Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
HE, Berufl. Gymnasium
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Abitur GK (CA...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur GK (CAS)
A - Hilfsmittelfrei
B2 - Analysis
C1 - Lineare Algebra,...
C2 - Stochastik
Abi 2018
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2017
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2016
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2015
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2014
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2013
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2012
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2011
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2010
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2009
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2008
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2007
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
LV-Abi 1
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik

B1 - Analytische Geometrie

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord
Zwischen zwei Wandseiten eines Wohnhauses, die in der $x$-$z$- bzw. $y$-$z$-Ebene liegen, soll ein symmetrischer Anbau in Glasbauweise als Wintergarten errichtet werden (Material). Der Boden des Wintergartens liegt in der $x$-$y$-Ebene. Das ebene Dach wird durch die Punkte $A$, $B$, $C$, $D$ und $E$ begrenzt. Gegeben sind die Punkte $B\ (4\ |\ 1\ |\ 2,5)$, $C\ (\ 1\ |\ 4\ |\ 2,5)$, $D\ (\ 0\ |\ 4\ |\ 3)$ und $E\ (\ 0\ |\ 0\ |\ 5)$. Hierbei entspricht eine Längeneinheit einem Meter. Der Punkt $A$ liegt in der $x$-$z$-Ebene, die Strecke $\overline{AD}$ verläuft parallel zur Dachkante $\overline{BC}$.
1.1
Gib die Koordinaten des Punktes $A$ an und erkläre deine Vorgehensweise.
(3P)
1.2
Bestimme eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene $E_1$, in der die Dachfläche $ABCDE$ liegt.
[zur Kontrolle: $x+y+2z=10$ ist eine mögliche Koordinatengleichung von $E_1$].
(5P)
1.3
Damit Schnee gut abrutschen kann, sollte der Neigungswinkel der Dachfläche gegen die Grundfläche mindestens 30° betragen. Prüfe rechnerisch, ob diese Bedingung erfüllt ist.
(3P)
#ebenengleichung#neigungswinkel
2.
Zur Beschattung wird in den Sommermonaten ein zur Dachfläche $ABCDE$ paralleles Dreieckssegel oberhalb der Dachfläche gespannt. Das Segel liegt in der Ebene $E_2:\ x+y+2z=\ 10,2$. Bestätige rechnerisch, dass der Abstand des Segels zur Dachfläche $ABCDE$ ca. $8\,\text{cm}$ beträgt.
(6P)
#abstand
3.
Zur Stabilisierung der Dachfläche werden der Punkt $E$ mit dem Mittelpunkt $M\ (\ 2,5\ |\ 2,5\ |\ 2,5)$ der Dachkante $\overline{BC}$ sowie der Punkt $A$ mit dem Punkt $D$ durch Streben verbunden, wobei $\overline{AD}=\begin{pmatrix}-4\\4\\0 \end{pmatrix}$ ist.
3.1
Zeige, dass der Punkt $Z\ (\ 2\ |\ 2\ |\ 3)$ der Schnittpunkt der beiden Streben $\overline{EM}$ und $\overline{AD}$ ist.
Zeichne die beiden Streben und den Punkt $Z$ in das Material.
(5P)
3.2
Das Dach des Wintergartens soll eine besondere Verglasung erhalten; dazu muss der Materialverbrauch ermittelt werden.
Erkläre die Bedeutung der Zeilen 1 bis 4 im Kasten jeweils im Sachzusammenhang.
Bestimme anschließend den restlichen Inhalt der Dachfläche und gib den insgesamt benötigten Materialverbrauch in Quadratmetern an.
