Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
HE, Berufl. Gymnasium
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Abitur GK (CA...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur GK (CAS)
A - Hilfsmittelfrei
B2 - Analysis
C1 - Lineare Algebra,...
C2 - Stochastik
Abi 2018
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2017
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2016
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2015
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2014
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2013
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2012
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2011
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2010
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2009
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2008
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2007
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
LV-Abi 1
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik

B1 - Analytische Geometrie

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
Vor dem Firmengebäude der Firma Kugel Glasbau steht zu Werbezwecken eine gläserne Pyramide mit quadratischer Grundfläche (Material). In einem an dem Gebäude orientierten Koordinatensystem sind die Punkte $A(10\mid 2\mid 0),$ $B(18\mid 8\mid 0)$ und $C(12\mid 16\mid 0)$ drei der Eckpunkte der Pyramidengrundfläche. Die Spitze der Pyramide befindet sich in der Höhe $h = 10\,\text{m}$ senkrecht über der Mitte der Pyramidengrundfläche. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
#pyramide
1.1
Berechne die Koordinaten des Eckpunkts $D$ der Pyramidengrundfläche und die Koordinaten der Spitze $S$ der Pyramide.
[Zur Kontrolle: $S(11\mid 9\mid 10)$]
(4 BE)
1.2
Die von jedem der Eckpunkte $A,$ $B,$ $C$ und $D$ jeweils zur Spitze $S$ verlaufenden Seitenkanten der Pyramide sind durch Metallschienen verstärkt. Berechne die Gesamtlänge aller Schienen.
(2 BE)
2
Die Eckpunkte $A$ und $B$ sowie die Spitze $S$ liegen in einer Ebene $E_{ABS}.$
2.1
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene $E_{ABS}.$
[Zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung von $E_{ABS}$ lautet $6x - 8y + 5z = 44.$]
(5 BE)
#koordinatenform
2.2
Eine benachbarte Seitenfläche enthält die Punkte $A,$ $D$ und $S$ und liegt in der Ebene $E_{ADS}:\, 8x + 6y - 5z = 92.$
Berechne den Schnittwinkel der Ebenen $E_{ABS}$ und $E_{ADS}.$
(4 BE)
#schnittwinkel
3
Im Inneren der Pyramide ist in Anlehnung an das Firmenlogo eine Kugel mit einem Durchmesser von $4\,\text{m}$ so aufgehängt, dass der Kugelmittelpunkt in einem Abstand von $5\,\text{m}$ vertikal unterhalb der Pyramidenspitze $S$ liegt.
#kugel
3.1
Erkläre, warum der Punkt $M(11\mid 9\mid 5)$ der Mittelpunkt der Kugel ist.
(2 BE)
3.2
Untersuche, ob die Kugel die Seitenflächen der Pyramide berührt.
(6 BE)
4
Um einen besseren Werbeeffekt zu erzielen, soll die Pyramide abends beleuchtet werden. Die Lichtquelle befindet sich im Punkt $P(a\mid 0\mid 0)$ mit $a > 0.$ Der Schatten der Pyramide fällt dabei auf den $20\,\text{m}$ hohen und $30\,\text{m}$ breiten, größeren Teil des Firmengebäudes.
4.1
Zeichne einen der Punkte $P(a\mid 0\mid 0)$ sowie einen der Punkte $Q(0\mid y\mid 20)$ mit $0 < y \leq 20$ in das Koordinatensystem im Material.
(2 BE)
4.2
Erläutere die Rechenschritte in den Zeilen (1) bis (3) und deute das Ergebnis in Zeile (4) im Sachzusammenhang.
(1)
$S(11\mid 9\mid 10);$ $\overrightarrow{x}=\pmatrix{a\\0\\0} + t\cdot \pmatrix{11-a\\9\\10}$
(2)
$Q(0\mid y \mid 20);$
$\begin{array}{l|rl|l} \text{I}\quad&a+11t-a\cdot t=& 0 \\ \text{II}\quad&9t=& y \\ \text{III}\quad&10t=&20 & \Leftrightarrow t=2 \\ \end{array}$
(3)
$a+22-2a=0\,\Leftrightarrow\, a=22$
(4)
also: $P(22\mid 0\mid0)$
(5 BE)
Material
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Eckpunkts berechnenB1 - Analytische Geometrie
Da die Grundfläche quadratisch ist, muss der Verbindungsvektor $\overrightarrow{BA}$ dem gegenüberliegenden Verbindungsvektor $\overrightarrow{CD}$ entsprechen. Der Ortsvektor von $D$ ergibt sich also zu:
$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{BA} = \pmatrix{12\\16\\0} + \pmatrix{-8\\-6\\0} = \pmatrix{4\\10\\0}$
$ \overrightarrow{OD} = \pmatrix{4\\10\\0} $
Die Koordinaten von $D$ lauten also $D(4\mid 10\mid 0)$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Spitze berechnen
Die Spitze soll sich in der Höhe $h=10\,\text{m}$ befinden. Die $z$-Koordinate muss also $10$ sein. Zudem soll sie sich senkrecht über dem Mittelpunkt $M$ der Grundfläche befinden. Die $x$- und $y$-Koordinaten stimmen also mit denen von $M$ überein.
