Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
HE, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fach: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss
Lernstandserhebung 8 E-Ku...
Lernstandserhebung 8 G-Ku...
Abitur GK (CA...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss
Lernstandserhebung 8 E-Kurs
Lernstandserhebung 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur GK (CAS)
A - Hilfsmittelfrei
B2 - Analysis
C1 - Lineare Algebra,...
C2 - Stochastik
Abi 2018
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2017
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2016
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2015
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2014
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2013
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2012
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2011
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2010
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2009
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2008
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2007
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
LV-Abi 1
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik

A1 - Analysis

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord
Eine Lernkurve beschreibt den Lernerfolg in Abhängigkeit von der Zeit. In der Abbildung (Material 1) sind Abschnitte zweier Lernkurven dargestellt. Dabei ist auf der horizontalen Achse die Zeit in Minuten abgetragen, während auf der vertikalen Achse der Lernerfolg als prozentualer Anteil des gelernten Stoffs dargestellt ist.
Die Kurven beschreiben den Lernerfolg zweier Schüler $S_1$und $S_2$ während einer Lernphase für eine Klausur. Schüler $S_1$ kann am Anfang große Lernzuwächse verzeichnen, Schüler $S_2$ braucht einige Zeit, bis er sich in die Lernsituation eingefunden hat, der Lernerfolg nimmt aber immer stärker zu.
1.
1.1 Ordnen Sie die Lernkurven $A$ und $B$ aus Material 1 den Schülern $S_1$ und $S_2$ begründet zu.
(3P)
1.2 Zum Graphen $A$ gehört die Funktionsgleichung $f$ mit $f(t)=90-80\cdot\mathrm e^{-0,05\cdot t}$.
Zu der anderen Lernkurve gehören die Werte der Tabelle in Material 2. Ermitteln Sie eine geeignete Exponentialfunktion $g$ der Form $g(t)=a\cdot\mathrm e^{k\cdot t}$.
$[$Zur Kontrolle: $g(t)=10\cdot\mathrm e^{0,038\cdot t}$$]$
(5P)
1.3 Bestimmen Sie, wie viel Prozent des Lernstoffes $S_1$ und $S_2$ nach 40 Minuten gelernt haben, und skalieren Sie die Achsen im Material 1 entsprechend.
(4P)
1.4 Ermitteln Sie den Zeitpunkt $t>0$, an dem beide Schüler den gleichen Lernerfolg haben.
(2P)
2. Eine Mitschülerin behauptet: „Zu dem Zeitpunkt, an dem $S_1$ und $S_2$ dieselbe Lerngeschwindigkeit aufweisen, unterscheidet sich der Lernerfolg am stärksten.“
Berechnen Sie diese Lerngeschwindigkeit in $\frac{\%}{\text{min}}$ und die maximale Differenz des Lernerfolges.
Überprüfen Sie daraufhin die Aussage der Mitschülerin.
(15P)
3.
3.1 Begründen Sie, dass der zu Graph $A$ gehörende Schüler ohne eine Änderung seines Lernverhaltens den Stoff während der Lernphase bis zur Klausur nicht zu einhundert Prozent gelernt haben wird.
(4P)
3.2 Der zu Graph $A$ gehörende Schüler plant eine neue Lernstrategie für die Klausur. Seine Überlegungen sind in Material 3 dokumentiert. Erläutern Sie die Rechenschritte in den Zeilen (Ⅰ) bis (Ⅲ) und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang.
(7P)
Material 1
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Material 2
$t$ in min 0 15 30 55
$y$ in % 10 18 31 81
Material 3
$\begin{array}{ll} &\\ (Ⅰ)&m=\dfrac{100-f(t)}{60-t}=f'(t)\\ &\\ (Ⅱ)&\dfrac{10+80\cdot\mathrm e^{-0,05\cdot t}}{60-t}=4\cdot\mathrm e^{-0,05\cdot t}\\ &\\ (Ⅲ)&t\approx 29\,\text{min}\quad;\quad m\approx0,93\frac{\%}{\text{min}}\\ &\\ \end{array}$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1

