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B2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Auf dem Rollfeld eines Flughafens steht ein Flugzeug vom Typ Cessna. Für eine mathematische Betrachtung wird diese Situation in einem Koordinatensystem dargestellt: Die Längsachse des Flugzeugs verläuft parallel zur $x$-Achse. Der linke und der rechte Flugzeugflügel sind symmetrisch zur $x-z$-Ebene angeordnet. Die Punkte $A(1\mid1\mid1),$ $B(0\mid7\mid2),$ $C(–1\mid7\mid2)$ und $D(–2\mid1\mid1)$ bilden die Eckpunkte der Oberseite des linken Flugzeugflügels (Material 1 und 2). Das Rollfeld liegt in der $x-y$-Ebene. Eine Einheit entspricht einem Meter.
1.1
Die durch die Eckpunkte $A,$ $B,$ $C$ und $D$ gegebene Oberseite des linken Flugzeugflügels liegt in einer Ebene $E.$ Gib eine Parametergleichung dieser Ebene an.
(3 BE)
#parameterform
1.2
Eine mögliche Koordinatengleichung der Ebene $E$ lautet $E:\, y – 6z = – 5.$
Bestimme den Neigungswinkel der Ebene $E$ gegenüber der Ebene des Rollfelds.
(3 BE)
#schnittwinkel
1.3
Begründe unter Angabe einer Rechnung, dass die durch die Punkte $A,$ $B,$ $C$ und $D$ beschriebene Oberseite des Flugzeugflügels trapezförmig ist.
(2 BE)
#trapez
2
Die Koordinaten der Eckpunkte der Oberseite des rechten Flugzeugflügels erhält man durch Spiegelung von $A,$ $B,$ $C$ und $D$ an der $x-z$-Ebene. Gib die Koordinaten der Spiegelpunkte $A',$ $B',$ $C'$ und $D'$ an und bestimme den größtmöglichen Abstand zwischen zwei einander gegenüberliegenden Eckpunkten der Flugzeugflügel, die sogenannte Spannweite der Cessna.
(4 BE)
3
Die Größe der Oberfläche des linken Flugzeugflügels soll berechnet werden. Erläutere hierzu die im Kasten dargestellte Vorgehensweise in den Zeilen $\text{(I)}$ bis $\text{(V)}$ und deute die Zeile $\text{(V)}$ im Sachzusammenhang. Gib in den Zeilen $\text{(III)}$ und $\text{(V)}$ die durch Auslassungspunkte gekennzeichneten fehlenden Berechnungen an.
$\text{(I)}$
$g:\, \overrightarrow{x}$ $= \pmatrix{1\\1\\1} +r\cdot \pmatrix{-3\\0\\0}$
$\text{(II)}$
$\left(\pmatrix{1\\1\\1} +r\cdot \pmatrix{-3\\0\\0}-\pmatrix{0\\7\\2} \right) \cdot \pmatrix{-3\\0\\0} = 0$
$ … = 0 $
$\text{(III)}$
$… \Leftrightarrow r = \frac{1}{3}$
Einsetzen von $r$ in $g$ liefert $F(0\mid1\mid1).$
$\text{(IV)}$
$h_T=\left|\overrightarrow{BF} \right| \approx 6,08$
$\text{(V)}$
$A_T = \frac{1}{2}\cdot \left(\left| \overrightarrow{AD}\right| + \left|\overrightarrow{BC} \right| \right) \cdot \left|\overrightarrow{BF} \right| \approx …$
$ A_T = … $
(9 BE)
4
Die Oberseite der Flugzeugflügel soll mit einer Aluminiumlegierung versehen werden. Sie besteht aus $80\,\%$ Aluminium, $6\,\%$ Zink und $14\,\%$ sonstigen Bestandteilen. Gemischt werden soll diese Aluminiumlegierung aus drei Grundstoffen $G1,$ $G2$ und $G3,$ die die in der Tabelle dargestellten Anteile an Aluminium, Zink und den sonstigen Bestandteilen besitzen.