Da die Grundfläche quadratisch ist, ist ihr Mittelpunkt auch der Mittelpunkt der beiden Diagonalen des Quadrats.
Mit der Formel für den Mittelpunkt einer Strecke erhältst du:
$\overrightarrow{OM}_{AC} = \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} \right) = \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{10\\2\\0} + \pmatrix{12\\16\\0}\right) = \pmatrix{11 \\ 9 \\ 0}$
$ \overrightarrow{OM}_{AC} = \pmatrix{11 \\ 9 \\ 0} $
Die Koordinaten von $S$ lauten also $S(11\mid 9\mid 10).$
1.2
$\blacktriangleright$  Gesamtlänge aller Schienen berechnen
Da die Pyramide eine quadratische Grundfläche besitzt und die Spitze direkt senkrecht über dem Mittelpunkt dieser Grundfläche liegt, sind alle vier Seitenkanten gleich lang. Es genügt also beispielsweise die Länge der Strecke $\overline{AS}$ zu berechnen. Verwende dazu den Vektorbetrag, den du auch mit dem norm-Befehl deines CAS berechnen kannst.
$\left|\overrightarrow{AS} \right| = \left|\pmatrix{1\\7\\10} \right| = \sqrt{1^2+7^2+10^2} = \sqrt{150}$
$ \left|\overrightarrow{AS} \right| = \sqrt{150}$
Die Gesamtlänge aller Schienen beträgt daher:
$4\cdot \sqrt{150} \approx 48,99$
Die Gesamtlänge aller Schienen beträgt ca. $48,99\,\text{m}.$
#vektorbetrag
2.1
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung bestimmen
Einen Normalenvektor der Ebene $E_{ABS}$ kannst du mit Hilfe des Kreuzprodukts von zwei der Vebindungevektoren der drei Punkte bestimmen. Das Kreuzprodukt kannst du auch mit dem crossP-Befehl deines CAS berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{AS}\times \overrightarrow{BS}\\[5pt] &=& \pmatrix{1\\7\\10}\times\pmatrix{-7\\1\\10} \\[5pt] &=& \pmatrix{7\cdot 10 - 10\cdot 1 \\ 10\cdot (-7) - 1\cdot 10 \\ 1\cdot 1 -7\cdot (-7)} \\[5pt] &=&\pmatrix{60\\-80 \\ 50}\\[5pt] &=&10\cdot \pmatrix{6\\-8 \\ 5}\\[5pt] \end{array}$
Du kannst nun sowohl den gekürzten Vektor als auch den ungekürzten verwenden. Mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten eines der drei Punkte erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} E_{ABS}:\, 6x -8y +5z &=& d &\quad \scriptsize \mid\; S(11\mid 9\mid 10) \\[5pt] 6\cdot 11 -8\cdot 9 +5\cdot 10 &=& d \\[5pt] 44 &=& d \end{array}$
$ d = 44 $
Eine Koordinatengleichung von $E_{ABS}$ lautet also:
$E_{ABS}: \, 6x -8y +5z = 44 $
#kreuzprodukt
2.2
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel berechnen
Zugehörige Normalenvektoren kannst du direkt aus den Ebenengleichungen ablesen. Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \phi &=& \dfrac{\left|\pmatrix{8\\6\\-5} \circ\pmatrix{6\\-8\\5} \right|}{\left|\pmatrix{8\\6\\-5} \right| \cdot \left| \pmatrix{6\\-8\\5} \right|} \\[5pt] \cos \phi &=& \dfrac{25}{\sqrt{8^2 +6^2+(-5)^2}\cdot \sqrt{6^2+(-8)^2 +5^2}} \\[5pt] \cos \phi &=& \dfrac{25 }{125} \\[5pt] \cos \phi &=& \dfrac{1}{5} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \phi&\approx& 78,5^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \phi \approx 78,5^{\circ} $
Der Schnittwinkel der beiden Ebenen $E_{ABS}$ und $E_{ADS}$ ist ca. $78,5^{\circ}$ groß.
