Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
HE, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss
Lernstandserhebung 8 E-Ku...
Lernstandserhebung 8 G-Ku...
Abitur GK (CA...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss
Lernstandserhebung 8 E-Kurs
Lernstandserhebung 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur GK (CAS)
A - Hilfsmittelfrei
B2 - Analysis
C1 - Lineare Algebra,...
C2 - Stochastik
Abi 2018
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2017
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2016
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2015
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2014
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2013
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2012
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2011
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2010
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2009
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2008
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2007
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
LV-Abi 1
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik

A1 - Analysis

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
Die mit über $51$ Metern – gute 17 Stockwerke – höchste Wasserrutsche der Welt namens „Verrückt“, die mit Schlauchbooten befahren wird, befindet sich im US-Bundesstaat Kansas (Material 1). Der Verlauf der Wasserrutsche soll durch die Graphen von zwei ganzrationalen Funktionen modelliert werden. Der Graph der ersten Funktion $g$ beschreibt den Verlauf des ersten Teils der Wasserrutsche vom Startpunkt $P_1$ bis zum Punkt $P_2$ und der Graph der zweiten Funktion $f$ den Verlauf des zweiten Teils vom Punkt $P_2$ bis zum Punkt $P_3.$ Die $x$-Achse beschreibt den ebenen Erdboden (Material 2). Im Folgenden sind alle Längen und Koordinaten in Meter angegeben.
1.
Zunächst soll der Verlauf des zweiten Teils der Wasserrutsche durch eine ganzrationale Funktion modelliert werden.
1.1
Begründe anhand des Graphen, dass die gesuchte ganzrationale Funktion mindestens vierten Grades sein muss.
(2 BE)
1.2
Der Graph der Funktion $f$ verläuft durch die Punkte $P_2(15\mid 25)$ und $P_3(150\mid0).$ Die Steigung im Übergangspunkt $P_2$ beträgt $m = - 2$ und im Punkt $P_3$ geht die Rutsche waagerecht ins Auffangbecken über. Der Steigungswinkel des Graphen an der Stelle $x = 65$ beträgt $24^{\circ}$. Gib einen Ansatz zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades mit den genannten Eigenschaften an und bestimme die Funktionsgleichung.
(5 BE)
#steigungswinkel
Im Folgenden soll der Verlauf des zweiten Teils der Wasserrutsche durch den Graphen der Funktion $f$ mit
$f(x) = 1,759 \cdot 10^{-6} x^4 - 6,698 \cdot 10^{- 4} x^3 + 0,08533x^2 - 4,132x + 69,95$
$ f(x)= … $
modelliert werden.
1.3
Auf einer Werbetafel für den Freizeitpark soll die maximale Höhe des zweiten Teils der Wasserrutsche angegeben werden. Ermitteln Sie ohne Verwendung des Graphen die maximale Höhe innerhalb des Intervalls $[80;140].$ Im weiteren Verlauf der Rutsche interessiert das maximale Gefälle. Bestimme das maximale Gefälle innerhalb des Intervalls $[80;140].$
(8 BE)
2.
Der Verlauf der Wasserrutsche von $P_1$ nach $P_2$ soll aufgrund der hohen Geschwindigkeit, mit der ein Schlauchboot herunterfährt, im Übergangspunkt $P_2$ sowohl knickfrei als auch krümmungsruckfrei sein und dort auch keinen Sprung aufweisen.
2.1
Um die Bedingung „knickfrei“ einzuhalten, darf die erste Ableitung der Funktion keine Sprungstelle haben. Erläutere diese Bedingung im Sachzusammenhang, indem du auf mögliche Folgen für den Bewegungsablauf des Schlauchboots an der Übergangsstelle eingehst.
(3 BE)
2.2
Beschreibe die Eigenschaft „krümmungsruckfrei“ im Übergangspunkt $P_2$ mathematisch.