1.
1.1 $\blacktriangleright$Lernkurven zuordnen und begründen
Zwei Schüler $S_1$ und $S_2$ lernen für eine Klausur. Der Lernerfolg wird nun in einem Koordinatensystem abgetragen, wobei man folgende Ausprägungen erkennen kann:
  • $S_1$: Zu Anfang liegt großer Lernzuwachs vor.
  • $S_2$: Lernerfolg ist zunächst niedrig, nimmt aber immer stärker zu.
Im Material sind nun zwei Graphen $A$ und $B$ gegeben, die du den Schülern zuordnen sollst. Auf der $x$-Achse wird die Zeit in Minuten, auf der $y$-Achse der Lernzuwachs abgetragen.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Dabei fällt auf:
  • $A$: Der Graph steigt zunächst stark an, nähert sich aber einem Grenzwert.
  • $B$: Die Kurve wird mit zunehmender Zeit immer steiler.
1.2 $\blacktriangleright$Geeignete Exponentialfunktionsterm zum Graphen $B$ aufstellen
Die Lernkurve $B$ soll nun durch eine geeignete Exponentialfunktion $g$ der Form
$$g(t)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot t}$$
beschrieben werden. Im Material wird folgende zu $B$ gehörende Tabelle angeführt:
$t$ in min 0 15 30 55
$y$ in % 10 18 31 81
Verwende die darin enthaltenen Werte, um die unbekannten Parameter $a$ und $k$ zu bestimmen.
Um die 2 unbekannten Parameter $a$ und $k$ zu bestimmen, kannst du die Werte aus der gegebenen Tabelle einsetzen:
  • $g(0)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 0}=10$
  • $g(15)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 15}=18$
  • $g(30)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 30}=31$
  • $g(55)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 55}=81$
Du kannst erkennen, dass für $t=0$ der Exponent der e-Funktion gleich Null wird. Das heißt, mittels der ersten Bedingung können wir bereits den Parameter $a$ bestimmen:
1.3 $\blacktriangleright$Bestimmen wieviel Prozent des Lernstoffes nach 40 Minuten gelernt wurde
Bestimme wieviel Prozent des Lernstoffes die Schüler $S_1$ und $S_2$ nach 40 Minuten gelernt haben.
Im Koordinatensystem wird entlang der $y$-Achse der Lernerfolg als prozentualer Anteil des gelernten Stoffs dargestellt. Das heißt, die prozentualen Anteile des Lernstoffes nach 40 Minuten entsprechen gerade folgenden Werten:
  • $f(40)$
  • $g(40)$
Berechne also den Funktionswert an der Stelle $t=40$.
1.4 $\blacktriangleright$Ermitteln des Zeitpunktes, an dem die Schüler gleichen Lernerfolg haben
Im Koordinatensystem wird entlang der $y$-Achse der Lernerfolg als prozentualer Anteil des gelernten Stoffs dargestellt. Um also herausfinden zu können, wann die beiden Schüler den gleichen Lernerfolg haben, kannst du den Schnittpunkt der beiden Graphen bestimmen. Die $x$-Koordinate entspricht dann dem Zeitpunkt, an dem das der Fall ist.

Aufgabe 2

2. $\blacktriangleright$Berechnen der Lerngeschwindigkeit und Differenz des Lernerfolges
Eine Mitschülerin behauptet:
„Zu dem Zeitpunkt, an dem $S_1$ und $S_2$ dieselbe Lerngeschwindigkeit aufweisen, unterscheidet sich der Lernerfolg am stärksten.“
Stimmt diese Aussage? Überprüfe das, indem du folgendes berechnest:
  • Berechne die Lerngeschwindigkeit der beiden Schüler.
  • Ermittle die maximale Differenz des Lernerfolges der beiden Schüler.
$\blacktriangleright$ Lerngeschwindigkeit der Schüler bestimmen
Beschreiben die Kurven den Lernerfolg als prozentualen Anteil des gesamten Lehrstoffes, so beschreibt die erste Ableitung die Lerngeschwindigkeit.
Gehe hierbei wie folgt vor:
  • Bilde die ersten Ableitungen der beiden Funktionen $f$ und $g$.
  • Überprüfe, wann diese dieselbe Lerngeschwindigkeit aufweisen, indem du den Schnittpunkt bestimmst.
$\blacktriangleright$ Maximale Differenz des Lernerfolges berechnen
Die Differenz $D$ der Lernerfolges lässt sich in mathematischen Formel wie folgt darstellen:
$$ \boldsymbol{ D(x)=|f(x)-g(x)|} $$

Aufgabe 3

3.
3.1 $\blacktriangleright$Begründe, dass Schüler $S_1$ den Lehrstoff nie zu $100\,\%$ beherrscht
Der Schüler $S_1$ wird den Stoff bis zur Klausur nicht zu 100 % gelernt haben. Begründe anhand des zugehörigen Graphen $A$, warum das der Fall ist.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Betrachtest du den Graphen $A$, so kannst du erkennen, dass er sich einem Grenzwert nähert. Liegt dieser Grenzwert unterhalb 100 %, so ist die Aussage aus dem Aufgabentext bestätigt. Wir überprüfen dazu den Funktionsterm zu $A$:
$$ \boldsymbol{f(t)=90 - 80 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot t}}$$
Welche Auswirkungen hat $t \to \infty$? Welche Schlussfolgerung kannst du daraus ziehen?
3.2 $\blacktriangleright$Rechenschritte erläutern und interpretieren
Der Schüler $S_1$ möchte nun seine Lernstrategie verändern und dokumentiert das wie folgt:
  • Ⅰ: $m=\dfrac{100-f(t)}{60-t}=f'(t)$
  • Ⅱ: $\dfrac{10+80 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot t}}{60-t}=4 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot t}$
  • Ⅲ: $t \approx 29$ min; $m \approx 0,93 \frac{\%}{\text{min}}$
Erläutere und Interpretiere die drei Rechenschritte.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1

