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Aufgaben
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Zur Fußballweltmeisterschaft 2014 bietet ein Schokoladenhersteller zusätzlich zu jeder Tafel Schokolade ein (von außen nicht erkennbares) Sammelbild an. Die Bilder zeigen Spieler aller beteiligten Nationen. Besonders beliebt sind die Sammelbilder mit den deutschen Nationalspielern. Nach Angaben des Herstellers enthält jede fünfte Tafel ein Bild eines Spielers der deutschen Nationalmannschaft. Die Bilder werden völlig zufällig in die Verpackungen gelegt.
1. Peter kauft im Supermarkt 20 Tafeln Schokolade. Es sollen folgende Ereignisse betrachtet werden:
A: Er findet genau vier Bilder deutscher Nationalspieler.
B: Es sind mindestens sechs Bilder deutscher Nationalspieler dabei.
C: Peter findet in der letzten geöffneten Verpackung zum ersten Mal das Bild eines deutschen Nationalspielers.
Begründen Sie, dass man die Zufallsexperimente A und B als Bernoulli-Kette auffassen kann, und geben Sie deren Parameter an.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der oben genannten Ereignisse.
(8P)
2. Inga möchte unbedingt ein Bild irgendeines deutschen Nationalspielers bekommen. Berechnen Sie die Anzahl der Schokoladentafeln, die sie mindestens kaufen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein solches Bild zu erhalten.
(5P)
3. Die Filialleiterin eines Supermarktes führt eine Werbeaktion durch. Sie verspricht jedem Kunden, der einen Karton mit 20 Schokoladentafeln kauft und dabei nicht mindestens zwei Bilder eines deutschen Nationalspielers bekommt, die Auszahlung von 10 Euro. An einem Karton mit 20 Tafeln Schokolade macht sie außerhalb der Werbeaktion einen Gewinn von 5 Euro.
Berechnen Sie den zu erwartenden Gewinn pro verkauftem Karton während der Werbeaktion.
(6P)
4. Die Filialleiterin hat nach einiger Zeit den Verdacht, dass der Anteil der Bilder deutscher Nationalspieler unter 20 % liegt. Sie untersucht 100 Schokoladentafeln und wird dem Hersteller weiterhin vertrauen, wenn sie mehr als 15 Bilder deutscher Nationalspieler findet.
4.1 Bestimmen Sie unter diesen Voraussetzungen die Wahrscheinlichkeit, mit der die Filialleiterin den Hersteller zu Unrecht verdächtigen wird.
(6P)
4.2 Erklären Sie, unter welcher Voraussetzung man die Wahrscheinlichkeit berechnen könnte, mit der die Filialleiterin dem Hersteller fälschlicherweise glaubt, und leiten Sie eine Formel zur Berechnung her.
(5P)
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1. $\blacktriangleright$Begründen, dass $A$ und $B$ als Bernoulli-Ketten aufgefasst werden können
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass ein Schokoladenhersteller zur Fußballweltmeisterschaft 2014 zusätzlich zu jeder Tafel Schokolade ein (von außen nicht erkennbares) Sammelbild in die Schokoladenpackung hineinlegt. Auf diesen Sammelbildern sind Spieler aller beteiligter Länder zu finden und besonders beliebt sind dabei die Sammelbilder mit den Bildern der Spieler der deutschen Nationalmannschaft. Der Hersteller gibt dazu an, dass sich in jeder fünften Schokoladenpackung eines dieser Bilder befindet.
Peter kauft nun 20 Tafeln Schokolade. Du betrachtest dazu die Ereignisse $A$, $B$ und $C$.
Deine Aufgabe ist es zunächst, zu erklären, dass man die Zufallsexperimente $A$ und $B$, mit
  • $A$: „Er findet genau vier Bilder deutscher Nationalspieler.“ und
  • $B$: „Es sind mindestens sechs Bilder deutscher Nationalspieler dabei.“
als Bernoulli-Kette auffassen kann und weiterhin sollst du deren Parameter angeben.
Von einer Bernoulli-Kette spricht man dann, wenn ein Zufallsexperiment aus einer endlichen Folge von unabhängigen Versuchen besteht. Dabei wird ein Ereignis betrachtet, welches entweder eintritt oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis muss bei einer Bernoulli-Kette zwischen den Versuchen die gleiche bleiben. Das heißt, es ist egal, wie oft der Versuch schon durchgeführt wurde oder wie oft er noch durchgeführt wird, die Wahrscheinlichkeit für das betrachtete Ereignis muss immer die gleiche sein.
Die Parameter einer Bernoulli-Kette sind dabei die folgenden:
  • $p$: Wahrscheinlichkeit für das Ereignis.
  • $n$: Anzahl der Versuche.
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A$
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $A$, $B$ und $C$ berechnen. Ereignis $A$ ist dabei gegeben mit:
  • $A$: „Er findet genau vier Bilder deutscher Nationalspieler.“
Der Aufgabenstellung kannst du dazu hier nochmals entnehmen, dass Peter insgesamt 20 Tafeln Schokolade kauft und dass sich in diesen, mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{5}$, ein Bild eines deutschen Nationalspielers befindet. Willst du nun bestimmen, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich genau 4 Bilder deutscher Nationalspieler unter den 20 gekauften befinden, so betrachtest du hier Zufallsvariable $X$.
Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der Bilder der deutschen Nationalspieler unter den 20 gekauften Tafeln Schokolade an. Da die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines solchen Bildes mit $\frac{1}{5}$ immer die gleiche bleibt und es sich dadurch näherungsweise um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt, kann $X$ als binomialverteilt angenommen werden. Das heißt Zufallsvariable $X$ ist mit $p = \frac{1}{5}$ und $n = 20$ binomialverteilt.
Da du hier die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen willst, dass Peter genau 4 Bilder von deutschen Nationalspielern findet, suchst du die Wahrscheinlichkeit $P(X = 4)$. Da es sich bei $X$ um eine binomialverteilte Zufallsvariable handelt, lassen sich Wahrscheinlichkeiten der Art $P (X = k)$ über folgenden Ansatz berechnen:
$P(X = k) = \dbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot \left(1 - p\right)^{n - k}$
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$
Ereignis $B$ ist gegeben mit:
  • $B$: „Es sind mindestens sechs Bilder deutscher Nationalspieler dabei.“
Auch hier betrachtest du wieder die Zufallsvariable $X$, die mit gleicher Begründung wie oben, mit $p = \frac{1}{5}$ und $n = 20$ binomialverteilt ist. Zufallsvariable $X$ beschreibt auch hier die Anzahl der Tafeln mit Bildern deutscher Nationalspieler. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass sich mindestens 6 Bilder von deutschen Nationalspieler unter den 20 Tafeln befinden. Gesucht ist also $P ( X \geq 6)$.
