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A2 - Analysis

Aufgaben
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Regenwasser, das auf das Dach eines Hauses fällt, wird über Dachrinnen und Fallrohre in eine Zisterne geleitet und dort gesammelt. In einem Beobachtungszeitraum von $15$ Uhr bis $16$ Uhr wird in der Zisterne die Zuflussgeschwindigkeit gemessen. Zu Beginn des Beobachtungszeitraumes befinden sich bereits $2.000$ Liter Wasser in der Zisterne. Der zeitliche Verlauf der Zuflussgeschwindigkeit wird durch die Funktion $z$ mit
$z(t)= \left(\frac{3}{10}t^2-t+4 \right)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t} $
$ z(t)= … $
für $0\leq t\leq 60$ beschrieben. Dabei beschreibt $t$ die Zeit ab $15$ Uhr in Minuten, $z(t)$ die Zuflussgeschwindigkeit in Liter pro Minute.
1.1
Zeichne den Graphen von $z$ in das Koordinatensystem in Material 1.
Bestimme die maximale und die minimale Zuflussgeschwindigkeit im angegebenen Beobachtungszeitraum sowie die jeweils zugehörigen Uhrzeiten.
(7 BE)
1.2
Bestimme, wie viel Liter Regenwasser von $15$ Uhr bis $16$ Uhr in die Zisterne zugeflossen sind.
(3 BE)
Aus der Zisterne wir dim gleichen Beobachtungszeitraum von $15$ Uhr bis $16$ Uhr mit einer konstanten Abflussgeschwindigkeit Wasser entnommen. Der zeitliche Verlauf der Abflussgeschwindigkeit wird durch die Funktion $a$ mit $a(t) = 7$ für $0\leq t \leq 60$ beschrieben. Dabei beschreibt $t$ die Zeit ab $15$ Uhr in Minuten, $a(t)$ beschreibt die Abflussgeschwindigkeit in Liter pro Minute.
1.3
Zeichne den Graphen von $a$ ebenfalls in das Koordinatensystem in Material 1.
Bestimme, in welchem Zeitraum mehr Wasser zu- als abfließt.
(4 BE)
1.4
Ermittle, um wie viel Liter sich die Wassermenge in der Zisterne im Beobachtungszeitraum geändert hat.
(3 BE)
1.5
Bestätige rechnerisch, dass die Funktion $D$ mit
$D(t)= -\left(3t^2+50t+540 \right)\cdot \mathrm e^{-0,1t} +2.540-7t$
$ D(t)= … $
eine Stammfunktion der Differenzfunktion der Funktionen $z$ und $a$ ist.
(4 BE)
#stammfunktion
1.6
Erläutere, was die Funktion $D$ aus Aufgabe 1.5 und der Wert $D(0)$ im Sachzusammenhang beschreiben.
(3 BE)
2.
Die Zisterne kann als ein Rotationskörper mit der $x$-Achse als Rotationsachse aufgefasst werden, dessen Form und Maße in den beiden Grafiken im Material 2 dargestellt sind. Dazu wurde die Zisterne im Vergleich zu ihrer tatsächlichen Lage im Erdreich um $90^{\circ}$ nach rechts gekippt. Die Punkte $A,$ $B,$ $C,$ $D$ und $E$ liegen auf der oberen Randkurve der Querschnittsfläche der Zisterne. Eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter $(1\,\text{dm}).$
2.1
Gib eine durch Regression unter Verwendung der Punkte $A,$ $B,$ $C,$ $D$ und $E$ ermittelte ganzrationale Funktion $h$ vierten Grades an, deren Graph die obere Randkurve der Zisterne möglichst gut annähert. Die Koeffizienten sind auf sechs Nachkommastellen gerundet anzugeben.
(4 BE)
#regression
2.2
Für die Funktion $h$ aus Aufgabe 2.1 wird folgende Rechnung durchgeführt:
$(h(0) − 11,5)^2 + (h(4) − 11,9)^2 + (h(10) − 9,9)^2 + (h(14) − 6,8)^2 + (h(18) − 3,7)^2 \approx 4,57 \cdot 10^{-24}$
Beschreibe den Aufbau der in der Rechnung enthaltenen fünf Summanden und erläutere die Bedeutung des ermittelten Werts für die Beurteilung der Güte der Approximation.
(5 BE)
2.3
Lässt man den Graphen der Funktion $h$ im Intervall $[0;18]$ um die $x$-Achse rotieren, erhält man für das Volumen des entstehenden Rotationskörpers das Ergebnis $V_h \approx 5.364,5$ Liter.
