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B1 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Gegeben ist das im Material dargestellte quaderförmige Holzgerüst mit quadratischer Grundfläche mit einer Länge und einer Breite von jeweils $3\;\text{m}$ und einer Höhe von $2,50\;\text{m}$. Als Sonnen- und Sichtschutz wird ein dreieckiges Sonnensegel in den Punkten $S(3\mid 2\mid 2,5$), $T(3\mid 3\mid 0,5$) und $U(0\mid 3\mid 2$) befestigt. Der Flächeninhalt des Sonnensegels beträgt $A\approx$ 3,44 m$^2$.
1.1   Gib die Koordinaten der Eckpunkte des Holzgerüstes an. Die Pfostendicke bleibt dabei unberücksichtigt.
(4P)
1.2   Zeichne das Sonnensegel in die Abbildung im Material und berechne eine Koordinatengleichung der Sonnensegelebene $E$.
[zur Kontrolle: $E: x + 4y +2z=16$]
(7P)
1.3   Durch das Sonnensegel wird die Höhe eingeschränkt. Damit man den Raum noch großzügig nutzen kann, soll die Stehhöhe über dem Punkt $P(2,5\mid2,5\mid0$) noch $h = 2,0\,\text{m}$ betragen. Prüfe, ob durch die Befestigung des Sonnensegels die Stehhöhe über dem Punkt $P$ beeinträchtigt wird.
(4P)
1.4   Bestimme den Winkel zwischen der Sonnensegelebene und der Dachebene $DCGH$.
(3P)
2.   Bei starkem Wind beginnt das Sonnensegel zu flattern. Um die Bewegung des Sonnensegels einzuschränken, wird eine zur Dreiecksfläche orthogonale Verbindung zum Eckpunkt $C$ konzipiert.
2.1   Bestimme die Länge dieses Verbindungsstücks unter der modellhaften Annahme, dass das Sonnensegel so gespannt wurde, dass es nicht durchhängt.
$\left[ \text{Zur Kontrolle: } d \approx 0,87\;\text{m}\right]$
(4P)
2.2   Zu künstlerischen Zwecken sollen innerhalb des Holzgerüsts drei weitere dreieckige Tücher gespannt werden, die jeweils eine Seitenkante des vorhandenen Sonnensegels mit dem Eckpunkt $C$ verbinden. Berechne, wie viel Prozent des Raumes innerhalb des Holzgerüstes der entstehende Körper einnimmt.
(4P)
3.   Es beginnt zu regnen. Die Regentropfen fallen dabei modellhaft geradlinig in Richtung $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}0,5\\ -0,25\\ -1,25\end{pmatrix} $ . Durch das Sonnensegel bleibt ein Teil des Bodens trocken.
Berechne geeignete Punkte, um den trockenen Bereich einzugrenzen, und stelle diese Fläche in deiner Zeichnung dar.
(4P)

Material

B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
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Tipps
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Koordinaten der Eckpunkte angeben
Orientiere dich an der Skizze des Materials. Darin erkennst du, dass $E$ im Koordinatenursprung liegt und du ausgehend von $E$ mit den Seitenlängen die Koordinaten der übrigen Punkte bestimmen kannst.
Um die Koordinaten der Eckpunkte angeben zu können, musst dir noch überlegen, in welcher Form die Punkte im dreidimensionalen Raum angegeben werden:
$P(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ bedeutet, dass die $x$-Koordinate $x_1$ beträgt, die $y$-Koordinate $y_1$ und die $z$-Koordinate $z_1$. Somit kannst du aus dem Material ablesen:
Länge in $x$-Richtung: $3 \text{ m } \widehat{=} 6$ diagonalen Kästchen
Breite in $y$-Richtung: $3 \text{ m } \widehat{=} 12$ Kästchen
Höhe in $z$-Richtung: $2,5 \text{ m } \widehat{=} 10$ Kästchen
Daraus folgt, dass vier Kästchen des Koordinatensystems gerade einem Meter entsprechen sowie, dass zwei diagonale Kästchen ebenfalls einem Meter entsprechen.
1.2 $\blacktriangleright$ Sonnensegel einzeichnen
Zeichne die drei gegebenen Punkte $S$, $T$ und $U$ ein und verbinde diese zum Sonnensegel.
$\blacktriangleright$ Koordinatengleichung der Sonnensegelebene $\boldsymbol{E}$ berechnen
Da du drei Punkte gegeben hast, die in der Ebene $E$ liegen, ist es sinnvoll, zunächst die Parameterform der Ebene $E$ zu berechnen. Lege dazu fest, welchen Ortsvektor du als Stützvektor und welche Verbindungsvektoren du als Spannvektoren betrachtest. Diese kannst du dann in die Parameterform einsetzen.
Anschließend kannst du die Parameterform in die gesuchte Koordinatenform umwandeln. Berechne dazu den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ aus dem Vektorprodukt der beiden Spannvektoren und den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe. Damit erhältst du die eine Koordinatengleichung der Sonnensegelebene $E$ durch Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform.
1.3 $\blacktriangleright$ Beeinträchtigung der Stehhöhe über dem Punkt $\boldsymbol{P}$ prüfen
Um herauszufinden, ob die Stehhöhe $h=2 \text{ m}$ vom Sonnensegel beeinträchtigt wird, kannst du die Koordinaten des Punktes $P'$, der den Punkt des Sonnensegels über $P$ beschreibt, berechnen. Dabei besitzt $P'$ dieselben $x$- und $y$-Koordinate wie $P$ und liegt in der Sonnensegelebene $E$. Die $z$-Koordinate von $P'$ entspricht dann genau der Höhe des Sonnensegels über dem Punkt $P$.