1. $\overline{EM}=\begin{pmatrix}2,5\\2,5\\-2,5 \end{pmatrix} $ ; $\overline{AD}=\begin{pmatrix}-4\\4\\0 \end{pmatrix}$
2. $\overline{EM} \cdot \overline{AD}\ =0$
3. $\begin{pmatrix}0\\0\\5 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}2\\2\\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\2 \end{pmatrix}$
4. $\dfrac{1}{2} \cdot \left|\begin{pmatrix}-4\\4\\0 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix}-2\\-2\\2 \end{pmatrix} \right|\approx\ 9,8$
1. $\overline{EM}=\begin{pmatrix}2,5\\2,5\\-2,5 \end{pmatrix} $ ; $\overline{AD}=\begin{pmatrix}-4\\4\\0 \end{pmatrix}$
2. $\overline{EM} \cdot \overline{AD}\ =0$
3. $\begin{pmatrix}0\\0\\5 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}2\\2\\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\2 \end{pmatrix}$
4. $\dfrac{1}{2} \cdot \left|\begin{pmatrix}-4\\4\\0 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix}-2\\-2\\2 \end{pmatrix} \right|\approx\ 9,8$
(8P)

Material

Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten von Punkt A bestimmen
Folgende Angaben hast du gegeben, um den Punkt $A$ zu bestimmen:
  • Der Punkt liegt in der $x$-$z$-Ebene, also muss die $y$-Koordinate gleich Null sein
  • Die Gerade durch $A$ und $D$ ist parallel zur Geraden durch $B$ und $C$
Du kannst die Gerade $g$ durch die Punkte $B$ und $C$ bestimmen. Mit dem Richtungsvektor dieser Geraden und dem Punkt $D$ lässt sich die Gerade $h$ aufstellen, welche durch $A$ und $D$ geht. Wenn du dann $h$ mit der $x$-$z$-Ebene schneidest, erhältst du die Koordinaten von Punkt $A$.
1.2
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Parameterform bestimmen
Du sollst eine Ebenengleichung in Parameterform und eine Ebenengleichung in Koordinatenform der Dach-Ebene bestimmen. Hierbei gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, deine Ergebnisse können also von den hier gezeigten abweichen.
Um eine Ebenengleichung in Parameterform aufstellen zu können, brauchst du einen Stützvektor und zwei Spannvektoren, die linear unabhängig sein müssen. Als Stützvektor wird hier der Ortsvektor des Punkts $E$ gewählt und als Spannvektoren die Richtungsvektoren von $E$ zu $A$ und $D$.
Allgemeine Form: $\quad E\quad: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AC}$
Allgemeine Form: $\quad E\quad: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AC}$
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform aufstellen
Die Koordinatenform setzt sich aus dem Normalenvektor der Ebene und einem mittels Punktprobe bestimmbaren Parameter $d$ zusammen. Den Normalenvektor kannst du mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren berechnen.
Allgemeine Form: $\quad E\quad: n_{1}\cdot c_{1}+n_{2}\cdot c_{2}+n_{3}\cdot c_{3}=d$
Allgemeine Form: $\quad E\quad: n_{1}\cdot c_{1}+n_{2}\cdot c_{2}+n_{3}\cdot c_{3}=d$
1.3
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel berechnen
Du sollst jetzt den Winkel zwischen der gerade bestimmten Ebene und der Grundfläche, also der $x$-$y$-Ebene, berechnen. In deiner Formelsammlung hast du eine Formel für den Winkel zwischen zwei Ebenen gegeben. Dafür brauchst du die beiden Normalenvektoren. Den Normalenvektor des Dachs hast du schon in Aufgabe 1.2 berechnet und der Normalenvektor der Grundfläche ist $\overrightarrow{n_{2}}=\pmatrix{0\\0\\1}$. Achte bei der Berechnung des Winkels darauf, dass dein Taschenrechner auf "degree" und nicht auf "radian" eingestellt ist.
Allgemeine Formel: $\quad\cos(\alpha)=\dfrac{\mid\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}\mid}{\mid\overrightarrow{n_{1}}\mid\cdot\mid\overrightarrow{n_{2}}\mid}$
Allgemeine Formel: $\quad\cos(\alpha)=\dfrac{\mid\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}\mid}{\mid\overrightarrow{n_{1}}\mid\cdot\mid\overrightarrow{n_{2}}\mid}$
2.
$\blacktriangleright$  Abstand zwischen Dach und Sonnensegel berechnen
An der Gleichung der zweiten Ebene kannst du ablesen, dass $E_{1}$ und $E_{2}$ parallel sein müssen, da die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind. Den Abstand der beiden Ebenen kannst du mit einer Formel aus der Formelsammlung bestimmen:
Abstand paralleler Ebenen: $\quad d=\left\vert\dfrac{\overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})}{\vert\overrightarrow{n}\vert}\right\vert$
Abstand paralleler Ebenen: $\quad d=\left\vert\dfrac{\overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})}{\vert\overrightarrow{n}\vert}\right\vert$
$\overrightarrow{n}$ ist der Normalenvektor der beiden Ebenen, $\overrightarrow{p}$ ein Ortsvektor eines Punkts in der ersten Ebene. $\overrightarrow{a}$ ist der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der zweiten Ebene.
Du benötigst also den Normalenvektor und einen Punkt der Ebene $E_{2}$, um den Abstand zu $E_{1}$ zu berechnen.
