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B2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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1.   Mit einem GPS-Empfänger kann man seine Position auf der Erde meter genau bestimmen. Dies geschieht mit Hilfe von Satelliten, die ihre Signale in alle Richtungen zur Erde senden. Je mehr Satelliten empfangen werden können, desto sicherer und genauer wird die Positionsbestimmung. Nimm an, dass sich der Satellit NAVSTAR momentan auf der Position $N(0\mid10\mid20.203)$ und der Satellit KOSMOS auf $K(4.309\mid2.801\mid20.513)$ befindet (alle Angaben in km). Ein GPS-Empfänger auf der Erde empfängt die Signale beider Satelliten. Das Signal von NAVSTAR wird aus Richtung des Vektors $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}25\\ 37\\ -1.010\end{pmatrix}$ empfangen und das von KOSMOS aus Richtung des Vektors $\overrightarrow{w}=\begin{pmatrix}-13\\ -7\\ -70\end{pmatrix}$.
1.1   Gib eine Gleichung der Geraden an, die von $K$ aus in Richtung des Vektors $\overrightarrow{w}$ verläuft, und beschreibe den Aufbau dieser Gleichung.
(3P)
1.2   Zeige, dass sich der GPS-Empfänger auf der Position $E(500\mid750\mid3)$ befindet.
(4P)
1.3   Berechne den Abstand des Satelliten KOSMOS zum Empfänger.
(3P)
1.4   Berechne, in welchem Winkel zueinander die Signale beim Empfänger eintreffen.
(3P)
2.   Geocaches sind in der Natur versteckte „Schätze“, die man mittels GPS-Koordinaten finden kann. Man kann sich diese immer beliebter werdende Freizeitbeschäftigung als eine Art elektronische Schatzsuche vorstellen. Die GPS-Koordinaten zu einem Geocache findet man im Internet.
Ein Schatzsucher steht in $A(2\mid0\mid0)$ direkt am Fuße einer steil ansteigenden, mit einigen Bäumen bewachsenen Ebene. In der Nähe der Ebene befindet sich ein Geocache in $G(3,1\mid6\mid1,4)$. Von seiner Position in $A$ aus peilt der Schatzsucher zunächst die beiden in der Ebene liegenden, markanten Punkte $B(1\mid3\mid1)$ und $C(–5\mid6\mid3)$ an. (1 LE $\mathrel{\widehat{=}}100\,\text{m}$)
2.1   Bestimme eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E$_1$, die durch die Punkte $A$, $B$ und $C$ verläuft.
[zur Kontrolle: $E_1: 3x – 4y + 15z = 6$]
(5P)
2.2   Erläutere die folgenden vier Rechenschritte und die Bedeutung der Rechnung im Sachzusammenhang:
  1. $E_1:3x-4y+15z=6\Rightarrow \overrightarrow{n_1}=\begin{pmatrix}3\\-4\\15\end{pmatrix}$
  2. $E_2:z=0 \Rightarrow \overrightarrow{n_2}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} $
  3. $ \cos(\gamma)=\dfrac{\mid \overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2} \mid}{\mid \overrightarrow{n_1}\mid \cdot \mid\overrightarrow{n_2} \mid}=\dfrac{15}{\sqrt{250}}\Rightarrow \gamma \approx18,4°$
  4. $\tan(\gamma)\approx 33.3 \;\%$
(6P)
2.3   Zeichne die Lage des Geocaches in $G(3,1\mid6\mid1,4)$ als Punkt im Material ein. Untersuche rechnerisch, ob der Geocache über, auf oder unter der Erdoberfläche versteckt ist.
(6P)

Material

B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
1 LE $\mathrel{\widehat{=}}100\,\text{m}$
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Geradengleichung angeben und beschreiben
Da die Gerade $g$ in Richtung des Vektors $\overrightarrow{w}$ verlaufen soll, kannst du $\overrightarrow{w}$ als Richtungsvektor verwenden. Zusätzlich soll die Gerade von $K$ aus in Richtung $\overrightarrow{w}$ verlaufen, also ist der Ortsvektor von $K$ eine mögliche Wahl für den Stützvektor von $g$.
Schaue dir dann die einzelnen Terme der Geradengleichung an und beschreibe deren Bedeutung.
1.2 $\blacktriangleright$ Position des GPS-Empfängers bestätigen
Die Gerade $g$ von $K$ aus in Richtung $\overrightarrow{w}$ hast du bereits in Aufgabe 1.1 aufgestellt.
Stelle nun noch die Gerade $h$ auf, die vom Punkt $N$ aus in Richtung $\overrightarrow{v}$ verläuft. Da der GPS-Empfänger beide Signale empfängt, muss seine Position $E$ auf beiden Geraden liegen.
Die zu prüfende Position ist direkt in der Aufgabenstellung angegeben, also kannst du, indem du mit einer Punktprobe zeigst, dass $E$ auf beiden Geraden liegt, beweisen, dass $E$ die Position des GPS-Empfängers angibt.
Eine andere Position als der Schnittpunkt der Geraden $g$ und $h$ kommt nicht in Frage:
Indem du zeigst, dass die Richtungsvektoren linear unabhängig sind, kannst du ausschließen, dass die Geraden identisch sind. Somit gibt es höchstens einen Schnittpunkt.