1.
1.1 $\blacktriangleright$Lernkurven zuordnen und begründen
Zwei Schüler $S_1$ und $S_2$ lernen für eine Klausur. Der Lernerfolg wird nun in einem Koordinatensystem abgetragen, wobei man folgende Ausprägungen erkennen kann:
  • $S_1$: Zu Anfang liegt großer Lernzuwachs vor.
  • $S_2$: Lernerfolg ist zunächst niedrig, nimmt aber immer stärker zu.
Im Material sind nun zwei Graphen $A$ und $B$ gegeben, die du den Schülern zuordnen sollst. Auf der $x$-Achse wird die Zeit in Minuten, auf der $y$-Achse der Lernzuwachs abgetragen.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Dabei fällt auf:
  • $A$: Der Graph steigt zunächst stark an, nähert sich aber einem Grenzwert.
  • $B$: Die Kurve wird mit zunehmender Zeit immer steiler.
Soll die $y$-Achse den Lernzuwachs darstellen, so kannst du festhalten, dass $A$ zu Schüler $S_1$ gehört, der zunächst einen sehr großen Lernzuwachs vorweist.
$B$ steigt erst mit fortschreitender Zeit an, folglich kann dieser Graph dem Schüler $S_2$ zugeordnet werden.
1.2 $\blacktriangleright$Geeignete Exponentialfunktionsterm zum Graphen $B$ aufstellen
Die Lernkurve $B$ soll nun durch eine geeignete Exponentialfunktion $g$ der Form
$$g(t)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot t}$$
beschrieben werden. Im Material wird folgende zu $B$ gehörende Tabelle angeführt:
$t$ in min 0 15 30 55
$y$ in % 10 18 31 81
Verwende die darin enthaltenen Werte, um die unbekannten Parameter $a$ und $k$ zu bestimmen.
Um die 2 unbekannten Parameter $a$ und $k$ zu bestimmen, kannst du die Werte aus der gegebenen Tabelle einsetzen:
  • $g(0)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 0}=10$
  • $g(15)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 15}=18$
  • $g(30)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 30}=31$
  • $g(55)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 55}=81$
Du kannst erkennen, dass für $t=0$ der Exponent der e-Funktion gleich Null wird. Das heißt, mittels der ersten Bedingung können wir bereits den Parameter $a$ bestimmen:
$g(0)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 0}=a \cdot \mathrm{e}^{0}=a=10$
Daraus folgt, dass a=10 gelten muss. Das kannst du nun im Folgenden verwenden.
Wir betrachten nun noch die letzte Bedingung und setzen $a=10$ ein:
$\begin{array}{rcll} 81&=&a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 55}& \\ 81&=&10 \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 55}& \scriptsize{ \mid\; :10} \\ 8,1&=&\mathrm{e}^{k \cdot 55}& \scriptsize{ \mid\; \mathrm{ln}()} \\ \mathrm{ln}(8,1)&=&\mathrm{ln} \left(\mathrm{e}^{k \cdot 55} \right)&\\ \mathrm{ln}(8,1)&=&(k \cdot 55) \cdot \mathrm{ln} \left(\mathrm{e}\right)&\\ \mathrm{ln}(8,1)&=&(k \cdot 55) \cdot 1& \scriptsize{ \mid\; :55}\\ k &=& \frac{\mathrm{ln}(8,1)}{55} \approx 0,038& \\ \end{array}$
Es muss also k = 0,038 gelten. Damit kannst du den Funktionsterm zur Lernkurve $B$ wie folgt angeben:
$g(t)=10 \cdot \mathrm{e}^{0,038 \cdot t}$
1.3 $\blacktriangleright$Bestimmen wieviel Prozent des Lernstoffes nach 40 Minuten gelernt wurde
Bestimme wieviel Prozent des Lernstoffes die Schüler $S_1$ und $S_2$ nach 40 Minuten gelernt haben.
A1 - Analysis
Im Koordinatensystem wird entlang der $y$-Achse der Lernerfolg als prozentualer Anteil des gelernten Stoffs dargestellt. Das heißt, die prozentualen Anteile des Lernstoffes nach 40 Minuten entsprechen gerade folgenden Werten:
  • $f(40)$
  • $g(40)$
Berechne also den Funktionswert an der Stelle $t=40$.
Dazu kannst du das CAS verwenden. Definiere die beiden Funktionen $f$ und $g$. Berechne anschließend $f(40)$ und $g(40)$.
A1 - Analysis
Das liefert dir, dass der Schüler $S_1$ (hier y2) ungefähr 79 % und der Schüler $S_2$ (hier y1) etwa 46 % des gesamten Lehrstoffes gelernt hat.
1.4 $\blacktriangleright$Ermitteln des Zeitpunktes, an dem die Schüler gleichen Lernerfolg haben
Im Koordinatensystem wird entlang der $y$-Achse der Lernerfolg als prozentualer Anteil des gelernten Stoffs dargestellt. Um also herausfinden zu können, wann die beiden Schüler den gleichen Lernerfolg haben, kannst du den Schnittpunkt der beiden Graphen bestimmen. Die $x$-Koordinate entspricht dann dem Zeitpunkt, an dem das der Fall ist.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Verwende dazu das CAS. Definiere die beiden Funktionen $f$ und $g$ und wähle den solve-Befehl aus. Diesen findest du unter
menu $\to$ 3 $\to$ 1
Setze anschließend die Funktionsterme $f(t)$ und $g(t)$ gleich und gib an, dass nach der Variable $t$ gelöst werden soll.
Das CAS liefert dir, dass nach ungefähr 56 Minuten der Lernerfolg der beiden Schüler gleich ist.