3.1
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt der Stützstreben bestimmen
Damit $Z$ der Schnittpunkt der beiden Streben sein kann, muss $Z$ auf beiden Geraden liegen. Du kannst also überprüfen, ob $Z$ auf der Gerade $h$ durch $A$ und $D$ sowie der Geraden $j$ durch $E$ und $M$ liegt. Trifft dies zu und sind beide Geraden nicht identisch muss $Z$ der Schnittpunkt sein. Überprüfe mittels Punktprobe.
3.2
$\blacktriangleright$  Erklärung im Sachzusammenhang
Um die Bedeutung der Zeilen im Sachzusammenhang zu erklären, betrachte jede Zeile einzeln und überlege dir, was berechnet wird. Dann überlege dir, was dies jeweils im Bezug auf das Dach bedeutet. $\blacktriangleright$  Restlichen Flächeninhalt berechnen
Die restliche Fläche ist das Trapez $ABCD$. Um dessen Flächeninhalt zu bestimmen, kannst du die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes benutzen.
Flächeninhalt eines Trapezes: $\quad A=0,5\cdot(a+c)\cdot h$
Flächeninhalt eines Trapezes: $\quad A=0,5\cdot(a+c)\cdot h$
Dabei sind $a$ und $c$ die Längen der parallelen Seiten. In der Aufgabe sind diese die Strecken von $A$ nach $D$ und von $B$ nach $C$. Die Höhe $h$ entspricht der Strecke von $Z$ nach $M$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF
1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten von Punkt A bestimmen
Folgende Angaben hast du gegeben, um den Punkt $A$ zu bestimmen:
  • Der Punkt liegt in der $x$-$z$-Ebene, also muss die $y$-Koordinate gleich Null sein
  • Die Gerade durch $A$ und $D$ ist parallel zur Geraden durch $B$ und $C$
Du kannst die Gerade $g$ durch die Punkte $B$ und $C$ bestimmen. Mit dem Richtungsvektor dieser Geraden und dem Punkt $D$ lässt sich die Gerade $h$ aufstellen, welche durch $A$ und $D$ geht. Wenn du dann $h$ mit der $x$-$z$-Ebene schneidest, erhältst du die Koordinaten von Punkt $A$.
$g=\pmatrix{4 \\ 1 \\ 2,5}+t\cdot\left(\pmatrix{1 \\ 4 \\ 2,5}-\pmatrix{4 \\ 1 \\ 2,5}\right)=\pmatrix{4 \\ 1 \\ 2,5}+t\cdot\pmatrix{-3 \\ 3 \\ 0}$
$h=\pmatrix{0\\4\\3}+t\pmatrix{-3\\3\\0}$
Im Schnittpunkt der Geraden $h$ mit der $x$-$z$-Ebene muss die $y$-Koordinate Null sein.
Für die Lösung brauchst du also nur die $y$-Komponente:
$\begin{array}[t]{rll} 4+t\cdot 3&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] t\cdot 3&=& -4 &\quad \scriptsize \\[5pt] t&=& -\frac{4}{3} \end{array}$
Der Punkt $A$ hat somit den Ortsvektor $\overrightarrow{OA}=\pmatrix{0\\4\\3}-\dfrac{4}{3}\pmatrix{-3\\3\\0}=\pmatrix{4\\0\\3}$.
1.2
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Parameterform bestimmen
Du sollst eine Ebenengleichung in Parameterform und eine Ebenengleichung in Koordinatenform der Dach-Ebene bestimmen. Hierbei gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, deine Ergebnisse können also von den hier gezeigten abweichen.
Um eine Ebenengleichung in Parameterform aufstellen zu können, brauchst du einen Stützvektor und zwei Spannvektoren, die linear unabhängig sein müssen. Als Stützvektor wird hier der Ortsvektor des Punkts $E$ gewählt und als Spannvektoren die Richtungsvektoren von $E$ zu $A$ und $D$.
Allgemeine Form: $\quad E\quad: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AC}$
Allgemeine Form: $\quad E\quad: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AC}$
$E_{1}\quad:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{E}+s\cdot\overrightarrow{EA}+t\cdot\overrightarrow{ED}=\pmatrix{0\\0\\5}+s\cdot\pmatrix{4\\0\\-2}+t\cdot\pmatrix{0\\4\\-2}$
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform aufstellen
Die Koordinatenform setzt sich aus dem Normalenvektor der Ebene und einem mittels Punktprobe bestimmbaren Parameter $d$ zusammen. Den Normalenvektor kannst du mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren berechnen.