1.4 $\blacktriangleright$ Winkel bestimmen
Stelle zuerst fest, dass die Dachebene $DCGH$ die $x,y$-Ebene ist. Die Sonnensegelebene $E$ hast du bereits berechnet oder du entnimmst sie dem Hinweis „zur Kontrolle“ aus Aufgabe 1.1. Bestimme nun den Schnittwinkel der beiden Ebenen mit Hilfe der Formel für den Schnittwinkel zwischen Ebenen. Dazu benötigst du die Normalenvektoren der beiden Ebenen, die du entweder aus der Koordinatengleichung der Ebene direkt ablesen kannst oder über das Vektorprodukt der Spannvektoren erhältst.
2.1 $\blacktriangleright$ Länge des Verbindungsstücks berechnen
Da der Verbindungsvektor orthogonal zum Sonnensegel ist, kannst du den Abstand vom Punkt $C$ zur Ebene berechnen. Dieser Abstand entspricht dann der Länge des Verbindungsvektors. Die Annahme, dass das Sonnensegel so gespannt wurde, dass es nicht durchhängt, sagt dir, dass du dazu die ursprüngliche Koordinatengleichung der Sonnensegelebene verwenden kannst. Gesucht ist also der Abstand zwischen der Ebene E und dem Punkt C. Einen solchen Abstand kannst du mit Hilfe der hesseschen Normalenform berechnen.
2.2 $\blacktriangleright$ Prozentualen Anteil des Körpers bestimmen
Du erkennst, dass der gebildete Körper eine Pyramide ist. Die Grundfläche ist die Fläche des Sonnensegels und der Punkt $C$ ist die Spitze der Pyramide. Den Flächeninhalt des Sonnensegels kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, $A_{Sonnensegel}= 3,44 \text{ m}^2$. Die Höhe der Pyramide hast du im Aufgabenteil 2.1 berechnet, also $h_{Pyramide}=0,87 \text{ m}$. Damit kannst du das Volumen des gebildeten Körpers berechnen. Das Volumen des Holzgerüsts kannst du mit der in der Aufgabenstellung angegebenen Länge, Breite und Höhe des Holzgerüsts berechnen. Den prozentualen Anteil des Körpers vom Raum des Holzgerüsts erhältst du, indem die du beiden Volumina in Verhältnis zueinander setzt.
3. $\blacktriangleright$ $\boldsymbol{U'}$ bestimmen
Das Sonnensegel ist laut Aufgabenstellung in den Punkten $S(3 \mid 2 \mid 2,5)$, $T(3 \mid 3 \mid 0,5)$ und $U(0\mid 3 \mid 2)$ befestigt. Definiere durch $S'$, $T'$ und $U'$ die Punkte auf dem Boden, auf denen der Regentropfen landen würde, der vom jeweiligen Eckpunkt des Sonnensegels abgefangen wird. Diese Punkte sind geeignet, um den trockenen Bereich einzugrenzen.
Also kannst du drei Geraden $g_S$, $g_T$ und $g_U$ ermitteln, die dir jeweils den theoretischen Verlauf des Regentropfens, der auf $S$, $T$ oder $U$ landet, angibt. $S'$ ist also der Punkt auf der Geraden $g_S$, dessen $z$-Koordinate gleich Null ist, $T'$ der Punkt auf $g_T$, dessen $z$-Koordinate gleich Null ist und $U'$ der Punkt auf $g_U$ mit $z$-Koordinate Null.
Stelle die Geradengleichungen auf und ermittle die gesuchten Punkte, deren $z$-Koordinate gleich Null ist.
Zeichne danach die drei Punkte $S'$, $T'$ und $U'$ ein und verbinde diese zur der gesuchten Dreiecksfläche.
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Lösungen TI
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Koordinaten der Eckpunkte angeben
Orientiere dich an der Skizze des Materials. Darin erkennst du, dass $E$ im Koordinatenursprung liegt und du ausgehend von $E$ mit den Seitenlängen die Koordinaten der übrigen Punkte bestimmen kannst.
Um die Koordinaten der Eckpunkte angeben zu können, musst dir noch überlegen, in welcher Form die Punkte im dreidimensionalen Raum angegeben werden:
$P(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ bedeutet, dass die $x$-Koordinate $x_1$ beträgt, die $y$-Koordinate $y_1$ und die $z$-Koordinate $z_1$. Somit kannst du aus dem Material ablesen:
Länge in $x$-Richtung: $3 \text{ m } \widehat{=} 6$ diagonalen Kästchen
Breite in $y$-Richtung: $3 \text{ m } \widehat{=} 12$ Kästchen
Höhe in $z$-Richtung: $2,5 \text{ m } \widehat{=} 10$ Kästchen
Daraus folgt, dass vier Kästchen des Koordinatensystems gerade einem Meter entsprechen sowie, dass zwei diagonale Kästchen ebenfalls einem Meter entsprechen. Damit kannst du die Koordinaten der Eckpunkte direkt ablesen:
$\begin{array}{l} A( 3 \mid 0 \mid 0) \\[5pt] B(3 \mid 3 \mid 0) \\[5pt] C( 3 \mid 3 \mid 2,5) \\[5pt] D( 3 \mid 0 \mid 2,5) \\[5pt] E( 0 \mid 0 \mid 0) \\[5pt] F( 0 \mid 3 \mid 0) \\[5pt] G( 0 \mid 3 \mid 2,5) \\[5pt] H( 0 \mid 0 \mid 2,5) \end{array}$
1.2 $\blacktriangleright$ Sonnensegel einzeichnen
Zeichne die drei gegebenen Punkte $S$, $T$ und $U$ ein und verbinde diese zum Sonnensegel.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
$\blacktriangleright$ Koordinatengleichung der Sonnensegelebene $\boldsymbol{E}$ berechnen
Da du drei Punkte gegeben hast, die in der Ebene $E$ liegen, ist es sinnvoll, zunächst die Parameterform der Ebene $E$ zu berechnen. Lege dazu fest, welchen Ortsvektor du als Stützvektor und welche Verbindungsvektoren du als Spannvektoren betrachtest. Diese kannst du dann in die Parameterform einsetzen.
