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B1 - Analysis

Aufgaben
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An einem geradlinigen Küstenabschnitt Niedersachsens soll ein Deich älteren Baujahrs an die zukünftigen Anforderungen des Küstenschutzes angepasst werden. Bei allen Modellierungen wird die Profillinie des Querschnitts des Deichs und – falls vorhanden – eines Grabens betrachtet.
Dabei ist bei der Betrachtung des Querschnitts links des Deichs die Seeseite und rechts des Deichs die Landseite. Der Graben schließt sich auf der Seeseite an den Deich an. Das horizontale ebene Gelände links des Gra-bens und rechts des Deichs liegt in der Modellierung auf Höhe der $x$-Achse. Die Funktionswerte der folgenden Funktionen geben die Höhen bzw. Tiefen des Deichs bzw. des Grabens in Bezug auf dieses ebene Gelände an.
Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter.
1.
Für die Planung lässt sich die bestehende Profillinie des alten Deichs mit einem seeseitig vorgesetzten Graben durch den Graphen der Funktion $d$ mit
$d(x) = -\frac{1}{30}\cdot x\cdot (x-2)\cdot (x-10)$
$d(x) = -\frac{1}{30}\cdot x\cdot (x-2)\cdot (x-10)$
für $0\leq x\leq 10$ modellieren.
1.1
Beschreibe die Bedeutung der vier Faktoren von $d(x)$ für den Graphen der Funktion $d.$
(3 BE)
1.2
Bestimme die Breite und die Höhe des Deichs sowie die Breite und die Tiefe des Grabens.
(6 BE)
1.3
Skizziere die Profillinie des alten Deichs und des Grabens in das Koordinatensystem in Material 1.
(2 BE)
2.
Eine Bürgerinitiative entwickelt eine Alternative zu dem bestehenden Deich. Die Profillinie des alternativen Deichs wird dabei durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion $g$ dritten Grades in einem bestimmten Intervall modelliert. Es sollen folgende Bedingungen gelten:
Die Profillinie beginnt auf der Landseite an der Stelle $x = 8.$ Der höchste Punkt $H$ der Profillinie liegt bei $H(4 \mid 3,6).$ An der Stelle $x=-3$ besitzt die Profillinie eine Steigung von $30\,\%.$
Bestimme die Funktionsgleichung der Funktion $g.$
(6 BE)
3.
Im Folgenden wird die Profillinie eines neuen Deichs ohne vorgesetzten Graben durch den Graphen der Funktion $f$ mit
$f(x) = -\frac{1}{400}\cdot x^3 - \frac{3}{100}\cdot x^2 +\frac{1}{4} \cdot x +3 $
$ f(x)=… $
in einem bestimmten Intervall modelliert.
3.1
Skizziere die neue Profillinie, die durch den Graphen der Funktion $f$ modelliert wird, ebenfalls in das Koordinatensystem in Material 1.
Bestimme einen im Sachzusammenhang sinnvollen Definitionsbereich für $f.$
(4 BE)
#definitionsbereich
3.2
Um die Wellenwirkung einer Sturmflut zu minimieren, werden moderne Deichkonstruktionen mit einem sehr flachen Gefälle auf der Seeseite konstruiert.
Berechne den maximalen Steigungswinkel auf der Seeseite des neuen Deichs.
(7 BE)
#steigungswinkel
3.3
Beim Bau des neuen Deichs wird das Erdreich des alten Deichs aus Aufgabe 1 vollständig verwendet und der Graben des alten Deichs wird zugeschüttet.
Ermittle das Volumen des Erdreichs in Kubikmeter, das auf dem $125\,\text{m}$ langen Küstenstreifen zusätzlich benötigt wird.
(6 BE)
3.4
Ein Siel ist ein verschließbarer Gewässerdurchlass in einem Deich. Der neue Deich wird von einem Siel mit rechteckigem Querschnitt mit einer Breite von $2,50\,\text{m}$ und einer Höhe von $1,50\,\text{m}$ durchtunnelt (Material 2). Der Boden des Siels befindet sich auf Höhe des horizontalen Geländes.