Das Volumen der Zisterne lässt sich näherungsweise durch Rotation zweier Geraden $g$ und $k$ um die $x$-Achse bestimmen:
  • Die Gerade $g$ verläuft für $0 \leq x \leq 10$ parallel zur $x$-Achse und durch den Punkt $A.$
  • Die Gerade $k$ verläuft für $10 \leq x \leq 18$ durch die Punkte $C$ und $E.$
Zeichne die Gerade $g$ für $0 \leq x \leq 10$ und die Gerade $k$ für $10 \leq x \leq 18$ in das Koordinatensystem in Material 2 und bestimme die prozentuale Abweichung des Ergebnisses der Volumenberechnung mithilfe der Funktionen $g$ und $k$ von dem mithilfe der Funktion $h$ erhaltenen Ergebnis $V_h\approx 5.364,5$ Liter.
(7 BE)
#rotationsvolumen
Material 1
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Graphen in das Koordinatensystem einzeichnen
Du kannst dir den Graphen von $z$ im Graphik-Menü deines CASs anzeigen lassen. Dort kannst du dir auch verschiedene Funktionswerte zur Orientierung anzeigen lassen.
$\blacktriangleright$  Maximale und minimale Zuflussgeschwindigkeit angeben
Die maximale Zuflussgeschwindigkeit entspricht dem maximalen Funktionswert von $z$ im Intervall $[0;60],$ analoges gilt für die minimale Zuflussgeschwindigkeit.
Bestimme also zunächst die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $z.$ Überprüfe anschließend die Intervallränder auf Randextrema, indem du die Funktionswerte mit denen der Extrempunkte vergleichst.
Für eine Extremstelle $t_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\,z'(t_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $z''(t_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
    • Ist $t''(t_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $z'$ und $z''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $z'(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $z''(t)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $t_E$ an den Maximalstellen.
1.2
$\blacktriangleright$  Menge des zugeflossenen Regenwassers berechnen
Die Gesamtmenge des Regenwassers, das im angegebenen Zeitraum in die Zisterne geflossen ist, kann mithilfe eines Integrals über $z$ berechnet werden. Die Uhrzeit $15$ Uhr entspricht $t=0,$ die Uhrzeit $16$ Uhr enstpricht $t=60.$
$V= \displaystyle\int_{0}^{60}z(t)\;\mathrm dt$
Dieses Integral kannst du mit deinem CAS berechnen.
1.3
$\blacktriangleright$  Graphen in das Koordinatensystem einzeichnen
Bei dem Graphen von $a$ handelt es sich um eine zur $t$-Achse parallele Gerade.
$\blacktriangleright$  Zeitraum bestimmen
Der gesuchte Zeitraum ist der Zeitraum, in dem die Zuflussgeschwindigkeit größer ist als die Abflussgeschwindigkeit des Wassers. Du sollst also ein Intervall für $t$ bestimmen, in dem $z(t) > a(t) $ ist.
1.4
$\blacktriangleright$  Änderung der Wassermenge berechnen
Du hast oben bereits die Menge des Regenwassers bestimmt, das in die Zisterne im gesamten Beobachtungszeitraum zugeflossen ist:
$V_z = 504,45\, l$
Berechne noch die Menge des Wassers, das im gesamten Zeitraum abgepumpt wurde und bilde anschließend die Differenz.
1.5
$\blacktriangleright$  Stammfunktion bestätigen
Damit $D$ eine Stammfunktion der Differenzfunktion von $z$ und $a$ ist, muss folgendes gelten:
$D'(t) = z(t)-a(t)$
Bilde also die erste Ableitungsfunktion von $D$ mithilfe der Produktregel und vergleiche mit der Differenzfunktion.
1.6
$\blacktriangleright$  Bedeutung im Sachzusammenhang erläutern
Die Differenzfunktion $d$ gibt die gesamte momentane Änderungsrate der Wassermenge in der Zysterne an. Überlege dir, was entsprechend für eine Stammfunktion gelten muss.
2.1
$\blacktriangleright$  Funktion durch Regression ermitteln
Die Koordinaten der fünf Punkte für die Regression kannst du aus dem Koordinatensystem in Material 2 ablesen.
Du sollst eine ganzrationale Funktion vierten Grades ermitteln. Gesucht sind also die Koeffizienten $a,$ $b,$ $c,$ $d$ und $e:$
$h(x)= $ $ ax^4 +b^3+cx^2+dx+e$
Du kannst das Statistik-Menü deines CASs verwenden.