Willst du die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen, so verwendest du hier folgenden Berechnungsansatz:
$P(X \leq k) = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k} \dbinom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}$
Hast du eine Tabelle zur summierten Binomialverteilung zur Hand, so kannst du auch diese verwenden.
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $C$
Ereignis $C$ ist gegeben mit:
  • $C$: „Peter findet in der letzten geöffneten Verpackung zum ersten Mal das Bild eines deutschen Nationalspielers.“
Hier sollst du also die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass nur in der letzten von Peter geöffneten Verpackung das Bild eines deutschen Nationalspielers enthalten ist. Hier ist also die Reihenfolge entscheidend. Willst du die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(C)$ berechnen, so musst du dir Folgendes klar machen:
  • Peter muss 19 Packungen öffnen, in denen sich kein Bild von einem deutschen Nationalspieler befindet.
  • Die Wahrscheinlichkeit eine Packung zu öffnen, in der sich kein Bild eines deutschen Nationalspielers befindet, ist $\frac{4}{5}$.
  • Die letzte geöffnete Packung muss das Bild eines deutschen Nationalspielers enthalten.
2. $\blacktriangleright$Bestimmen der Anzahl der zu kaufenden Schokoladentafeln
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass Inga unbedingt das Bild irgendeines deutschen Nationalspielers bekommen will. Deine Aufgabe ist es nun, die Anzahl der Schokoladentafeln zu berechnen, die Inga kaufen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% mindestens ein solches Bild zu erhalten.
Willst du diese Aufgabe lösen, so musst du hier wieder eine Zufallsvariable, für die Anzahl der Bilder der deutschen Nationalspieler, einführen. Diese sei hier $Y$. Mit gleicher Begründung wie im Aufgabenteil 1 ist die Zufallsvariable $Y$ binomialverteilt. Da sich die Wahrscheinlichkeit, ein Bild eines deutschen Nationalspielers zu ziehen, nicht verändert hat, gilt auch für $Y$ $p = \frac{1}{5}$. Die Anzahl $n$ der gekauften Packungen ist unbekannt.
Die Anzahl $n$ der zu kaufenden Packungen musst du nun so bestimmen, dass für $Y$ gilt:
$P(Y \geq 1) \geq 0,99$
Um diese Ungleichung zu lösen, musst du hier die linke Seite der Ungleichung zunächst vereinfachen. Nutze dazu die Gegenwahrscheinlichkeit und die Formel für die summierte Binomialverteilung (siehe Aufgabenteil 1).
3. $\blacktriangleright$Berechnen des erwarteten Gewinns pro verkauftem Karton
Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass die Filialleiterin eines Supermarktes eine Werbeaktion mit den Schokoladentafeln durchführt. Sie verspricht jedem Kunden, der einen Karton mit 20 Schokoladentafeln kauft und dabei nicht mindestens 2 Bilder von deutschen Nationalspielern bekommt, eine Auszahlung von 10 €. Weiterhin macht sie an einem Karton mit 20 Tafeln Schokolade einen Gewinn von 5 €.
Deine Aufgabe ist es nun, den erwarteten Gewinn $E(G)$ pro verkauftem Karton zu berechnen.
Willst du den erwarteten Gewinn $E(G)$ pro verkauftem Karton berechnen, so musst du dir hier folgende Gesichtspunkte vor Augen führen:
  • Die Filialleiterin nimmt 5 € an jedem verkauften Karton ein, ganz gleich, ob dieser weniger als 2 Bilder von deutschen Nationalspielern enthält.
  • Befinden sich weniger als 2 Bilder von deutschen Nationalspielern im Karton, so muss die Filialleiterin 10 € an den Kunden auszahlen.
  • Den erwarteten Gewinn berechnest du über das Produkt von Auszahlung und der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Auszahlung.
4.
4.1 $\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit, mit welcher der Hersteller zu Unrecht verdächtig wird
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass die Filialleiterin nach einiger Zeit den Verdacht hat, dass der Anteil der Bilder deutscher Nationalspieler unter 20% bzw. $\frac{1}{5}$ liegt. Um ihren Verdacht zu bestätigten, untersucht diese nun 100 Schokoladentafeln. Findet sie in diesen mehr als 15 Bilder von deutschen Nationalspielern, so wird sie dem Hersteller weiterhin vertrauen.
Deine Aufgabe ist es nun, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass die Filialleiterin unter diesen Voraussetzungen, den Hersteller zu Unrecht verdächtigt.
Der Hersteller der Schokoladentafeln, wird hier zu Unrecht verdächtig, wenn der Anteil der Schokoladentafeln mit den Bildern deutscher Nationalspieler tatsächlich 20% bzw. $\frac{1}{5}$ ist, die Filialleiterin aber unter den 100 untersuchten Schokoladentafeln weniger als 15 findet, in denen ein Bild eines deutsche Nationalspielers ist.
Würde die Filialleiterin ihren Versuch hier als Hypothesentest verfassen, so würde sie hier folgende Nullhypothese testen:
$H_0:\quad p \geq 0,2$
Hier ist also die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass diese Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. Das ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art.
Willst du diese Wahrscheinlichkeit hier berechnen, so betrachtest du zunächst die Zufallsvariable $Z$. Zufallsvariable $Z$ beschreibt hier die Anzahl der Bilder deutscher Nationalspieler unter den 100 untersuchten Schokoladentafeln und ist mit gleicher Begründung wie in den Aufgabenteilen zuvor binomialverteilt. $Z$ ist also mit $n = 100$ und $p = \frac{1}{5}$ binomialverteilt.
4.2 $\blacktriangleright$Herleiten einer Formel zur Berechnung
Nun sollst du erklären, unter welchen Voraussetzungen man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen könnte, mit der die Filialleiterin fälschlicher Weise dem Hersteller glaubt. Hast du diese Voraussetzungen geklärt, so sollst du eine Formel herleiten, mit welcher man diese Wahrscheinlichkeit berechnen könnte.