Anschließend kannst du die Parameterform in die gesuchte Koordinatenform umwandeln. Berechne dazu den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ aus dem Vektorprodukt der beiden Spannvektoren und den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe. Damit erhältst du die eine Koordinatengleichung der Sonnensegelebene $E$ durch Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform.
1. Schritt: Ebenengleichung in Parameterform aufstellen
Wähle zunächst den Stützvektor und die Spannvektoren:
$\overrightarrow{OS}$ sei der Stützvektor, $\overrightarrow{ST}$ und $\overrightarrow{SU}$ die Spannvektoren.
Du erhältst:
$\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}3\\2\\2,5\end{pmatrix}$ 
$\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OS}= \begin{pmatrix}3\\3\\0,5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\2,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}$ 
$\overrightarrow{SU}=\overrightarrow{OU}-\overrightarrow{OS}= \begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\2,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\1\\-0,5\end{pmatrix}$ .
Einsetzen in die Parameterform liefert:
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OS} + t \cdot \overrightarrow{ST} + s \cdot \overrightarrow{SU}= \begin{pmatrix}3\\2\\2,5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\1\\-0,5\end{pmatrix}$
2. Schritt: Parameterform in Koordinatenform umwandeln
Für die Koordinatenform benötigst du zunächst den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$, den du mittels Vektorprodukt der beiden Spannvektoren bestimmen kannst. Anschließend kannst du den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe bestimmen.
Den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ kannst du mit Hilfe des Befehls crossP mit dem CAS berechnen.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Du erhältst den Normalenvektor $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1,5\\6\\3 \end{pmatrix}$.
Bestimme den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe:
Anhand des Stützvektors kannst du die Koordinaten eines Punktes $P$ in der Ebene ablesen: $P(3 \mid 2 \mid 2,5)$. Setze diese zusammen mit dem Normalenvektor in die Koordinatenform ein, um den Parameter $d_a$ zu ermitteln:
$E: n_1\cdot p_1 + n_2\cdot p_2 + n_3\cdot p_3= 1,5\cdot 3 + 6\cdot 2 + 3\cdot 2,5 =24= d_a $
Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform liefert das Ergebnis:
$\begin{array}{rll} E: &1,5\cdot x + 6\cdot y + 3 \cdot z =24 &\scriptsize \mid \ :1,5 \\[5pt] E: &x + 4\cdot y + 2 \cdot z =16 \end{array}$
Je nachdem, welche Vektoren als Stütz- und Spannvektoren gewählt wurden, sind noch andere Lösungsansätze möglich.
1.3 $\blacktriangleright$ Beeinträchtigung der Stehhöhe über dem Punkt $\boldsymbol{P}$ prüfen
Um herauszufinden, ob die Stehhöhe $h=2 \text{ m}$ vom Sonnensegel beeinträchtigt wird, kannst du die Koordinaten des Punktes $P'$, der den Punkt des Sonnensegels über $P$ beschreibt, berechnen. Dabei besitzt $P'$ dieselben $x$- und $y$-Koordinate wie $P$ und liegt in der Sonnensegelebene $E$. Die $z$-Koordinate von $P'$ entspricht dann genau der Höhe des Sonnensegels über dem Punkt $P$.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Setze also die $x$- und $y$-Koordinate von $P$ in die Koordinatengleichung der Ebene $E$ ein und löse nach der $z$-Koordinaten auf:
$\begin{array}[t]{rll} x+4y+2z=&16 & \scriptsize \mid\; \text{$x$- und $y$-Koordinate von $P$ einsetzen} \\[5pt] 2,5 + 4 \cdot 2,5 +2z=&16 & \scriptsize \mid\; -12,5 \\[5pt] 2z=&3,5 & \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] z=&1,75 \end{array}$
Damit beträgt die Stehhöhe über dem Punkt $P$ durch das Sonnensegel $1,75 \text{ m}$ und die geforderte Stehhöhe von $2 \text{ m}$ wird durch das Sonnensegel beeinträchtigt.
1.4 $\blacktriangleright$ Winkel bestimmen
Stelle zuerst fest, dass die Dachebene $DCGH$ die $x,y$-Ebene ist. Die Sonnensegelebene $E$ hast du bereits berechnet oder du entnimmst sie dem Hinweis „zur Kontrolle“ aus Aufgabe 1.1. Bestimme nun den Schnittwinkel der beiden Ebenen mit Hilfe der Formel für den Schnittwinkel zwischen Ebenen. Dazu benötigst du die Normalenvektoren der beiden Ebenen, die du entweder aus der Koordinatengleichung der Ebene direkt ablesen kannst oder über das Vektorprodukt der Spannvektoren erhältst.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
1. Schritt: Normalenvektor bestimmen
Den Normalenvekor der Sonnensegelebene $\overrightarrow{n}_E$ kannst du direkt aus der Koordinatengleichung ablesen:
$\overrightarrow{n}_E=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
Den Normalenvektor der Dachebene $\overrightarrow{n}_{DCGH}$ erhältst du über das Vektorprodukt der Spannvektoren.
$\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$, $\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$ sind dabei die Spannvektoren der $x,y$-Ebene. Also ergibt sich:
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
$\overrightarrow{n}_{DCGH}= \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
2. Schritt: Schnittwinkel berechnen
Mit den beiden Normalenvektoren ergibt sich:
$\begin{array}{rll} \cos\alpha=&\dfrac{\left|\overrightarrow{n}_E\circ\overrightarrow{n}_{DCGH}\right|}{\left|\overrightarrow{n}_E\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}_{DCGH}\right|} \\[5pt] =&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ 4\\ 2\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ 4\\ 2\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)\right|} \\[5pt] =&\dfrac{\left|2\right|}{\sqrt{1+16+4}\cdot\sqrt{1}} \\[5pt] =&\dfrac{2}{\sqrt{21}}\\[5pt] \approx&0,44 &\scriptsize \mid \, {\cos^{-1}} \\[5pt] \alpha \approx&64,1^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
Damit beträgt der Winkel zwischen Sonnensegelebene und Dachebene ca. $64,1^{\circ}$.
