenannten Konstruktions-Punkt (K-Punkt, Abbildung 1) ist die Profillinie der Aufsprungbahn am steilsten.
Bestimme im Modell die Koordinaten des K-Punkts und den Abstand des K-Punkts vom Endpunkt der Profillinie des Schanzentischs.
Hinweis: Eine Randwertbetrachtung ist nicht erforderlich.
(4 BE)
2.2
Der sogenannte Hillsize-Punkt liegt bei \(y=0\) auf der Profillinie der Aufsprungbahn und dient als Bezugspunkt für Höhenangaben. Im Hillsize-Punkt muss der Neigungswinkel \(\alpha\) mindestens \(32^{\circ}\) betragen (Abbildung 1).
Nach diesem Punkt wird die Landung durch einen zu flachen Neigungswinkel der Aufsprungbahn kritisch.
Bestimme die Lage des Hillsize-Punkts \(H\) und prüfe, ob die vorliegende Modellierung die Bedingung an den Neigungswinkel im Punkt \(H\) erfüllt.
(5 BE)
2.3
Bestimme den Höhenunterschied zwischen dem Ende des Schanzentischs und dem Anfang der Aufsprungbahn anhand der zugehörigen Profillinien und der Informationen aus Aufgabe 1 und 2.
Zeichne den Verlauf der Profillinie der Aufsprungbahn unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in die Abbildung 2 ein.
(5 BE)
2.4
Die möglichen Flugbahnen eines Skispringers können für \(a \gt 0\) im Modell durch geeignete Ausschnitte der Graphen der Funktionenschar \(p_a\) mit
Funktionsgleichung anzeigen
\( p_a(x)=\,... \)
dargestellt werden.
Erläutere im Sachzusammenhang, welchen Einfluss der Parameter \(a\) auf die Flugbahn des Skispringers hat.
Ermittle den Wert von \(a,\) für den der Skispringer im Hillsize-Punkt landet.
(5 BE)
2.5
Beschreibe den Verlauf der Graphen der Funktionenschar \(p_a\) für \(a \to \infty\) und begründe diesen Verlauf anhand des Funktionsterms.
(3 BE)
2.6
Ermittle, für welchen Wert von \(a\) ein Skispringer im Modell im Punkt \((180 \mid g(180))\) der Profillinie der Aufsprungbahn landet.
(3 BE)
3
Der Sprungturm ist eine Betonkonstruktion, die im Bereich \(0 \leq x \leq 50\) ohne Stütze in die Luft ragt (Abbildung 2).
Die untere Profillinie des Sprungturms kann in diesem Bereich durch den Graphen der Funktion \(r\) mit \(r(x)=130-\dfrac{33}{2500} \cdot x^2\) modelliert werden.
Für \(50 \leq x \leq 100\) beschreibt die Gerade \(y=97\) die untere Profillinie des Sprungturms (Abbildung 2).
Bestimme den Inhalt \(A\) der durch das Profil beschriebenen Seitenfläche des Sprungturms.
(3 BE)