$G1$$G2$$G3$
Aluminiumanteil (in $\%$)$60$$90$$92$
Zinkanteil (in $\%$)$10$$5$$2$
sonstige Bestandteile (in $\%$)$30$$5$$6$
Um zu prüfen, ob die gewünschte Aluminiumlegierung aus den Grundstoffen $G1,$ $G2$ und $G3$ hergestellt werden kann, wird folgendes lineares Gleichungssystem erstellt:
$\begin{array}{llll} \text{I}\quad&60x+90y+92z &=& 80 \\ \text{II}\quad&10x+5y+2z &=& 6 \\ \text{III}\quad&30x+5y+6z &=& 14 \\ \end{array}$
4.1
Erläutere die Bedeutung der Gleichung $\text{II}$ im Sachzusammenhang.
(3 BE)
4.2
Berechne die Lösung des linearen Gleichungssystems und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(6 BE)
Material 1
B2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Flugzeug vom Typ Cessna von oben gesehen (die $z$-Achse zeigt direkt auf den Betrachter zu)
B2 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Flugzeug vom Typ Cessna von oben gesehen (die $z$-Achse zeigt direkt auf den Betrachter zu)
Material 2
B2 - Analytische Geometrie
Abb. 2: Idealisierte Skizze des linken Flugzeugflügels von oben gesehen (die $z$-Achse zeigt direkt auf den Betrachter zu)
B2 - Analytische Geometrie
Abb. 2: Idealisierte Skizze des linken Flugzeugflügels von oben gesehen (die $z$-Achse zeigt direkt auf den Betrachter zu)
Bildnachweise [nach oben]
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1.1
$\blacktriangleright$  Parametergleichung der Ebene angebenB2 - Analytische Geometrie
Verwende den Ortsvektor eines der vier Punkte als Stützvektor und zwei Verbindungsvektoren als Spannvektoren. Du erhältst beispielsweise:
$\begin{array}[t]{rll} E:\, \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA}+ r\cdot \overrightarrow{BC} + s\cdot\overrightarrow{BD} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\1\\1} + r\cdot \pmatrix{-1\\0\\0} +s\cdot \pmatrix{-2\\-6\\-1} \\[5pt] \end{array}$
$ E:\,\overrightarrow{x} = … $
1.2
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel bestimmen
Da das Rollfeld in der $x-y$-Ebene liegt, ist ein zugehöriger Normalenvektor $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Ein Normalenvektor von $E$ lässt sich aus der Koordinatengleichung ablesen: $\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{0\\1\\-6}.$
Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \phi &=& \dfrac{\left|\pmatrix{0\\0\\1}\circ \pmatrix{0\\1\\-6} \right|}{\left| \pmatrix{0\\0\\1}\right| \cdot \left|\pmatrix{0\\1\\-6} \right|} \\[5pt] \cos \phi&=& \dfrac{6}{1\cdot \sqrt{0^2+1^2+(-6)^2}} \\[5pt] \cos \phi&=& \dfrac{6}{\sqrt{37}} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \phi&\approx& 9,46^{\circ} \end{array}$
$ \phi \approx 9,46^{\circ} $
Der Neigungswinkel von $E$ gegenüber der Ebene des Rollfelds ist ca. $9,46^{\circ}$ groß.
1.3
$\blacktriangleright$  Trapezform begründen
Damit es sich um ein Trapez handelt, müssen zwei gegenüberliegende Seiten parallel sein. Der Abbildung in Material 2 kannst du entnehmen, dass die beiden parallelen Seiten vermutlich $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ sind.
Die zugehörigen Vektoren sind
$\overrightarrow{AD} = \pmatrix{-3\\0\\0}$ und $\overline{BC} = \pmatrix{-1\\0\\0}$
Es gilt $\overrightarrow{AD} = 3\cdot \overrightarrow{BC}$
Da die beiden zugehörigen Verbindungsvektoren linear abhängig sind, sind sie parallel. Damit sind auch die zugehörigen Seiten des Vierecks parallel. Es handelt sich bei dem Viereck $ABCD$ also um ein Trapez.