Das Volumen des Erdreichs, welches nach dem Ausgraben eines Siels abtransportiert werden muss, kann durch den Term
$V = 2,5\cdot \left( \displaystyle\int_{-10}^{x_1}f(x)\;\mathrm dx + (x_2 -x_1)\cdot 1,5 + \displaystyle\int_{x_2}^{10}f(x)\;\mathrm dx\right) \,\text{m}^3$
$ V= 2,5\cdot … $
berechnet werden.
Erläutere diesen Term im Sachzusammenhang und bestimme das Volumen in Kubikmetern.
(6 BE)
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Faktoren beschreiben
Bei $d$ handelt es sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades.
  • $-\frac{1}{30}$ staucht den Graphen in $y$-Richtung. Aufgrund des negativen Vorzeichens wird der Graph im Vergleich zur Ausgangsfunktion $y=x^3$ an der $x$-Achse gespiegelt.
  • $x$ ist eine Nullstelle. An dieser Stelle schneidet der Graph also die $x$-Achse.
  • $(x-2)$ bedeutet, dass $d$ an der Stelle $x=2$ ebenfalls eine Nullstelle besitzt und der Graph also an dieser Stelle die $x$-Achse schneidet.
  • $(x-10)$ bedeutet, dass $d$ an der Stelle $x=10$ ebenfalls eine Nullstelle besitzt und der Graph daher an dieser Stelle die $x$-Achse schneidet.
#nullstelle
1.2
$\blacktriangleright$  Breite und Höhe des Deichs bestimmen
Die Breite des Deichs entspricht dem Abstand der zweiten und dritten Nullstelle von $d.$
$10-2 = 8$
Der Deich ist $8\,\text{m}$ breit.
Die Höhe des Deichs entspricht dem maximalen Funktionswert von $d$ im Bereich $0\leq x \leq 10.$ Dieser lässt sich mit dem CAS bestimmen.
$\blacktriangleright$ TI nspire CAS
Mit dem fMax-Befehl erhältst du die Stelle $x\in[0;10],$ an der der Funktionswert von $d$ am größten ist.
$\text{fMax(d(x),x,0,10)}$
$\text{fMax(d(x),x,0,10)}$
$x_{\text{max}} \approx 7,06$
Der zugehörige Funktionswert lässt sich ebenfalls mit dem CAS berechnen:
$\begin{array}[t]{lll} d(7,06)&\approx& 3,5\\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Mit dem fMax-Befehl erhältst du den größten Funktionswert von $d$ im angegebenen Intervall und die zugehörige Stelle $x_{\text{max}}$.
$\text{fMax(d(x),x,0,10)}$
$\text{fMin(d(x),x,010)}$
$\begin{array}[t]{rll} d(x_{\text{max}})&=& 3,5\\[5pt] \end{array}$
Der Deich ist $3,5\,\text{m}$ hoch.
$\blacktriangleright$  Breite und Tiefe des Grabens bestimmen
Die Breite des Grabens entspricht dem Abstand der ersten und zweiten Nullstelle von $d.$
$2-0 = 2$
Der Graben ist $2\,\text{m}$ breit.
Die Tiefe des Grabens entspricht dem minimalen Funktionswert von $d$ im Bereich $0\leq x \leq 10.$ Dieser lässt sich mit dem CAS analog zu oben mit dem fMin-Befehl bestimmen. Du erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} d(x_{\text{min}})&=& -0,3\\[5pt] \end{array}$
Der Graben ist $0,3\,\text{m}$ tief.