1.3 $\blacktriangleright$ Abstand des Satelliten zum Empfänger berechnen
Aus der Aufgabenstellung kannst du die Position des Satelliten KOSMOS $K(4.309 \mid 2.801 \mid 20.513)$ entnehmen, aus der Aufgabe 1.2 die Position des Empfängers $E(500 \mid 750 \mid 3)$. Berechne nun den Abstand zwischen $K$ und $E$ über den Betrag des Verbindungsvektors.
1.4 $\blacktriangleright$ Winkel der beiden Signale berechnen
Die beiden Signale, die beim Empfänger eintreffen, sind durch die Geraden $g$ und $h$ beschrieben. Um den gesuchten Winkel zu erhalten, kannst du also den Schnittwinkel zwischen den Richtungsvektoren der Geraden berechnen, wobei $\overrightarrow{v}$ den Richtungsvektor der Geraden $g$ bezeichnet und $\overrightarrow{w}$ den Richtungsvektor von $h$. Setze diese dazu in die entsprechende Formel ein.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Parametergleichung bestimmen
Da du drei Punkte gegeben hast, die in der Ebene $E_1$ liegen, ist es sinnvoll, zunächst die Parameterform der Ebene $E_1$ zu berechnen. Lege dazu fest, welchen Ortsvektor du als Stützvektor und welche Verbindungsvektoren du als Spannvektoren betrachtest. Diese kannst du dann in die Parameterform einsetzen.
Anschließend kannst du die Parameterform in die Koordinatenform umwandeln. Berechne dazu den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ aus dem Vektorprodukt der beiden Spannvektoren und den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe. Damit erhältst du die eine Koordinatengleichung der Ebene $E_1$ durch Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform.
2.2 $\blacktriangleright$ Rechenschritte erläutern
Erläutere die vier Rechenschritte mithilfe dir bekannter, ähnlicher Rechnungen und deute die Rechnung im Sachzusammenhang, indem du sie geometrisch interpretierst.
2.3 $\blacktriangleright$ Geocache einzeichnen
Um die Lage des Geocache einzeichnen zu können, musst dir überlegen, in welcher Form die Punkte im dreidimensionalen Raum angegeben werden:
$P(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ bedeutet, dass die $x$-Koordinate $x_1$ beträgt, die $y$-Koordinate $y_1$ und die $z$-Koordinate $z_1$. Anhand des Koordinatensystems aus dem Material kannst du erkennen, wie viele Kästchen einer Längeneinheit (LE) entsprechen.
$\blacktriangleright$ Lage des Geocache untersuchen
Gesucht ist der Abstand der durch den Punkt $G$ beschriebenen Position des Geocache zur Erdoberfläche, welche durch die Ebene $E_1$ beschrieben wird. Stelle dazu zunächst die Lotgerade $h$ zur $x$-$y$-Ebene durch $G$ auf. Bestimme anschließend den Schnittpunkt der Lotgeraden $h$ zur Ebene $E_1$. Das Vorzeichen der Parameters der Lotgerade im Schnittpunkt gibt dir Auskunft, ob der Punkt $G$ über, auf oder unter der Ebene $E_1$ liegt.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Geradengleichung angeben
Da die Gerade $g$ in Richtung des Vektors $\overrightarrow{w}$ verlaufen soll, kannst du $\overrightarrow{w}$ als Richtungsvektor verwenden. Zusätzlich soll die Gerade von $K$ aus in Richtung $\overrightarrow{w}$ verlaufen, also ist der Ortsvektor von $K$ eine mögliche Wahl für den Stützvektor von $g$. Damit ergibt sich:
$g: \, x=\overrightarrow{OK} + s \cdot \overrightarrow{w} = \begin{pmatrix}4.309\\2.801\\20.513\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-13\\-7\\-70\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Aufbau beschreiben
Schaue dir die einzelnen Terme der Geradengleichung an und beschreibe deren Bedeutung:
  • $x$ ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden $g$.
  • $\overrightarrow{w}$ ist der Richtungsvektor der Geraden $g$, d.h. unsere Gerade verläuft wie gefordert in Richtung des Vektors $\overrightarrow{w}$.
  • $\overrightarrow{OK}$ ist der Stützvektor der Geraden $g$, d.h. $\overrightarrow{OK}$ ist die Verbindung der Geraden mit dem Nullpunkt. Damit liegt der Punkt $K$ auf der Geraden $g$.
  • $s$ ist eine reelle Zahl, für die der Richtungsvektor beliebig lang bzw. kurz werden kann und somit alle Punkte auf der Geraden $g$ erreicht werden können.
1.2 $\blacktriangleright$ Position des GPS-Empfängers bestätigen
Die Gerade $g$ von $K$ aus in Richtung $\overrightarrow{w}$ hast du bereits in Aufgabe 1.1 aufgestellt.
Stelle nun noch die Gerade $h$ auf, die vom Punkt $N$ aus in Richtung $\overrightarrow{v}$ verläuft. Da der GPS-Empfänger beide Signale empfängt, muss seine Position $E$ auf beiden Geraden liegen.
Die zu prüfende Position ist direkt in der Aufgabenstellung angegeben, also kannst du, indem du mit einer Punktprobe zeigst, dass $E$ auf beiden Geraden liegt, beweisen, dass $E$ die Position des GPS-Empfängers angibt.
Eine andere Position als der Schnittpunkt der Geraden $g$ und $h$ kommt nicht in Frage:
Indem du zeigst, dass die Richtungsvektoren linear unabhängig sind, kannst du ausschließen, dass die Geraden identisch sind. Somit gibt es höchstens einen Schnittpunkt.