Aufgabe 2

2. $\blacktriangleright$Berechnen der Lerngeschwindigkeit und Differenz des Lernerfolges
Eine Mitschülerin behauptet:
„Zu dem Zeitpunkt, an dem $S_1$ und $S_2$ dieselbe Lerngeschwindigkeit aufweisen, unterscheidet sich der Lernerfolg am stärksten.“
Stimmt diese Aussage? Überprüfe das, indem du folgendes berechnest:
  • Berechne die Lerngeschwindigkeit der beiden Schüler.
  • Ermittle die maximale Differenz des Lernerfolges der beiden Schüler.
$\blacktriangleright$ Lerngeschwindigkeit der Schüler bestimmen
Beschreiben die Kurven den Lernerfolg als prozentualen Anteil des gesamten Lehrstoffes, so beschreibt die erste Ableitung die Lerngeschwindigkeit.
Gehe hierbei wie folgt vor:
  • Bilde die ersten Ableitungen der beiden Funktionen $f$ und $g$.
  • Überprüfe, wann diese dieselbe Lerngeschwindigkeit aufweisen, indem du den Schnittpunkt bestimmst.
1. Schritt: Ableitungen der Funktionen bestimmen
Wir bestimmen zunächst die erste Ableitung der Funktion $f$:
$\begin{array}{rcl} f(t)&=&90-80 \cdot \mathrm{e}^{-0.05 \cdot t} & \\[4pt] f'(t)&=&(-0.05) \cdot (-80) \cdot \mathrm{e}^{-0.05 \cdot t} & \\ &=&4 \cdot \mathrm{e}^{-0.05 \cdot t} & \\ \end{array}$
Die Ableitung der Funktion $g$ kannst du folgendermaßen bestimmen:
$\begin{array}{rcl} g(t)&=&10 \cdot \mathrm{e}^{0,038 \cdot t} & \\[4pt] g'(t)&=&0,038 \cdot 10 \cdot \mathrm{e}^{0,038 \cdot t} & \\ &=&0,38 \cdot \mathrm{e}^{0,038 \cdot t} & \\ \end{array}$
Alternativ kannst du die Ableitungen auch mit Hilfe des CAS bestimmen. Den entsprechenden Befehl findest du unter menu $\to$ 4 $\to$ 1
A1 - Analysis
A1 - Analysis
2. Schritt: Überprüfen, wann Lerngeschwindigkeit übereinstimmt
Um den Zeitpunkt zu bestimmen, an dem die Lerngeschwindigkeit der beiden Schüler identisch ist, kannst du die beiden Funktionsterme gleichsetzen und nach der Variablen $t$ auflösen. Alternativ kannst du aber auch den Schnittpunkt der beiden Graphen zu den Ableitungen bestimmen.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Wir geben dazu die beiden Ableitungsterme im CAS ein oder lassen diese wie oben bestimmen. Wähle anschließend unter
menu $\to$ 3 $\to$ 1
den solve-Befehl aus und setze beide Terme gleich.
Das CAS liefert dir, dass nach ungefähr 26,7 Minuten die Lerngeschwindigkeit mit 1,05 $\frac{\%}{\text{min}}$ der beiden Schüler gleich ist.
$\blacktriangleright$ Maximale Differenz des Lernerfolges berechnen
Die Differenz $D$ der Lernerfolges lässt sich in mathematischen Formel wie folgt darstellen:
$$ \boldsymbol{ D(x)=|f(x)-g(x)|} $$
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Um die maximale Differenz des Lernerfolges zu bestimmen, kannst du ebenfalls das CAS zur Hilfe nehmen. Gib die neue Funktion $D(x)=| f(x)-g(x) | $ im Graph-Modus an und wähle anschließend unter
menu $\to$ 6 $\to$ 3
den passenden Befehl zur Bestimmung eines Maximums aus.
Das CAS liefert dir, dass nach ungefähr 26,7 Minuten der Lernerfolg der beiden Schüler maximale Differenz aufweist.
Betrachtes du die Aussage vom Anfang…
„Zu dem Zeitpunkt, an dem $S_1$ und $S_2$ dieselbe Lerngeschwindigkeit aufweisen, unterscheidet sich der Lernerfolg am stärksten.“
… so kannst du festhalten, dass die Mitschülerin tatsächlich Recht behält:
Nach ungefähr 26,7 Minuten ist die Lerngeschwindigkeit der beiden Schüler gleich, aber die Differenz des Lernerfolges maximal.