2.1 $\blacktriangleright$ Länge des Verbindungsstücks berechnen
Da der Verbindungsvektor orthogonal zum Sonnensegel ist, kannst du den Abstand vom Punkt $C$ zur Ebene berechnen. Dieser Abstand entspricht dann der Länge des Verbindungsvektors. Die Annahme, dass das Sonnensegel so gespannt wurde, dass es nicht durchhängt, sagt dir, dass du dazu die ursprüngliche Koordinatengleichung der Sonnensegelebene verwenden kannst. Gesucht ist also der Abstand zwischen der Ebene E und dem Punkt C. Einen solchen Abstand kannst du mit Hilfe der hesseschen Normalenform berechnen.
1. Schritt: Länge von $\boldsymbol{\overrightarrow{n}}$ bestimmen
$\overrightarrow{n}$ kannst du direkt aus der Koordinatengleichung ablesen:
$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
Damit ergibt sich für die Länge von $\overrightarrow{n}$:
$\left|\overrightarrow{n}\right|=\sqrt{1^2+4^2+2^2}=\sqrt{21}$
2. Schritt: Ebene umformen
$E:\;x+4y+2z=16$
$\Leftrightarrow x+4y+2z-16=0$
3. Schritt: $\boldsymbol{HNF}$ aufstellen
Mit der umgeformten Ebene und der Länge von $\overrightarrow{n}$ ergibt sich die $HNF$:
$\dfrac{x+4y+2z-16}{\sqrt{21}}=0$
4. Schritt: $\boldsymbol{C}$ in $\boldsymbol{HNF}$ einsetzen
Den Abstand vom Punkt $C$ und der Ebene $E$ erhältst du durch Einsetzen von $C$ in die $HNF$:
$d=\dfrac{1\cdot 3 +4\cdot 3 +2\cdot 2,5 -16}{\sqrt{21}}=\dfrac{4}{\sqrt{21}} \approx 0,87$
Also ist der Verbindungsvektor ca. $0,87 \text{ m}$ lang.
2.2 $\blacktriangleright$ Prozentualen Anteil des Körpers bestimmen
Du erkennst, dass der gebildete Körper eine Pyramide ist. Die Grundfläche ist die Fläche des Sonnensegels und der Punkt $C$ ist die Spitze der Pyramide. Den Flächeninhalt des Sonnensegels kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, $A_{Sonnensegel}= 3,44 \text{ m}^2$. Die Höhe der Pyramide hast du im Aufgabenteil 2.1 berechnet, also $h_{Pyramide}=0,87 \text{ m}$. Damit kannst du das Volumen des gebildeten Körpers berechnen. Das Volumen des Holzgerüsts kannst du mit der in der Aufgabenstellung angegebenen Länge, Breite und Höhe des Holzgerüsts berechnen. Den prozentualen Anteil des Körpers vom Raum des Holzgerüsts erhältst du, indem die du beiden Volumina in Verhältnis zueinander setzt.
1. Schritt: Volumen des Holzgerüsts berechnen
Du hast vom Holzgerüst die Länge von $3 \text{ m}$, die Breite von $3 \text{ m}$ und die Höhe von $2,5 \text{ m}$ in der Aufgabenstellung gegeben. Damit ergibt sich:
$\begin{array}{rl} V_{Holzgerüst}=& \text{Länge } \cdot \text{Breite } \cdot \text{ Höhe} \\[5pt] =& 3 \text{ m} \cdot 3 \text{ m} \cdot 2,5 \text{ m} \\[5pt] =& 22,5 \text{ m}^3 \end{array}$
2. Schritt: Volumen des Körpers berechnen
Das Volumen der Pyramide berechnest du wie folgt:
$\begin{array}{rl} V_{Pyramide}=& \dfrac{1}{3} \cdot A_{Sonnensegel} \cdot h_{Pyramide} \\[5pt] =& \dfrac{1}{3} \cdot A_{Sonnensegel} \cdot h_{Pyramide} &\scriptsize \mid \ \text{Einsetzen} \\[5pt] =& \dfrac{1}{3} \cdot 3,44 \text{ m}^2 \cdot 0,87 \text{ m} \\[5pt] \approx & 1 \end{array}$
3. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen
Nun setzt du das Volumen der Pyramide ins Verhältnis zum Volumen der Holzgerüstes:
$\begin{array}{rl} \dfrac{V_{Pyramide}}{V_{Holzgerüst}}=& \dfrac{1 \text{ m}}{22,5 \text{ m}} \\[5pt] =& \frac{2}{45} \\[5pt] \approx & 0,044 \end{array}$
Damit nimmt der entstehende Körper etwa $4,4 \%$ des Raumes innerhalb des Holzgerüstes ein.
3. $\blacktriangleright$ Geeignete Punkte ermitteln
Das Sonnensegel ist laut Aufgabenstellung in den Punkten $S(3 \mid 2 \mid 2,5)$, $T(3 \mid 3 \mid 0,5)$ und $U(0\mid 3 \mid 2)$ befestigt. Definiere durch $S'$, $T'$ und $U'$ die Punkte auf dem Boden, auf denen der Regentropfen landen würde, der vom jeweiligen Eckpunkt des Sonnensegels abgefangen wird. Diese Punkte sind geeignet, um den trockenen Bereich einzugrenzen.
Also kannst du drei Geraden $g_S$, $g_T$ und $g_U$ ermitteln, die dir jeweils den theoretischen Verlauf des Regentropfens, der auf $S$, $T$ oder $U$ landet, angibt. $S'$ ist also der Punkt auf der Geraden $g_S$, dessen $z$-Koordinate gleich Null ist, $T'$ der Punkt auf $g_T$, dessen $z$-Koordinate gleich Null ist und $U'$ der Punkt auf $g_U$ mit $z$-Koordinate Null.