Die Oberseite des Flugzeugflügels, die durch die Punkte $A,$ $B,$ $C$ und $D$ beschrieben wird, ist also trapezförmig.
2
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Spiegelpunkte angeben
Eine Spiegelung an der $x-z$-Ebene wird durch das Umkehren der Vorzeichen der $y$-Koordinaten umgesetzt. Die Koordinaten der Spiegelpunkte ergeben sich also zu:
$A'(1\mid -1\mid 1),$ $B'(0\mid -7\mid 2),$ $C'(-1\mid -7\mid 2),$ $D'(-2\mid -1\mid 1)$
$\blacktriangleright$  Spannweite bestimmen
Die $y$- und $z$-Koordinaten der Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BC}$ sind jeweils null. Diese Vektoren verlaufen daher parallel zur $x-z$-Ebene und paralle zur $x$-Achse.
Die Spannweite entspricht daher dem Abstand der beiden Punkte $B$ und $B'$ bzw. $C$ und $C'.$ Den Vektorbetrag des Verbindungsvektors kannst du auch mit dem norm-Befehl deines CAS berechnen.
$\left|\overrightarrow{BB'}\right| = \left|\pmatrix{0\\14\\0}\right| = \sqrt{0^2+14^2+0^2} = 14 $
$ … = 14 $
Die Spannweite des Flugzeugs beträgt $14\,\text{m}.$
#vektorbetrag
3
$\blacktriangleright$  Vorgehensweise erläutern
$\text{(I)}$
Es wird eine Gleichung der Geraden $g$ aufgestellt, die durch die Punkte $A$ und $D$ verläuft.
$\text{(II)}$
Es wird zunächst eine Ebenengleichung in Normalform aufgestellt. Als Normalenvektor wird der Vektor $\overrightarrow{AD}$ verwendet. Die Ebene verläuft also senkrecht zur Strecke $\overline{AD}.$
Als Stützpunkt wird $B$ verwendet. Der Punkt $B$ liegt also in dieser Ebene.
Insgesamt verläuft die Ebene also senkrecht zu $\overline{AD}$ durch den Punkt $B.$
In diese Ebenengleichung werden die Koordinaten der Punkte der Geraden $g$ eingesetzt um den Schnittpunkt der Gerade und der Ebene zu bestimmen.
Dieser Schnittpunkt ist der Punkt auf der Geraden durch $A$ und $D$ mit dem kürzesten Abstand zum Punkt $B.$
$\text{(III)}$
Die Gleichung aus $\text{(II)}$ wird nach $r$ gelöst und die Lösung in die Geradengleichung von $g$ eingesetzt. Der Punkt $F(0\mid 1\mid 1)$ ist der Punkt auf der Strecke $\overline{AD}$ mit dem kürzesten Abstand zu $B.$
$\text{(IV)}$
Die Höhe des Trapezes $ABCD$ entspricht dem Abstand des Punkts $B$ zur Gerade $g$ durch die gegenüberliegenden Punkte $A$ und $D.$ Die Höhe kann daher über den Vektorbetrag des Verbindungsvektors von $B$ und $F$ berechnet werden und ist ca. $6,08\,\text{[LE]}$ lang.
$\text{(V)}$
Die beiden gegenüberliegenden parallelen Seiten des Trapezes sind $\overline{AD}$ und $\overline{BC}.$ Die Vektorbeträge der zugehörigen Verbindungsvektoren ergeben jeweils die Seitenlänge. Die Höhe des Trapezes wurde bereits in $\text{(IV)}$ berechnet. Mithilfe dieser Werte wird der Flächeninhalt des Trapezes berechnet. Dieser Flächeninhalt entspricht der Oberfläche eines Flugzeugflügels.
