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A - Hilfsmittelfrei

Aufgaben
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Analysis - Niveau 1

1.
In Abbildung 1 sind der Graph der Funktion $g$ mit $g(x)= \frac{1}{3}x^2 -\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$ sowie der Graph einer weiteren Funktion $f$ dargestellt.
1.1
Berechne $\displaystyle\int_{0}^{3}g(x)\;\mathrm dx$ und zeichne die Fläche, deren Inhalt mit dem Integral berechnet wird, in Abbildung 1.
(3 BE)
1.2
Entscheide nur anhand der Abbildung 1, ob der Wert des Integrals $\displaystyle\int_{2}^{5}\left(f(x)-g(x)\right)\;\mathrm dx$ eine positive Zahl, eine negative Zahl oder gleich null ist.
(2 BE)
#integral

Stochastik - Niveau 1

2.
In einem Behälter befinden sich $2$ blaue und $3$ weiße Kugeln.
2.1
Zwei Kugeln werden nacheinander zufällig ohne Zurücklegen gezogen.
Gib für die folgenden Ereignisse jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an:
„Beide Kugeln sind blau.“
„Mindestens eine Kugel ist weiß.“
„Eine Kugel ist weiß und eine blau.“
(3 BE)
2.2
Bestimme, wie viele grüne Kugeln zusätzlich in den Behälter gelegt werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Ziehen zufällig eine grüne Kugel zu ziehen, $\frac{2}{3}$ beträgt.
(2 BE)

Lineare Algebra/Analytische Geometrie - Niveau 1

3.
Gegeben sind die Punkte $A(5\mid 7\mid 2),$ $B(3\mid 10\mid 3),$ $C(4\mid 7\mid 7)$ und $D(6\mid 4\mid 6).$
3.1
Zeige, dass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm, aber kein Rechteck ist.
(3 BE)
3.2
Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts $M$ der Diagonalen $\overline{AC}.$
(2 BE)
#parallelogramm#rechteck

Lineare Algebra/Analytische Geometrie - Niveau 2

4.
Gegeben sind die Punkte $A(-6\mid 8\mid 1)$ und $B(-3\mid 8\mid -5)$ sowie eine Gleichung der Geraden $g$ mit
$g:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{-1\\2\\1} + r\cdot \pmatrix{2\\-3\\1},$ $r\in \mathbb{R}.$
Bestätige, dass die Strecke $\overline{AB}$ von der Geraden $g$ geschnitten wird.
(5 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
#hilfsmittelfreieaufgaben
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Lösungen
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Analysis - Niveau 1A - Hilfsmittelfrei

1.1
$\blacktriangleright$  Integral berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{3}g(x)\;\mathrm dx&=& \displaystyle\int_{0}^{3}\left(\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3} \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[\frac{1}{9}x^3-\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x \right]_0^3 \\[5pt] &=& \frac{1}{9}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 3^2+\frac{4}{3}\cdot 3 -\left(\frac{1}{9}\cdot 0^3-\frac{1}{3}\cdot 0^2+\frac{4}{3}\cdot 0 \right) \\[5pt] &=& 4 \\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int_{0}^{3}g(x)\;\mathrm dx =4 $
$\blacktriangleright$  Fläche einzeichnen
A - Hilfsmittelfrei
Abb. 1: Fläche
A - Hilfsmittelfrei
Abb. 1: Fläche
1.2
$\blacktriangleright$  Wert des Integrals einordnen
Der Betrag des Werts des Integrals $\displaystyle\int_{2}^{5}\left(f(x)-g(x) \right)\;\mathrm dx$ beschreibt den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $f$ und $g$ im Bereich $2\leq x \leq 5$ gemeinsam begrenzen.
Da $f(x)-g(x)$ verwendet wird, ist der Wert des Integrals positiv, wenn der Graph von $f$ in diesem Bereich oberhalb des Graphen von $g$ verläuft und negativ, wenn der Graph von $f$ unterhalb des Graphen von $g$ verläuft. Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass der Graph von $f$ für $2< x < 5$ unterhalb des Graphen von $g$ verläuft. Der Wert des Integrals ist daher negativ.