Glaubt die Filialleiterin fälschlicher Weise dem Hersteller, so findet sie mit ihrem Hypothesentest heraus, dass der Anteil der Schokoladentafeln mit den bestimmten Bildern bei mindestens 20% liegt, obwohl dieser niedriger ist. Das heißt, die oben aufgestellte Nullhypothese mit
$H_0:\quad p \geq 0,2$
wird fälschlicher Weise angenommen. Wird die Nullhypothese $H_0$ fälschlicher Weise angenommen bzw. die Gegenhypothese $H_1$ fälschlicherweise verworfen, so spricht man vom Fehler 2. Art.
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Lösungen TI
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1. $\blacktriangleright$Begründen, dass $A$ und $B$ als Bernoulli-Ketten aufgefasst werden können
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass ein Schokoladenhersteller zur Fußballweltmeisterschaft 2014 zusätzlich zu jeder Tafel Schokolade ein (von außen nicht erkennbares) Sammelbild in die Schokoladenpackung hineinlegt. Auf diesen Sammelbildern sind Spieler aller beteiligter Länder zu finden und besonders beliebt sind dabei die Sammelbilder mit den Bildern der Spieler der deutschen Nationalmannschaft. Der Hersteller gibt dazu an, dass sich in jeder fünften Schokoladenpackung eines dieser Bilder befindet.
Peter kauft nun 20 Tafeln Schokolade. Du betrachtest dazu die Ereignisse $A$, $B$ und $C$.
Deine Aufgabe ist es zunächst, zu erklären, dass man die Zufallsexperimente $A$ und $B$, mit
  • $A$: „Er findet genau vier Bilder deutscher Nationalspieler.“ und
  • $B$: „Es sind mindestens sechs Bilder deutscher Nationalspieler dabei.“
als Bernoulli-Kette auffassen kann und weiterhin sollst du deren Parameter angeben.
Von einer Bernoulli-Kette spricht man dann, wenn ein Zufallsexperiment aus einer endlichen Folge von unabhängigen Versuchen besteht. Dabei wird ein Ereignis betrachtet, welches entweder eintritt oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis muss bei einer Bernoulli-Kette zwischen den Versuchen die gleiche bleiben. Das heißt, es ist egal, wie oft der Versuch schon durchgeführt wurde oder wie oft er noch durchgeführt wird, die Wahrscheinlichkeit für das betrachtete Ereignis muss immer die gleiche sein.
Die Parameter einer Bernoulli-Kette sind dabei die folgenden:
  • $p$: Wahrscheinlichkeit für das Ereignis.
  • $n$: Anzahl der Versuche.
Bei Ereignis $A$ sucht man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter 20 Tafeln Schokolade genau vier mit Bildern von deutschen Nationalspielern befinden. Bei Ereignis $B$ sucht man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens 6 Bilder von deutschen Nationalspielern unter den 20 gekauften Schokoladenpackungen befinden.
Da sich die Wahrscheinlichkeit für das Auspacken eines Bildes eines deutschen Nationalspielers weder beim Zufallsexperiment $A$ noch bei $B$ zwischen den Versuchen verändert und die Anzahl der Versuche in beiden Fällen 20 ist, handelt es sich jeweils um Bernoulli-Ketten.
Diese besitzen die Parameter:
  • Wahrscheinlichkeit $p = \frac{1}{5}$ und
  • Anzahl Versuche $n= 20$.
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A$
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $A$, $B$ und $C$ berechnen. Ereignis $A$ ist dabei gegeben mit:
  • $A$: „Er findet genau vier Bilder deutscher Nationalspieler.“
Der Aufgabenstellung kannst du dazu hier nochmals entnehmen, dass Peter insgesamt 20 Tafeln Schokolade kauft und dass sich in diesen, mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{5}$, ein Bild eines deutschen Nationalspielers befindet. Willst du nun bestimmen, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich genau 4 Bilder deutscher Nationalspieler unter den 20 gekauften befinden, so betrachtest du hier Zufallsvariable $X$.
Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der Bilder der deutschen Nationalspieler unter den 20 gekauften Tafeln Schokolade an. Da die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines solchen Bildes mit $\frac{1}{5}$ immer die gleiche bleibt und es sich dadurch näherungsweise um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt, kann $X$ als binomialverteilt angenommen werden. Das heißt Zufallsvariable $X$ ist mit $p = \frac{1}{5}$ und $n = 20$ binomialverteilt.
Da du hier die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen willst, dass Peter genau 4 Bilder von deutschen Nationalspielern findet, suchst du die Wahrscheinlichkeit $P(X = 4)$. Da es sich bei $X$ um eine binomialverteilte Zufallsvariable handelt, lassen sich Wahrscheinlichkeiten der Art $P (X = k)$ über folgenden Ansatz berechnen:
$P(X = k) = \dbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot \left(1 - p\right)^{n - k}$
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Willst du nun die Wahrscheinlichkeit $P(X = 4)$ berechnen, so kannst du das CAS verwenden. Wähle dazu unter
5 $\to$ 5 $\to$ D:binomialPdf()
den entsprechenden Befehl aus und gib $n=20$, $p=\frac{1}{5}$ und $x=4$ an.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den 20 gekauften Tafeln genau 4 Tafeln mit Bildern deutscher Nationalspieler befinden, ist 0,2182 bzw. 21,82%.
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$
Ereignis $B$ ist gegeben mit:
  • $B$: „Es sind mindestens sechs Bilder deutscher Nationalspieler dabei.“
Auch hier betrachtest du wieder die Zufallsvariable $X$, die mit gleicher Begründung wie oben, mit $p = \frac{1}{5}$ und $n = 20$ binomialverteilt ist. Zufallsvariable $X$ beschreibt auch hier die Anzahl der Tafeln mit Bildern deutscher Nationalspieler. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass sich mindestens 6 Bilder von deutschen Nationalspieler unter den 20 Tafeln befinden. Gesucht ist also $P ( X \geq 6)$.
Willst du die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen, so verwendest du hier folgenden Berechnungsansatz:
$P(X \leq k) = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k} \dbinom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}$
Da du nur Wahrscheinlichkeiten der Art \(P(X \leq k)\) mit dem gezeigten Ansatz berechnen kannst, musst du hier das Gegenereignis verwenden.