1. Schritt: Geradengleichung von $\boldsymbol{h}$ aufstellen
Nutze $\overrightarrow{ON}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{v}$ als Richtungsvektor. Damit erhältst du:
$h: \, \overrightarrow{ON} + t \cdot \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}0\\10\\20.203\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}25\\37\\-1.010\end{pmatrix}$
2. Schritt: Punktproben durchführen
Überprüfe zunächst, ob $E$ auf $g$ liegt.
Dazu muss es einen Parameter $s$ geben, sodass du $E$ aus der Funktonsgleichung der Geraden $g$ erhältst:
$\begin{pmatrix}500\\750\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4.309\\2.801\\20.513\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-13\\-7\\-70\end{pmatrix} $
Daraus erhältst du drei Gleichungen, die du nach dem Parameter $s$ auflöst:
$\begin{array}[t]{lrll} Ⅰ&500=&4.309-13\cdot s& \quad \scriptsize \mid\; -4.309 \\[5pt] &-3.809=&-13\cdot s& \quad \scriptsize \mid\; : (-13) \\[5pt] &293=&s \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} Ⅱ&750=&2.801-7\cdot s& \quad \scriptsize \mid\; -2.801 \\[5pt] &-2.051=&-7\cdot s& \quad \scriptsize \mid\; : (-7) \\[5pt] &293=&s \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} Ⅲ&3=&20.513-70\cdot s& \quad \scriptsize \mid\; -20.513 \\[5pt] &-20.510=&-70\cdot s& \quad \scriptsize \mid\; : (-70) \\[5pt] &293=&s \end{array}$
Für $s=293$ sind alle drei Gleichungen erfüllt, das heißt, es existiert ein Parameterwert für $s$ und der Punkt $E$ liegt auf der Geraden $g$.
Überprüfe nun, ob $E$ auf $h$ liegt:
Dazu muss es einen Parameter $t$ geben, sodass du $E$ aus der Funktonsgleichung der Geraden $h$ erhältst:
$\begin{pmatrix}500\\750\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\10\\20.203\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}25\\37\\-1.010\end{pmatrix} $
Daraus erhältst du drei Gleichungen, die du nach dem Parameter $t$ auflöst:
$\begin{array}[t]{lrll} Ⅰ&500=&0+25\cdot t& \quad \scriptsize \mid\; : 25 \\[5pt] &20=&t \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} Ⅱ&750=&10+37\cdot t& \quad \scriptsize \mid\; -10 \\[5pt] &740=&37\cdot t& \quad \scriptsize \mid\; : 37 \\[5pt] &20=&t \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} Ⅲ&3=&20.203-1.010\cdot t& \quad \scriptsize \mid\; -20.203 \\[5pt] &-20.200=&-1.010\cdot t& \quad \scriptsize \mid\; : (-1.010) \\[5pt] &20=&t \end{array}$
Für $t=20$ sind alle drei Gleichungen erfüllt, das heißt, es existiert ein Parameterwert für $t$ und der Punkt $E$ liegt auf der Geraden $h$.
3. Schritt: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Damit die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind, müsste ein Parameter $u \neq 0$ existieren mit
$ \begin{pmatrix}-13\\-7\\-70\end{pmatrix}= u \cdot \begin{pmatrix}25\\37\\-1.010\end{pmatrix}$
Da das gesuchte $u$ aufgrund der Gleichung der ersten beiden Komponenten negativ sein muss, wegen der Gleichung der dritten Komponente aber positiv sein müsste, kommt nur $u=0$ infrage. Somit sind die Richtungsvektoren linear unabhängig und unser Schnittpunkt $E$ ist der einzige Schnittpunkt.
Also hast du gezeigt, dass der GPS-Empfänger auf der Position $E$ liegt.
1.3 $\blacktriangleright$ Abstand des Satelliten zum Empfänger berechnen
Aus der Aufgabenstellung kannst du die Position des Satelliten KOSMOS $K(4.309 \mid 2.801 \mid 20.513)$ entnehmen, aus der Aufgabe 1.2 die Position des Empfängers $E(500 \mid 750 \mid 3)$. Berechne nun den Abstand zwischen $K$ und $E$ über den Betrag des Verbindungsvektors:
$\begin{array}[t]{rlll} | \overrightarrow{EK} | &=& \left|\begin{pmatrix}4.309-500\\2.801-750\\20.513-3\end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \left|\begin{pmatrix}3.809\\2.051\\20.510\end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{3.809^2 + 2.051^2 + 20.510^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{439.375.182} \\[5pt] &\approx& 20.961 \end{array}$
Damit beträgt der gesuchte Abstand ca. $20.961 \text{ km}$.