Stochastik - Niveau 1

2.1
$\blacktriangleright$  Terme für die Wahrscheinlichkeiten angeben
Mit den Pfadregeln folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(A) &=& \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4} \\[5pt] P(B) &=& \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4} + \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4} +\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4} \\[5pt] P(C) &=& \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(A) &= \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4} \\[5pt] P(B) &= \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4} + \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4} +\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4} \\[5pt] P(C) &= \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4} \\[5pt] \end{array}$
2.2
$\blacktriangleright$  Anzahl grüner Kugeln bestimmen
Werden $x$ grüne Kugeln hinzugefügt, dann befinden sich $5+x$ Kugeln im Behälter. Die Wahrscheinlichkeit, eine grüne Kugel zu ziehen beträgt dann $\frac{x}{5+x}.$ Gleichsetzen mit $\frac{2}{3}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{x}{5+x} &=& \frac{2}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (5+x) \\[5pt] x &=&\frac{10}{3} + \frac{2}{3}x &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{2}{3}x \\[5pt] \frac{1}{3}x&=& \frac{10}{3} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3 \\[5pt] x &=& 10 \end{array}$
$ x = 10 $
Es müssen also zehn grüne Kugeln hinzugefügt werden.
#pfadregeln

Lineare Algebra/Analytische Geometrie - Niveau 1

3.1
$\blacktriangleright$  Art des Vierecks zeigen
Damit es sich um ein Parallelogramm handelt müssen alle sich gegenüberliegenden Seiten parallel sein.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB} &=& \pmatrix{-2\\3\\1} \\[5pt] \overrightarrow{DC} &=& \pmatrix{-2\\3\\1} \\[5pt] \overrightarrow{AD} &=& \pmatrix{1\\-3\\4} \\[5pt] \overrightarrow{BC} &=& \pmatrix{1\\-3\\4} \\[5pt] \end{array}$
Es ist also $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.$ Alle sich gegenüberliegenden Seiten in dem Viereck $ABCD$ sind also parallel zueinander. Damit handelt es sich bei $ABCD$ um ein Parallelogramm. Es würde sich um ein Rechteck handeln, wenn alle Paare benachbarter Seiten jeweils einen rechten Winkel einschließen würden.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} &=& \pmatrix{-2\\3\\1} \circ \pmatrix{1\\-3\\4} \\[5pt] &=& -2\cdot 1 +3\cdot (-3) + 1\cdot 4 \\[5pt] &=& -7 \neq 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} = -7 \neq 0 $
Die beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ sind also nicht orthogonal zueinander. Damit sind auch die zugehörigen Seiten nicht orthogonal zueinander und schließen keinen rechten Winkel ein. Es kann sich daher nicht um ein Rechteck handeln.
Insgesamt handelt es sich bei $ABCD$ also um ein Parallelogramm aber nicht um ein Rechteck.
3.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Mittelpunkt bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM} &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{5\\7\\2} + \pmatrix{4\\7\\7} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{4,5\\7\\4,5} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OM} = \pmatrix{4,5\\7\\4,5} $
Der Mittelpunkt der Diagonalen ist also $M\left(4,5\mid 7\mid 4,5 \right).$

Lineare Algebra/Analytische Geometrie - Niveau 2

4.
$\blacktriangleright$  Schneiden der Geraden bestätigen
Die Strecke $\overline{AB}$ liegt auf folgender Geraden:
$\begin{array}[t]{rll} h: \, \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA} + s\cdot \overrightarrow{AB} \\[5pt] &=& \pmatrix{-6\\8\\1} + s\cdot \pmatrix{3\\0\\-6 } \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-6\\8\\1} + s\cdot \pmatrix{3\\0\\-6 } &=& \pmatrix{-1\\2\\1} + r\cdot \pmatrix{2\\-3\\1} &\quad \scriptsize \mid\;-\pmatrix{-1\\2\\1};s\cdot \pmatrix{3\\0\\-6 } \\[5pt] \pmatrix{-5\\6\\0} &=& r\cdot \pmatrix{2\\-3\\1} -s\cdot \pmatrix{3\\0\\-6 } \end{array}$
$ \pmatrix{-5\\6\\0} = … $
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-5&=& 2r-3s \\ \text{II}\quad&6&=& -3r -0s \\ \text{III}\quad&0&=& 1r +6s \\ \end{array}$
Aus der zweiten Gleichung kannst du direkt eine Lösung für $r$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad 6 &=& -3r &\quad \scriptsize \mid\; :(-3)\\[5pt] -2 &=& r \end{array}$
Einsetzen in die erste Gleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} -5 &=& 2r-3s &\quad \scriptsize \mid\; r=-2 \\[5pt] -5 &=& 2\cdot (-2) -3s \\[5pt] -5 &=& -4 -3s &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] -1 &=& -3s &\quad \scriptsize \mid\;: (-3) \\[5pt] \frac{1}{3} &=& s \end{array}$
$ s=\frac{1}{3} $
Einsetzen der beiden Lösungen in die dritte Gleichung ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 1r +6s \\[5pt] 0 &=& -2 + 6\cdot \frac{1}{3} \\[5pt] 0 &=& 0 \end{array}$
Die Lösung $r=-2$ und $s= \frac{1}{3}$ erfüllt also das Gleichungssystem. Somit schneiden sich die Geraden $g$ und $h.$ Da gilt $0\leq s = \frac{1}{3}\leq 1,$ liegt der Schnittpunkt auf der Strecke $\overline{AB}.$
#gleichungssystem
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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