2.2
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Rechnung beschreiben
Die Funktion $h$ wurde durch Regression mithilfe der fünf Punkte $A,$ $B,$ $C,$ $D$ und $E$ bestimmt. Im Idealfall wäre beispielsweise $h(0)= y_A,$ $h(4) = y_B,$ usw. Meistens weicht die Näherung durch die Regressionsfunktion $h$ aber etwas von den eigentlichen genauen Funktionswerten ab, die hier durch die $y$-Koordinaten der Punkte gegeben sind.
2.3
$\blacktriangleright$  Geraden in das Koordinatensystem einzeichnen
Orientiere dich an den angegebenen Punkten im Koordinatensystem.
$\blacktriangleright$  Prozentuale Abweichung berechnen
Berechne zunächst die Volumina der entstandenen Rotationskörper für die beiden jeweiligen Geraden getrennt. Anschließend kannst du die Abweichung des Gesamtvolumens zum angegebenen Volumen berechnen.
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1.1
$\blacktriangleright$  Graphen in das Koordinatensystem einzeichnen
Du kannst dir den Graphen von $z$ im Graphik-Menü deines CASs anzeigen lassen. Dort kannst du dir auch verschiedene Funktionswerte zur Orientierung anzeigen lassen. Du erhältst dann in etwa folgendes Schaubild:
A2 - Analysis
Abb. 1: Graph von $z$
A2 - Analysis
Abb. 1: Graph von $z$
$\blacktriangleright$  Maximale und minimale Zuflussgeschwindigkeit angeben
Die maximale Zuflussgeschwindigkeit entspricht dem maximalen Funktionswert von $z$ im Intervall $[0;60],$ analoges gilt für die minimale Zuflussgeschwindigkeit.
Bestimme also zunächst die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $z.$ Überprüfe anschließend die Intervallränder auf Randextrema, indem du die Funktionswerte mit denen der Extrempunkte vergleichst.
Für eine Extremstelle $t_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\,z'(t_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $z''(t_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
    • Ist $t''(t_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $z'$ und $z''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $z'(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $z''(t)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $t_E$ an den Maximalstellen.
A2 - Analysis
Abb. 2: Definieren der Ableitungen
A2 - Analysis
Abb. 2: Definieren der Ableitungen
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
A2 - Analysis
Abb. 3: Anwenden der Kriterien
A2 - Analysis
Abb. 3: Anwenden der Kriterien
$z$ besitzt also ein lokales Minimum an der Stelle $t_1\approx 2,21$ und ein lokales Maximum an der Stelle $t_2 \approx 21,12.$
A2 - Analysis
Abb. 4: Berechnung der Funktionswerte
A2 - Analysis
Abb. 4: Berechnung der Funktionswerte
Zum Ende des angegebenen Beobachtungszeitraums, also $60$ Minuten nach Beobachtungsbeginn um $16$ Uhr ist die Zuflussgeschwindigkeit mit $2,54$ Litern pro Minute minimal.
Um ca. $15.21$ Uhr ist die Zuflussgeschwindigkeit mit ca. $14,12$ Litern pro Minute maximal.
#extrempunkt
1.2
$\blacktriangleright$  Menge des zugeflossenen Regenwassers berechnen
Die Gesamtmenge des Regenwassers, das im angegebenen Zeitraum in die Zisterne geflossen ist, kann mithilfe eines Integrals über $z$ berechnet werden. Die Uhrzeit $15$ Uhr entspricht $t=0,$ die Uhrzeit $16$ Uhr enstpricht $t=60.$
$V= \displaystyle\int_{0}^{60}z(t)\;\mathrm dt$
Dieses Integral kannst du mit deinem CAS berechnen.
A2 - Analysis
Abb. 5: Berechnung mit dem CAS
A2 - Analysis
Abb. 5: Berechnung mit dem CAS
Von $15$ Uhr bis $16$ Uhr sind ca. $504,45$ Liter Regenwasser in die Zisterne geflossen.
#integral
1.3
$\blacktriangleright$  Graphen in das Koordinatensystem einzeichnen
Bei dem Graphen von $a$ handelt es sich um eine zur $t$-Achse parallele Gerade. Du erhältst folgende Abbildung:
A2 - Analysis
Abb. 6: Ergänzung des Graphen von $a$
A2 - Analysis
Abb. 6: Ergänzung des Graphen von $a$
$\blacktriangleright$  Zeitraum bestimmen
Der gesuchte Zeitraum ist der Zeitraum, in dem die Zuflussgeschwindigkeit größer ist als die Abflussgeschwindigkeit des Wassers. Du sollst also ein Intervall für $t$ bestimmen, in dem $z(t) > a(t) $ ist.