#cas
1.3
$\blacktriangleright$  Profillinie skizzieren
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Abb. 1: Profillinie des Deichs und des Grabens
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Abb. 1: Profillinie des Deichs und des Grabens
2.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Aus dem Aufgabentext folgen für $g$ folgende Bedingungen:
  • $g(8) = 0$
  • $g(4)=3,6$
  • $g'(4)=0$
  • $g'(-3) = 0,3$
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +c\cdot x +d \\[5pt] g'(x) &=& 3a\cdot x^2 + 2b\cdot x + c \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& … \\[5pt] g'(x) &=& … \end{array}$
Im CAS lassen sich nun die Funktionen $g$ und $g'$ in Abhängigkeit von $a,$ $b,$ $c$ und $d$ definieren. Anschließend lässt sich das Gleichungssystem mit dem solve-Befehl lösen:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box} $
keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box} $
Du erhältst:
$g(x)= -\frac{57}{4060}x^3 -\frac{3}{8120}x^2 + \frac{687}{1015}x +\frac{1824}{1015}$
$ g(x)= -\frac{57}{4060}x^3 … $
#cas
3.1
$\blacktriangleright$  Neue Profillinie skizzieren
undefined
Abb. 2: Die neue Profillinie wird in grün dargestellt
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Abb. 2: Die neue Profillinie wird in grün dargestellt
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich bestimmen
Im Sachzsuammenhang ist der Bereich zwischen zwei Nullstellen von $f$ sinnvoll, der $x=0$ einschließt:
$\text{D}_f = \{x\in \mathbb{R}\mid -10\leq x \leq 10 \}$
3.2
$\blacktriangleright$  Maximalen Steigungswinkel auf der Seeseite berechnen
Auf der Seeseite ist die Steigung des Graphen von $f$ positiv. Gesucht ist also die maximale Steigung des Graphen von $f$ für $x\leq 0.$ Die Steigung wird durch $f'$ beschrieben.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& -\frac{1}{400}\cdot x^3 - \frac{3}{100}\cdot x^2 +\frac{1}{4} \cdot x +3 \\[5pt] f'(x) &=& -\frac{3}{400}\cdot x^2 - \frac{6}{100}\cdot x +\frac{1}{4} \\[5pt] f''(x) &=& -\frac{3}{200}\cdot x - \frac{6}{100} \\[5pt] f'''(x) &=& -\frac{3}{200} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& … \\[5pt] f'(x) &=& … \\[5pt] f''(x) &=& … \\[5pt] f'''(x) &=& … \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f''(x) &=& 0 \\[5pt] -\frac{3}{200}\cdot x - \frac{6}{100} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; + \frac{6}{100} \\[5pt] -\frac{3}{200}\cdot x &=& \frac{6}{100} &\quad \scriptsize \mid\; :\left( -\frac{3}{200}\right) \\[5pt] x &=& -4 \end{array}$
$ x = -4 $
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen
$f'''(-4) = -\frac{3}{200} < 0$
An der Stelle $x=-4$ besitzt $f'$ also ein lokales Maximum.
4. Schritt: Steigungswinkel bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f'(-4)&=& -\frac{3}{400}\cdot (-4)^2 - \frac{6}{100}\cdot (-4) +\frac{1}{4} \\[5pt] &=& 0,37 \\[5pt] \end{array}$
$ f'(-4) = 0,37 $
Für den zugehörigen Winkel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& 0,37 &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 20,3^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 20,3^{\circ} $
Auf der Seeseite des neuen Deichs ist der größte Steigungswinkel ca. $20,3^{\circ}$ groß.