Stelle die Geradengleichungen auf und ermittle die gesuchten Punkte, deren $z$-Koordinate gleich Null ist.
1. Schritt: Geradengleichung von $\boldsymbol{g_S}$, $\boldsymbol{g_T}$ und $\boldsymbol{g_U}$ aufstellen
Den Richtungsvektor aller drei Geraden kannst du der Aufgabenstellung entnehmen. Dies ist die Richtung der Regentropfen, also
$\overrightarrow{v}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0,5 \\ -0,25 \\ -1,25 \\ \end{array}} \right)$
Da $S$ auf $g_S$, $T$ auf $g_T$ und $U$ auf der Gerade $g_U$ liegt, kannst du die Ortsvektoren
$\overrightarrow{OS}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 2,5 \\ \end{array}} \right), \qquad \overrightarrow{OT}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ 0,5 \\ \end{array}} \right), \qquad \overrightarrow{OU}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
als Stützvektoren interpretieren. Damit ergeben sich folgende Geradengleichungen:
$g_S: \, \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 2,5 \\ \end{array}} \right) + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} 0,5 \\ -0,25 \\ -1,25 \\ \end{array}} \right), \qquad g_T: \, \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ 0,5 \\ \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} 0,5 \\ -0,25 \\ -1,25 \\ \end{array}} \right), \quad g_U: \, \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + u \cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} 0,5 \\ -0,25 \\ -1,25 \\ \end{array}} \right)$.
2. Schritt: $\boldsymbol{S'}$, $\boldsymbol{T'}$ und $\boldsymbol{U'}$ berechnen
Die $z$-Koordinaten von den Punkten $S'$, $T'$ und $U'$ müssen gleich Null sein, damit diese Punkte auf dem Boden liegen. Also suchst du Parameter $s$, $t$ und $u$ für die Geradengleichungen, sodass die $z$-Koordinaten Null ergeben. Somit erhältst du folgende Gleichungen:
$\begin{array}{rll} 2,5+ s \cdot (-1,25) \stackrel{!}{=}& 0 &\scriptsize \mid \ -2,5 \\[5pt] s \cdot (-1,25)=& -2,5 &\scriptsize \mid \ : (-1,25) \\[5pt] s=& 2 \end{array}$
$\begin{array}{rll} 0,5+ t \cdot (-1,25) \stackrel{!}{=}& 0 &\scriptsize \mid \ -0,5 \\[5pt] t \cdot (-1,25)=& -0,5 &\scriptsize \mid \ : (-1,25) \\[5pt] t=& 0,4 \end{array}$
$\begin{array}{rll} 2+ u \cdot (-1,25) \stackrel{!}{=}& 0 &\scriptsize \mid \ -2 \\[5pt] u \cdot (-1,25)=& -2 &\scriptsize \mid \ : (-1,25) \\[5pt] u=& 1,6 \end{array}$
Damit erhältst du die $x$-Koordinaten der gesuchten Punkte $S'$, $T'$ und $U'$:
$ 3+ s \cdot 0,5 = 3+ (2 \cdot 0,5)= 4$
$3+ t \cdot 0,5 = 3+ (0,4 \cdot 0,5)= 3,2$
$0+ u \cdot 0,5 = 0+ (1,6 \cdot 0,5)= 0,8$
Und die $y$-Koordinaten:
$2+ s \cdot (-0,25) = 3+ (2 \cdot (-0,25))= 1,5$
$3+ t \cdot (-0,25) = 3+ (0,4 \cdot (-0,25))= 2,9$
$ 3+ u \cdot (-0,25) = 3+ (1,6 \cdot (-0,25))= 2,6$
Somit folgt insgesamt:
$S'\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 1,5 \\ 0 \\ \end{array}} \right), \qquad T'\left( {\begin{array}{*{20}r} 3,2 \\ 2,9 \\ 0 \\ \end{array}} \right), \qquad U'\left( {\begin{array}{*{20}r} 0,8 \\ 2,6 \\ 0 \\ \end{array}} \right).$
Der trockene Bereich wird durch die Punkte $S'(4 \mid 1,5 \mid 0)$, $T'(3,2 \mid 2,9 \mid 0)$ und $U'(0,8 \mid 2,6 \mid 0)$ eingegrenzt.
$\blacktriangleright$ Fläche einzeichnen
Zeichne nun die drei Punkte $S'$, $T'$ und $U'$ ein und verbinde diese zur der gesuchten Dreiecksfläche.
B1 - Analytische Geometrie
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Koordinaten der Eckpunkte angeben
Orientiere dich an der Skizze des Materials. Darin erkennst du, dass $E$ im Koordinatenursprung liegt und du ausgehend von $E$ mit den Seitenlängen die Koordinaten der übrigen Punkte bestimmen kannst.
Um die Koordinaten der Eckpunkte angeben zu können, musst dir noch überlegen, in welcher Form die Punkte im dreidimensionalen Raum angegeben werden:
$P(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ bedeutet, dass die $x$-Koordinate $x_1$ beträgt, die $y$-Koordinate $y_1$ und die $z$-Koordinate $z_1$. Somit kannst du aus dem Material ablesen:
Länge in $x$-Richtung: $3 \text{ m } \widehat{=} 6$ diagonalen Kästchen
Breite in $y$-Richtung: $3 \text{ m } \widehat{=} 12$ Kästchen
Höhe in $z$-Richtung: $2,5 \text{ m } \widehat{=} 10$ Kästchen
Daraus folgt, dass vier Kästchen des Koordinatensystems gerade einem Meter entsprechen sowie, dass zwei diagonale Kästchen ebenfalls einem Meter entsprechen. Damit kannst du die Koordinaten der Eckpunkte direkt ablesen:
$\begin{array}{l} A( 3 \mid 0 \mid 0) \\[5pt] B(3 \mid 3 \mid 0) \\[5pt] C( 3 \mid 3 \mid 2,5) \\[5pt] D( 3 \mid 0 \mid 2,5) \\[5pt] E( 0 \mid 0 \mid 0) \\[5pt] F( 0 \mid 3 \mid 0) \\[5pt] G( 0 \mid 3 \mid 2,5) \\[5pt] H( 0 \mid 0 \mid 2,5) \end{array}$
1.2 $\blacktriangleright$ Sonnensegel einzeichnen
Zeichne die drei gegebenen Punkte $S$, $T$ und $U$ ein und verbinde diese zum Sonnensegel.