3.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Mittelpunkts erklären
Der Mittelpunkt der Kugel liegt vertikal unterhalb der Pyramidenspitze und hat daher die gleiche $x$- und $y$-Koordinate wie $S.$ Der Mittelpunkt liegt $5\,\text{m}$ unterhalb der Spitze. Die $z$-Koordinate ergibt sich daher aus der $z$-Koordinate von $S$ zu $10-5 = 5.$ Insgesamt sind also die Koordinaten $M(11\mid 9\mid 5).$
3.2
$\blacktriangleright$  Berührung der Seitenflächen überprüfen
Da die Pyramide eine quadratische Grundfläche besitzt und die Spitze direkt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt, genügt es eine Seitenfläche auf die Berührung der Kugel zu überprüfen.
Die Kugel berührt dann die Seitenfläche, wenn der Abstand des Mittelpunkts zur zugehörigen Ebene kleiner oder gleich dem Radius der Kugel $(2\,\text{m})$ ist.
Verwende dazu beispielsweise die Ebene $E_{ABS},$ in der die Seitenfläche $ABS$ liegt. Den Abstand eines Punkts zu $E_{ABS}$ kannst du mithilfe der Hesseschen Normalenform von $E_{ABS}$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} E_{ABS}:\, \dfrac{6x-8y+5z -44}{\left|\pmatrix{6\\-8\\5}\right|} &=& 0 \\[5pt] \dfrac{6x-8y+5z - 44}{\sqrt{125}} &=& 0 \end{array}$
$ E_{ABS} … $
Der Abstand eines Punkts $P(x_P\mid y_P\mid z_P)$ zur Ebene $E_{ABS}$ ist also:
$d(E_{ABS}, P) = \dfrac{\left|6x_P-8y_P+5z_P - 44\right|}{\sqrt{125}}$
$d(E_{ABS}, P) = \frac{\left|6x_P-8y_P+5z_P - 44\right|}{\sqrt{125}}$
Einsetzen der Koordinaten des Mittelpunkts liefert:
$\begin{array}[t]{rll} d(E_{ABS},M)&=& \dfrac{\left|6\cdot 11-8\cdot 9+5\cdot 5 - 44\right|}{\sqrt{125}}\\[5pt] &\approx& 2,24 \end{array}$
$ d(E_{ABS},M) \approx 2,24 $
Der Mittelpunkt der Kugel ist also von den Seitenflächen ca. $2,24\,\text{m}$ entfernt. Der Radius der Kugel beträgt lediglich $2\,\text{m}.$ Die Kugel berührt die Seitenflächen also nicht.
#hesseschenormalform
4.1
$\blacktriangleright$  Punkte in das Koordinatensystem einzeichnen
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Es handelt sich nur um eine Beispiellösung, es gibt weitere Möglichkeiten, die genauso richtig sind
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Es handelt sich nur um eine Beispiellösung, es gibt weitere Möglichkeiten, die genauso richtig sind
4.2
$\blacktriangleright$  Rechenschritte erläutern
(1)
In Schritt (1) wird eine Gleichung der Gerade aufgestellt, entlang derer sich das Licht bewegt, das von der Lichtquelle im Punkt $P(a\mid0\mid0)$ aus an der Pyramidenspitze im Punkt $S$ entlang verläuft.
(2)
Der Punkt $Q$ liegt für $0\leq y \leq 20$ auf der oberen Kante des Firmengebäudeteils, auf den der Schatten fällt. Die Koordinaten von $Q$ werden in die Geradengleichung aus (1) eingesetzt. So entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen in Abhängigkeit von $a,$ $t$ und $y.$ Aus der dritten Gleichung folgt direkt die Lösung $t=2.$
(3)
Die Lösung für $t$ aus (2) wird in die erste Gleichung des Gleichungssystems eingesetzt. So entsteht eine Gleichung, aus der eine Lösung für $a$ bestimmt wird: $a=22.$
(4)
In Zeile (1) bis (3) wird der Wert von $a$ berechnet, für den der Schatten der Pyramidenspitze auf der oberen Kante des Gebäudeteils liegt.
Der Punkt $P(22\mid 0\mid0)$ ist also der Punkt, in dem sich die Lichtquelle befinden muss, damit der Schatten der Pyramidenspitze auf der oberen Kante des Gebäudeteils liegt, auf den der Schatten fällt.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App