Aufgabe 3

3.
3.1 $\blacktriangleright$Begründe, dass Schüler $S_1$ den Lehrstoff nie zu $100\,\%$ beherrscht
Der Schüler $S_1$ wird den Stoff bis zur Klausur nicht zu 100 % gelernt haben. Begründe anhand des zugehörigen Graphen $A$, warum das der Fall ist.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Betrachtest du den Graphen $A$, so kannst du erkennen, dass er sich einem Grenzwert nähert. Liegt dieser Grenzwert unterhalb 100 %, so ist die Aussage aus dem Aufgabentext bestätigt. Wir überprüfen dazu den Funktionsterm zu $A$:
$$ \boldsymbol{f(t)=90 - 80 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot t}}$$
A1 - Analysis
Du kannst erkennen, dass der Exponent der e-Funktion für $t \to \infty$ negativ wird. Folglich konvergiert der Ausdruck $\mathrm{e}^{-0,05 \cdot t}$ für $t \to \infty$ gegen Null. Also gilt:
$\begin{array}{rcl} \displaystyle\lim_{t \to \infty} f(t)&=&\displaystyle\lim_{t \to \infty} 90 - 80 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot t}\\ &=& 90 - 0 = 90 \end{array}$
Alternativ kannst du den Limes der Funktion $f$ auch mit Hilfe des CAS bestimmen. Unter der Befehlsfolge menu $\to$ 4 $\to$ 4 findest du den Befehl zur Bestimmung eines Grenzwertes.
A1 - Analysis
Das heißt, der Term konvergiert insgesamt gegen den Grenzwert 90 und erreicht damit niemals den Wert 100. Deshalb kann der Schüler $S_1$ bis zur Klausur niemals 100 % des Lehrstoffes beherrschen.
3.2 $\blacktriangleright$Rechenschritte erläutern und interpretieren
Der Schüler $S_1$ möchte nun seine Lernstrategie verändern und dokumentiert das wie folgt:
  • Ⅰ: $m=\dfrac{100-f(t)}{60-t}=f'(t)$
  • Ⅱ: $\dfrac{10+80 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot t}}{60-t}=4 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot t}$
  • Ⅲ: $t \approx 29$ min; $m \approx 0,93 \frac{\%}{\text{min}}$
Erläutere und Interpretiere die drei Rechenschritte.
1. Schritt: Erste Zeile erläutern
$ m=\dfrac{100-f(t)}{60-t}=f'(t) $
Im ersten Schritt wird die Änderungsrate $m$ des Lernerfolges definiert und mit der ursprünglichen $\,f'(t)$ gleichgesetzt. Hierbei fällt bereits auf, dass der Schüler versucht, sich an den Wert 100 anzunähern, indem er die ursprüngliche Funktion $f(t)$ vom Wert 100 subtrahiert. $m$ stellt hier die neue Lerngeschwindigkeit dar.
2. Schritt: Zweite Zeile erläutern
$ \dfrac{10+80 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot t}}{60-t}=4 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot t} $
Hier werden nun Funktionterme der Funktion und der Ableitung eingesetzt und weitestgehend vereinfacht.
3. Schritt: Dritte Zeile erläutern
$ t \approx 29 \text{min};\; m \approx 0,93 \frac{\%}{\text{min}} $
A1 - Analysis
Im letzten Schritt wurde der Schnittpunkt der neuen Lerngeschwindigkeit $m$ und der ursprünglichen Lerngeschwindigkeit $\,f'(t)$ bestimmt. Das heißt, nach ungefähr 29 Minuten sind die Lerngeschwindigkeiten identisch mit einem Wert von $0,93 \frac{\%}{\text{min}}$.
A1 - Analysis
Lässt du beide Funktionen im CAS anzeigen, so stellst du fest, dass die neu definierte Lerngeschwindigkeit bis auf $t \approx 29$ immer höher als die ursprüngliche $\,f'(t)$ ausfällt. Das heißt, der Schüler $S_1$ hat vor, seine Lerngeschwindigkeit in den ersten 29 Minuten zu steigern.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1