B1 - Analytische Geometrie
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$\blacktriangleright$ Koordinatengleichung der Sonnensegelebene $\boldsymbol{E}$ berechnen
Da du drei Punkte gegeben hast, die in der Ebene $E$ liegen, ist es sinnvoll, zunächst die Parameterform der Ebene $E$ zu berechnen. Lege dazu fest, welchen Ortsvektor du als Stützvektor und welche Verbindungsvektoren du als Spannvektoren betrachtest. Diese kannst du dann in die Parameterform einsetzen.
Anschließend kannst du die Parameterform in die gesuchte Koordinatenform umwandeln. Berechne dazu den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ aus dem Vektorprodukt der beiden Spannvektoren und den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe. Damit erhältst du die eine Koordinatengleichung der Sonnensegelebene $E$ durch Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform.
1. Schritt: Ebenengleichung in Parameterform aufstellen
Wähle zunächst den Stützvektor und die Spannvektoren:
$\overrightarrow{OS}$ sei der Stützvektor, $\overrightarrow{ST}$ und $\overrightarrow{SU}$ die Spannvektoren.
Du erhältst:
$\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}3\\2\\2,5\end{pmatrix}$ 
$\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OS}= \begin{pmatrix}3\\3\\0,5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\2,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}$ 
$\overrightarrow{SU}=\overrightarrow{OU}-\overrightarrow{OS}= \begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\2,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\1\\-0,5\end{pmatrix}$ .
Einsetzen in die Parameterform liefert:
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OS} + t \cdot \overrightarrow{ST} + s \cdot \overrightarrow{SU}= \begin{pmatrix}3\\2\\2,5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\1\\-0,5\end{pmatrix}$
2. Schritt: Parameterform in Koordinatenform umwandeln
Für die Koordinatenform benötigst du zunächst den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$, den du mittels Vektorprodukt der beiden Spannvektoren bestimmen kannst. Anschließend kannst du den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe bestimmen.
Den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ kannst du mit Hilfe des Befehls crossP mit dem CAS berechnen.
B1 - Analytische Geometrie
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Du erhältst den Normalenvektor $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1,5\\6\\3 \end{pmatrix}$.
Bestimme den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe:
Anhand des Stützvektors kannst du die Koordinaten eines Punktes $P$ in der Ebene ablesen: $P(3 \mid 2 \mid 2,5)$. Setze diese zusammen mit dem Normalenvektor in die Koordinatenform ein, um den Parameter $d_a$ zu ermitteln:
$E: n_1\cdot p_1 + n_2\cdot p_2 + n_3\cdot p_3= 1,5\cdot 3 + 6\cdot 2 + 3\cdot 2,5 =24= d_a $
Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform liefert das Ergebnis:
$\begin{array}{rll} E: &1,5\cdot x + 6\cdot y + 3 \cdot z =24 &\scriptsize \mid \ :1,5 \\[5pt] E: &x + 4\cdot y + 2 \cdot z =16 \end{array}$
Je nachdem, welche Vektoren als Stütz- und Spannvektoren gewählt wurden, sind noch andere Lösungsansätze möglich.
1.3 $\blacktriangleright$ Beeinträchtigung der Stehhöhe über dem Punkt $\boldsymbol{P}$ prüfen
Um herauszufinden, ob die Stehhöhe $h=2 \text{ m}$ vom Sonnensegel beeinträchtigt wird, kannst du die Koordinaten des Punktes $P'$, der den Punkt des Sonnensegels über $P$ beschreibt, berechnen. Dabei besitzt $P'$ dieselben $x$- und $y$-Koordinate wie $P$ und liegt in der Sonnensegelebene $E$. Die $z$-Koordinate von $P'$ entspricht dann genau der Höhe des Sonnensegels über dem Punkt $P$.
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Setze also die $x$- und $y$-Koordinate von $P$ in die Koordinatengleichung der Ebene $E$ ein und löse nach der $z$-Koordinaten auf:
$\begin{array}[t]{rll} x+4y+2z=&16 & \scriptsize \mid\; \text{$x$- und $y$-Koordinate von $P$ einsetzen} \\[5pt] 2,5 + 4 \cdot 2,5 +2z=&16 & \scriptsize \mid\; -12,5 \\[5pt] 2z=&3,5 & \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] z=&1,75 \end{array}$
Damit beträgt die Stehhöhe über dem Punkt $P$ durch das Sonnensegel $1,75 \text{ m}$ und die geforderte Stehhöhe von $2 \text{ m}$ wird durch das Sonnensegel beeinträchtigt.
1.4 $\blacktriangleright$ Winkel bestimmen
Stelle zuerst fest, dass die Dachebene $DCGH$ die $x,y$-Ebene ist. Die Sonnensegelebene $E$ hast du bereits berechnet oder du entnimmst sie dem Hinweis „zur Kontrolle“ aus Aufgabe 1.1. Bestimme nun den Schnittwinkel der beiden Ebenen mit Hilfe der Formel für den Schnittwinkel zwischen Ebenen. Dazu benötigst du die Normalenvektoren der beiden Ebenen, die du entweder aus der Koordinatengleichung der Ebene direkt ablesen kannst oder über das Vektorprodukt der Spannvektoren erhältst.