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Gehe beim Berechnen also so vor:
$P(X \geq 6) = 1 - P(X \leq 5)$
Willst du nun die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 5)$ berechnen, so kannst du das CAS verwenden. Wähle dazu unter
5 $\to$ 5 $\to$ E:binomialCdf()
den entsprechenden Befehl aus und gib $n=20$, $p=\frac{1}{5}$ und $x=5$ an.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Peter mindestens 6 Bilder deutscher Nationalspieler erhält, beträgt 0,1958 bzw. 19,58%.
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $C$
Ereignis $C$ ist gegeben mit:
  • $C$: „Peter findet in der letzten geöffneten Verpackung zum ersten Mal das Bild eines deutschen Nationalspielers.“
Hier sollst du also die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass nur in der letzten von Peter geöffneten Verpackung das Bild eines deutschen Nationalspielers enthalten ist. Hier ist also die Reihenfolge entscheidend. Willst du die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(C)$ berechnen, so musst du dir Folgendes klar machen:
  • Peter muss 19 Packungen öffnen, in denen sich kein Bild von einem deutschen Nationalspieler befindet.
  • Die Wahrscheinlichkeit eine Packung zu öffnen, in der sich kein Bild eines deutschen Nationalspielers befindet, ist $\frac{4}{5}$.
  • Die letzte geöffnete Packung muss das Bild eines deutschen Nationalspielers enthalten.
Peter öffnet also 19-Mal eine Packung ohne Bild eines deutschen Nationalspielers und genau einmal eine Packung mit Bild eines deutschen Nationalspielers, es gilt also:
$P(C)=\left(\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot … \cdot \frac{4}{5}\right) \cdot \frac{1}{5}\;=\;\left(\frac{4}{5}\right)^{19} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^1 \approx 0,00288$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Peter nur in der letzten geöffneten Packung das Bild eines deutschen Nationalspielers erhält, beträgt also 0,00288 bzw. 0,288%.
2. $\blacktriangleright$Bestimmen der Anzahl der zu kaufenden Schokoladentafeln
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass Inga unbedingt das Bild irgendeines deutschen Nationalspielers bekommen will. Deine Aufgabe ist es nun, die Anzahl der Schokoladentafeln zu berechnen, die Inga kaufen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% mindestens ein solches Bild zu erhalten.
Willst du diese Aufgabe lösen, so musst du hier wieder eine Zufallsvariable, für die Anzahl der Bilder der deutschen Nationalspieler, einführen. Diese sei hier $Y$. Mit gleicher Begründung wie im Aufgabenteil 1 ist die Zufallsvariable $Y$ binomialverteilt. Da sich die Wahrscheinlichkeit, ein Bild eines deutschen Nationalspielers zu ziehen, nicht verändert hat, gilt auch für $Y$ $p = \frac{1}{5}$. Die Anzahl $n$ der gekauften Packungen ist unbekannt.
Die Anzahl $n$ der zu kaufenden Packungen musst du nun so bestimmen, dass für $Y$ gilt:
$P(Y \geq 1) \geq 0,99$
Um diese Ungleichung zu lösen, musst du hier die linke Seite der Ungleichung zunächst vereinfachen. Nutze dazu die Gegenwahrscheinlichkeit und die Formel für die summierte Binomialverteilung (siehe Aufgabenteil 1).
$\begin{array}{lcll} P(Y \geq 1)&\geq&0,99&\\ 1 - P(Y < 1)&\geq&0,99&\\ 1 - P(Y \leq 0)&\geq&0,99&\\ 1 - \left(\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{0} \dbinom{n}{i} \cdot \frac{1}{5}^i \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right)^{n - i}\right)&\geq&0,99&\\ 1 - \left(\dbinom{n}{0} \cdot \dfrac{1}{5}^0 \cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n - 0}\right)&\geq&0,99&\scriptsize{\text{mit}\;\dbinom{n}{0} = 1}\\ 1 - \left(1 \cdot 1 \cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}\right)&\geq&0,99&\\ 1 - \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&\geq&0,99&\scriptsize{\mid \; - 1}\\ - \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&\geq&0,99 - 1&\scriptsize{\mid \;:( - 1 )}\\ \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&\leq&0,01&\scriptsize{\mid \;\ln(\;)}\\ n \cdot \ln\left(\dfrac{4}{5}\right)&\leq&\ln(0,01)&\scriptsize{\mid \;:\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\hspace{.2cm}(\text{Achtung!}\; \ln\left(\frac{4}{5}\right) < 0)}\\ n &\geq&\dfrac{\ln(0,01)}{\ln\left(\frac{4}{5}\right)}&\\ n &\geq&20,64&\\ \end{array}$
Inga muss mindestens 21 Packungen Schokoladentafeln kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99%, das Bild eines deutschen Nationalspielers zu erhalten.
3. $\blacktriangleright$Berechnen des erwarteten Gewinns pro verkauftem Karton
Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass die Filialleiterin eines Supermarktes eine Werbeaktion mit den Schokoladentafeln durchführt. Sie verspricht jedem Kunden, der einen Karton mit 20 Schokoladentafeln kauft und dabei nicht mindestens 2 Bilder von deutschen Nationalspielern bekommt, eine Auszahlung von 10 €. Weiterhin macht sie an einem Karton mit 20 Tafeln Schokolade einen Gewinn von 5 €.
Deine Aufgabe ist es nun, den erwarteten Gewinn $E(G)$ pro verkauftem Karton zu berechnen.
Willst du den erwarteten Gewinn $E(G)$ pro verkauftem Karton berechnen, so musst du dir hier folgende Gesichtspunkte vor Augen führen:
  • Die Filialleiterin nimmt 5 € an jedem verkauften Karton ein, ganz gleich, ob dieser weniger als 2 Bilder von deutschen Nationalspielern enthält.
  • Befinden sich weniger als 2 Bilder von deutschen Nationalspielern im Karton, so muss die Filialleiterin 10 € an den Kunden auszahlen.
  • Den erwarteten Gewinn berechnest du über das Produkt von Auszahlung und der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Auszahlung.