Allgemeine Form: $\quad E\quad: n_{1}\cdot c_{1}+n_{2}\cdot c_{2}+n_{3}\cdot c_{3}=d$
Allgemeine Form: $\quad E\quad: n_{1}\cdot c_{1}+n_{2}\cdot c_{2}+n_{3}\cdot c_{3}=d$
$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{EA}\times\overrightarrow{ED}$
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{4\\0\\-2}\times\pmatrix{0\\4\\-2} = \pmatrix{8\\8\\16} = \pmatrix{1\\1\\2}$
Nun kannst du die Koordinaten eines beliebigen Punkts aus der Ebene in die Ebenengleichung $E_{1}\quad: 1\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}+2\cdot x_{3} = d$ einsetzen. $d$ ist damit $10$ und die Gleichung lautet $E_{1}\quad: 1\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}+2\cdot x_{3} = 10$.
1.3
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel berechnen
Du sollst jetzt den Winkel zwischen der gerade bestimmten Ebene und der Grundfläche, also der $x$-$y$-Ebene, berechnen. In deiner Formelsammlung hast du eine Formel für den Winkel zwischen zwei Ebenen gegeben. Dafür brauchst du die beiden Normalenvektoren. Den Normalenvektor des Dachs hast du schon in Aufgabe 1.2 berechnet und der Normalenvektor der Grundfläche ist $\overrightarrow{n_{2}}=\pmatrix{0\\0\\1}$. Achte bei der Berechnung des Winkels darauf, dass dein Taschenrechner auf "degree" und nicht auf "radian" eingestellt ist.
Allgemeine Formel: $\quad\cos(\alpha)=\dfrac{\mid\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}\mid}{\mid\overrightarrow{n_{1}}\mid\cdot\mid\overrightarrow{n_{2}}\mid}$
Allgemeine Formel: $\quad\cos(\alpha)=\dfrac{\mid\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}\mid}{\mid\overrightarrow{n_{1}}\mid\cdot\mid\overrightarrow{n_{2}}\mid}$
Setze jetzt beide Normalenvektoren ein:
$\cos(\alpha)=\dfrac{\left\vert\pmatrix{1\\1\\2}\circ\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{1\\1\\2}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert}$
Du musst im Zähler das Skalarprodukt bilden und im Nenner die Beträge der Vektoren multiplizieren:
$\cos(\alpha)=\dfrac{2}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{1}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$
$\alpha=\arccos{\left(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)} = 35,26^{\circ}$
Somit ist der Winkel zwischen der Ebene des Dachs und der Grundläche $35,26^{\circ}$. Die Bedingung, dass die Dachneigung mindestens $30^{\circ}$ sein soll, ist also erfüllt.
#skalarprodukt#normalenvektor#geradengleichung#kreuzprodukt#lineareabhängigkeit
2.
$\blacktriangleright$  Abstand zwischen Dach und Sonnensegel berechnen
An der Gleichung der zweiten Ebene kannst du ablesen, dass $E_{1}$ und $E_{2}$ parallel sein müssen, da die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind. Den Abstand der beiden Ebenen kannst du mit einer Formel aus der Formelsammlung bestimmen:
Abstand paralleler Ebenen: $\quad d=\left\vert\dfrac{\overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})}{\vert\overrightarrow{n}\vert}\right\vert$
Abstand paralleler Ebenen: $\quad d=\left\vert\dfrac{\overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})}{\vert\overrightarrow{n}\vert}\right\vert$
$\overrightarrow{n}$ ist der Normalenvektor der beiden Ebenen, $\overrightarrow{p}$ ein Ortsvektor eines Punkts in der ersten Ebene. $\overrightarrow{a}$ ist der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der zweiten Ebene.
Du benötigst also den Normalenvektor und einen Punkt der Ebene $E_{2}$, um den Abstand zu $E_{1}$ zu berechnen.
Den Normalenvektor von $E_{1}$ hast du aus der vorangegangenen Aufgabe gegeben. Alternativ kannst du den Normalenvektor von $E_{2}$ direkt aus der Koordinatenform ablesen: $\overrightarrow{n}=\pmatrix{1\\1\\2}$.
Um einen Punkt $P$ in der Ebene $E_{2}$ zu finden, musst du die $x$, $y$ und $z$ Koordinaten so wählen, dass die Koordinatenform eine wahre Aussage ergibt. Setze zum Beispiel $x=0$, $y=0$ und $z=5,1$.