1.4 $\blacktriangleright$ Winkel der beiden Signale berechnen
Die beiden Signale, die beim Empfänger eintreffen, sind durch die Geraden $g$ und $h$ beschrieben. Um den gesuchten Winkel zu erhalten, kannst du also den Schnittwinkel zwischen den Richtungsvektoren der Geraden berechnen, wobei $\overrightarrow{v}$ den Richtungsvektor der Geraden $g$ bezeichnet und $\overrightarrow{w}$ den Richtungsvektor von $h$. Setze diese dazu in die entsprechende Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)=& \dfrac{| \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} |}{|\overrightarrow{w}| \cdot |\overrightarrow{v}|}& \scriptsize \mid\; \overrightarrow{v} \text{ und } \overrightarrow{w} \text{ einsetzen} \\[5pt] =& \dfrac{\left|\begin{pmatrix}-13\\-7\\-70\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}25\\37\\-1.010\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}-13\\-7\\-70\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}25\\37\\-1.010\end{pmatrix}\right|} \\[5pt] =& \dfrac{\left| (-13)\cdot25 + (-7)\cdot37 + (-70) \cdot (-1.010)\right|}{\sqrt{(-13)^2 + (-7)^2 + (-70)^2} \cdot \sqrt{25^2 + 37^2 + (-1.010)^2}} \\[5pt] =& \dfrac{\left| -325 -259 + 70.700\right|}{\sqrt{269 +49 + 4.900} \cdot \sqrt{625 + 1.369 + 1.020.100}} \\[5pt] =& \dfrac{\left| 70.116 \right|}{\sqrt{5.118} \cdot \sqrt{1.022.094}} \\[5pt] =& \dfrac{\left| 70.116 \right|}{\sqrt{5.118} \cdot \sqrt{1.022.094}} \\[5pt] \approx& 0,9694 & \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha \approx& 14,2^{\circ} \end{array}$
Damit beträgt der Winkel, in dem die Signale aufeinandertreffen, ca. $14,2^{\circ}$.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Parametergleichung bestimmen
Da du drei Punkte gegeben hast, die in der Ebene $E_1$ liegen, ist es sinnvoll, zunächst die Parameterform der Ebene $E_1$ zu berechnen. Lege dazu fest, welchen Ortsvektor du als Stützvektor und welche Verbindungsvektoren du als Spannvektoren betrachtest. Diese kannst du dann in die Parameterform einsetzen.
Anschließend kannst du die Parameterform in die Koordinatenform umwandeln. Berechne dazu den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ aus dem Vektorprodukt der beiden Spannvektoren und den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe. Damit erhältst du die eine Koordinatengleichung der Ebene $E_1$ durch Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform.
Wähle zunächst den Stützvektor und die Spannvektoren:
$\overrightarrow{OA}$ sei der Stützvektor, $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ die Spannvektoren.
Du erhältst:
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$ 
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}= \begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ 
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}= \begin{pmatrix}-5\\6\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\6\\3\end{pmatrix}$ .
Einsetzen in die Parameterform liefert:
$E_1: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA} + t \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC}= \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-7\\6\\3\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Koordinatengleichung bestimmen
Für die Koordinatenform benötigst du zunächst den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$, den du mittels Vektorprodukt der beiden Spannvektoren bestimmen kannst. Anschließend kannst du den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe bestimmen.
Das Vektorprodukt kannst du mit dem crossP-Befehl mit dem CAS berechnen.
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ lautet demnach:
$\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 3\\-4\\15 \end{pmatrix}$
Bestimme den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe:
Anhand des Stützvektors kannst du die Koordinaten eines Punktes $P$ in der Ebene ablesen: $P(2 \mid 0 \mid 0)$. Setze diese zusammen mit dem Normalenvektor in die Koordinatenform ein, um den Parameter $d_a$ zu ermitteln:
$E_1: n_1\cdot p_1 + n_2\cdot p_2 + n_3\cdot p_3= 3\cdot 2 + (-4)\cdot 0 + 15\cdot 0 =6= d_a $
Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform liefert das Ergebnis:
$\begin{array}{rll} E_1: &3\cdot x -4\cdot y + 15 \cdot z =6 \end{array}$
Je nachdem, welche Vektoren als Stütz- und Spannvektoren gewählt wurden, sind noch andere Lösungsansätze möglich.
2.2 $\blacktriangleright$ Rechenschritte erläutern
Erläutere die vier Rechenschritte mithilfe dir bekannter, ähnlicher Rechnungen und deute die Rechnung im Sachzusammenhang, indem du sie geometrisch interpretierst.
RechenschrittErläuterung
1.
  • $E_1$ ist die Koordinatengleichung der steil ansteigenden, mit einigen Bäumen bewachsenen Ebene.
  • $\overrightarrow{n_1}$ ist der Normalenvektor dieser Ebene.
  • D.h. hier wird der zur Ebene $E_1$ orthogonale Normalenvektor $\overrightarrow{n_1}$ aus der Koordinatengleichung abgelesen.
2.
  • $E_2$ ist die Koordinatengleichung der $x,y$-Ebene, welche in unserem Fall gerade die flache Erdoberfläche darstellt. (Da wir nur ein begrenztes Gebiet der Erdoberfläche betrachten, können wir die Kugelförmigkeit der Erde hier vernachlässigen.)
  • $\overrightarrow{n_2}$ ist der Normalenvektor der $x,y$-Ebene.
  • D.h. hier wird der zur Ebene $E_2$ orthogonale Normalenvektor $\overrightarrow{n_2}$ aus der Koordinatengleichung abgelesen.
3.
  • $ \cos(\gamma)=\dfrac{\mid \overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2} \mid}{\mid \overrightarrow{n_1}\mid \cdot \mid\overrightarrow{n_2} \mid}$
    liefert dir, dass $\gamma$ der Schnittwinkel der beiden Ebenen mit Normalenvektoren $\overrightarrow{n_1}$ und $\overrightarrow{n_2}$, also $E_1$ und $E_2$, ist und mithilfe des Skalarprodukts berechnet wird.