Die Filialleiterin verdient also in jedem Fall 5 € an einem Karton Schokolade. Tritt nun der Fall ein, dass weniger als 2 Bilder von deutschen Nationalspielern sich im Karton befinden, so verringert sich dieser Gewinn von 5 € um 10 € und die Filialleiterin macht Verluste. Da sich der erwartete Gewinn aus dem Produkt zwischen Auszahlung und der Wahrscheinlichkeit für die Auszahlung ergibt, berechnest du den hier gesuchten erwarteten Gewinn $E(G)$ wie folgt:
$E(G) = 5\,\text{€} \cdot 100\,\% - 10\,\text{€}\;\cdot P(X < 2)$
Um den hier gesuchten erwarteten Gewinn zu berechnen, betrachtest du auch hier wieder Zufallsvariable $X$ aus Aufgabenteil 1, da hier die Parameter von $X$ mit den Gegebenheiten der Aufgabe übereinstimmen. Mit Hilfe der summierten Binomialverteilung ergibt sich der hier erwartete Gewinn zu:
$\begin{array}{rcl} E(G)&=&5\,\text{€} \cdot 100\,\% - 10\,\text{€}\;\cdot P(X < 2)\;=\;5\,\text{€} - 10\,\text{€}\;\cdot P(X \leq 1)&\\ &=&5\,\text{€} - 10\,\text{€}\cdot\left(P(X = 0) + P(X = 1)\right)&\\ &=&5\,\text{€} - 10\,\text{€}\cdot\left(\dbinom{20}{0} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^0 \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right)^{20 - 0} + \dbinom{20}{1} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^1 \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right)^{20 - 1}\right)&\\ &=&5\,\text{€} - 10\,\text{€}\cdot\left(1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{20} + 20 \cdot \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{19}\right)&\\ &=&5\,\text{€} - 10\,\text{€}\cdot\left(0,0115 + 0,0576\right)&\\ &=&5\,\text{€} - 10\,\text{€}\cdot 0,0691\;\approx\;4,31&\\ \end{array}$
Der erwartete Gewinn pro verkauftem Karton Schokolade ist also 4,31 €.
4.
4.1 $\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit, mit welcher der Hersteller zu Unrecht verdächtig wird
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass die Filialleiterin nach einiger Zeit den Verdacht hat, dass der Anteil der Bilder deutscher Nationalspieler unter 20% bzw. $\frac{1}{5}$ liegt. Um ihren Verdacht zu bestätigten, untersucht diese nun 100 Schokoladentafeln. Findet sie in diesen mehr als 15 Bilder von deutschen Nationalspielern, so wird sie dem Hersteller weiterhin vertrauen.
Deine Aufgabe ist es nun, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass die Filialleiterin unter diesen Voraussetzungen, den Hersteller zu Unrecht verdächtigt.
Der Hersteller der Schokoladentafeln, wird hier zu Unrecht verdächtig, wenn der Anteil der Schokoladentafeln mit den Bildern deutscher Nationalspieler tatsächlich 20% bzw. $\frac{1}{5}$ ist, die Filialleiterin aber unter den 100 untersuchten Schokoladentafeln weniger als 15 findet, in denen ein Bild eines deutsche Nationalspielers ist.
Würde die Filialleiterin ihren Versuch hier als Hypothesentest verfassen, so würde sie hier folgende Nullhypothese testen:
$H_0:\quad p \geq 0,2$
Hier ist also die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass diese Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. Das ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art.
Willst du diese Wahrscheinlichkeit hier berechnen, so betrachtest du zunächst die Zufallsvariable $Z$. Zufallsvariable $Z$ beschreibt hier die Anzahl der Bilder deutscher Nationalspieler unter den 100 untersuchten Schokoladentafeln und ist mit gleicher Begründung wie in den Aufgabenteilen zuvor binomialverteilt. $Z$ ist also mit $n = 100$ und $p = \frac{1}{5}$ binomialverteilt.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dem Hersteller zu Unrecht misstraut wird und $H_0$ fälschlicherweise abgelehnt wird, ist hier also die Wahrscheinlichkeit, dass $Z$ einen Wert kleiner gleich 15 annimmt, obwohl $p = \frac{1}{5}$ gilt:
$P(Z < 16) \Leftrightarrow P(Z \leq 15)$
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Berechne nun die Wahrscheinlichkeit $P(Z \leq 15)$ wie in den Aufgabenteilen zuvor mit Hilfe des CAS. Wähle dazu unter
5 $\to$ 5 $\to$ E:binomialCdf()
den entsprechenden Befehl aus und gib $n=100$, $p=\frac{1}{5}$ und $x=15$ an.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1285 bzw. 12,85% verdächtigt die Filialleiterin den Hersteller der Schokoladentafeln zu Unrecht.
4.2 $\blacktriangleright$Herleiten einer Formel zur Berechnung
Nun sollst du erklären, unter welchen Voraussetzungen man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen könnte, mit der die Filialleiterin fälschlicher Weise dem Hersteller glaubt. Hast du diese Voraussetzungen geklärt, so sollst du eine Formel herleiten, mit welcher man diese Wahrscheinlichkeit berechnen könnte.
Glaubt die Filialleiterin fälschlicher Weise dem Hersteller, so findet sie mit ihrem Hypothesentest heraus, dass der Anteil der Schokoladentafeln mit den bestimmten Bildern bei mindestens 20% liegt, obwohl dieser niedriger ist. Das heißt, die oben aufgestellte Nullhypothese mit
$H_0:\quad p \geq 0,2$
wird fälschlicher Weise angenommen. Wird die Nullhypothese $H_0$ fälschlicher Weise angenommen bzw. die Gegenhypothese $H_1$ fälschlicherweise verworfen, so spricht man vom Fehler 2. Art.
Will man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass der Fehler 2. Art hier eintritt, muss man offensichtlich den tatsächlichen Anteil der gesuchten Schokoladentafeln kennen. Formuliert man hier die Gegenhypothese mit
$H_1:\quad p_1 < 0,2$
so muss man $p_1$ kennen, um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art zu berechnen. Kennst du den tatsächlichen Anteil $p_1$ der gesuchten Schokoladentafeln, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, für ein fälschlicherweises Verwerfen der Nullhypothese, indem du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnest, dass die Filialleiterin trotzdem mehr als $15$ Schokoladentafeln mit Bildern von deutschen Nationalspielern findet.