Die Koordinatenform ist dann $1\cdot0+1\cdot0+2\cdot5,1=10,2$ und der Ortsvektor von $P$ ergibt sich zu $\overrightarrow{p}=\pmatrix{0\\0\\5,1}$
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Für $\overrightarrow{a}$ kannst du den Ortsvektor eines beliebigen Punkts der Ebene $E_{1}$ wählen, hier wird Punkt $E$ verwendet. Setze jetzt den Normalenvektor von $E_{2}$, den Ortsvektor des Punkts $P$ und den Ortsvektor von $E$ in die Formel ein.
$d=\left\vert\dfrac{\pmatrix{1\\1\\2}\circ\left(\pmatrix{0\\0\\5,1}-\pmatrix{0\\0\\5}\right)}{\left\vert\pmatrix{1\\1\\2}\right\vert}\right\vert = \dfrac{0,2}{\sqrt{6}}\approx 0,082 $
Der Abstand zwischen $E_{1}$ und $E_{2}$ beträgt also, wie in der Aufgabenstellung angegeben, etwa $8$cm.
#normalenvektor
3.1
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt der Stützstreben bestimmen
Damit $Z$ der Schnittpunkt der beiden Streben sein kann, muss $Z$ auf beiden Geraden liegen. Du kannst also überprüfen, ob $Z$ auf der Gerade $h$ durch $A$ und $D$ sowie der Geraden $j$ durch $E$ und $M$ liegt. Trifft dies zu und sind beide Geraden nicht identisch muss $Z$ der Schnittpunkt sein. Überprüfe mittels Punktprobe:
$h=\pmatrix{4\\0\\3}+k\cdot\pmatrix{-4\\4\\0}\stackrel{!}{=}\pmatrix{2\\2\\3}$
Für $k = \frac{1}{2}$ ist diese Gleichung erfüllt, also liegt $Z$ auf der Geraden $h$ durch $A$ und $D$.
$j=\pmatrix{0\\0\\5}+t\cdot\pmatrix{2,5\\2,5\\-2,5}\stackrel{!}{=}\pmatrix{2\\2\\3}$
Für $t = \frac{4}{5}$ ist diese Gleichung erfüllt, also liegt $Z$ auf der Geraden $j$ durch $E$ und $M$.
Da beide Geraden durch $Z$ verlaufen und linear unabhängig sind, müssen sich die Streben im Punkt $Z$ schneiden.
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Material mit eingezeichneten Streben
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Material mit eingezeichneten Streben
http://192.168.190.96/mathe/pruefungswissen/2016/b1_analytische_geometrie
3.2
$\blacktriangleright$  Erklärung im Sachzusammenhang
Um die Bedeutung der Zeilen im Sachzusammenhang zu erklären, betrachte jede Zeile einzeln und überlege dir, was berechnet wird. Dann überlege dir, was dies jeweils im Bezug auf das Dach bedeutet.
  • Die erste Zeile gibt die Richtungsvektoren der Geraden an, die die beiden Streben beschreiben.
  • Die zweite Zeile stellt das Skalarprodukt zwischen den Richtungsvektoren der beiden Geraden dar. Da es Null ist, müssen die Streben senkrecht zueinander stehen.
  • In Zeile 3 wird der Vektor $\overrightarrow{OZ}$ von $\overrightarrow{OE}$ abgezogen. Damit ergibt sich der Vektor $\overrightarrow{ZE}$.
  • Zeile 4 gibt die Berechnung des Flächeninhalts $A_{1}$ für das Dreieck $ADE$, also den oberen Teil des Dachs an. Der Flächeninhalt $A_{1}$ beträgt $9,8$m$^{2}$.
$\blacktriangleright$  Restlichen Flächeninhalt berechnen
Die restliche Fläche ist das Trapez $ABCD$. Um dessen Flächeninhalt zu bestimmen, kannst du die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes benutzen.
Flächeninhalt eines Trapezes: $\quad A=0,5\cdot(a+c)\cdot h$
Flächeninhalt eines Trapezes: $\quad A=0,5\cdot(a+c)\cdot h$
Dabei sind $a$ und $c$ die Längen der parallelen Seiten. In der Aufgabe sind diese die Strecken von $A$ nach $D$ und von $B$ nach $C$. Die Höhe $h$ entspricht der Strecke von $Z$ nach $M$.