$\blacktriangleright$  Fehlende Berechnungen angeben
$\text{(III)}$
$\begin{array}[t]{rll} \left(\pmatrix{1\\1\\1} +r\cdot \pmatrix{-3\\0\\0}-\pmatrix{0\\7\\2} \right) \cdot \pmatrix{-3\\0\\0} &=& 0 \\[5pt] \left(\pmatrix{1\\-6\\-1} +r\cdot \pmatrix{-3\\0\\0}\right) \cdot \pmatrix{-3\\0\\0}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{1-3r\\-6\\-1} \cdot \pmatrix{-3\\0\\0}&=&0 \\[5pt] (1-3r)\cdot (-3) -6\cdot 0 -1\cdot 0&=& 0 \\[5pt] -3+9r&=& 0 &\quad \scriptsize\mid\; +3\\[5pt] 9r &=& 3 &\quad \scriptsize\mid\; :9 \\[5pt] r&=&\frac{1}{3} \end{array}$
$ r =\frac{1}{3} $
$\text{(V)}$
$\begin{array}[t]{rll} A_T&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\left| \overrightarrow{AD}\right| + \left|\overrightarrow{BC} \right| \right) \cdot \left|\overrightarrow{BF} \right| \\[5pt] &\approx& \dfrac{1}{2}\cdot \left(\left|\pmatrix{-3\\0\\0} \right| + \left|\pmatrix{-1\\0\\0}\right|\right) \cdot 6,08 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \left(\sqrt{(-3)^2+0^2+0^2} + \sqrt{(-1)^2+0^2+0^2}\right) \cdot 6,08 \\[5pt] &=& 12,16 \\[5pt] \end{array}$
$ A_T \approx 12,16 $
4.1
$\blacktriangleright$  Bedeutung im Sachzusammenhang erläutern
In Gleichung $\text{II}$ wird der Zinkanteil in der Zusammensetzung aus $x$ Teilen des Grundstoffes $G1,$ $y$ Teilen des Grundstoffes $G2$ und $z$ Teilen des Grundstoffes $G3$ mit dem geforderten Anteil des Zinks an der Aluminiumlegierung in Prozent gleichgesetzt.
4.2
$\blacktriangleright$  Lösung des Gleichungssystems berechnen
$\begin{array}{llll} \text{I}\quad&60x+90y+92z &=& 80 \\ \text{II}\quad&10x+5y+2z &=& 6 \\ \text{III}\quad&30x+5y+6z &=& 14 &\quad \scriptsize \mid\; \text{III}-3\cdot \text{II} \\[5pt] \hline \text{I}\quad&60x+90y+92z &=& 80 \\ \text{II}\quad&10x+5y+2z &=& 6 \\ \text{III'}\quad&-10y &=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; :{-10}\\[5pt] &y &=& 0,4 \\[5pt] \end{array}$
$ y = 0,4 $
Einsetzen in die ersten beiden Gleichungen liefert:
$\begin{array}{llll} \text{I'}\quad&60x+90\cdot 0,4+92z &=& 80 \\ &60x+36+92z &=& 80 &\quad \scriptsize\mid\; -36 \\ &60x+92z &=& 44 \\[5pt] \text{II'}\quad&10x+5\cdot 0,4+2z &=& 6 \\ &10x+2+2z &=& 6 &\quad \scriptsize\mid\; -2 \\ &10x+2z &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{I'}-6\cdot\text{II'} \\[5pt] \hline \text{I'}\quad&80z &=&20 &\quad \scriptsize\mid\; :80 \\[5pt] &z &=& 0,25 \end{array}$
$ z= 0,25 $
Einsetzen in $\text{II'}$ liefert nun:
$\begin{array}[t]{rll} 10x + 2\cdot 0,25 &=& 4 \\[5pt] 10x + 0,5 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;-0,5\\[5pt] 10x &=& 3,5 &\quad \scriptsize \mid\; :10 \\[5pt] x &=& 0,35 \end{array}$
$ x = 0,35 $
Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist $x= 0,35,$ $y=0,4$ und $z=0,25.$ Die Aluminiumlegierung muss also aus $35\,\%$ $G1,$ $40\,\%$ $G2$ und $25\,\%$ $G3$ hergestellt werden.
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