  • Einsetzen von $\overrightarrow{n_1}$ und $\overrightarrow{n_2}$ ergibt: $ \cos(\gamma)=\dfrac{15}{\sqrt{250}}$
  • Wendest du auf diese Gleichung den $\cos^{-1}$ an, erhältst du: $\gamma \approx18,4°$
  • D.h. hier wird der Schnittwinkel zwischen der steil ansteigenden, mit einigen Bäumen bewachsenen Ebene und der horizontalen Erdoberfläche berechnet.
4.
  • Der Tangens unseres Schnittwinkel liefert uns den Anstieg der Ebene.
  • D.h. hier wird berechnet, dass die prozentuale Steigung der steilen, mit einigen Bäumen bewachsenen Ebene gegenüber der Horizontalebene $33\%$ beträgt.
  • Anschaulich bedeutet das: Bewegt man sich entlang der Ebene 100 Meter nach vorne, so bewegt man sich dabei ca. $33$ Meter in die Höhe.
2.3 $\blacktriangleright$ Geocache einzeichnen
Um die Lage des Geocache einzeichnen zu können, musst dir überlegen, in welcher Form die Punkte im dreidimensionalen Raum angegeben werden:
$P(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ bedeutet, dass die $x$-Koordinate $x_1$ beträgt, die $y$-Koordinate $y_1$ und die $z$-Koordinate $z_1$. Anhand des Koordinatensystems aus dem Material kannst du erkennen, wie viele Kästchen einer Längeneinheit (LE) entsprechen:
Länge in $x$-Richtung: $1 \text{ LE } \widehat{=} \, 1$ Kästchen
Breite in $y$-Richtung: $1 \text{ LE } \widehat{=} \, 1$ Kästchen
Höhe in $z$-Richtung: $1 \text{ LE } \widehat{=} \, 2$ diagonalen Kästchen
Damit kannst du $G$ einzeichnen:
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
$\blacktriangleright$ Lage des Geocache untersuchen
Gesucht ist der Abstand der durch den Punkt $G$ beschriebenen Position des Geocache zur Erdoberfläche, welche durch die Ebene $E_1$ beschrieben wird. Stelle dazu zunächst die Lotgerade $h$ zur $x$-$y$-Ebene durch $G$ auf. Bestimme anschließend den Schnittpunkt der Lotgeraden $h$ zur Ebene $E_1$. Das Vorzeichen der Parameters der Lotgerade im Schnittpunkt gibt dir Auskunft, ob der Punkt $G$ über, auf oder unter der Ebene $E_1$ liegt.
1. Schritt: Lotgerade $\boldsymbol{h}$ aufstellen
Die Lotgerade $h$ zur $x$-$y$-Ebene durch $G$ ist orthogonal zur $x$-$y$-Ebene und verläuft durch den Punkt $G\left( 3,1 \mid 6 \mid 1,4 \right)$. Damit erhältst du:
$h\,:\,\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 3,1 \\ 6 \\ 1,4 \\ \end{array}} \right)+ r \cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
2. Schritt: Schnittpunkt von $\boldsymbol{h}$ und $\boldsymbol{E_1}$ bestimmen
Setze einen beliebigen Punkt $S\left( 3,1 \mid 6 \mid 1,4 + r \right)$ in die Koordinatengleichung $E_1:\;3x-4y+15z=6$ ein und löse nach $r$ auf, um den Schnittpunkt der Gerade $h$ mit der Ebene $E_1$ zu ermitteln:
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot 3,1 -4\cdot 6 +15\cdot (1,4+r)=&6 \\[5pt] 6,3 + 15 \cdot r=&6 & \scriptsize \mid\; -6 \\[5pt] 0,3 + 15 \cdot r=&0 & \scriptsize \mid\; - (15 \cdot r) \\[5pt] 0,3 =& - (15 \cdot r)& \scriptsize \mid\; : (-15) \\[5pt] -0.02 =& r \end{array}$
Die $z$-Koordinate des Schnittpunkts $S$ lautet also $1,4-0,02=1,38$.
Damit liegt der Schnittpunkt bei $S\left( 3,1 \mid 6 \mid 1,38 \right)$.
Da $r=-0,02$ negativ ist, liegt der Punkt $G$ oberhalb der Ebene $E_1$, also liegt das Geocache über der Erdoberfläche.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Geradengleichung angeben
Da die Gerade $g$ in Richtung des Vektors $\overrightarrow{w}$ verlaufen soll, kannst du $\overrightarrow{w}$ als Richtungsvektor verwenden. Zusätzlich soll die Gerade von $K$ aus in Richtung $\overrightarrow{w}$ verlaufen, also ist der Ortsvektor von $K$ eine mögliche Wahl für den Stützvektor von $g$. Damit ergibt sich:
$g: \, x=\overrightarrow{OK} + s \cdot \overrightarrow{w} = \begin{pmatrix}4.309\\2.801\\20.513\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-13\\-7\\-70\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Aufbau beschreiben
Schaue dir die einzelnen Terme der Geradengleichung an und beschreibe deren Bedeutung:
  • $x$ ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden $g$.
  • $\overrightarrow{w}$ ist der Richtungsvektor der Geraden $g$, d.h. unsere Gerade verläuft wie gefordert in Richtung des Vektors $\overrightarrow{w}$.
  • $\overrightarrow{OK}$ ist der Stützvektor der Geraden $g$, d.h. $\overrightarrow{OK}$ ist die Verbindung der Geraden mit dem Nullpunkt. Damit liegt der Punkt $K$ auf der Geraden $g$.