Rechne also
$\begin{array}[t]{rll} A_{2}&=& 0,5\cdot\left(\vert\overrightarrow{AD}\vert+\vert\overrightarrow{BC}\vert\right)\cdot\vert\overrightarrow{ZM}\vert &\quad \scriptsize \\[5pt] A_{2}&=& 0,5\cdot \left(\left\vert\pmatrix{-4\\4\\0}\right\vert +\left\vert\pmatrix{-3\\3\\0}\right\vert\right)\cdot\left\vert\pmatrix{0,5\\0,5\\-0,5}\right\vert &\quad \scriptsize\\[5pt] A_{2}&=& 0,5\cdot(7\cdot\sqrt{2})\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] A_{2}&\approx& 4,29 \end{array}$
$A_{ges}=A_{1}+A_{2} \approx 9,8m^{2}+4,29m^{2} = 14,09m^{2}$
Der gesamte Flächeninhalt und somit der Materialverbrauch ist $14,09$m$^{2}$.
#trapez
Bildnachweise [nach oben]
1
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF
1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten von Punkt A bestimmen
Folgende Angaben hast du gegeben, um den Punkt $A$ zu bestimmen:
  • Der Punkt liegt in der $x$-$z$-Ebene, also muss die $y$-Koordinate gleich Null sein
  • Die Gerade durch $A$ und $D$ ist parallel zur Geraden durch $B$ und $C$
Du kannst die Gerade $g$ durch die Punkte $B$ und $C$ bestimmen. Mit dem Richtungsvektor dieser Geraden und dem Punkt $D$ lässt sich die Gerade $h$ aufstellen, welche durch $A$ und $D$ geht. Wenn du dann $h$ mit der $x$-$z$-Ebene schneidest, erhältst du die Koordinaten von Punkt $A$.
$g=\pmatrix{4 \\ 1 \\ 2,5}+t\cdot\left(\pmatrix{1 \\ 4 \\ 2,5}-\pmatrix{4 \\ 1 \\ 2,5}\right)=\pmatrix{4 \\ 1 \\ 2,5}+t\cdot\pmatrix{-3 \\ 3 \\ 0}$
$h=\pmatrix{0\\4\\3}+t\pmatrix{-3\\3\\0}$
Im Schnittpunkt der Geraden $h$ mit der $x$-$z$-Ebene muss die $y$-Koordinate Null sein.
Für die Lösung brauchst du also nur die $y$-Komponente:
$\begin{array}[t]{rll} 4+t\cdot 3&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] t\cdot 3&=& -4 &\quad \scriptsize \\[5pt] t&=& -\frac{4}{3} \end{array}$
Der Punkt $A$ hat somit den Ortsvektor $\overrightarrow{OA}=\pmatrix{0\\4\\3}-\dfrac{4}{3}\pmatrix{-3\\3\\0}=\pmatrix{4\\0\\3}$.
1.2
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Parameterform bestimmen
Du sollst eine Ebenengleichung in Parameterform und eine Ebenengleichung in Koordinatenform der Dach-Ebene bestimmen. Hierbei gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, deine Ergebnisse können also von den hier gezeigten abweichen.
Um eine Ebenengleichung in Parameterform aufstellen zu können, brauchst du einen Stützvektor und zwei Spannvektoren, die linear unabhängig sein müssen. Als Stützvektor wird hier der Ortsvektor des Punkts $E$ gewählt und als Spannvektoren die Richtungsvektoren von $E$ zu $A$ und $D$.
Allgemeine Form: $\quad E\quad: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AC}$
Allgemeine Form: $\quad E\quad: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AC}$
$E_{1}\quad:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{E}+s\cdot\overrightarrow{EA}+t\cdot\overrightarrow{ED}=\pmatrix{0\\0\\5}+s\cdot\pmatrix{4\\0\\-2}+t\cdot\pmatrix{0\\4\\-2}$
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform aufstellen
Die Koordinatenform setzt sich aus dem Normalenvektor der Ebene und einem mittels Punktprobe bestimmbaren Parameter $d$ zusammen. Den Normalenvektor kannst du mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren berechnen.
Allgemeine Form: $\quad E\quad: n_{1}\cdot c_{1}+n_{2}\cdot c_{2}+n_{3}\cdot c_{3}=d$
Allgemeine Form: $\quad E\quad: n_{1}\cdot c_{1}+n_{2}\cdot c_{2}+n_{3}\cdot c_{3}=d$
$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{EA}\times\overrightarrow{ED}$
$\overrightarrow{n}=\pmatrix{4\\0\\-2}\times\pmatrix{0\\4\\-2} = \pmatrix{8\\8\\16} = \pmatrix{1\\1\\2}$
Nun kannst du die Koordinaten eines beliebigen Punkts aus der Ebene in die Ebenengleichung $E_{1}\quad: 1\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}+2\cdot x_{3} = d$ einsetzen. $d$ ist damit $10$ und die Gleichung lautet $E_{1}\quad: 1\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}+2\cdot x_{3} = 10$.