#extrempunkt
3.3
$\blacktriangleright$  Zusätzlich benötigte Menge ermitteln
1. Schritt: Verfügbares Volumen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} V_v&=& 125\cdot \displaystyle\int_{2}^{10}d(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 125\cdot \displaystyle\int_{2}^{10}-\frac{1}{30}\cdot x \cdot (x-2)\cdot (x-10)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize\mid \; CAS \\[5pt] &=& \frac{6400}{3}\,[\text{m}^3] \end{array}$
$ V_v = \frac{6400}{3}\,[\text{m}^3] $
2. Schritt: Benötigtes Volumen zum Aufschütten des Grabens bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} V_G&=& 125\cdot \displaystyle\int_{0}^{2}d(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 125\cdot \left|\displaystyle\int_{0}^{2}-\frac{1}{30}\cdot x \cdot (x-2)\cdot (x-10)\;\mathrm dx \right| &\quad \scriptsize\mid \; CAS \\[5pt] &=& 50\,[\text{m}^3] \end{array}$
$ V_G=50\,[\text{m}^3] $
3. Schritt: Volumen des neuen Deichs bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} V_n&=& 125\cdot \displaystyle\int_{-10}^{10}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 125\cdot \displaystyle\int_{-10}^{10}\left(-\frac{1}{400}\cdot x^3 - \frac{3}{100}\cdot x^2 +\frac{1}{4} \cdot x +3\right)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize\mid \; CAS \\[5pt] &=& 5000 \,[\text{m}^3] \end{array}$
$ V_n=5000 \,[\text{m}^3] $
4. Schritt: Benötigtes Volumen bestimmen
Insgesamt wird also folgende Menge benötigt:
$\begin{array}[t]{rll} V_b &=& V_n + V_G - V_v \\[5pt] &=& 5000 \,\text{m}^3 + 50\,\text{m}^3 - \frac{6400}{3}\,\text{m}^3\\[5pt] &=& \frac{8750}{3}\,\text{m}^3 \\[5pt] &\approx& 2917\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V_b\approx 2917\,\text{m}^3 $
Es werden zusätzlich ca. $2917\,\text{m}^3$ Erde benötigt.
#integral
3.4
$\blacktriangleright$  Term im Sachzusammenhang erläutern
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Abb. 3: Skizze
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Abb. 3: Skizze
Im Querschnitt wird die obere Begrenzung des Siels durch die Gerade zu $y=1,5$ beschrieben. Der Graph von $f$ beschreibt den Verlauf des Deiches im Querschnitt.
$x_1$ und $x_2$ sind die Schnittstellen von $f$ und der Gerade zu $y=1,5.$
Die Querschnittsfläche des Siels lässt sich damit in drei Teilfächen aufteilen:
  • Die in der Skizze karierte Fläche, deren Flächeninhalt mithilfe des Integrals $\displaystyle\int_{-10}^{x_1}f(x)\;\mathrm dx$ berechnet werden kann.
  • Das in der Skizze schraffierte Rechteck, dessen Flächeninhalt über $(x_2-x_1)\cdot 1,5$ berechnet werden kann.
  • Die in der Skizze mit Punkten dargestellte Fläche, deren Flächeninhalt durch $\displaystyle\int_{x_2}^{10}f(x)\;\mathrm dx$ berechnet werden kann.
Insgesamt lässt sich der Flächeninhalt der Querschnittsfläche des Siels daher durch folgenden Term berechnen:
$\displaystyle\int_{-10}^{x_1}f(x)\;\mathrm dx + (x_2-x_1)\cdot 1,5 + \displaystyle\int_{x_2}^{10}f(x)\;\mathrm dx$
$ \displaystyle\int_{-10}^{x_1}f(x)\;\mathrm dx + … $
Der Flächeninhalt der Querschnittsfläche wird anschließend mit der Breite des Siels $2,5$ multipliziert. So erhält man das Volumen des Siels.
$\blacktriangleright$  Volumen bestimmen
Mit dem solve-Befehl des CAS erhältst du die Grenzen $x_1$ und $x_2:$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 1,5 \\[5pt] x_1 &\approx& -4,49 \\[5pt] x_2 &\approx& 8,40 \end{array}$
Mit dem CAS folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} V &=& 2,5\cdot \left( \displaystyle\int_{-10}^{x_1}f(x)\;\mathrm dx + (x_2-x_1)\cdot 1,5 + \displaystyle\int_{x_2}^{10}f(x)\;\mathrm dx\right) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 60\,[\text{m}^3] \end{array}$
$ V\approx 60\,[\text{m}^3] $
Das Volumen des Siels beträgt ca. $60\,\text{m}^3.$
#integral
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