Betrachtest du dazu die mit $p_1$ und $n = 100$ binomialverteilte Zufallsvariable $Z_1$, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art über diesen Ansatz:
$P(Z_1 \geq 16)$
Ausformuliert und hergeleitet ergibt sich hier folgender Ansatz für das Lösen der Aufgabe:
Ohne Tabelle für die summierte Binomialverteilung
$P(Z_1 \geq 16) = 1 - P(X \leq 15) = 1 - \left(\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{15} p_1^{i} \cdot \left(1- p_1\right)^{100 - i}\right)$
Mit Tabelle für die summierte Binomialverteilung
$P(Z_1 \geq 16) = 1 - P(X \leq 15) = 1 - F(100;p_1;15)$
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1. $\blacktriangleright$Begründen, dass $A$ und $B$ als Bernoulli-Ketten aufgefasst werden können
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass ein Schokoladenhersteller zur Fußballweltmeisterschaft 2014 zusätzlich zu jeder Tafel Schokolade ein (von außen nicht erkennbares) Sammelbild in die Schokoladenpackung hineinlegt. Auf diesen Sammelbildern sind Spieler aller beteiligter Länder zu finden und besonders beliebt sind dabei die Sammelbilder mit den Bildern der Spieler der deutschen Nationalmannschaft. Der Hersteller gibt dazu an, dass sich in jeder fünften Schokoladenpackung eines dieser Bilder befindet.
Peter kauft nun 20 Tafeln Schokolade. Du betrachtest dazu die Ereignisse $A$, $B$ und $C$.
Deine Aufgabe ist es zunächst, zu erklären, dass man die Zufallsexperimente $A$ und $B$, mit
  • $A$: „Er findet genau vier Bilder deutscher Nationalspieler.“ und
  • $B$: „Es sind mindestens sechs Bilder deutscher Nationalspieler dabei.“
als Bernoulli-Kette auffassen kann und weiterhin sollst du deren Parameter angeben.
Von einer Bernoulli-Kette spricht man dann, wenn ein Zufallsexperiment aus einer endlichen Folge von unabhängigen Versuchen besteht. Dabei wird ein Ereignis betrachtet, welches entweder eintritt oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis muss bei einer Bernoulli-Kette zwischen den Versuchen die gleiche bleiben. Das heißt, es ist egal, wie oft der Versuch schon durchgeführt wurde oder wie oft er noch durchgeführt wird, die Wahrscheinlichkeit für das betrachtete Ereignis muss immer die gleiche sein.
Die Parameter einer Bernoulli-Kette sind dabei die folgenden:
  • $p$: Wahrscheinlichkeit für das Ereignis.
  • $n$: Anzahl der Versuche.
Bei Ereignis $A$ sucht man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter 20 Tafeln Schokolade genau vier mit Bildern von deutschen Nationalspielern befinden. Bei Ereignis $B$ sucht man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens 6 Bilder von deutschen Nationalspielern unter den 20 gekauften Schokoladenpackungen befinden.
Da sich die Wahrscheinlichkeit für das Auspacken eines Bildes eines deutschen Nationalspielers weder beim Zufallsexperiment $A$ noch bei $B$ zwischen den Versuchen verändert und die Anzahl der Versuche in beiden Fällen 20 ist, handelt es sich jeweils um Bernoulli-Ketten.
Diese besitzen die Parameter:
  • Wahrscheinlichkeit $p = \frac{1}{5}$ und
  • Anzahl Versuche $n= 20$.
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A$
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $A$, $B$ und $C$ berechnen. Ereignis $A$ ist dabei gegeben mit:
  • $A$: „Er findet genau vier Bilder deutscher Nationalspieler.“
Der Aufgabenstellung kannst du dazu hier nochmals entnehmen, dass Peter insgesamt 20 Tafeln Schokolade kauft und dass sich in diesen, mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{5}$, ein Bild eines deutschen Nationalspielers befindet. Willst du nun bestimmen, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich genau 4 Bilder deutscher Nationalspieler unter den 20 gekauften befinden, so betrachtest du hier Zufallsvariable $X$.
Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der Bilder der deutschen Nationalspieler unter den 20 gekauften Tafeln Schokolade an. Da die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines solchen Bildes mit $\frac{1}{5}$ immer die gleiche bleibt und es sich dadurch näherungsweise um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt, kann $X$ als binomialverteilt angenommen werden. Das heißt Zufallsvariable $X$ ist mit $p = \frac{1}{5}$ und $n = 20$ binomialverteilt.
Da du hier die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen willst, dass Peter genau 4 Bilder von deutschen Nationalspielern findet, suchst du die Wahrscheinlichkeit $P(X = 4)$. Da es sich bei $X$ um eine binomialverteilte Zufallsvariable handelt, lassen sich Wahrscheinlichkeiten der Art $P (X = k)$ über folgenden Ansatz berechnen:
$P(X = k) = \dbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot \left(1 - p\right)^{n - k}$
Willst du nun die Wahrscheinlichkeit $P(X = 4)$ berechnen, so kannst du das CAS verwenden. Wähle dazu unter
Interactive $\to$ Distribution $\to$ binomialPDf()
den entsprechenden Befehl aus und gib $n=20$, $p=\frac{1}{5}$ und $x=4$ an.
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den 20 gekauften Tafeln genau 4 Tafeln mit Bildern deutscher Nationalspieler befinden, ist 0,2182 bzw. 21,82%.
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$
Ereignis $B$ ist gegeben mit:
  • $B$: „Es sind mindestens sechs Bilder deutscher Nationalspieler dabei.“
Auch hier betrachtest du wieder die Zufallsvariable $X$, die mit gleicher Begründung wie oben, mit $p = \frac{1}{5}$ und $n = 20$ binomialverteilt ist. Zufallsvariable $X$ beschreibt auch hier die Anzahl der Tafeln mit Bildern deutscher Nationalspieler. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass sich mindestens 6 Bilder von deutschen Nationalspieler unter den 20 Tafeln befinden. Gesucht ist also $P ( X \geq 6)$.
Willst du die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen, so verwendest du hier folgenden Berechnungsansatz:
$P(X \leq k) = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k} \dbinom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}$
Da du nur Wahrscheinlichkeiten der Art \(P(X \leq k)\) mit dem gezeigten Ansatz berechnen kannst, musst du hier das Gegenereignis verwenden.
Gehe beim Berechnen also so vor:
$P(X \geq 6) = 1 - P(X \leq 5)$
Willst du nun die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 5)$ berechnen, so kannst du das CAS verwenden. Wähle dazu unter
Interactive $\to$ Distribution $\to$ binomialCDf()
den entsprechenden Befehl aus und gib $n=20$, $p=\frac{1}{5}$ sowie die obere Grenze $x=5$ und untere Grenze $x=0$ an.
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Peter mindestens 6 Bilder deutscher Nationalspieler erhält, beträgt 0,1958 bzw. 19,58%.