  • $s$ ist eine reelle Zahl, für die der Richtungsvektor beliebig lang bzw. kurz werden kann und somit alle Punkte auf der Geraden $g$ erreicht werden können.
1.2 $\blacktriangleright$ Position des GPS-Empfängers bestätigen
Die Gerade $g$ von $K$ aus in Richtung $\overrightarrow{w}$ hast du bereits in Aufgabe 1.1 aufgestellt.
Stelle nun noch die Gerade $h$ auf, die vom Punkt $N$ aus in Richtung $\overrightarrow{v}$ verläuft. Da der GPS-Empfänger beide Signale empfängt, muss seine Position $E$ auf beiden Geraden liegen.
Die zu prüfende Position ist direkt in der Aufgabenstellung angegeben, also kannst du, indem du mit einer Punktprobe zeigst, dass $E$ auf beiden Geraden liegt, beweisen, dass $E$ die Position des GPS-Empfängers angibt.
Eine andere Position als der Schnittpunkt der Geraden $g$ und $h$ kommt nicht in Frage:
Indem du zeigst, dass die Richtungsvektoren linear unabhängig sind, kannst du ausschließen, dass die Geraden identisch sind. Somit gibt es höchstens einen Schnittpunkt.
1. Schritt: Geradengleichung von $\boldsymbol{h}$ aufstellen
Nutze $\overrightarrow{ON}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{v}$ als Richtungsvektor. Damit erhältst du:
$h: \, \overrightarrow{ON} + t \cdot \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}0\\10\\20.203\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}25\\37\\-1.010\end{pmatrix}$
2. Schritt: Punktproben durchführen
Überprüfe zunächst, ob $E$ auf $g$ liegt.
Dazu muss es einen Parameter $s$ geben, sodass du $E$ aus der Funktonsgleichung der Geraden $g$ erhältst:
$\begin{pmatrix}500\\750\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4.309\\2.801\\20.513\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-13\\-7\\-70\end{pmatrix} $
Daraus erhältst du drei Gleichungen, die du nach dem Parameter $s$ auflöst:
$\begin{array}[t]{lrll} Ⅰ&500=&4.309-13\cdot s& \quad \scriptsize \mid\; -4.309 \\[5pt] &-3.809=&-13\cdot s& \quad \scriptsize \mid\; : (-13) \\[5pt] &293=&s \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} Ⅱ&750=&2.801-7\cdot s& \quad \scriptsize \mid\; -2.801 \\[5pt] &-2.051=&-7\cdot s& \quad \scriptsize \mid\; : (-7) \\[5pt] &293=&s \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} Ⅲ&3=&20.513-70\cdot s& \quad \scriptsize \mid\; -20.513 \\[5pt] &-20.510=&-70\cdot s& \quad \scriptsize \mid\; : (-70) \\[5pt] &293=&s \end{array}$
Für $s=293$ sind alle drei Gleichungen erfüllt, das heißt, es existiert ein Parameterwert für $s$ und der Punkt $E$ liegt auf der Geraden $g$.
Überprüfe nun, ob $E$ auf $h$ liegt:
Dazu muss es einen Parameter $t$ geben, sodass du $E$ aus der Funktonsgleichung der Geraden $h$ erhältst:
$\begin{pmatrix}500\\750\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\10\\20.203\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}25\\37\\-1.010\end{pmatrix} $
Daraus erhältst du drei Gleichungen, die du nach dem Parameter $t$ auflöst:
$\begin{array}[t]{lrll} Ⅰ&500=&0+25\cdot t& \quad \scriptsize \mid\; : 25 \\[5pt] &20=&t \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} Ⅱ&750=&10+37\cdot t& \quad \scriptsize \mid\; -10 \\[5pt] &740=&37\cdot t& \quad \scriptsize \mid\; : 37 \\[5pt] &20=&t \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrll} Ⅲ&3=&20.203-1.010\cdot t& \quad \scriptsize \mid\; -20.203 \\[5pt] &-20.200=&-1.010\cdot t& \quad \scriptsize \mid\; : (-1.010) \\[5pt] &20=&t \end{array}$
Für $t=20$ sind alle drei Gleichungen erfüllt, das heißt, es existiert ein Parameterwert für $t$ und der Punkt $E$ liegt auf der Geraden $h$.
3. Schritt: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Damit die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind, müsste ein Parameter $u \neq 0$ existieren mit
$ \begin{pmatrix}-13\\-7\\-70\end{pmatrix}= u \cdot \begin{pmatrix}25\\37\\-1.010\end{pmatrix}$
Da das gesuchte $u$ aufgrund der Gleichung der ersten beiden Komponenten negativ sein muss, wegen der Gleichung der dritten Komponente aber positiv sein müsste, kommt nur $u=0$ infrage. Somit sind die Richtungsvektoren linear unabhängig und unser Schnittpunkt $E$ ist der einzige Schnittpunkt.
Also hast du gezeigt, dass der GPS-Empfänger auf der Position $E$ liegt.
1.3 $\blacktriangleright$ Abstand des Satelliten zum Empfänger berechnen
Aus der Aufgabenstellung kannst du die Position des Satelliten KOSMOS $K(4.309 \mid 2.801 \mid 20.513)$ entnehmen, aus der Aufgabe 1.2 die Position des Empfängers $E(500 \mid 750 \mid 3)$. Berechne nun den Abstand zwischen $K$ und $E$ über den Betrag des Verbindungsvektors:
$\begin{array}[t]{rlll} | \overrightarrow{EK} | &=& \left|\begin{pmatrix}4.309-500\\2.801-750\\20.513-3\end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \left|\begin{pmatrix}3.809\\2.051\\20.510\end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{3.809^2 + 2.051^2 + 20.510^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{439.375.182} \\[5pt] &\approx& 20.961 \end{array}$
Damit beträgt der gesuchte Abstand ca. $20.961 \text{ km}$.