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1. Schritt: Normalenvektor bestimmen
Den Normalenvekor der Sonnensegelebene $\overrightarrow{n}_E$ kannst du direkt aus der Koordinatengleichung ablesen:
$\overrightarrow{n}_E=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
Den Normalenvektor der Dachebene $\overrightarrow{n}_{DCGH}$ erhältst du über das Vektorprodukt der Spannvektoren.
$\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$, $\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$ sind dabei die Spannvektoren der $x,y$-Ebene. Also ergibt sich:
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$\overrightarrow{n}_{DCGH}= \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
2. Schritt: Schnittwinkel berechnen
Mit den beiden Normalenvektoren ergibt sich:
$\begin{array}{rll} \cos\alpha=&\dfrac{\left|\overrightarrow{n}_E\circ\overrightarrow{n}_{DCGH}\right|}{\left|\overrightarrow{n}_E\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}_{DCGH}\right|} \\[5pt] =&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ 4\\ 2\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ 4\\ 2\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)\right|} \\[5pt] =&\dfrac{\left|2\right|}{\sqrt{1+16+4}\cdot\sqrt{1}} \\[5pt] =&\dfrac{2}{\sqrt{21}}\\[5pt] \approx&0,44 &\scriptsize \mid \, {\cos^{-1}} \\[5pt] \alpha \approx&64,1^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
Alternativ kannst du den Schnittwinkel mit folgendem Befehl des CAS berechnen:
Interactive $\to$ Vector $\to$ angle
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Damit beträgt der Winkel zwischen Sonnensegelebene und Dachebene ca. $64,1^{\circ}$.
2.1 $\blacktriangleright$ Länge des Verbindungsstücks berechnen
Da der Verbindungsvektor orthogonal zum Sonnensegel ist, kannst du den Abstand vom Punkt $C$ zur Ebene berechnen. Dieser Abstand entspricht dann der Länge des Verbindungsvektors. Die Annahme, dass das Sonnensegel so gespannt wurde, dass es nicht durchhängt, sagt dir, dass du dazu die ursprüngliche Koordinatengleichung der Sonnensegelebene verwenden kannst. Gesucht ist also der Abstand zwischen der Ebene E und dem Punkt C. Einen solchen Abstand kannst du mit Hilfe der hesseschen Normalenform berechnen.
1. Schritt: Länge von $\boldsymbol{\overrightarrow{n}}$ bestimmen
$\overrightarrow{n}$ kannst du direkt aus der Koordinatengleichung ablesen:
$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
Damit ergibt sich für die Länge von $\overrightarrow{n}$:
$\left|\overrightarrow{n}\right|=\sqrt{1^2+4^2+2^2}=\sqrt{21}$
2. Schritt: Ebene umformen
$E:\;x+4y+2z=16$
$\Leftrightarrow x+4y+2z-16=0$
3. Schritt: $\boldsymbol{HNF}$ aufstellen
Mit der umgeformten Ebene und der Länge von $\overrightarrow{n}$ ergibt sich die $HNF$:
$\dfrac{x+4y+2z-16}{\sqrt{21}}=0$
4. Schritt: $\boldsymbol{C}$ in $\boldsymbol{HNF}$ einsetzen
Den Abstand vom Punkt $C$ und der Ebene $E$ erhältst du durch Einsetzen von $C$ in die $HNF$:
$d=\dfrac{1\cdot 3 +4\cdot 3 +2\cdot 2,5 -16}{\sqrt{21}}=\dfrac{4}{\sqrt{21}} \approx 0,87$
Also ist der Verbindungsvektor ca. $0,87 \text{ m}$ lang.
2.2 $\blacktriangleright$ Prozentualen Anteil des Körpers bestimmen
Du erkennst, dass der gebildete Körper eine Pyramide ist. Die Grundfläche ist die Fläche des Sonnensegels und der Punkt $C$ ist die Spitze der Pyramide. Den Flächeninhalt des Sonnensegels kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, $A_{Sonnensegel}= 3,44 \text{ m}^2$. Die Höhe der Pyramide hast du im Aufgabenteil 2.1 berechnet, also $h_{Pyramide}=0,87 \text{ m}$. Damit kannst du das Volumen des gebildeten Körpers berechnen. Das Volumen des Holzgerüsts kannst du mit der in der Aufgabenstellung angegebenen Länge, Breite und Höhe des Holzgerüsts berechnen. Den prozentualen Anteil des Körpers vom Raum des Holzgerüsts erhältst du, indem die du beiden Volumina in Verhältnis zueinander setzt.
1. Schritt: Volumen des Holzgerüsts berechnen
Du hast vom Holzgerüst die Länge von $3 \text{ m}$, die Breite von $3 \text{ m}$ und die Höhe von $2,5 \text{ m}$ in der Aufgabenstellung gegeben. Damit ergibt sich:
$\begin{array}{rl} V_{Holzgerüst}=& \text{Länge } \cdot \text{Breite } \cdot \text{ Höhe} \\[5pt] =& 3 \text{ m} \cdot 3 \text{ m} \cdot 2,5 \text{ m} \\[5pt] =& 22,5 \text{ m}^3 \end{array}$
2. Schritt: Volumen des Körpers berechnen
Das Volumen der Pyramide berechnest du wie folgt:
$\begin{array}{rl} V_{Pyramide}=& \dfrac{1}{3} \cdot A_{Sonnensegel} \cdot h_{Pyramide} \\[5pt] =& \dfrac{1}{3} \cdot A_{Sonnensegel} \cdot h_{Pyramide} &\scriptsize \mid \ \text{Einsetzen} \\[5pt] =& \dfrac{1}{3} \cdot 3,44 \text{ m}^2 \cdot 0,87 \text{ m} \\[5pt] \approx & 1 \end{array}$
3. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen
Nun setzt du das Volumen der Pyramide ins Verhältnis zum Volumen der Holzgerüstes:
$\begin{array}{rl} \dfrac{V_{Pyramide}}{V_{Holzgerüst}}=& \dfrac{1 \text{ m}}{22,5 \text{ m}} \\[5pt] =& \frac{2}{45} \\[5pt] \approx & 0,044 \end{array}$
Damit nimmt der entstehende Körper etwa $4,4 \%$ des Raumes innerhalb des Holzgerüstes ein.