(3 BE)
2.3
Zur Modellierung des Verlaufs des ersten Teils der Wasserrutsche von $P_1$ nach $P_2$ werden die Graphen der Funktionen $g_A$ und $g_B$ mit
$g_A(x) = -\dfrac{x^2}{75}-\dfrac{8x}{5} +52$ und $g_B(x)= 4,727\cdot 10^{-3}x^3 - 0,1551x^2-0,5365x+51,9891 $
$ g_A(x)= …$ und $g_B(x)= … $
betrachtet.
Beurteile auf rechnerischer Grundlage, welcher der beiden Graphen zur Modellierung des Verlaufs des ersten Teils der Wasserrutsche für den Übergang im Punkt $P_2$ besser geeignet ist.
(9 BE)
3.
Um die Rutsche für die Besucher bereits von Weitem gut sichtbar zu machen, soll der Bereich unterhalb der gesamten Rutsche zwischen $P_1$ und $P_3$ mit einer senkrecht zum Boden verlaufenden Werbefläche versehen werden. Diese Werbefläche soll bis auf eine Höhe von $5\,\text{m}$ über dem ebenen Boden herunterreichen. Bestimme den Flächeninhalt der entstehenden Werbefläche.
(10 BE)
Material 1
Material 2
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
[2]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
1.1
$\blacktriangleright$  Grad der Funktion begründen
Betrachte den Graphen und zähle beispielsweise die Anzahl der Nullstellen oder der Extrempunkte. Der Graph einer ganzrationalen Funktion $n$-ten Grades kann maximal $n$ Nullstellen besitzen.
1.2
$\blacktriangleright$  Ansatz zur Bestimmung der Funktion angeben
Stelle die allgemeine Funktionsgleichung auf und lies aus dem Aufgabentext verschiedene Bedingungen ab, die die Funktion erfüllen muss.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Löse das obige Gleichungssystem mit dem fsolve-Befehl deines CAS.
1.3
$\blacktriangleright$  Maximale Höhe ermitteln
Die maximale Höhe der Wasserrutsche im Intervall $[80;140]$ entspricht dem maximalen Funktionswert von $f$ in diesem Intervall. Bestimme also die Koordinaten des Hochpunkts und vergleiche mit den Funktionswerten an den Intervallrändern, um ein mögliches Randextremum zu überprüfen. Für eine Maximalstelle $x_M$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\,f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: Ist $f''(x_M)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $x_M$ an den Maximalstellen.
$\blacktriangleright$  Maximales Gefälle bestimmen
Gesucht ist das maximale Gefälle, also die größte negative Steigung des Graphen von $f$ im Intervall $[80;140].$ Bestimme also das Minimum von $f'(x)$ im angegebenen Intervall. Dabei kannst du wie oben vorgehen und dein CAS verwenden. Beachte, dass die Kriterien nun wie folgt lauten:
  • Notwendiges Kriterium: $f''(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium für eine Minimalstelle: $f'''(x_M)> 0$
2.1
$\blacktriangleright$  Bedingung im Sachzusammenhang erläutern
Der Übergang der Rutsche vom ersten Teil in den zweiten Teil soll knickfrei verlaufen. Eine Sprungstelle der ersten Ableitung kann in zwei Varianten erfolgen. Überlege dir, was passieren könnte, wenn das Boot über enen knick fährt.
2.2
$\blacktriangleright$  Eigenschaft mathematisch beschreiben
Die Krümmung eines Graphen wird durch die zugehörige zweite Ableitungsfunktion beschrieben. Die Krümmung der beiden Funktionen, die den Verlauf der Rutsche beschreiben, muss im Übergangspunkt gleich sein.
2.3
$\blacktriangleright$  Entscheiden, welche der Funktionen für die Modellierung besser geeignet ist
Aufgrund der letzten beiden Aufgabenteile, sollte $g$ folgende Bedingungen erfüllen:
  • $g(15)=f(15)$
  • $g'(15) = f'(15)$
  • $g''(15)=f''(15)$
Überprüfe, auf welche der beiden angegebenen Funktionen dies zutrifft bzw. welche diesen Bedingungen am nächsten kommt.