1.4 $\blacktriangleright$ Winkel der beiden Signale berechnen
Die beiden Signale, die beim Empfänger eintreffen, sind durch die Geraden $g$ und $h$ beschrieben. Um den gesuchten Winkel zu erhalten, kannst du also den Schnittwinkel zwischen den Richtungsvektoren der Geraden berechnen, wobei $\overrightarrow{v}$ den Richtungsvektor der Geraden $g$ bezeichnet und $\overrightarrow{w}$ den Richtungsvektor von $h$. Setze diese dazu in die entsprechende Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)=& \dfrac{| \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} |}{|\overrightarrow{w}| \cdot |\overrightarrow{v}|}& \scriptsize \mid\; \overrightarrow{v} \text{ und } \overrightarrow{w} \text{ einsetzen} \\[5pt] =& \dfrac{\left|\begin{pmatrix}-13\\-7\\-70\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}25\\37\\-1.010\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}-13\\-7\\-70\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}25\\37\\-1.010\end{pmatrix}\right|} \\[5pt] =& \dfrac{\left| (-13)\cdot25 + (-7)\cdot37 + (-70) \cdot (-1.010)\right|}{\sqrt{(-13)^2 + (-7)^2 + (-70)^2} \cdot \sqrt{25^2 + 37^2 + (-1.010)^2}} \\[5pt] =& \dfrac{\left| -325 -259 + 70.700\right|}{\sqrt{269 +49 + 4.900} \cdot \sqrt{625 + 1.369 + 1.020.100}} \\[5pt] =& \dfrac{\left| 70.116 \right|}{\sqrt{5.118} \cdot \sqrt{1.022.094}} \\[5pt] =& \dfrac{\left| 70.116 \right|}{\sqrt{5.118} \cdot \sqrt{1.022.094}} \\[5pt] \approx& 0,9694 & \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha \approx& 14,2^{\circ} \end{array}$
Alternativ kannst du den Winkel mit folgendem Befehl des CAS berechnen:
Interactive $\to$ Vector $\to$ angle
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Damit beträgt der Winkel, in dem die Signale aufeinandertreffen, ca. $14,2^{\circ}$.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Parametergleichung bestimmen
Da du drei Punkte gegeben hast, die in der Ebene $E_1$ liegen, ist es sinnvoll, zunächst die Parameterform der Ebene $E_1$ zu berechnen. Lege dazu fest, welchen Ortsvektor du als Stützvektor und welche Verbindungsvektoren du als Spannvektoren betrachtest. Diese kannst du dann in die Parameterform einsetzen.
Anschließend kannst du die Parameterform in die Koordinatenform umwandeln. Berechne dazu den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ aus dem Vektorprodukt der beiden Spannvektoren und den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe. Damit erhältst du die eine Koordinatengleichung der Ebene $E_1$ durch Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform.
Wähle zunächst den Stützvektor und die Spannvektoren:
$\overrightarrow{OA}$ sei der Stützvektor, $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ die Spannvektoren.
Du erhältst:
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$ 
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}= \begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ 
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}= \begin{pmatrix}-5\\6\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\6\\3\end{pmatrix}$ .
Einsetzen in die Parameterform liefert:
$E_1: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA} + t \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC}= \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-7\\6\\3\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Koordinatengleichung bestimmen
Für die Koordinatenform benötigst du zunächst den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$, den du mittels Vektorprodukt der beiden Spannvektoren bestimmen kannst. Anschließend kannst du den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe bestimmen.
Das Vektorprodukt kannst du mit dem crossP-Befehl mit dem CAS berechnen.
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ lautet demnach:
$\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 3\\-4\\15 \end{pmatrix}$
Bestimme den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe:
Anhand des Stützvektors kannst du die Koordinaten eines Punktes $P$ in der Ebene ablesen: $P(2 \mid 0 \mid 0)$. Setze diese zusammen mit dem Normalenvektor in die Koordinatenform ein, um den Parameter $d_a$ zu ermitteln:
$E_1: n_1\cdot p_1 + n_2\cdot p_2 + n_3\cdot p_3= 3\cdot 2 + (-4)\cdot 0 + 15\cdot 0 =6= d_a $
Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform liefert das Ergebnis:
$\begin{array}{rll} E_1: &3\cdot x -4\cdot y + 15 \cdot z =6 \end{array}$
Je nachdem, welche Vektoren als Stütz- und Spannvektoren gewählt wurden, sind noch andere Lösungsansätze möglich.
2.2 $\blacktriangleright$ Rechenschritte erläutern
Erläutere die vier Rechenschritte mithilfe dir bekannter, ähnlicher Rechnungen und deute die Rechnung im Sachzusammenhang, indem du sie geometrisch interpretierst.
RechenschrittErläuterung
1.
  • $E_1$ ist die Koordinatengleichung der steil ansteigenden, mit einigen Bäumen bewachsenen Ebene.
  • $\overrightarrow{n_1}$ ist der Normalenvektor dieser Ebene.
  • D.h. hier wird der zur Ebene $E_1$ orthogonale Normalenvektor $\overrightarrow{n_1}$ aus der Koordinatengleichung abgelesen.