1.3
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel berechnen
Du sollst jetzt den Winkel zwischen der gerade bestimmten Ebene und der Grundfläche, also der $x$-$y$-Ebene, berechnen. In deiner Formelsammlung hast du eine Formel für den Winkel zwischen zwei Ebenen gegeben. Dafür brauchst du die beiden Normalenvektoren. Den Normalenvektor des Dachs hast du schon in Aufgabe 1.2 berechnet und der Normalenvektor der Grundfläche ist $\overrightarrow{n_{2}}=\pmatrix{0\\0\\1}$. Achte bei der Berechnung des Winkels darauf, dass dein Taschenrechner auf "degree" und nicht auf "radian" eingestellt ist.
Allgemeine Formel: $\quad\cos(\alpha)=\dfrac{\mid\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}\mid}{\mid\overrightarrow{n_{1}}\mid\cdot\mid\overrightarrow{n_{2}}\mid}$
Allgemeine Formel: $\quad\cos(\alpha)=\dfrac{\mid\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}\mid}{\mid\overrightarrow{n_{1}}\mid\cdot\mid\overrightarrow{n_{2}}\mid}$
Setze jetzt beide Normalenvektoren ein:
$\cos(\alpha)=\dfrac{\left\vert\pmatrix{1\\1\\2}\circ\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{1\\1\\2}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert}$
Du musst im Zähler das Skalarprodukt bilden und im Nenner die Beträge der Vektoren multiplizieren:
$\cos(\alpha)=\dfrac{2}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{1}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$
$\alpha=\arccos{\left(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)} = 35,26^{\circ}$
Somit ist der Winkel zwischen der Ebene des Dachs und der Grundläche $35,26^{\circ}$. Die Bedingung, dass die Dachneigung mindestens $30^{\circ}$ sein soll, ist also erfüllt.
#lineareabhängigkeit#kreuzprodukt#geradengleichung#normalenvektor#skalarprodukt
2.
$\blacktriangleright$  Abstand zwischen Dach und Sonnensegel berechnen
An der Gleichung der zweiten Ebene kannst du ablesen, dass $E_{1}$ und $E_{2}$ parallel sein müssen, da die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind. Den Abstand der beiden Ebenen kannst du mit einer Formel aus der Formelsammlung bestimmen:
Abstand paralleler Ebenen: $\quad d=\left\vert\dfrac{\overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})}{\vert\overrightarrow{n}\vert}\right\vert$
Abstand paralleler Ebenen: $\quad d=\left\vert\dfrac{\overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})}{\vert\overrightarrow{n}\vert}\right\vert$
$\overrightarrow{n}$ ist der Normalenvektor der beiden Ebenen, $\overrightarrow{p}$ ein Ortsvektor eines Punkts in der ersten Ebene. $\overrightarrow{a}$ ist der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der zweiten Ebene.
Du benötigst also den Normalenvektor und einen Punkt der Ebene $E_{2}$, um den Abstand zu $E_{1}$ zu berechnen.
Den Normalenvektor von $E_{1}$ hast du aus der vorangegangenen Aufgabe gegeben. Alternativ kannst du den Normalenvektor von $E_{2}$ direkt aus der Koordinatenform ablesen: $\overrightarrow{n}=\pmatrix{1\\1\\2}$.
Um einen Punkt $P$ in der Ebene $E_{2}$ zu finden, musst du die $x$, $y$ und $z$ Koordinaten so wählen, dass die Koordinatenform eine wahre Aussage ergibt. Setze zum Beispiel $x=0$, $y=0$ und $z=5,1$.
Die Koordinatenform ist dann $1\cdot0+1\cdot0+2\cdot5,1=10,2$ und der Ortsvektor von $P$ ergibt sich zu $\overrightarrow{p}=\pmatrix{0\\0\\5,1}$
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Für $\overrightarrow{a}$ kannst du den Ortsvektor eines beliebigen Punkts der Ebene $E_{1}$ wählen, hier wird Punkt $E$ verwendet. Setze jetzt den Normalenvektor von $E_{2}$, den Ortsvektor des Punkts $P$ und den Ortsvektor von $E$ in die Formel ein.