Verwende dazu den solve-Befehl des CAS und bestimme so alle Stellen für die $z(t)=7$ gilt.
Du erhältst dann im relevanten Bereich:
  • $t_1 \approx 8,17$
  • $t_2 \approx 42,99 $
Dem Schaubild des Graphen kannst du entnehmen, dass zwischen diesen beiden Stellen $z(t) > 7$ gilt.
Von ca. $15.08$ Uhr bis ca. $15.43$ Uhr fließt mehr Wasser zu als abfließt.
1.4
$\blacktriangleright$  Änderung der Wassermenge berechnen
Du hast oben bereits die Menge des Regenwassers bestimmt, das in die Zisterne im gesamten Beobachtungszeitraum zugeflossen ist:
$V_z = 504,45\, l$
Die Abflussgeschwindigkeit beträgt laut der Funktion $a$ im gesamten Zeitraum konstant $7$ Liter pro Minute. $60$ Minuten lang wurden also $7$ Liter pro Minute aus der Zisterne abgepumpt. Insgesamt ergibt das:
$V_a = 7\,\dfrac{l}{\text{min}} \cdot 60\,\text{min} = 420\,l $
$ V_a = 420\,l $
Die Differenz des Zu- und Abflusses ergibt:
$504,45\, l - 420\,l = 84,46\,l$
$ 84,46\,l $
Insgesamt hat die Menge des Wassers in der Zisterne im Beobachtungszeitraum also um $84,46\,l$ zugenommen.
1.5
$\blacktriangleright$  Stammfunktion bestätigen
Damit $D$ eine Stammfunktion der Differenzfunktion von $z$ und $a$ ist, muss folgendes gelten:
$D'(t) = z(t)-a(t)$
Bilde also die erste Ableitungsfunktion von $D$ mithilfe der Produktregel und vergleiche mit der Differenzfunktion.
$\begin{array}[t]{rll} D(t) &=& -\left(3t^2 +50t +540 \right)\cdot \mathrm e^{-0,1t} +2.540 -7t \\[5pt] &=& \left(-3t^2 -50t -540 \right)\cdot \mathrm e^{-0,1t} +2.540 -7t \\[10pt] D'(t)&=& \left(-3\cdot 2t -50\right)\cdot \mathrm e^{-0,1t} + \left(-3t^2 -50t -540 \right)\cdot (-0,1)\cdot \mathrm e^{-0,1t} -7\\[5pt] &=& \left(-6t -50\right)\cdot \mathrm e^{-0,1t} + \left(0,3t^2 +5t +54 \right)\cdot \mathrm e^{-0,1t} -7\\[5pt] &=& \left(-6t -50 +0,3t^2 +5t+54\right)\cdot \mathrm e^{-0,1t} - 7\\[5pt] &=& \left(0,3t^2-t+4\right)\cdot \mathrm e^{-0,1t} - 7 \\[5pt] &=& z(t) -a(t) \end{array}$
$ D'(t) = … $
$D$ ist also tatsächlich eine Stammfunktion der Differenzfunktion $d= z-a.$
1.6
$\blacktriangleright$  Bedeutung im Sachzusammenhang erläutern
Die Differenzfunktion $d$ gibt die gesamte momentane Änderungsrate der Wassermenge in der Zysterne an.
$\begin{array}[t]{rll} D(0)&=& -\left( 3\cdot 0^2+50\cdot 0+540\right)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 0}+2.540-7\cdot 0 \\[5pt] &=& -640+2.540 \\[5pt] &=& 2.000 \end{array}$
$ D(0)= 2.000$
Der Wert $D(0)$ ist genau die Menge Wasser in Litern, die sich zu Beginn der Beobachtung um $15$ Uhr in der Zisterne befindet.
Die Funktion $D$ beschreibt demnach die Menge Wasser in Liter, die sich zum Zeitpunkt $t$ Minuten nach $15$ Uhr in der Zisterne befindet.
2.1
$\blacktriangleright$  Funktion durch Regression ermitteln
Die Koordinaten der fünf Punkte für die Regression kannst du aus dem Koordinatensystem in Material 2 ablesen.
Du sollst eine ganzrationale Funktion vierten Grades ermitteln. Gesucht sind also die Koeffizienten $a,$ $b,$ $c,$ $d$ und $e:$
$h(x)= $ $ ax^4 +b^3+cx^2+dx+e$
Du kannst das Statistik-Menü deines CASs verwenden. Gib dort die Koordinaten in die Tabelle ein, in die erste Spalte die $x$-Koordinaten, in die zweite Spalte die $y$-Koordinaten.