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $C$
Ereignis $C$ ist gegeben mit:
  • $C$: „Peter findet in der letzten geöffneten Verpackung zum ersten Mal das Bild eines deutschen Nationalspielers.“
Hier sollst du also die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass nur in der letzten von Peter geöffneten Verpackung das Bild eines deutschen Nationalspielers enthalten ist. Hier ist also die Reihenfolge entscheidend. Willst du die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(C)$ berechnen, so musst du dir Folgendes klar machen:
  • Peter muss 19 Packungen öffnen, in denen sich kein Bild von einem deutschen Nationalspieler befindet.
  • Die Wahrscheinlichkeit eine Packung zu öffnen, in der sich kein Bild eines deutschen Nationalspielers befindet, ist $\frac{4}{5}$.
  • Die letzte geöffnete Packung muss das Bild eines deutschen Nationalspielers enthalten.
Peter öffnet also 19-Mal eine Packung ohne Bild eines deutschen Nationalspielers und genau einmal eine Packung mit Bild eines deutschen Nationalspielers, es gilt also:
$P(C)=\left(\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot … \cdot \frac{4}{5}\right) \cdot \frac{1}{5}\;=\;\left(\frac{4}{5}\right)^{19} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^1 \approx 0,00288$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Peter nur in der letzten geöffneten Packung das Bild eines deutschen Nationalspielers erhält, beträgt also 0,00288 bzw. 0,288%.
2. $\blacktriangleright$Bestimmen der Anzahl der zu kaufenden Schokoladentafeln
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass Inga unbedingt das Bild irgendeines deutschen Nationalspielers bekommen will. Deine Aufgabe ist es nun, die Anzahl der Schokoladentafeln zu berechnen, die Inga kaufen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% mindestens ein solches Bild zu erhalten.
Willst du diese Aufgabe lösen, so musst du hier wieder eine Zufallsvariable, für die Anzahl der Bilder der deutschen Nationalspieler, einführen. Diese sei hier $Y$. Mit gleicher Begründung wie im Aufgabenteil 1 ist die Zufallsvariable $Y$ binomialverteilt. Da sich die Wahrscheinlichkeit, ein Bild eines deutschen Nationalspielers zu ziehen, nicht verändert hat, gilt auch für $Y$ $p = \frac{1}{5}$. Die Anzahl $n$ der gekauften Packungen ist unbekannt.
Die Anzahl $n$ der zu kaufenden Packungen musst du nun so bestimmen, dass für $Y$ gilt:
$P(Y \geq 1) \geq 0,99$
Um diese Ungleichung zu lösen, musst du hier die linke Seite der Ungleichung zunächst vereinfachen. Nutze dazu die Gegenwahrscheinlichkeit und die Formel für die summierte Binomialverteilung (siehe Aufgabenteil 1).
$\begin{array}{lcll} P(Y \geq 1)&\geq&0,99&\\ 1 - P(Y < 1)&\geq&0,99&\\ 1 - P(Y \leq 0)&\geq&0,99&\\ 1 - \left(\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{0} \dbinom{n}{i} \cdot \frac{1}{5}^i \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right)^{n - i}\right)&\geq&0,99&\\ 1 - \left(\dbinom{n}{0} \cdot \dfrac{1}{5}^0 \cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n - 0}\right)&\geq&0,99&\scriptsize{\text{mit}\;\dbinom{n}{0} = 1}\\ 1 - \left(1 \cdot 1 \cdot \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}\right)&\geq&0,99&\\ 1 - \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&\geq&0,99&\scriptsize{\mid \; - 1}\\ - \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&\geq&0,99 - 1&\scriptsize{\mid \;:( - 1 )}\\ \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&\leq&0,01&\scriptsize{\mid \;\ln(\;)}\\ n \cdot \ln\left(\dfrac{4}{5}\right)&\leq&\ln(0,01)&\scriptsize{\mid \;:\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\hspace{.2cm}(\text{Achtung!}\; \ln\left(\frac{4}{5}\right) < 0)}\\ n &\geq&\dfrac{\ln(0,01)}{\ln\left(\frac{4}{5}\right)}&\\ n &\geq&20,64&\\ \end{array}$
Inga muss mindestens 21 Packungen Schokoladentafeln kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99%, das Bild eines deutschen Nationalspielers zu erhalten.
3. $\blacktriangleright$Berechnen des erwarteten Gewinns pro verkauftem Karton
Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass die Filialleiterin eines Supermarktes eine Werbeaktion mit den Schokoladentafeln durchführt. Sie verspricht jedem Kunden, der einen Karton mit 20 Schokoladentafeln kauft und dabei nicht mindestens 2 Bilder von deutschen Nationalspielern bekommt, eine Auszahlung von 10 €. Weiterhin macht sie an einem Karton mit 20 Tafeln Schokolade einen Gewinn von 5 €.
Deine Aufgabe ist es nun, den erwarteten Gewinn $E(G)$ pro verkauftem Karton zu berechnen.
Willst du den erwarteten Gewinn $E(G)$ pro verkauftem Karton berechnen, so musst du dir hier folgende Gesichtspunkte vor Augen führen:
  • Die Filialleiterin nimmt 5 € an jedem verkauften Karton ein, ganz gleich, ob dieser weniger als 2 Bilder von deutschen Nationalspielern enthält.
  • Befinden sich weniger als 2 Bilder von deutschen Nationalspielern im Karton, so muss die Filialleiterin 10 € an den Kunden auszahlen.
  • Den erwarteten Gewinn berechnest du über das Produkt von Auszahlung und der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Auszahlung.