1.
1.1 $\blacktriangleright$Lernkurven zuordnen und begründen
Zwei Schüler $S_1$ und $S_2$ lernen für eine Klausur. Der Lernerfolg wird nun in einem Koordinatensystem abgetragen, wobei man folgende Ausprägungen erkennen kann:
  • $S_1$: Zu Anfang liegt großer Lernzuwachs vor.
  • $S_2$: Lernerfolg ist zunächst niedrig, nimmt aber immer stärker zu.
Im Material sind nun zwei Graphen $A$ und $B$ gegeben, die du den Schülern zuordnen sollst. Auf der $x$-Achse wird die Zeit in Minuten, auf der $y$-Achse der Lernzuwachs abgetragen.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Dabei fällt auf:
  • $A$: Der Graph steigt zunächst stark an, nähert sich aber einem Grenzwert.
  • $B$: Die Kurve wird mit zunehmender Zeit immer steiler.
Soll die $y$-Achse den Lernzuwachs darstellen, so kannst du festhalten, dass $A$ zu Schüler $S_1$ gehört, der zunächst einen sehr großen Lernzuwachs vorweist.
$B$ steigt erst mit fortschreitender Zeit an, folglich kann dieser Graph dem Schüler $S_2$ zugeordnet werden.
1.2 $\blacktriangleright$Geeignete Exponentialfunktionsterm zum Graphen $B$ aufstellen
Die Lernkurve $B$ soll nun durch eine geeignete Exponentialfunktion $g$ der Form
$$g(t)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot t}$$
beschrieben werden. Im Material wird folgende zu $B$ gehörende Tabelle angeführt:
$t$ in min 0 15 30 55
$y$ in % 10 18 31 81
Verwende die darin enthaltenen Werte, um die unbekannten Parameter $a$ und $k$ zu bestimmen.
Um die 2 unbekannten Parameter $a$ und $k$ zu bestimmen, kannst du die Werte aus der gegebenen Tabelle einsetzen:
  • $g(0)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 0}=10$
  • $g(15)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 15}=18$
  • $g(30)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 30}=31$
  • $g(55)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 55}=81$
Du kannst erkennen, dass für $t=0$ der Exponent der e-Funktion gleich Null wird. Das heißt, mittels der ersten Bedingung können wir bereits den Parameter $a$ bestimmen:
$g(0)=a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 0}=a \cdot \mathrm{e}^{0}=a=10$
Daraus folgt, dass a=10 gelten muss. Das kannst du nun im Folgenden verwenden.
Wir betrachten nun noch die letzte Bedingung und setzen $a=10$ ein:
$\begin{array}{rcll} 81&=&a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 55}& \\ 81&=&10 \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 55}& \scriptsize{ \mid\; :10} \\ 8,1&=&\mathrm{e}^{k \cdot 55}& \scriptsize{ \mid\; \mathrm{ln}()} \\ \mathrm{ln}(8,1)&=&\mathrm{ln} \left(\mathrm{e}^{k \cdot 55} \right)&\\ \mathrm{ln}(8,1)&=&(k \cdot 55) \cdot \mathrm{ln} \left(\mathrm{e}\right)&\\ \mathrm{ln}(8,1)&=&(k \cdot 55) \cdot 1& \scriptsize{ \mid\; :55}\\ k &=& \frac{\mathrm{ln}(8,1)}{55} \approx 0,038& \\ \end{array}$
Es muss also k = 0,038 gelten. Damit kannst du den Funktionsterm zur Lernkurve $B$ wie folgt angeben:
$g(t)=10 \cdot \mathrm{e}^{0,038 \cdot t}$
1.3 $\blacktriangleright$Bestimmen wieviel Prozent des Lernstoffes nach 40 Minuten gelernt wurde
Bestimme wieviel Prozent des Lernstoffes die Schüler $S_1$ und $S_2$ nach 40 Minuten gelernt haben.
A1 - Analysis
Im Koordinatensystem wird entlang der $y$-Achse der Lernerfolg als prozentualer Anteil des gelernten Stoffs dargestellt. Das heißt, die prozentualen Anteile des Lernstoffes nach 40 Minuten entsprechen gerade folgenden Werten:
  • $f(40)$
  • $g(40)$
Berechne also den Funktionswert an der Stelle $t=40$.
Dazu kannst du das CAS verwenden. Definiere die beiden Funktionen $f$ und $g$. Berechne anschließend $f(40)$ und $g(40)$.
A1 - Analysis
Das liefert dir, dass der Schüler $S_1$ ungefähr 79 % und der Schüler $S_2$ etwa 46 % des gesamten Lehrstoffes gelernt hat.
1.4 $\blacktriangleright$Ermitteln des Zeitpunktes, an dem die Schüler gleichen Lernerfolg haben
Im Koordinatensystem wird entlang der $y$-Achse der Lernerfolg als prozentualer Anteil des gelernten Stoffs dargestellt. Um also herausfinden zu können, wann die beiden Schüler den gleichen Lernerfolg haben, kannst du den Schnittpunkt der beiden Graphen bestimmen. Die $x$-Koordinate entspricht dann dem Zeitpunkt, an dem das der Fall ist.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Verwende dazu das CAS. Definiere die beiden Funktionen $f$ und $g$ und wähle den solve-Befehl aus. Diesen findest du unter
Interactive $\to$ Advanced $\to$ Solve
Setze anschließend die Funktionsterme $f(t)$ und $g(t)$ gleich und gib an, dass nach der Variable $t$ gelöst werden soll.
Das CAS liefert dir, dass nach ungefähr 56 Minuten der Lernerfolg der beiden Schüler gleich ist.