2.
  • $E_2$ ist die Koordinatengleichung der $x,y$-Ebene, welche in unserem Fall gerade die flache Erdoberfläche darstellt. (Da wir nur ein begrenztes Gebiet der Erdoberfläche betrachten, können wir die Kugelförmigkeit der Erde hier vernachlässigen.)
  • $\overrightarrow{n_2}$ ist der Normalenvektor der $x,y$-Ebene.
  • D.h. hier wird der zur Ebene $E_2$ orthogonale Normalenvektor $\overrightarrow{n_2}$ aus der Koordinatengleichung abgelesen.
3.
  • $ \cos(\gamma)=\dfrac{\mid \overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2} \mid}{\mid \overrightarrow{n_1}\mid \cdot \mid\overrightarrow{n_2} \mid}$
    liefert dir, dass $\gamma$ der Schnittwinkel der beiden Ebenen mit Normalenvektoren $\overrightarrow{n_1}$ und $\overrightarrow{n_2}$, also $E_1$ und $E_2$, ist und mithilfe des Skalarprodukts berechnet wird.
  • Einsetzen von $\overrightarrow{n_1}$ und $\overrightarrow{n_2}$ ergibt: $ \cos(\gamma)=\dfrac{15}{\sqrt{250}}$
  • Wendest du auf diese Gleichung den $\cos^{-1}$ an, erhältst du: $\gamma \approx18,4°$
  • D.h. hier wird der Schnittwinkel zwischen der steil ansteigenden, mit einigen Bäumen bewachsenen Ebene und der horizontalen Erdoberfläche berechnet.
4.
  • Der Tangens unseres Schnittwinkel liefert uns den Anstieg der Ebene.
  • D.h. hier wird berechnet, dass die prozentuale Steigung der steilen, mit einigen Bäumen bewachsenen Ebene gegenüber der Horizontalebene $33\%$ beträgt.
  • Anschaulich bedeutet das: Bewegt man sich entlang der Ebene 100 Meter nach vorne, so bewegt man sich dabei ca. $33$ Meter in die Höhe.
2.3 $\blacktriangleright$ Geocache einzeichnen
Um die Lage des Geocache einzeichnen zu können, musst dir überlegen, in welcher Form die Punkte im dreidimensionalen Raum angegeben werden:
$P(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ bedeutet, dass die $x$-Koordinate $x_1$ beträgt, die $y$-Koordinate $y_1$ und die $z$-Koordinate $z_1$. Anhand des Koordinatensystems aus dem Material kannst du erkennen, wie viele Kästchen einer Längeneinheit (LE) entsprechen:
Länge in $x$-Richtung: $1 \text{ LE } \widehat{=} \, 1$ Kästchen
Breite in $y$-Richtung: $1 \text{ LE } \widehat{=} \, 1$ Kästchen
Höhe in $z$-Richtung: $1 \text{ LE } \widehat{=} \, 2$ diagonalen Kästchen
Damit kannst du $G$ einzeichnen:
B2 - Analytische Geometrie
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$\blacktriangleright$ Lage des Geocache untersuchen
Gesucht ist der Abstand der durch den Punkt $G$ beschriebenen Position des Geocache zur Erdoberfläche, welche durch die Ebene $E_1$ beschrieben wird. Stelle dazu zunächst die Lotgerade $h$ zur $x$-$y$-Ebene durch $G$ auf. Bestimme anschließend den Schnittpunkt der Lotgeraden $h$ zur Ebene $E_1$. Das Vorzeichen der Parameters der Lotgerade im Schnittpunkt gibt dir Auskunft, ob der Punkt $G$ über, auf oder unter der Ebene $E_1$ liegt.
1. Schritt: Lotgerade $\boldsymbol{h}$ aufstellen
Die Lotgerade $h$ zur $x$-$y$-Ebene durch $G$ ist orthogonal zur $x$-$y$-Ebene und verläuft durch den Punkt $G\left( 3,1 \mid 6 \mid 1,4 \right)$. Damit erhältst du:
$h\,:\,\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 3,1 \\ 6 \\ 1,4 \\ \end{array}} \right)+ r \cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
2. Schritt: Schnittpunkt von $\boldsymbol{h}$ und $\boldsymbol{E_1}$ bestimmen
Setze einen beliebigen Punkt $S\left( 3,1 \mid 6 \mid 1,4 + r \right)$ in die Koordinatengleichung $E_1:\;3x-4y+15z=6$ ein und löse nach $r$ auf, um den Schnittpunkt der Gerade $h$ mit der Ebene $E_1$ zu ermitteln:
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot 3,1 -4\cdot 6 +15\cdot (1,4+r)=&6 \\[5pt] 6,3 + 15 \cdot r=&6 & \scriptsize \mid\; -6 \\[5pt] 0,3 + 15 \cdot r=&0 & \scriptsize \mid\; - (15 \cdot r) \\[5pt] 0,3 =& - (15 \cdot r)& \scriptsize \mid\; : (-15) \\[5pt] -0.02 =& r \end{array}$
Die $z$-Koordinate des Schnittpunkts $S$ lautet also $1,4-0,02=1,38$.
Damit liegt der Schnittpunkt bei $S\left( 3,1 \mid 6 \mid 1,38 \right)$.
Da $r=-0,02$ negativ ist, liegt der Punkt $G$ oberhalb der Ebene $E_1$, also liegt das Geocache über der Erdoberfläche.
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