3.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Werbefläche bestimmen
A1 - Analysis
Abb. 1: Skizze
A1 - Analysis
Abb. 1: Skizze
In der Skizze kannst du erkennen, dass sich die Fläche aus insgesamt drei Teilflächen zusammensetzt:
  • Die Fläche, die der Graph von $g_B$ mit der Gerade zu $y=5$ im Intervall $[0;15]$ begrenzt
  • Die Fläche, die der Graph von $f$ mit der Gerade zu $y=5$ im Intervall $[15,x_1]$ begrenzt, wobei $x_1$ die erste Schnittstelle von $f$ mit der Gerade ist.
  • Die Fläche, die der Graph von $f$ mit der Gerade zu $y=5$ im Intervall $[x_2,x_3]$ begrenzt, wobei $x_2$ und $x_3$ die zweite und dritte Schnittstelle von $f$ und der Geraden bezeichnen.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF
1.1
$\blacktriangleright$  Grad der Funktion begründen
Betrachte den Graphen und zähle beispielsweise die Anzahl der Nullstellen oder der Extrempunkte. Der Graph einer ganzrationalen Funktion $n$-ten Grades kann maximal $n$ Nullstellen besitzen.
Der Graph in Material 2 vom Punkt $P_2$ bis zum Punkt $P_3$ besitzt drei markante Punkte:
  • Einen Tiefpunkt in etwa an der Stelle $x=40$
  • Einen Hochpunkt an der Stelle $x\approx 95$
  • Einen weiteren Punkt mit waagerechter Tangente an der Stelle $x=150$, der entweder ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt ist.
Es gibt also drei Punkte mit waagerechter Tangente, an denen demnach die Steigung des Graphen null ist. Da die Steigung des Graphen durch die erste Ableitungsfunktion beschrieben wird, muss diese also mindestens drei Nullstellen besitzen. Die erste Ableitungsfunktion muss demnach mindestens dritten Grades und die Ausgangsfunktion daher mindestens vierten Grades sein.
1.2
$\blacktriangleright$  Ansatz zur Bestimmung der Funktion angeben
Stelle die allgemeine Funktionsgleichung auf und lies aus dem Aufgabentext verschiedene Bedingungen ab, die die Funktion erfüllen muss.
Bei $f$ soll es sich um eine ganzrationale Funktion vierten Grades handeln, also ist:
$f(x)= $ $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
Außerdem müssen laut Aufgabenstellung folgende Bedingungen gelten:
  • Der Graph verläuft durch den Punkt $P_2,$ also gilt $f(15)=25.$
  • Der Graph verläuft durch den Punkt $P_3,$ also gilt $f(150\mid 0).$
  • Der Graph im Übergangspunkt $P_2$ beträgt $m=-2,$ also muss gelten $f'(15)=-2.$
  • Im Punkt $P_3$ geht die Rutsche waagerecht ins Auffangbecken über, die Steigung beträgt hier also $0:$ $f'(150)=0.$
  • An der Stelle $x=65$ beträgt der Steigungswinkel $24^{\circ}.$ Mit der Formel für den Steigungswinkel muss also gelten $f'(65)=\tan 24^{\circ}.$
Aus diesen Bedingungen ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten $a,$ $b,$ $c,$ $d$ und $e.$
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Löse das obige Gleichungssystem mit dem fsolve-Befehl deines CAS. Definiere dazu zunächst die allgemeine Funktionsgleichung von $f$ und die zugehörige erste Ableitungsfunktion. Den Befehl für die Ableitung findest du unter :
A1 - Analysis
Abb. 1: Lösen mit dem CAS
A1 - Analysis
Abb. 1: Lösen mit dem CAS
Die Funktionsgleichung von $f$ lautet:
$f(x)= 1,897\cdot 10^{-6} x^4 -7,155\cdot 10^{-4}x^3 + 0,08793x^2 -4,23446x +70,64711 $
$ f(x) = … $
1.3
$\blacktriangleright$  Maximale Höhe ermitteln
Die maximale Höhe der Wasserrutsche im Intervall $[80;140]$ entspricht dem maximalen Funktionswert von $f$ in diesem Intervall. Bestimme also die Koordinaten des Hochpunkts und vergleiche mit den Funktionswerten an den Intervallrändern, um ein mögliches Randextremum zu überprüfen. Für eine Maximalstelle $x_M$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\,f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: Ist $f''(x_M)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $x_M$ an den Maximalstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
A1 - Analysis
Abb. 2: Berechnung mit dem CAS
A1 - Analysis
Abb. 2: Berechnung mit dem CAS
Der Graph von $f$ besitzt also an der Stelle $x\approx 93,95$ einen Hochpunkt.