Aufgabe 2

2. $\blacktriangleright$Berechnen der Lerngeschwindigkeit und Differenz des Lernerfolges
Eine Mitschülerin behauptet:
„Zu dem Zeitpunkt, an dem $S_1$ und $S_2$ dieselbe Lerngeschwindigkeit aufweisen, unterscheidet sich der Lernerfolg am stärksten.“
Stimmt diese Aussage? Überprüfe das, indem du folgendes berechnest:
  • Berechne die Lerngeschwindigkeit der beiden Schüler.
  • Ermittle die maximale Differenz des Lernerfolges der beiden Schüler.
$\blacktriangleright$ Lerngeschwindigkeit der Schüler bestimmen
Beschreiben die Kurven den Lernerfolg als prozentualen Anteil des gesamten Lehrstoffes, so beschreibt die erste Ableitung die Lerngeschwindigkeit.
Gehe hierbei wie folgt vor:
  • Bilde die ersten Ableitungen der beiden Funktionen $f$ und $g$.
  • Überprüfe, wann diese dieselbe Lerngeschwindigkeit aufweisen, indem du den Schnittpunkt bestimmst.
1. Schritt: Ableitungen der Funktionen bestimmen
Wir bestimmen zunächst die erste Ableitung der Funktion $f$:
$\begin{array}{rcl} f(t)&=&90-80 \cdot \mathrm{e}^{-0.05 \cdot t} & \\[4pt] f'(t)&=&(-0.05) \cdot (-80) \cdot \mathrm{e}^{-0.05 \cdot t} & \\ &=&4 \cdot \mathrm{e}^{-0.05 \cdot t} & \\ \end{array}$
Die Ableitung der Funktion $g$ kannst du folgendermaßen bestimmen:
$\begin{array}{rcl} g(t)&=&10 \cdot \mathrm{e}^{0,038 \cdot t} & \\[4pt] g'(t)&=&0,038 \cdot 10 \cdot \mathrm{e}^{0,038 \cdot t} & \\ &=&0,38 \cdot \mathrm{e}^{0,038 \cdot t} & \\ \end{array}$
Alternativ kannst du die Ableitungen auch mit Hilfe des CAS bestimmen. Den entsprechenden Befehl findest du unter Interactive $\to$ Calculation $\to$ diff
A1 - Analysis
A1 - Analysis
2. Schritt: Überprüfen, wann Lerngeschwindigkeit übereinstimmt
Um den Zeitpunkt zu bestimmen, an dem die Lerngeschwindigkeit der beiden Schüler identisch ist, kannst du die beiden Funktionsterme gleichsetzen und nach der Variablen $t$ auflösen. Alternativ kannst du aber auch den Schnittpunkt der beiden Graphen zu den Ableitungen bestimmen.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Wir geben dazu die beiden Ableitungsterme im CAS ein oder lassen diese wie oben bestimmen. Wähle anschließend unter
Interactive $\to$ Advanced $\to$ Solve
den solve-Befehl aus und setze beide Terme gleich.
Das CAS liefert dir, dass nach ungefähr 26,7 Minuten die Lerngeschwindigkeit mit 1,05 $\frac{\%}{\text{min}}$ der beiden Schüler gleich ist.
$\blacktriangleright$ Maximale Differenz des Lernerfolges berechnen
Die Differenz $D$ der Lernerfolges lässt sich in mathematischen Formel wie folgt darstellen:
$$ \boldsymbol{ D(x)=|f(x)-g(x)|} $$
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Um die maximale Differenz des Lernerfolges zu bestimmen, kannst du ebenfalls das CAS zur Hilfe nehmen. Gib die neue Funktion $D(x)=| f(x)-g(x) | $ im Graph-Modus an und wähle anschließend unter
Analysis $\to$ G-Solve $\to$ Max
den passenden Befehl zur Bestimmung eines Maximums aus.
Das CAS liefert dir, dass nach ungefähr 26,7 Minuten der Lernerfolg der beiden Schüler maximale Differenz aufweist.
Betrachtes du die Aussage vom Anfang…
„Zu dem Zeitpunkt, an dem $S_1$ und $S_2$ dieselbe Lerngeschwindigkeit aufweisen, unterscheidet sich der Lernerfolg am stärksten.“
… so kannst du festhalten, dass die Mitschülerin tatsächlich Recht behält:
Nach ungefähr 26,7 Minuten ist die Lerngeschwindigkeit der beiden Schüler gleich, aber die Differenz des Lernerfolges maximal.