A2 - Analysis
Abb. 7: Regression mit dem CAS
A2 - Analysis
Abb. 7: Regression mit dem CAS
Durch Regression ergibt sich für die fünf Punkte $A,$ $B,$ $C,$ $D$ und $E$ folgende ganzrationale Funktion vierten Grades:
$h(x)= 0,000179x^4 -0,005059x^3 -0,000357x^2 +0,170952x +11,500000$
$ h(x)= … $
2.2
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Rechnung beschreiben
Die Funktion $h$ wurde durch Regression mithilfe der fünf Punkte $A,$ $B,$ $C,$ $D$ und $E$ bestimmt. Im Idealfall wäre beispielsweise $h(0)= y_A,$ $h(4) = y_B,$ usw. Meistens weicht die Näherung durch die Regressionsfunktion $h$ aber etwas von den eigentlichen genauen Funktionswerten ab, die hier durch die $y$-Koordinaten der Punkte gegeben sind.
In den Summanden wird der Funktionswert der Näherung $h$ berechnet und die Differenz zum vorgegebenen Funktionswert, den die Funktion an dieser Stelle im Idealfall annehmen sollte, berechnet. Diese Abweichung wird anschließend quadriert.
Die Summanden sind also jeweils die quadrierte Abweichung der Näherung zum eigentlich gegebenen Funktionswert, der für die Näherung verwendet wurde.
Die Summe dieser quadratischen Abweichungen ist hier mit $4,57\cdot 10^{-24}$ angegeben. Wäre dieser Wert exakt $0,$ wäre die Näherung durch die Funktion $h$ für die fünf Punkte exakt. Es gäbe dann keine Abweichung. Je näher dieser Wert also bei null liegt, desto besser ist die Approximation.
2.3
$\blacktriangleright$  Geraden in das Koordinatensystem einzeichnen
A2 - Analysis
Abb. 8: Einzeichnen der Geraden $g$ und $k$
A2 - Analysis
Abb. 8: Einzeichnen der Geraden $g$ und $k$
$\blacktriangleright$  Prozentuale Abweichung berechnen
Berechne zunächst die Volumina der entstandenen Rotationskörper für die beiden jeweiligen Geraden getrennt. Anschließend kannst du die Abweichung des Gesamtvolumens zum angegebenen Volumen berechnen.
1. Schritt: Rotationsvolumen für $\boldsymbol{g}$ berechnen
Bei der Rotation der Gerade $g$ um die $x$-Achse für $0\leq x\leq 10,$ entsteht ein Kreiszylinder mit dem Radius $r= 11,5\,\text{dm}$ und der Höhe $h = 10\,\text{dm}.$ Mit der Formel für das Volumen eines Zylinders ergibt sich daher:
$\begin{array}[t]{rll} V_g&=& \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi \cdot (11,5\,\text{dm})^2 \cdot 10\,\text{dm} \\[5pt] &\approx& 4.154,7\,\text{dm}^3 \end{array}$
$ V_g \approx 4.154,7\,\text{dm}^3 $
2. Schritt: Rotationsvolumen für $\boldsymbol{k}$ berechnen
Bei der Rotation von $k$ um die $x$-Achse entsteht ein Kreiskegelstumpf. Der Radius der Deckfläche beträgt $r_1 = 3,7\,\text{dm},$ der Radius der Grundfläche $r_2= 9,9\,\text{dm}$ und die Höhe $h_k= 8\,\text{dm}.$ Mit der entsprechenden Volumenformel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V_k&=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot h_k \cdot \left(r_1^2 +r_1\cdot r_2+r_2^2 \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 8\,\text{dm} \cdot \left((3,7\,\text{dm})^2 +3,7\,\text{dm}\cdot 9,9\,\text{cm}+(9,9\,\text{cm})^2 \right) \\[5pt] &\approx& 1.242,6\,\text{dm}^3 \end{array}$
$ V_k \approx 1.242,6\,\text{dm}^3 $
3. Schritt: Prozentuale Abweichung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4.154,7\,\text{dm}^3+ 1.242,6\,\text{dm}^3}{5.364,5\,l}&=& \dfrac{5.397,3\,l}{5.364,5\,l} \\[5pt] &\approx& 1,0061 \\[5pt] \end{array}$
$ … \approx 1,0061 $
Das durch die Geraden $g$ und $k$ ermittelte Volumen ist ca. $0,61\,\%$ größer als das durch die Funktion $h$ ermittelte Volumen.
#zylinder#kegel
Bildnachweise [nach oben]
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