4. Schritt: Funktionswerte vergleichen
  • $f(93,95) \approx 16,53$
  • $f(80)\approx 14,61$
  • $f(140)\approx 1,74$
Innerhalb des Intervalls $[80;140]$ beträgt die maximale Höhe ca. $16,53\,\text{m}.$
$\blacktriangleright$  Maximales Gefälle bestimmen
Gesucht ist das maximale Gefälle, also die größte negative Steigung des Graphen von $f$ im Intervall $[80;140].$ Bestimme also das Minimum von $f'(x)$ im angegebenen Intervall. Dabei kannst du wie oben vorgehen und dein CAS verwenden. Beachte, dass die Kriterien nun wie folgt lauten:
  • Notwendiges Kriterium: $f''(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium für eine Minimalstelle: $f'''(x_M)> 0$
1. Schritt: Dritte Ableitung definieren
Da nun alles eine Ebene tiefergesetzt ist, benötigst du zusätzlich noch die dritte Ableitungsfunktion von $f.$ Diese kannst du wie oben in deinem CAS definieren.
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
A1 - Analysis
Abb. 3: Berechnung mit dem CAS
A1 - Analysis
Abb. 3: Berechnung mit dem CAS
Die größte negative Steigung besitzt der Graph von $f$ also an der Stelle $x\approx 126,46$ mit $f'(126,46)\approx -0,46.$ Das größte Gefälle im Intervall $[80;140]$ beträgt also ca. $46\,\%.$
#extrempunkt
2.1
$\blacktriangleright$  Bedingung im Sachzusammenhang erläutern
Der Übergang der Rutsche vom ersten Teil in den zweiten Teil soll knickfrei verlaufen. Eine Sprungstelle der ersten Ableitung kann in zwei Varianten erfolgen:
  • Das Gefälle vor dem Übergang kann größer sein und springt dann im Knick auf einen kleineren Wert. In dem Fall würde das Gefälle schlagartig abnehmen und das Schlauchboot könnte mit der Vorderseite auf der Rutschbahn aufstoßen und zu schnell abgebremst werden oder sogar stecken bleiben.
  • Das Gefälle vor dem Übergang kann kleiner sein und im Knick dann schlagartig in ein steileres Gefälle übergehen. Hier kann es passieren, dass das Schlauchboot kurze Zeit nicht mehr in Kontakt mit der Rutschbahn ist und kurz „fliegt“. Beim Auftreffen könnte es dann beispielsweise passieren, dass sich das Schlauchboot überschlägt oder seitlich kippt. Auch wenn es nicht nicht Kontakt zur Bahn verliert, kann es sein, dass es beim Überfahren des Knicks vorn über kippt.
2.2
$\blacktriangleright$  Eigenschaft mathematisch beschreiben
Die Krümmung eines Graphen wird durch die zugehörige zweite Ableitungsfunktion beschrieben. Die Krümmung der beiden Funktionen, die den Verlauf der Rutsche beschreiben, muss im Übergangspunkt gleich sein.