Aufgabe 3

3.
3.1 $\blacktriangleright$Begründe, dass Schüler $S_1$ den Lehrstoff nie zu $100\,\%$ beherrscht
Der Schüler $S_1$ wird den Stoff bis zur Klausur nicht zu 100 % gelernt haben. Begründe anhand des zugehörigen Graphen $A$, warum das der Fall ist.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Betrachtest du den Graphen $A$, so kannst du erkennen, dass er sich einem Grenzwert nähert. Liegt dieser Grenzwert unterhalb 100 %, so ist die Aussage aus dem Aufgabentext bestätigt. Wir überprüfen dazu den Funktionsterm zu $A$:
$$ \boldsymbol{f(t)=90 - 80 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot t}}$$
A1 - Analysis
Du kannst erkennen, dass der Exponent der e-Funktion für $t \to \infty$ negativ wird. Folglich konvergiert der Ausdruck $\mathrm{e}^{-0,05 \cdot t}$ für $t \to \infty$ gegen Null. Also gilt:
$\begin{array}{rcl} \displaystyle\lim_{t \to \infty} f(t)&=&\displaystyle\lim_{t \to \infty} 90 - 80 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot t}\\ &=& 90 - 0 = 90 \end{array}$
Alternativ kannst du den Limes der Funktion $f$ auch mit Hilfe des CAS bestimmen. Unter der Befehlsfolge
menu $\to$ 4 $\to$ 4
findest du den Befehl zur Bestimmung eines Grenzwertes.
A1 - Analysis
Das heißt, der Term konvergiert insgesamt gegen den Grenzwert 90 und erreicht damit niemals den Wert 100. Deshalb kann der Schüler $S_1$ bis zur Klausur niemals 100 % des Lehrstoffes beherrschen.
3.2 $\blacktriangleright$Rechenschritte erläutern und interpretieren
Der Schüler $S_1$ möchte nun seine Lernstrategie verändern und dokumentiert das wie folgt:
  • Ⅰ: $m=\dfrac{100-f(t)}{60-t}=f'(t)$
  • Ⅱ: $\dfrac{10+80 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot t}}{60-t}=4 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot t}$
  • Ⅲ: $t \approx 29$ min; $m \approx 0,93 \frac{\%}{\text{min}}$
Erläutere und Interpretiere die drei Rechenschritte.
1. Schritt: Erste Zeile erläutern
$ m=\dfrac{100-f(t)}{60-t}=f'(t) $
Im ersten Schritt wird die Änderungsrate $m$ des Lernerfolges definiert und mit der ursprünglichen $\,f'(t)$ gleichgesetzt. Hierbei fällt bereits auf, dass der Schüler versucht, sich an den Wert 100 anzunähern, indem er die ursprüngliche Funktion $f(t)$ vom Wert 100 subtrahiert. $m$ stellt hier die neue Lerngeschwindigkeit dar.
2. Schritt: Zweite Zeile erläutern
$ \dfrac{10+80 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot t}}{60-t}=4 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot t} $
Hier werden nun Funktionterme der Funktion und der Ableitung eingesetzt und weitestgehend vereinfacht.
3. Schritt: Dritte Zeile erläutern
$ t \approx 29 \text{min};\; m \approx 0,93 \frac{\%}{\text{min}} $
A1 - Analysis
Im letzten Schritt wurde der Schnittpunkt der neuen Lerngeschwindigkeit $m$ und der ursprünglichen Lerngeschwindigkeit $\,f'(t)$ bestimmt. Das heißt, nach ungefähr 29 Minuten sind die Lerngeschwindigkeiten identisch mit einem Wert von $0,93 \frac{\%}{\text{min}}$.
A1 - Analysis
Lässt du beide Funktionen im CAS anzeigen, so stellst du fest, dass die neu definierte Lerngeschwindigkeit bis auf $t \approx 29$ immer höher als die ursprüngliche $\,f'(t)$ ausfällt. Das heißt, der Schüler $S_1$ hat vor, seine Lerngeschwindigkeit in den ersten 29 Minuten zu steigern.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App