$d=\left\vert\dfrac{\pmatrix{1\\1\\2}\circ\left(\pmatrix{0\\0\\5,1}-\pmatrix{0\\0\\5}\right)}{\left\vert\pmatrix{1\\1\\2}\right\vert}\right\vert = \dfrac{0,2}{\sqrt{6}}\approx 0,082 $
Der Abstand zwischen $E_{1}$ und $E_{2}$ beträgt also, wie in der Aufgabenstellung angegeben, etwa $8$cm.
#normalenvektor
3.1
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt der Stützstreben bestimmen
Damit $Z$ der Schnittpunkt der beiden Streben sein kann, muss $Z$ auf beiden Geraden liegen. Du kannst also überprüfen, ob $Z$ auf der Gerade $h$ durch $A$ und $D$ sowie der Geraden $j$ durch $E$ und $M$ liegt. Trifft dies zu und sind beide Geraden nicht identisch muss $Z$ der Schnittpunkt sein. Überprüfe mittels Punktprobe:
$h=\pmatrix{4\\0\\3}+k\cdot\pmatrix{-4\\4\\0}\stackrel{!}{=}\pmatrix{2\\2\\3}$
Für $k = \frac{1}{2}$ ist diese Gleichung erfüllt, also liegt $Z$ auf der Geraden $h$ durch $A$ und $D$.
$j=\pmatrix{0\\0\\5}+t\cdot\pmatrix{2,5\\2,5\\-2,5}\stackrel{!}{=}\pmatrix{2\\2\\3}$
Für $t = \frac{4}{5}$ ist diese Gleichung erfüllt, also liegt $Z$ auf der Geraden $j$ durch $E$ und $M$.
Da beide Geraden durch $Z$ verlaufen und linear unabhängig sind, müssen sich die Streben im Punkt $Z$ schneiden.
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Material mit eingezeichneten Streben
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Material mit eingezeichneten Streben
3.2
$\blacktriangleright$  Erklärung im Sachzusammenhang
Um die Bedeutung der Zeilen im Sachzusammenhang zu erklären, betrachte jede Zeile einzeln und überlege dir, was berechnet wird. Dann überlege dir, was dies jeweils im Bezug auf das Dach bedeutet.
  • Die erste Zeile gibt die Richtungsvektoren der Geraden an, die die beiden Streben beschreiben.
  • Die zweite Zeile stellt das Skalarprodukt zwischen den Richtungsvektoren der beiden Geraden dar. Da es Null ist, müssen die Streben senkrecht zueinander stehen.
  • In Zeile 3 wird der Vektor $\overrightarrow{OZ}$ von $\overrightarrow{OE}$ abgezogen. Damit ergibt sich der Vektor $\overrightarrow{ZE}$.
  • Zeile 4 gibt die Berechnung des Flächeninhalts $A_{1}$ für das Dreieck $ADE$, also den oberen Teil des Dachs an. Der Flächeninhalt $A_{1}$ beträgt $9,8$m$^{2}$.
$\blacktriangleright$  Restlichen Flächeninhalt berechnen
Die restliche Fläche ist das Trapez $ABCD$. Um dessen Flächeninhalt zu bestimmen, kannst du die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes benutzen.
Flächeninhalt eines Trapezes: $\quad A=0,5\cdot(a+c)\cdot h$
Flächeninhalt eines Trapezes: $\quad A=0,5\cdot(a+c)\cdot h$
Dabei sind $a$ und $c$ die Längen der parallelen Seiten. In der Aufgabe sind diese die Strecken von $A$ nach $D$ und von $B$ nach $C$. Die Höhe $h$ entspricht der Strecke von $Z$ nach $M$.
Rechne also
$\begin{array}[t]{rll} A_{2}&=& 0,5\cdot\left(\vert\overrightarrow{AD}\vert+\vert\overrightarrow{BC}\vert\right)\cdot\vert\overrightarrow{ZM}\vert &\quad \scriptsize \\[5pt] A_{2}&=& 0,5\cdot \left(\left\vert\pmatrix{-4\\4\\0}\right\vert +\left\vert\pmatrix{-3\\3\\0}\right\vert\right)\cdot\left\vert\pmatrix{0,5\\0,5\\-0,5}\right\vert &\quad \scriptsize\\[5pt] A_{2}&=& 0,5\cdot(7\cdot\sqrt{2})\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] A_{2}&\approx& 4,29 \end{array}$
$A_{ges}=A_{1}+A_{2} \approx 9,8m^{2}+4,29m^{2} = 14,09m^{2}$
Der gesamte Flächeninhalt und somit der Materialverbrauch ist $14,09$m$^{2}$.
#trapez
Bildnachweise [nach oben]
1
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App