3. $\blacktriangleright$ Geeignete Punkte ermitteln
Das Sonnensegel ist laut Aufgabenstellung in den Punkten $S(3 \mid 2 \mid 2,5)$, $T(3 \mid 3 \mid 0,5)$ und $U(0\mid 3 \mid 2)$ befestigt. Definiere durch $S'$, $T'$ und $U'$ die Punkte auf dem Boden, auf denen der Regentropfen landen würde, der vom jeweiligen Eckpunkt des Sonnensegels abgefangen wird. Diese Punkte sind geeignet, um den trockenen Bereich einzugrenzen.
Also kannst du drei Geraden $g_S$, $g_T$ und $g_U$ ermitteln, die dir jeweils den theoretischen Verlauf des Regentropfens, der auf $S$, $T$ oder $U$ landet, angibt. $S'$ ist also der Punkt auf der Geraden $g_S$, dessen $z$-Koordinate gleich Null ist, $T'$ der Punkt auf $g_T$, dessen $z$-Koordinate gleich Null ist und $U'$ der Punkt auf $g_U$ mit $z$-Koordinate Null.
Stelle die Geradengleichungen auf und ermittle die gesuchten Punkte, deren $z$-Koordinate gleich Null ist.
1. Schritt: Geradengleichung von $\boldsymbol{g_S}$, $\boldsymbol{g_T}$ und $\boldsymbol{g_U}$ aufstellen
Den Richtungsvektor aller drei Geraden kannst du der Aufgabenstellung entnehmen. Dies ist die Richtung der Regentropfen, also
$\overrightarrow{v}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0,5 \\ -0,25 \\ -1,25 \\ \end{array}} \right)$
Da $S$ auf $g_S$, $T$ auf $g_T$ und $U$ auf der Gerade $g_U$ liegt, kannst du die Ortsvektoren
$\overrightarrow{OS}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 2,5 \\ \end{array}} \right), \qquad \overrightarrow{OT}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ 0,5 \\ \end{array}} \right), \qquad \overrightarrow{OU}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
als Stützvektoren interpretieren. Damit ergeben sich folgende Geradengleichungen:
$g_S: \, \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 2,5 \\ \end{array}} \right) + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} 0,5 \\ -0,25 \\ -1,25 \\ \end{array}} \right), \qquad g_T: \, \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ 0,5 \\ \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} 0,5 \\ -0,25 \\ -1,25 \\ \end{array}} \right), \quad g_U: \, \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + u \cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} 0,5 \\ -0,25 \\ -1,25 \\ \end{array}} \right)$.
2. Schritt: $\boldsymbol{S'}$, $\boldsymbol{T'}$ und $\boldsymbol{U'}$ berechnen
Die $z$-Koordinaten von den Punkten $S'$, $T'$ und $U'$ müssen gleich Null sein, damit diese Punkte auf dem Boden liegen. Also suchst du Parameter $s$, $t$ und $u$ für die Geradengleichungen, sodass die $z$-Koordinaten Null ergeben. Somit erhältst du folgende Gleichungen:
$\begin{array}{rll} 2,5+ s \cdot (-1,25) \stackrel{!}{=}& 0 &\scriptsize \mid \ -2,5 \\[5pt] s \cdot (-1,25)=& -2,5 &\scriptsize \mid \ : (-1,25) \\[5pt] s=& 2 \end{array}$
$\begin{array}{rll} 0,5+ t \cdot (-1,25) \stackrel{!}{=}& 0 &\scriptsize \mid \ -0,5 \\[5pt] t \cdot (-1,25)=& -0,5 &\scriptsize \mid \ : (-1,25) \\[5pt] t=& 0,4 \end{array}$
$\begin{array}{rll} 2+ u \cdot (-1,25) \stackrel{!}{=}& 0 &\scriptsize \mid \ -2 \\[5pt] u \cdot (-1,25)=& -2 &\scriptsize \mid \ : (-1,25) \\[5pt] u=& 1,6 \end{array}$
Damit erhältst du die $x$-Koordinaten der gesuchten Punkte $S'$, $T'$ und $U'$:
$ 3+ s \cdot 0,5 = 3+ (2 \cdot 0,5)= 4$
$3+ t \cdot 0,5 = 3+ (0,4 \cdot 0,5)= 3,2$
$0+ u \cdot 0,5 = 0+ (1,6 \cdot 0,5)= 0,8$
Und die $y$-Koordinaten:
$2+ s \cdot (-0,25) = 3+ (2 \cdot (-0,25))= 1,5$
$3+ t \cdot (-0,25) = 3+ (0,4 \cdot (-0,25))= 2,9$
$ 3+ u \cdot (-0,25) = 3+ (1,6 \cdot (-0,25))= 2,6$
Somit folgt insgesamt:
$S'\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 1,5 \\ 0 \\ \end{array}} \right), \qquad T'\left( {\begin{array}{*{20}r} 3,2 \\ 2,9 \\ 0 \\ \end{array}} \right), \qquad U'\left( {\begin{array}{*{20}r} 0,8 \\ 2,6 \\ 0 \\ \end{array}} \right).$
Der trockene Bereich wird durch die Punkte $S'(4 \mid 1,5 \mid 0)$, $T'(3,2 \mid 2,9 \mid 0)$ und $U'(0,8 \mid 2,6 \mid 0)$ eingegrenzt.
$\blacktriangleright$ Fläche einzeichnen
Zeichne nun die drei Punkte $S'$, $T'$ und $U'$ ein und verbinde diese zur der gesuchten Dreiecksfläche.
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