Die Filialleiterin verdient also in jedem Fall 5 € an einem Karton Schokolade. Tritt nun der Fall ein, dass weniger als 2 Bilder von deutschen Nationalspielern sich im Karton befinden, so verringert sich dieser Gewinn von 5 € um 10 € und die Filialleiterin macht Verluste. Da sich der erwartete Gewinn aus dem Produkt zwischen Auszahlung und der Wahrscheinlichkeit für die Auszahlung ergibt, berechnest du den hier gesuchten erwarteten Gewinn $E(G)$ wie folgt:
$E(G) = 5\,\text{€} \cdot 100\,\% - 10\,\text{€}\;\cdot P(X < 2)$
Um den hier gesuchten erwarteten Gewinn zu berechnen, betrachtest du auch hier wieder Zufallsvariable $X$ aus Aufgabenteil 1, da hier die Parameter von $X$ mit den Gegebenheiten der Aufgabe übereinstimmen. Mit Hilfe der summierten Binomialverteilung ergibt sich der hier erwartete Gewinn zu:
$\begin{array}{rcl} E(G)&=&5\,\text{€} \cdot 100\,\% - 10\,\text{€}\;\cdot P(X < 2)\;=\;5\,\text{€} - 10\,\text{€}\;\cdot P(X \leq 1)&\\ &=&5\,\text{€} - 10\,\text{€}\cdot\left(P(X = 0) + P(X = 1)\right)&\\ &=&5\,\text{€} - 10\,\text{€}\cdot\left(\dbinom{20}{0} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^0 \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right)^{20 - 0} + \dbinom{20}{1} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^1 \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right)^{20 - 1}\right)&\\ &=&5\,\text{€} - 10\,\text{€}\cdot\left(1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{20} + 20 \cdot \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{19}\right)&\\ &=&5\,\text{€} - 10\,\text{€}\cdot\left(0,0115 + 0,0576\right)&\\ &=&5\,\text{€} - 10\,\text{€}\cdot 0,0691\;\approx\;4,31&\\ \end{array}$
Der erwartete Gewinn pro verkauftem Karton Schokolade ist also 4,31 €.
4.
4.1 $\blacktriangleright$Wahrscheinlichkeit, mit welcher der Hersteller zu Unrecht verdächtig wird
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass die Filialleiterin nach einiger Zeit den Verdacht hat, dass der Anteil der Bilder deutscher Nationalspieler unter 20% bzw. $\frac{1}{5}$ liegt. Um ihren Verdacht zu bestätigten, untersucht diese nun 100 Schokoladentafeln. Findet sie in diesen mehr als 15 Bilder von deutschen Nationalspielern, so wird sie dem Hersteller weiterhin vertrauen.
Deine Aufgabe ist es nun, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass die Filialleiterin unter diesen Voraussetzungen, den Hersteller zu Unrecht verdächtigt.
Der Hersteller der Schokoladentafeln, wird hier zu Unrecht verdächtig, wenn der Anteil der Schokoladentafeln mit den Bildern deutscher Nationalspieler tatsächlich 20% bzw. $\frac{1}{5}$ ist, die Filialleiterin aber unter den 100 untersuchten Schokoladentafeln weniger als 15 findet, in denen ein Bild eines deutsche Nationalspielers ist.
Würde die Filialleiterin ihren Versuch hier als Hypothesentest verfassen, so würde sie hier folgende Nullhypothese testen:
$H_0:\quad p \geq 0,2$
Hier ist also die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass diese Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. Das ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art.
Willst du diese Wahrscheinlichkeit hier berechnen, so betrachtest du zunächst die Zufallsvariable $Z$. Zufallsvariable $Z$ beschreibt hier die Anzahl der Bilder deutscher Nationalspieler unter den 100 untersuchten Schokoladentafeln und ist mit gleicher Begründung wie in den Aufgabenteilen zuvor binomialverteilt. $Z$ ist also mit $n = 100$ und $p = \frac{1}{5}$ binomialverteilt.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dem Hersteller zu Unrecht misstraut wird und $H_0$ fälschlicherweise abgelehnt wird, ist hier also die Wahrscheinlichkeit, dass $Z$ einen Wert kleiner gleich 15 annimmt, obwohl $p = \frac{1}{5}$ gilt:
$P(Z < 16) \Leftrightarrow P(Z \leq 15)$
Berechne nun die Wahrscheinlichkeit $P(Z \leq 15)$ wie in den Aufgabenteilen zuvor mit Hilfe des CAS. Wähle dazu unter
Interactive $\to$ Distribution $\to$ binomialCDf()
den entsprechenden Befehl aus und gib $n=100$, $p=\frac{1}{5}$ sowie die obere Grenze $x=15$ und untere Grenze $x=0$ an.
C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1285 bzw. 12,85% verdächtigt die Filialleiterin den Hersteller der Schokoladentafeln zu Unrecht.
4.2 $\blacktriangleright$Herleiten einer Formel zur Berechnung
Nun sollst du erklären, unter welchen Voraussetzungen man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen könnte, mit der die Filialleiterin fälschlicher Weise dem Hersteller glaubt. Hast du diese Voraussetzungen geklärt, so sollst du eine Formel herleiten, mit welcher man diese Wahrscheinlichkeit berechnen könnte.
Glaubt die Filialleiterin fälschlicher Weise dem Hersteller, so findet sie mit ihrem Hypothesentest heraus, dass der Anteil der Schokoladentafeln mit den bestimmten Bildern bei mindestens 20% liegt, obwohl dieser niedriger ist. Das heißt, die oben aufgestellte Nullhypothese mit
$H_0:\quad p \geq 0,2$
wird fälschlicher Weise angenommen. Wird die Nullhypothese $H_0$ fälschlicher Weise angenommen bzw. die Gegenhypothese $H_1$ fälschlicherweise verworfen, so spricht man vom Fehler 2. Art.
Will man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass der Fehler 2. Art hier eintritt, muss man offensichtlich den tatsächlichen Anteil der gesuchten Schokoladentafeln kennen. Formuliert man hier die Gegenhypothese mit
$H_1:\quad p_1 < 0,2$
so muss man $p_1$ kennen, um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art zu berechnen. Kennst du den tatsächlichen Anteil $p_1$ der gesuchten Schokoladentafeln, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, für ein fälschlicherweises Verwerfen der Nullhypothese, indem du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnest, dass die Filialleiterin trotzdem mehr als $15$ Schokoladentafeln mit Bildern von deutschen Nationalspielern findet.
Betrachtest du dazu die mit $p_1$ und $n = 100$ binomialverteilte Zufallsvariable $Z_1$, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art über diesen Ansatz:
$P(Z_1 \geq 16)$
Ausformuliert und hergeleitet ergibt sich hier folgender Ansatz für das Lösen der Aufgabe:
Ohne Tabelle für die summierte Binomialverteilung
$P(Z_1 \geq 16) = 1 - P(X \leq 15) = 1 - \left(\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{15} p_1^{i} \cdot \left(1- p_1\right)^{100 - i}\right)$
Mit Tabelle für die summierte Binomialverteilung
$P(Z_1 \geq 16) = 1 - P(X \leq 15) = 1 - F(100;p_1;15)$
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