Der Graph der Funktion $g$ muss dieselbe Krümmung besitzen wie der Graph der Funktion $f.$ Da die Krümmung eines Funktionsgraphen durch die zugehörige zweite Ableitungsfunktion beschrieben wird, bedeutet ein krümmungsruckfreier Übergang, dass die zweite Ableitung im Übergangspunkt $P_2$ keine Sprungstelle hat, also gilt $f''(15)=g''(15).$
2.3
$\blacktriangleright$  Entscheiden, welche der Funktionen für die Modellierung besser geeignet ist
Aufgrund der letzten beiden Aufgabenteile, sollte $g$ folgende Bedingungen erfüllen:
  • $g(15)=f(15)$
  • $g'(15) = f'(15)$
  • $g''(15)=f''(15)$
Überprüfe, auf welche der beiden angegebenen Funktionen dies zutrifft bzw. welche diesen Bedingungen am nächsten kommt.
Mit dem CAS erhältst du:
  • $f'(15)\approx -2,000$
  • $f''(15)\approx 0,115$
Für $g_A$ erhältst du analog:
  • $g_A(15) = 25$
  • $g_A'(15)=-2$
  • $g_A''(15) = -\frac{2}{75}$
Für $g_B$ folgt:
  • $g_B(15)\approx 24,998$
  • $g_B'(15)\approx-1,999$
  • $g_B''(15) = 0,11523$
Bei beiden Funktionen stimmen sowohl Funktionswert als auch der Funktionswert der ersten Ableitungsfunktion näherungsweise mit denen von $f$ überein. Beim Krümmungsverhalten, also beim Funktionswert der zweiten Ableitung weicht $g_A$ in sofern von $f$ ab, als dass der Wert hier im Gegensatz zu $f$ negativ ist. Bei $g_B$ gibt es diese Abweichung nicht, hier stimmt auch der Funktionswert der zweiten Ableitung näherungsweise mit dem der zweiten Ableitung von $f$ überein.
$g_B$ ist also besser zur Modellierung geeignet als $g_A.$
3.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Werbefläche bestimmen
A1 - Analysis
Abb. 4: Skizze
A1 - Analysis
Abb. 4: Skizze
In der Skizze kannst du erkennen, dass sich die Fläche aus insgesamt drei Teilflächen zusammensetzt:
  • Die Fläche, die der Graph von $g_B$ mit der Gerade zu $y=5$ im Intervall $[0;15]$ begrenzt
  • Die Fläche, die der Graph von $f$ mit der Gerade zu $y=5$ im Intervall $[15,x_1]$ begrenzt, wobei $x_1$ die erste Schnittstelle von $f$ mit der Gerade ist.
  • Die Fläche, die der Graph von $f$ mit der Gerade zu $y=5$ im Intervall $[x_2,x_3]$ begrenzt, wobei $x_2$ und $x_3$ die zweite und dritte Schnittstelle von $f$ und der Geraden bezeichnen.
1. Schritt: Schnittstellen bestimmen
Löse mit dem solve-Befehl deines CAS die Gleichung $f(x)= 5.$ Du erhältst dann folgende Lösungen im relevanten Intervall $[15;150]:$
  • $x_1\approx 32,00$
  • $x_2\approx 53,60$
  • $x_3\approx 131,59$
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen kann mithilfe eines Integrals über die Differenzfunktion berechnet werden. Dazu kannst du dein CAS verwenden. Den Befehl für ein Integral findest du unter:
Keyboard $\to$ Math2
Keyboard $\to$ Math2
Du erhältst dann:
A1 - Analysis
Abb. 5: Berechnung mit dem CAS
A1 - Analysis
Abb. 5: Berechnung mit dem CAS
Der Flächeninhalt der Werbefläche beträgt ca. $1.219,74 \,\text{m}^2.$
#integral
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[5]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App